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Função e equação logarítmica 14
1. LOGARITMO
Definição:
Dados os números reais positivos 𝑎 e 𝑏, com 𝑎 ≠ 1, se
𝑏 = 𝑎 𝑐
, então o expoente c chama-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎, ou
seja log 𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 𝑐
= 𝑏, com 𝑎 e 𝑏 positivos e 𝑎 ≠ 1.
Condição de existência do logaritmo
log 𝑎 𝑁 existe quando e somente quando {
𝑁 > 0
𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1
Exemplos:
a) log3 82 = 𝑥 b) log1
2
32 = 𝑦
2. CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
i. log 𝑎 1 = 0
ii. log 𝑎 𝑎 = 1
iii. log 𝑎 𝑎 𝑛
= 𝑛
iv. 𝑎log 𝑎 𝑁
= 𝑁
v. log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦
3. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
Para 𝑎, 𝑀 e 𝑁 números reais positivos e 𝑎 ≠ 1, temos:
i. Logaritmo de um produto: log 𝑎(𝑀 ∙ 𝑁) = log 𝑎 𝑀 + log 𝑎 𝑁
ii. Logaritmo de um quociente: log 𝑎 (
𝑀
𝑁
) = log 𝑎 𝑀 − log 𝑎 𝑁
iii. Logaritmo de uma potência: log 𝑎 𝑀 𝑁
= N ∙ log 𝑎 𝑀
Mudança de base:
log 𝑏 𝑁 =
log 𝑎 𝑁
log 𝑎 𝑏
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A inversa da função exponencial de base a é a função
log 𝑎 : 𝑅+
∗
→ 𝑅, que associa a cada número real positivo x o
número real log 𝑎 𝑥, chamado logaritmo de x na base 𝑎, com 𝑎 real
positivo e 𝑎 ≠ 1
EXERCÍCIO
Questão 1
Calcule:
a) 27log3 b) 125log
5
1
c) 32log4 d)
27
8
log
3
2
Questão 2
Calcule o valor de x:
a) 38log x b) 2
16
1
log x c) 5log2 x
d) x27log9 e) x32log
2
1
Questão 3
Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule 





c
ba 2
.
log
Questão 4
Resolva as seguintes equações:
a) 29log 3 x b)   2102log4 x
c)    21loglog 32 x d)   27log 2
1  xx
Questão 5
Em Química, defini-se o pH de uma solução como o
logaritmo decimal do inverso da respectiva
concentração de H3O+
. O cérebro humano contém um
líquido cuja concentração de H3O+
é 4,8. 10 -8
mol/l.
Qual será o pH desse líquido?
Questão 6
(U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo
de a na base b é:
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
Questão 7
(PUC) Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am
= log m . a
e) log am
= m . log a
(Supor válidas as condições de existências dos
logaritmos)
Questão 8
(CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de
log101,23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209
Questão 9
Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) =
log 36 são:
a) 9 e -4
b) 9 e 4
c) -4
d) 9
e) 5 e -4

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Função logarítmica - definições propriedades e exercícios - AP 14

  • 1. Função e equação logarítmica 14 1. LOGARITMO Definição: Dados os números reais positivos 𝑎 e 𝑏, com 𝑎 ≠ 1, se 𝑏 = 𝑎 𝑐 , então o expoente c chama-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎, ou seja log 𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 𝑐 = 𝑏, com 𝑎 e 𝑏 positivos e 𝑎 ≠ 1. Condição de existência do logaritmo log 𝑎 𝑁 existe quando e somente quando { 𝑁 > 0 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 Exemplos: a) log3 82 = 𝑥 b) log1 2 32 = 𝑦 2. CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO i. log 𝑎 1 = 0 ii. log 𝑎 𝑎 = 1 iii. log 𝑎 𝑎 𝑛 = 𝑛 iv. 𝑎log 𝑎 𝑁 = 𝑁 v. log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦 3. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS Para 𝑎, 𝑀 e 𝑁 números reais positivos e 𝑎 ≠ 1, temos: i. Logaritmo de um produto: log 𝑎(𝑀 ∙ 𝑁) = log 𝑎 𝑀 + log 𝑎 𝑁 ii. Logaritmo de um quociente: log 𝑎 ( 𝑀 𝑁 ) = log 𝑎 𝑀 − log 𝑎 𝑁 iii. Logaritmo de uma potência: log 𝑎 𝑀 𝑁 = N ∙ log 𝑎 𝑀 Mudança de base: log 𝑏 𝑁 = log 𝑎 𝑁 log 𝑎 𝑏 4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA A inversa da função exponencial de base a é a função log 𝑎 : 𝑅+ ∗ → 𝑅, que associa a cada número real positivo x o número real log 𝑎 𝑥, chamado logaritmo de x na base 𝑎, com 𝑎 real positivo e 𝑎 ≠ 1 EXERCÍCIO Questão 1 Calcule: a) 27log3 b) 125log 5 1 c) 32log4 d) 27 8 log 3 2 Questão 2 Calcule o valor de x: a) 38log x b) 2 16 1 log x c) 5log2 x d) x27log9 e) x32log 2 1 Questão 3 Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule       c ba 2 . log Questão 4 Resolva as seguintes equações: a) 29log 3 x b)   2102log4 x c)    21loglog 32 x d)   27log 2 1  xx Questão 5 Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H3O+ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é 4,8. 10 -8 mol/l. Qual será o pH desse líquido? Questão 6 (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a. Questão 7 (PUC) Assinale a propriedade válida sempre: a) log (a . b) = log a . log b b) log (a + b) = log a + log b c) log m . a = m . log a d) log am = log m . a e) log am = m . log a (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos) Questão 8 (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209 Questão 9 Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são: a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4 d) 9 e) 5 e -4