Matematica aplicada

1.156 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.156
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
6
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matematica aplicada

  1. 1. MATEMÁTICANÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS1.1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)No dia-a-dia, utilizamo-nos de conceitos matemáticos sem mesmo perceber. Sempre que podemoscontar as unidades de um conjunto de coisas, por exemplo, quando contamos o dinheiro que temosna carteira, ou o número de gols que o centroavante de nosso time marcou no último campeonato,ou ainda o número de votos que o Presidente Lula recebeu nas últimas eleições, obtemos comoresposta um resultado que denomina-se número natural.Portanto, qualquer número que seja resultado ou conseqüência de uma contagem de unidadesé denominado de número natural e é representado por N.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}Um subconjunto importante de N é o conjunto N*: N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}Como podemos ver, o zero foi excluído do conjunto N.Podemos visualizar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostradoabaixo: 1
  2. 2. Dentro do conjunto dos números naturais podemos afirmar que todas as operações envolvendoadição (+) e multiplicação (x) SEMPRE dará como resultado outro número natural.Já não podemos dizer o mesmo quanto às operações inversas da adição – a subtração ( — ), e damultiplicação – a divisão ( ÷ ), pois nem sempre podemos representar a diferença entre doisnúmeros naturais por outro número natural, o mesmo acontecendo com a divisão. Por exemplo,a diferença 5 – 8 ou a divisão 7 ÷ 5.Por este motivo, foi criado um novo conjunto numérico, chamado de números inteiros e indicadopor Z, para se expressar o resultado de algumas subtrações.1.2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)No nosso exemplo anterior vimos que dentro do conjunto dos números naturais a diferença 5 –8 não podia ser representada por um número natural. Já no conjunto dos números inteiros estadiferença pode ser expressada, pois o resultado ( -3 ) é um número inteiro.Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2,...} 3,...}O conjunto N é subconjunto de Z, ou seja, está contido em Z.Outros subconjuntos de Z: Z* = Z- {0}Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}Observe que Z+= N.Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráficoabaixo:Da mesma maneira que foi criado o conjunto dos números inteiros para que pudéssemos expressaro resultado de algumas subtrações ou diferenças numéricas, o mesmo ocorreu quanto àimpossibilidade de expressar o resultado de uma divisão de dois números inteiros. Assim, foicriado o conjunto dos números racionais, que é indicado por Q. 2
  3. 3. 1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com onumerador e denominador pertencentes ao conjunto dos números inteiros). Ou seja, o conjunto dosnúmeros racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. 2 4 7 3 5 9 por exemplo são números racionais.Demonstrando:a) os números inteiros -6; 0; -9; 4 são números racionais, pois podem serescritos como:-6 0 -9b) uma decimal exata finita como 0,6 ou 4,8 também é considerada uma número racional, pois podeser escrita em forma de fração:3 24 respectivamente:5 5Assim, podemos escrever: a Q {0} x | x bOnde podemos ler:“O conjunto dos números racionais ( Q ) é composto por todo e qualquer número (x) tal que (|)este número (x) seja resultado de uma divisão de um número inteiro (a Є Z), numerador (a), poroutro número inteiro (a Є Z), denominador (b), desde que o denominador (b) seja diferente de zero.”É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo apor b. a b 3
