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AP 02
01
Teoria dos Conjuntos 2
Conceitos básicos
O que se estuda deste assunto ao nível do
segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão
somente uma introdução elementar à teoria dos
conjuntos, base para o desenvolvimento de temas
futuros, a exemplo de relações, funções, análise
combinatória, probabilidades, etc. Deste ponto de vista,
conjunto é toda coleção de objetos, de animais, de
palavras, de números, ou seja, de qualquer coisa. Um
conjunto qualquer é formado por elementos.
Tipos de conjuntos
Em nosso cotidiano podemos perceber diversos
tipos de conjuntos: conjunto de estudantes a caminho
da escola; conjunto de casas (vilas); conjunto de cães;
conjunto de carros, entre outros.
Elementos
Se considerarmos o
conjunto A, sendo os jogadores
titulares de um time de futebol,
temos que cada jogador é um
elemento pertencente ao conjunto
A. E que o conjunto A é limitado
ou finito e possui 11 elementos.
Representação
Um conjunto pode ser representado de várias
maneiras, entre as quais três são mais usuais:
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Representamos um conjunto por diagramas
(curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus
elementos.
Listagem ou Enumeração
Representamos um conjunto por uma letra
maiúscula e listamos seus elementos entre chaves.
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Representamos um conjunto por meio de uma
propriedade característica de seus elementos, sem
nomeá-los.
Relação de pertinência ∈
Entre um elemento x qualquer e um conjunto A
qualquer só existe duas, e somente duas, possibilidades
de relacioná-los.
1ª Possibilidade ∈ 2ª Possibilidade ∉	A
Conjunto vazio
Um conjunto, embora seja associado a uma
coleção de objetos, às vezes não possui elementos.
Representamos esse tipo de conjunto, chamado vazio,
ou seja, que não possui elementos, por { } ou Ø.
Conjunto unitário
Quando um conjunto apresenta um único
elemento o chamamos de conjunto unitário. Por
exemplo, uma única pessoa num estádio de futebol.
Conjunto universo
O conjunto de todos os elementos considerados
em determinada situação é chamado conjunto universo.
Relação de inclusão
O símbolo ⊂ denomina-se sinal de inclusão e
A ⊂ B, relação de inclusão, ou seja, A está contido em
B ou B contém A (B ⊃ A).
Caso A não esteja contido em B,
simbolicamente, temos A ⊄ B ou B ⊅ A (B não contém
A).
Subconjunto
Quando todos os elementos de um conjunto A
qualquer forem também elementos de um conjunto B,
diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A
⊂ B. Observações:
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou
seja, A ⊂ A ;
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de
qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A.
Exemplo 1
Se considerarmos a equipe de alunos do CURSINHO
aprovados no vestibular 2012 podemos observar alguns
subconjuntos. Quais?
Conjunto das partes
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um
conjunto A é chamado de conjunto das partes de A,
que indicamos por P(A).
Exemplo 2
Dados os conjuntos A = {1}, B = {1, 2} e C = {1, 2, 3},
vamos determinar P(A), P(B) e P(C).
IPC: Se um conjunto finito qualquer tem elementos,
então tem elementos, ou seja: 	 	 .
União ou reunião de conjuntos
Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {a, b,
e, f, g}, vamos determinar o conjunto C de maneira que
seus elementos pertençam a, pelo menos, um dos
conjuntos, A ou B.
C = {a, b, c, d, e, f, g}
O conjunto C é chamado de união ou reunião
de A e B e pode ser indicado por A ∪ B, que se lê A
união B ou A reunião B.
Simbolicamente: se x é um elemento de ∪ ,
então x ∈ A ou x ∈ B: ou seja, ∪ | ∈
	 	 ∈ .
Interseção de conjuntos
Considere os mesmos conjuntos A e B usados
acima, vamos determinar o conjunto D de maneira que
seus elementos pertençam ao conjunto A e ao B.
D = {a, b}
O conjunto D é chamado interseção de A e B e pode
ser indicado por A ∩ B, que se lê A interseção B.