  4. 4. Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:1 = 0,5 5 = 1,25 75 = 3,752 4 20Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:1 = 333 ,....3Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.1.4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (Q’)Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podemser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais,temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:,14142135 ...3=1732050,8Um número irracional bastante conhecido é o número π=3,1415926535... (Pi)1.5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ®Chama-se número real todo número racional ou irracional e representa-se por RR= Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}ATENÇÃO: 4
  5. 5. As relações entre os conjuntos numéricos apresentados podem ser resumidas pelo diagrama aseguir:Portanto, os números naturais,inteiros, racionais e irracionais são todosnúmeros REAIS. Como subconjuntosimportantes de R temos:R* = IR - {0}R+ = conjunto dos números reais não negativosR_ = conjunto dos números reais não positivosObs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:Entre os números 0 e 1 existem infinitos números reais:0,01 ; 0,003 ; 0,0009 ; 0,12 ; 0,35 ; 0,81 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ...Entre os números 8 e 9 existem infinitos números reais:8,01 ; 8,02 ; 8,05 ; 8,1 ; 8,2 ; 8,5 ; 8,99 ; 8,999 ; 8,9999 ...1.6. NÚMEROS FRACIONÁRIOSO símbolo a significa a ÷ b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.bChamamos:a a = numeradorb b = denominadorSe a é múltiplo de b, então é um número natural. bVeja um exemplo:A fração 6 é igual a 6 ÷ 3. Neste caso, 6 é o numerador e 3 é o denominador.3 Efetuando a divisão de 6 por 3, obtemos o quociente 2.Assim, 6 é um número natural e 6 é múltiplo de 3. 5
  6. 6. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens.Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Entãosurgiu o conceito de número fracionário.O significado de uma fraçãoUma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes,consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - ZPodemos expressar o produto de quatro fatores iguais a 2.2.2.2.2. por meio de uma potência de base 2 e expoente 4:2.2.2.2 = 24Temos, dois elevado à Quarta ou dois à Quarta.Do mesmo modo, podemos representar um produto de quatro fatores iguais a –2.(-2). (-2). (-2). (-2)por meio de uma potência de base –2 e expoente 4:(-2). (-2). (-2). (-2) = (-2)4Para todos os números a e n,. com n > 1, a potência an é o produto de n fatoresiguais a a. .Se n = 1, a1 = a , sen = 0 , a0 = 1Exemplo: Se a = -8 e b = 3, calcule o valor da expressão algébrica ab.Exercícios:01 – Calcule cada potência abaixo. 2a) (-3) = d) (-8)2 =b) (–5)3 = e) (-1)5 =c) (+10)4 = f) (-1)4 =02 – Escreva cada expressão na forma de potência.a) (-6) . (-6) . (-6) =b) (+7) . (+7) . (+7) . (+7) =c) (-9) . (-9) . (-9) =d) (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1)e) 4.4.4.4.4 =Propriedade da PotenciaçãoVeja como simplificamos o produto (-5)3.(-5)4:(-5)3.(-5)4 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = (-5)7 = (-5)3+4 Se a é um número inteiro e m e n são números naturais, am. an = a m+n 6
  7. 7. O quociente de duas potências também pode ser expresso de um modo mais simples. Por exemplo, 5 2 2 2 2 2 2 . . . . 2 = (-2)5 (-2)2 = = (-2)3 2 2 2 . Se b é um número inteiro diferente de 0 e m e n são números naturais, como m n, mb n = bm bn = b m-nb Se c é um elemento do conjunto dos números inteiros 1C =C e C0 = 1Para elevar uma potência a um novo expoente, basta conservar a base e multiplicar os expoentes.Veja: 3 2 2 = (-2)3 (-2)3 =(-2)3+3 = (-2)6 = (-2)3.2 Se d é um número inteiro e m e n são números naturais,(dm)n = d m.nExercícios1 – Verifique o máximo que puder:a) (- a)5 .(- a)3 =b) (-10)100 .(-10)105.(-10)0 = 4 5c) = 5 4 8d) 4 = 8 8 3 3e) 7 = 3 10 5 3 3f) 25 = 32 - Sabendo que a = -4 e b = 2, qual é o valor da expressão algébrica.OBS:1º. Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1.2º. Todo número negativo elevado ao expoente par é positivo.3º. Todo número negativo elevado ao expoente ímpar é negativo.Propriedade da Potenciação dos números Racionais (Q)Para todo número racional b e para todos os números naturais m e n, temos:bm. bn = b m+n ; 2 3 23 5 1 1 1 1 2 2 2 2 7
  8. 8. (bm)n = b m-n ; 24 2 .4 8 1 1 1 2 2 2Se b é um número racional diferente de 0 e m n;bm n = b m-n :b 5 1 52 3 2 1 1 2 1 2 2 2Uma Quarta propriedade é muito útil para simples cálculos com potências: 3 3 3333 3 3 3 3 27 3 55555. 5 5 . 5 125Para todos os números racionais b e c, com c 0, e para todo o número natural n: n n b b c cnExercícios1 – Calcule cada potência 2 1a) 2 3 4b) 3 1 7c) 12 0 37d) = 100 2 3e) 102 - Simplifique as expressões numéricas. 8
  9. 9. 1 2 1 3a) 2 2 0 3 17 2 1b) 2 21 3 3 2 1 1 3 2c) 2 2 33 - Simplifique usando as propriedades de potenciação 2 6 1 1a) 2 2 15 1 3b) 6 1 3 5 8 2 2 3 3c) 3 2 3 5 1d) 4 6e) 0,4 =Expoente Inteiro NegativoQualquer número elevado ao número inteiro negativo para podermos efetuar tal potência devemos: 3 3 3 1 1 1 2 3 2 2 8 2 2 2 2 3 3 9 2 3 2 2 4Expoente Racional Fracionário 3 2 23 22 5 32 35 9
  10. 10. Lembrando que a multiplicação de raízes pode ser expressa: a.b a b 223 2 2 3 23 2 ab a b a 3 3 .be o quociente: ab a b 2 252 2 52 5 2 5 5 a b a b abBase 10Sem dúvida como estamos nos relacionando com Eletrotécnica e Eletrônica é importante quesaibamos trabalhar com a base dez , não esquecendo que são válidas as propriedades dapotenciação.ExercíciosResolvaa) (-10)3 =b) (+100)2.(1000)1. (+10)2 = 37 2 3 101010c) 2 3 27 1010 10 5 10d) 23 10 23 25 10 10e) 35 32 10 10Resumo de Potenciação1) am .an = a m+n2) am n = a m-n a m3) a n = n a m4) a0 = 15) a1 = a 2 2 1 16) a 2 a a 10
  11. 11. Leitura de uma FraçãoAs frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e tambémquando os denominadores são 10, 100, 1000, ...Frações equivalentesFrações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.Exemplo: são equivalentesPara encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por ummesmo número natural, diferente de zero.Simplificação de fraçõesUma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtidadividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que afração é uma fração simplificada de .A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível.A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum.Números fracionáriosSeria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?3*X=1Substituindo X, temos:X por 0 temos: 3 * 0 = 0 11
  12. 12. X por 1 temos: 3 * 1 = 3.Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Pararesolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.“Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.”Portanto, uma fração (b diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmonúmero fracionário.Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = 1 , pois 3 * = 1. 3 32. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS2.1. MEDIDA E UNIDADE DE MEDIDAMedir uma grandeza significa compará-la com outra grandeza de mesma espécie, quedoravante denominaremos de unidade ou padrão, e verificar quantas vezes esta grandeza cabe nagrandeza a ser medida.Metro LinearOs povos antigos utilizaram durante muito tempo partes de seu corpo para medir comprimento, oque gerou muita confusão devido a pés e mãos serem de tamanhos diferentes.Para resolver esta confusão, cientistas franceses, no final do século XVIII, estabeleceram o metrocomo unidade fundamental (padrão) para medir o comprimento.2.2. AS UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTOComo unidade padrão para medida de comprimento ficou estabelecido ometro, cujo símbolo ficou sendo o m.Quando desejamos medir grandes extensões ou distâncias, fica difícil utilizar o metro como unidade.Temos, portanto, que utilizar os múltiplos do metro, que são:decâmetro = dam equivalente a 10 mhectômetro = hm equivalente a 100 mquilômetro = km equivalente a 1000 mJá, para medirmos pequenas extensões ou distâncias, nos utilizamos dos submúltiplos do metro:decímetro = dm equivalente a 0,1 mcentímetro = cm equivalente a 0,01 mmilímetro = mm equivalente a 0,001 m 12