Simbolicamente: se x é um elemento de ∩ ,
então x ∈ A e x ∈ B, ou seja: ∩ | ∈ 	 	 ∈
.
IPC: Quando ∩ ∅, A e B são chamados
conjuntos disjuntos.
Quantidade de elementos do conjunto união
Considerando os conjuntos A e B acima, vamos
determinar o número de elementos do conjunto ∪ .
AP 02 – Teoria dos conjuntos Prof. Giancarlo
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AP 02
02
AtividadeAtividadeAtividadeAtividade
Fórmula:
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3,
4, 5}, vamos determinar o conjunto C de maneira que
seus elementos pertençam ao conjunto A, mas não
pertença ao B. C = {0, 1}
O conjunto C é chamado diferença entre A e B
e pode ser indicado por A – B, que se lê A menos
B.
Simbolicamente: se x é um elemento de ,
então x ∈ A e x ∉ B, ou seja: | ∈ 	 	 ∉
.
Conjunto complementar
Sejam os conjuntos A e B, tal que B ⊂ A. Chama-se
complementar de B em relação a A o conjunto A – B,
indicado por C! . Dessa forma, quando B ⊂ A,
C! .
Questão 1 (Fatec – SP)
O conjunto tem 20 elementos; ∩ tem 12
elementos e ∪ tem 60 elementos. O número de
elementos do conjunto é:
A) 28 B) 36 C) 40 D) 48 E) 52
Questão 2
Numa creche com 120 crianças, verificou-se que 108
haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra o
sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas
vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra
poliomielite e sarampo?
Questão 3
Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinha
italiana perguntou a 80 de seus clientes: “Entre lasanha,
canelone e macarronada, de qual ou quais você
gosta?”. O resultado da pesquisa foi:
• 35 gostam de lasanha;
• 39 gostam de canelone;
• 40 gostam de macarronada;
• 15 gostam de lasanha e canelone;
• 13 gostam de lasanha e macarronada;
• 11 gostam de canelone e macarronada;
• 5 gostam dos três pratos.
a) Quantos clientes gostam somente de canelone?
b) Quantos clientes gostam apenas de lasanha ou
apenas de canelone ou de ambos os pratos?
c) Quantos clientes não gostam nem de lasanha nem de
canelone?
Questão 4 (UFPI)
Considere os conjuntos M e N tais que " ∪ #
1, 2, 3, 4, 5, 6 , " ∩ # 1, 2 e # " 3, 4 . Qual a
alternativa correta?
A) " 1, 2, 3 D) # 1, 2
B) " 1, 2, 5, 6 E) " 1, 2, 3, 4
C) # 1, 2, 4
Questão 5
Se +,- " . 64, então o conjunto " é:
A) {a, b, c, d}
B) {a, b, c, d, e, f}
C) {a, b, c, d, e, f, g}
D) ⍉
E) {a, b, c, d, e}
Questão 6
A parte hachurada no gráfico
representa:
A) ∩ ∪ 0
B) ∩ ∪ 0
C) ∪ ∩ 0
D) ∪ ∩ 0
E)N.R.A.
Questão 7 (FGV – SP)
Um número de dois algarismos é tal que o algarismo
das dezenas é igual a 3/4 do algarismo das unidades.
Se os algarismos forem permutados entre si, obtém-se
um número que é 9 unidades maior do que o primeiro.
Então, a soma dos dois algarismos é:
A) 8 B) 5 C) 6 D) 9 E) 7
Questão 8 (ENEM)
Um fabricante de cosméticos decide produzir três
diferentes catálogos de seus produtos, visado a
públicos distintos. Como alguns produtos estarão
presentes em mais de um catálogo e ocupam uma
página inteira, ele resolve fazer uma contagem para
diminuir os gastos com originais de impressão. Os
catálogos 01, 02 e 03 terão, respectivamente, 50, 45 e
40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica
que 01	 	02 terão 10 páginas em comum; 01	 	03 terão 6
páginas em comum; 02	 	03 terão 5 páginas em comum,
das quais 4 também estarão em 01.
Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante
concluiu que, para a montagem dos três catálogos,
necessitará de um total de originais de impressão igual
a:
A) 135 B) 126 C) 118 D) 114 E) 110
Questão 9 (ENEM)
As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais” são
produtos diferentes, comercializados em embalagens
quase idênticas. O consumidor, para diferenciar o
produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do
rótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figuras
que seguem representam rótulos desses dois produtos.
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Teoria dos Conjuntos

  • 1. Página Web: professorgiancarlo.blogspot.com AP 02 01 Teoria dos Conjuntos 2 Conceitos básicos O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc. Deste ponto de vista, conjunto é toda coleção de objetos, de animais, de palavras, de números, ou seja, de qualquer coisa. Um conjunto qualquer é formado por elementos. Tipos de conjuntos Em nosso cotidiano podemos perceber diversos tipos de conjuntos: conjunto de estudantes a caminho da escola; conjunto de casas (vilas); conjunto de cães; conjunto de carros, entre outros. Elementos Se considerarmos o conjunto A, sendo os jogadores titulares de um time de futebol, temos que cada jogador é um elemento pertencente ao conjunto A. E que o conjunto A é limitado ou finito e possui 11 elementos. Representação Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, entre as quais três são mais usuais: Diagramas Representamos um conjunto por diagramas (curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus elementos. Listagem ou Enumeração Representamos um conjunto por uma letra maiúscula e listamos seus elementos entre chaves. Propriedade Característica Representamos um conjunto por meio de uma propriedade característica de seus elementos, sem nomeá-los. Relação de pertinência ∈ Entre um elemento x qualquer e um conjunto A qualquer só existe duas, e somente duas, possibilidades de relacioná-los. 1ª Possibilidade ∈ 2ª Possibilidade ∉ A Conjunto vazio Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezes não possui elementos. Representamos esse tipo de conjunto, chamado vazio, ou seja, que não possui elementos, por { } ou Ø. Conjunto unitário Quando um conjunto apresenta um único elemento o chamamos de conjunto unitário. Por exemplo, uma única pessoa num estádio de futebol. Conjunto universo O conjunto de todos os elementos considerados em determinada situação é chamado conjunto universo. Relação de inclusão O símbolo ⊂ denomina-se sinal de inclusão e A ⊂ B, relação de inclusão, ou seja, A está contido em B ou B contém A (B ⊃ A). Caso A não esteja contido em B, simbolicamente, temos A ⊄ B ou B ⊅ A (B não contém A). Subconjunto Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer forem também elementos de um conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B. Observações: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja, A ⊂ A ; O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A. Exemplo 1 Se considerarmos a equipe de alunos do CURSINHO aprovados no vestibular 2012 podemos observar alguns subconjuntos. Quais? Conjunto das partes O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado de conjunto das partes de A, que indicamos por P(A). Exemplo 2 Dados os conjuntos A = {1}, B = {1, 2} e C = {1, 2, 3}, vamos determinar P(A), P(B) e P(C). IPC: Se um conjunto finito qualquer tem elementos, então tem elementos, ou seja: . União ou reunião de conjuntos Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {a, b, e, f, g}, vamos determinar o conjunto C de maneira que seus elementos pertençam a, pelo menos, um dos conjuntos, A ou B. C = {a, b, c, d, e, f, g} O conjunto C é chamado de união ou reunião de A e B e pode ser indicado por A ∪ B, que se lê A união B ou A reunião B. Simbolicamente: se x é um elemento de ∪ , então x ∈ A ou x ∈ B: ou seja, ∪ | ∈ ∈ . Interseção de conjuntos Considere os mesmos conjuntos A e B usados acima, vamos determinar o conjunto D de maneira que seus elementos pertençam ao conjunto A e ao B. D = {a, b} O conjunto D é chamado interseção de A e B e pode ser indicado por A ∩ B, que se lê A interseção B. Simbolicamente: se x é um elemento de ∩ , então x ∈ A e x ∈ B, ou seja: ∩ | ∈ ∈ . IPC: Quando ∩ ∅, A e B são chamados conjuntos disjuntos. Quantidade de elementos do conjunto união Considerando os conjuntos A e B acima, vamos determinar o número de elementos do conjunto ∪ .