  13. 13. 2.3. MUDANÇA DE UNIDADEConversão para unidade menor: desloca-se a vírgula para direita, tantas casas decimaisquantos forem os espaços que separam as duas unidades na escala.Exemplo: Transformar:a) 3,5 hm mNeste caso, devemos deslocar a vírgula 2 casas à direita, achando 350 mb) 62,18 m dmAgora, deslocamos a vírgula uma casa à direita, encontrando 621,8 mConversão para unidade maior: desloca-se a vírgula para a esquerda, tantas casas decimaisquantos forem os espaços que separam as duas unidades na escala.Exemplo: Transformara) 84,4 dm mFazendo uso da regra, deslocamos a vírgula uma casa à esquerda, e encontramos 8,44 mb) 341,75 mm dmNeste exemplo, devemos deslocar a vírgula 2 casas à esquerda, encontrando 3,4175 dm2.4. POLÍGONOS, PERÍMETROS E ÁREASPerímetro nada mais é que a soma das medidas de todos os lados de um polígono de n lados, e érepresentado pela letra P. 13
  14. 14. 14
  15. 15. 2.5. MEDIDAS DE SUPERFÍCIEMedir uma superfície é simplesmente compará-la com uma superfície tomada com unidade padrão. 2A unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado (m ). Esta medida de superfícietambém é denominada ÁREA da superfície. 15
  16. 16. O metro quadrado é a área de um quadrado de lado 1 m.1m2 = 1m x 1mMudança de Unidade - Qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamenteinferior ou 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior.Como os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado variam de 100 em 100, a conversão deunidade é feita deslocando-se a vírgula de 2 em 2 casas, para a direita ou para a esquerda.Unidades Agrárias - Quando queremos medir grandes extensões de terra, utilizamos as unidadesagrárias que são: are, hectare e centiare.2.6. ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 16
  17. 17. 17
  18. 18. 2.7. VOLUMES DE SÓLIDOS 3Para medirmos o Volume de um corpo utilizamo-nos do metro cúbico (m ) como unidadefundamental, que corresponde ao volume de um cubo de 1 m de aresta (lado).Cada unidade é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior ou 1000 vezes menor que aunidade imediatamente superior.Mudança de Unidade - A conversão de unidade é feita deslocando-se a vírgula de 3 em 3 casasdecimais para a direita ou para a esquerda. 18
  19. 19. 19
  20. 20. 20
  21. 21. 2.8. MEDIDAS DE CAPACIDADEPara medirmos o volume de um recipiente que contém líquidos ou gases, usamos como unidadefundamental o litro. O litro é o volume de um cubo de 1 dm de aresta.Símbolo= l1 l = 1 dm 3 1 dm x 1 dm x 1 dmUnidades de Capacidadequilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitrokl hl dal l dl cl ml1.000 l 100 l 10 l 1l 0,1 l 0,01 l 0,001 lConforme observamos no quadro acima, cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que aunidade imediatamente inferior e 10 vezes menor que a unidade imediatamente superior.Mudança de UnidadeNa conversão de uma unidade em outra inferior, devemos deslocar a vírgula para a direita de umaem uma casa decimal.Exemplo: 4,71 l - 471 l e 0,008 dal - 0,08 hlNa conversão de uma unidade em outra superior, devemos deslocar a vírgula para a esquerda deuma em uma casa decimal.Exemplo: 4,36 cl - 0,0436 l e 1,5 l - 0,015 hl2.9. MEDIDA DE MASSAA unidade fundamental de massa é o quilograma (kg) que corresponde a massa aproximada de 31dm de água destilada a uma temperatura de 4º C.Não devemos confundir PESO e MASSA.PESO - é a força com que a Terra atrai os corpos para o seu centro.MASSA - é a quantidade de matéria que um corpo possui. 21
  22. 22. Mudança de UnidadeNa mudança de unidade de medidas de massa observamos que cada unidade é10 vezes maior que a imediatamente inferior ou 10 vezes menor que imediatamente superior.Exemplos: 1,57 hg - 157 g e 41,3 mg - 4,13 cg 75 dg - 0,75 dag e 5,5414 dag - 554,14dgOutras Medidas de MassaRelações ImportantesEntão podemos estabelecer uma correspondência entre as unidades de volume, capacidade emassa conforme pode ser mostrado na tabela abaixo: 22
  23. 23. 2.10. MEDIDAS DE TEMPOPor não pertencerem ao sistema métrico decimal, daremos uma rápida pincelada nas medidasde tempo. A unidade legal para a medida de tempo é o segundo. Os seus múltiplos sãoapresentados como segue:Unidade MúltiplosNome Segundo Minuto Hora diaSímbolo s min h dvalor 1s 60 s 6 0 min = 3600 s 24 h = 1440 min = 86.400sAs medidas de tempo inferiores ao segundo não têm designação própria, sendo utilizados ossubmúltiplos decimais. Assim dizemos: décimos de segundo, centésimos de segundo, oumilésimos de segundo.Utilizam-se também as unidades de tempo estabelecidas pelas convenções usuais do calendário civile da Astronomia, como, por exemplo, 1 mês, o ano, o século, etc. Para efetuar a mudança de umaunidade para outra, devemos multiplicá-la (ou dividi-la) pelo valor desta unidade.3. RAZÕES E PROPORÇÕES3.1. RAZÃO ENTRE DUAS GRANDEZASPara entendermos o significado da razão entre dois números ou grandezas, analisaremos algumassituações do dia-a-dia.1º caso: Marlene receberá visitas para uma festa no final de semana e resolveupreparar um batida de frutas. A receita diz que devem ser colocadas 9 frutas emcada receita, sendo 6 laranjas e 3 maças. Comparemos os números envolvidos nestasituação.Sabemos que:9, 6 e 3 são os números envolvidos nesta hipotética situação;para cada 6 laranjas, devemos colocar 3 maças.Escrevemos assim:6 6ou 6 : 3 é a razão entre os números 6 e 3, nesta ordem.3 3Como 6 é o dobro de 3, para fazer o mesmo tipo de batida de frutas, a quantidade de laranjas deveser sempre igual ao dobro da quantidade de maças. 23
  24. 24. “Se a e b são dois números e b é diferente de zero, dizemos quea: b é a razão entre a e b, nessa ordem”ou a b2º caso: Para ir à escola, Lucas gasta 30 minutos indo à pé. Já, Matheus utiliza-se desua moto e faz o mesmo percurso em 10 minutos. Qual a razão entre os tempos gastospor Matheus e Lucas para chegarem até a escola, sabendo-se que o espaço percorrido éo mesmo ?tempo gasto por Matheus .................. 10 minutostempo gasto por Lucas ...................... 30 minutos10 =301 ou 1 : 3 a razão entre os tempos gastos por Lucas e1Matheus significa que para cada minuto gasto por Matheus, e Lucas gasta três vezes mais tempopara percorrer o mesmo percurso.“A razão entre grandezas de mesma natureza é a razão entre os números que expressam asmedidas destas grandezas.”Atenção: Quando comparamos grandezas de mesma natureza, as medidas devem estarexpressas na mesma unidade.Observações:1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seustermos tenham sinais contrários. Exemplo:A razão entre –1 e 8 é .Termos de uma razãoObserve a razão: (lê-se “a está para b” ou “a para b”). 24
  25. 25. Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominadoconseqüente. Veja o exemplo:3 : 5 =Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.Razões inversasConsidere as razões.Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, Nesse caso, podemosafirmar que são razões inversas.Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.Exemplo: são razões inversas, pois .Podemos verificar que nas razões inversas o antecedente de uma é oconsequente da outra, e vice-versa.Observações:1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar(trocar) os seus termos.Exemplo: O inverso de . 25
  26. 26. Razões equivalentesDada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferentede zero), obtemos uma razão equivalente.Exemplos: são razões equivalentes. são razões equivalentes.Razão entre grandezas da mesma espécieO conceito é o seguinte:Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressamas medidas dessas grandezas numa mesma unidade.Exemplos:1) Calcular a razão entre a altura de dois vasos de flores, sabendo que o primeiro possui uma alturah1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2=1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:2) Num certo intervalo de tempo, um carro percorre 2 km enquanto Alexandre caminha 50 metros.Qual é a razão entre os espaços percorridos pelo carro e por Alexandre, durante este intervalo detempo? 26