  • 2. AP 02 – Teoria dos conjuntos Prof. Giancarlo Página Web: professorgiancarlo.blogspot.com AP 02 02 AtividadeAtividadeAtividadeAtividade Fórmula: Diferença de Conjuntos Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, vamos determinar o conjunto C de maneira que seus elementos pertençam ao conjunto A, mas não pertença ao B. C = {0, 1} O conjunto C é chamado diferença entre A e B e pode ser indicado por A – B, que se lê A menos B. Simbolicamente: se x é um elemento de , então x ∈ A e x ∉ B, ou seja: | ∈ ∉ . Conjunto complementar Sejam os conjuntos A e B, tal que B ⊂ A. Chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, indicado por C! . Dessa forma, quando B ⊂ A, C! . Questão 1 (Fatec – SP) O conjunto tem 20 elementos; ∩ tem 12 elementos e ∪ tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto é: A) 28 B) 36 C) 40 D) 48 E) 52 Questão 2 Numa creche com 120 crianças, verificou-se que 108 haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra poliomielite e sarampo? Questão 3 Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinha italiana perguntou a 80 de seus clientes: “Entre lasanha, canelone e macarronada, de qual ou quais você gosta?”. O resultado da pesquisa foi: • 35 gostam de lasanha; • 39 gostam de canelone; • 40 gostam de macarronada; • 15 gostam de lasanha e canelone; • 13 gostam de lasanha e macarronada; • 11 gostam de canelone e macarronada; • 5 gostam dos três pratos. a) Quantos clientes gostam somente de canelone? b) Quantos clientes gostam apenas de lasanha ou apenas de canelone ou de ambos os pratos? c) Quantos clientes não gostam nem de lasanha nem de canelone? Questão 4 (UFPI) Considere os conjuntos M e N tais que " ∪ # 1, 2, 3, 4, 5, 6 , " ∩ # 1, 2 e # " 3, 4 . Qual a alternativa correta? A) " 1, 2, 3 D) # 1, 2 B) " 1, 2, 5, 6 E) " 1, 2, 3, 4 C) # 1, 2, 4 Questão 5 Se +,- " . 64, então o conjunto " é: A) {a, b, c, d} B) {a, b, c, d, e, f} C) {a, b, c, d, e, f, g} D) ⍉ E) {a, b, c, d, e} Questão 6 A parte hachurada no gráfico representa: A) ∩ ∪ 0 B) ∩ ∪ 0 C) ∪ ∩ 0 D) ∪ ∩ 0 E)N.R.A. Questão 7 (FGV – SP) Um número de dois algarismos é tal que o algarismo das dezenas é igual a 3/4 do algarismo das unidades. Se os algarismos forem permutados entre si, obtém-se um número que é 9 unidades maior do que o primeiro. Então, a soma dos dois algarismos é: A) 8 B) 5 C) 6 D) 9 E) 7 Questão 8 (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visado a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos 01, 02 e 03 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que 01 02 terão 10 páginas em comum; 01 03 terão 6 páginas em comum; 02 03 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em 01. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: A) 135 B) 126 C) 118 D) 114 E) 110 Questão 9 (ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais” são produtos diferentes, comercializados em embalagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar o produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do rótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos. Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentares é torná-las mais macias. Uma pessoa que, por desatenção, use 200 gramas de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina não obterá a consistência desejada, pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproximadamente: A) o triplo B) o dobro C) a metade D) um terço E) um quarto 65% de lipídios Valor energético por Porção de 10 g : 59 kcal MARGARINA 35% de lipídios Valor energético por Porção de 10 g : 32 kcal CREME VEGETAL