  27. 27. Quando temos unidades de medida diferentes, devemos transforma-las para a mesma base. Nestecaso, transformaremos a distância percorrida pelo carro em metros. ( 2 km = 2.000 m )2000 = 40 50 1 significa que o carro percorre 40 m enquanto Alexandre percorre 1 m.Razões entre grandezas de espécies diferentesO conceito é o seguinte:Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quocienteentre as medidas dessas grandezas.Exemplos:1) Consumo médio:Marlene foi de Rio Preto a Uberlândia (298 Km) no seu carro, realizar uma visita à sua mãe.Foram gastos nesse percurso 26 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e ocombustível consumido? O que significa essa razão?Solução:Razão = 298 26 1 , 1 46 km / l1, 1 46 km / l (lê-se “11,46 quilômetros por litro”).Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média11,46 km.2) Velocidade média:Na mesma viagem Rio Preto/Uberlândia, Marlene fez o percurso (298Km) em 4 horas. Qual a razãoentre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:Razão = 298 74 5 , km / h 4Razão = 74,5 km/h (lê-se “74,5 quilômetros por hora”).Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 74,5 km. 27
  28. 28. 3) Densidade demográfica:A cidade de São José do Rio Preto no último censo teve uma população avaliada em 367.512habitantes. Sua área é de 434,10 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área dacidade. O que significa essa razão? 28
  29. 29. Solução:Razão = 29
  30. 30. 367 512.434 10 , 2 846 hab / kmRazão = 846 hab/km2 (lê-se “846 habitantes por quilômetro quadrado”)Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 846habitantes.4) Densidade absoluta ou massa específica:Um cubo de concreto de 10 cm de aresta tem massa igual a 17,8 kg. Determine a razão entre amassa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?Solução:Volume = 10 cm . 10 cm . 10 cm = 1.000cm3Massa = 17,8 kg = 17.800 3Razão =17800 = 17 8g/ cm , 1000Razão = 17,8 g/cm3 (lê-se “17,8 gramas por centímetro cúbico”).Essa razão significa que 1000 cm3 de concreto pesa 17,8g. 30
  31. 31. 3.2. CONCEITO DE PROPORÇÃO1º Caso: Uma escola tem 800 alunos e freqüentemente realiza pesquisas com o intuito de saber oíndice de satisfação de seus alunos. A última pesquisa realizada teve por objetivo saber qual oesporte preferido de seus alunos. Os números levantados foram os seguintes:De posse dos dados, podemos analisa-los utilizando alguns quocientes:1. total de alunos que praticam natação ................... 160 total de alunos da escola .................................... 8001608500Constatamos, portanto, que de cada 5 alunos matriculados na escola, 1 pratica natação.2. total de alunos que praticam Basquete ................. 40 total de alunos que jogam futebol de salão ............ 2404102640O número de alunos que pratica futebol de salão é 6 vezes maior que o número de alunos quepratica basquete.2º Caso: Gabriel e Inês resolvem pintar a parede da sala de sua casa. Eles sabem quepara conseguir uma tonalidade rosa, devem misturar 2 litros de vermelho e 3 de branco.Mas esta receita só dá certo para pequenas dimensões a serem pintadas. Como aparede é muito grande, Inês está em dúvida se pode misturar 10 litros de vermelhocom 15 litros de branco. E aí ? O que fazer para resolver este problema ?E você o que acha ? Basta misturar as tintas para ver o que acontece ? 31
  32. 32. O problema é que se der errado o prejuízo será dobrado: o tempo gasto e o custo da tinta.Para resolver esta questão vamos usar razões para ter uma maior probabilidade deacerto.2receita diz = 2 vermelhos com 3 brancos - a mistura é de 2 3Inês quer ... 10 vermelhos com 15 brancos - a mistura é de 10 10As razões 2 e são iguais 15 3 15A igualdade 2 = 10 é uma proporção entre os números 2, 3, 10 e 15, nessa ordem. 3 15Lê-se: 2 está para 3 assim como 10 está para 15Assim:Proporção é uma igualdade entre duas razões.Uma Proporção envolve quatro números no mínimo: a, b, c e d. Nesta ordem, temos a proporção a : b = c : d, sendo b e d ≠ zeroElementos de uma proporçãoDados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam umaproporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: ou a :b = c :d(lê-se “a está para b assim como c está para d”)Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:b e c os meios da proporção.a e d os extremos da proporção. 32
  33. 33. Exemplo:Dada a proporção , temos:Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36Propriedade fundamental das proporçõesObserve as seguintes proporções:De modo geral, temos que:a cb d ⇔a . db.cNasce daí a propriedade fundamental das proporções:Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.Aplicações da propriedade fundamentalDeterminação do termo desconhecido de uma proporçãoExemplos:Determine o valor de x na proporção: 33
  34. 34. x 213 9Solução: Fazendo uso da Propriedade Fundamental das Proporções, temos que:9 . x = 3 . 21 (aplicando a propriedade fundamental)9 . x = 63639x = 7Logo, o valor de x é 7. Determine o valor de x na proporção:7 1x5x 23Solução:5 . (x-1) = 7 . (3x+2) (aplicando a propriedade fundamental)5x - 5 = 21x + 145x - 21x = 14 + 5-16x = 19  19x16Quarta proporcionalDados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional dessesnúmeros um número x tal que:Exemplo: 34
  35. 35.  Determine a quarta proporcional dos números 7, 3 e 21.Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção: 35
  36. 36. 7 213 x(aplicando a propriedade fundamental)7 . x = 3 . 217 . x = 63637x = 9Logo, a quarta proporcional é 9.4. REGRA DE TRÊS4.1. REGRA DE TRÊS SIMPLESRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valoresdos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três jáconhecidos.A Regra de três simples é utilizada para resolver problemas que envolvem proporcionalidade entreduas grandezas.Passos utilizados numa regra de três simplesConstruir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesmalinha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.Montar a proporção e resolver a equação.Exemplos:1. Em 3 minutos uma torneira despeja 6 litros de água numa caixa d´água. Se acaixa ficou cheia em 6 horas, qual será a capacidade desta caixa d´água ?Tempo Capacidade da Caixa3 minutos 6 litros6 h = 6 * 60 minutos X litros360 minutos 36
  37. 37. Resolvendo, temos:3 . x = 6 . 3603 x = 2160 litrosx = 2.160/3  x = 720 litrosb) Um motociclista viaja de S.J.do Rio Preto até Mirassol, à velocidade de80km/h, fazendo o percurso em 10 minutos. Se a velocidade da moto fossede 100km/h, em quantosminutos seria feito o mesmo percurso? 37
  38. 38. Velocidade (Km/h) Tempo (minutos)80 10 min100 X minObserve que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempodiminui na razão inversa.Resolução:X/10 = 80/100  = 10*80/100 x = 800/100  x = 8 minutos xObserve que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.4.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTAAlgumas situações envolvem mais de duas grandezas. A análise e a resolução de problemas destanatureza podem envolver uma regra de três composta.Exemplo:a) 20 pintores trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifício em 4 dias. Quantos dias serãonecessários para que 6 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintem o mesmo edifício?1. Para facilitar a resolução, vamos separar as grandezas e números envolvidos:Quantidade de pintores: 20, 6Horas por dia : 6, 8Número de dias: 4 , x2. supondo que o número de horas por dia não varie:Pintores Horas p/ dia Nº de dias20 6 46 8 xGrandezas inversamente proporcionais* Menos pintores, mais dias para pintar3. Supondo que a quantidade de pintores não varie:Pintores Horas p/ dia Nº de dias20 6 46 8 x 38
  39. 39. Grandezas inversamente proporcionaisNesta situação, o tempo (dias) é inversamente proporcional à quantidade de pintores e ao tempo detrabalho por dia, portanto o produto 20 . 6 . 4 é igual ao produto 6 . 8 . x20 . 6 . 4 = 6 . 8 . x  480 = 48 . x  x = 480 / 48x = 10 Serão necessários 10 dias para pintar o edifício.Como foi visto, existe um método prático para se montar o esquema e resolver o problema. OMétodo Prático consiste em:escrever em uma coluna as variáveis do mesmo tipo, ou seja, aquelas expressas na mesma unidadede medida. Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas diretamente proporcionais) e aquelas que variam em sentidos opostos (grandezas inversamente proporcionais), marcando-as com setas no mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o caso. A incógnita x será obtida da forma sugerida no esquema abaixo, dada como exemplo de caráter geral.Imaginemos as grandezas A, B, C e D, que assumem os valores literais mostrados a seguir.Suponhamos, por exemplo, que a grandeza A seja diretamente proporcional à grandeza B,inversamente proporcional à grandeza C e inversamente proporcional à grandeza D. Após termosexecutado este procedimento, montamos o esquema mostrado abaixo:Neste caso, o valor da incógnita x será dado por:x a. p c d a. p.c.d . .   b r s b.r . s 39
  40. 40. Observem que para as grandezas diretamente proporcionais, multiplicamos x pelosvalores invertidos e para as grandezas inversamente proporcionais, multiplicamos pelos valorescomo aparecem no esquema.Exemplo:STA CASA – SP – Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5Solução:Observe que a produção em toneladas é diretamente proporcional ao número de máquinas, aonúmero de dias e ao número de horas/dia.Portanto:Portanto, seriam produzidas 13,5 toneladas do produto, sendo D a alternativa correta.Exercícios resolvidos e propostos1. Vinte e cinco costureiras, trabalhando oito horas por dia, durante 10 dias, fizeram 800 calças.Vinte costureiras trabalhando nove horas por dia durante dezoito dias, produzirão quantas calçasiguais às já produzidas?SOLUÇÃO:Nº Costureiras dias Horas/dia calças25 10 8 80020 18 9 xObserve que o número de calças é diretamente proporcional ao número de costureiras, ao númerode dias e ao número de horas/dia. 40
  41. 41. Portanto: 9 18 20 8 x 00. . . 1 .  296 25 10 8Resposta: 1296 calças2. Em uma escola, vinte e cinco estudantes resolvem 150 exercícios de matemática em dozedias, estudando 10 horas por dia. Quantas horas por dia, deverão estudar 30 estudantes,para resolverem 180 exercícios em 15 dias?Solução: Estudantes dias Horas/dia Exercícios 25 12 10 150 30 15 x 180 41
  42. 42. Observe que:Aumentando o número de horas/dia, aumenta o número de exercícios, diminui o número de diasnecessários e diminui o número de estudantes necessárias.Portanto:X = 10 * 180 * 12 * 25 / 150 * 15 * 30 x = 540000/67500Resposta: 8 h3. Certo trabalho é executado por 15 operários, em 12 dias de 10 horas. Se três operários foremdemitidos do serviço, quantos dias de 8 horas deverão trabalhar os demais, para realizar o dobro dotrabalho anterior?Solução:Aumentando o número de dias, diminui o número de horas/dia necessários e diminui o número deoperários necessários. Podemos também dizer que para realizar o dobro do trabalho, o número dedias deve.aumentar.Portanto, podemos montar o seguinte esquema:Operários dias Horas/dia Trabalho15 12 10 T12 x 8 2TLogo, 15 10 2T 1 x 2. . . 3 , 7 5 42
  43. 43. 1T2 8Resposta: 37,5 diasAgora resolva estes dois:1 - Em uma residência, no mês de fevereiro de um ano não bissexto, ficaram acesas, em média, 16lâmpadas elétricas durante 5 horas por dia e houve uma despesa de R$ 14,00. Qual foi a despesa emmarço, quando 20 lâmpadas iguais às anteriores ficaram acesas durante 4 horas por dia, supondo-seque a tarifa de energia não teve aumento?Resposta : R$15,502 - Um livro está impresso em 285 páginas de 34 linhas cada uma com 56 letras em cada linha.Quantas páginas seriam necessárias para reimprimir esse livro com 38 linhas por página, cada umacom 60 letras?Resposta: 238 páginas5. PORCENTAGENSToda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome, por cem.Exemplo: 12 5 36 100 5  %, 100 1 2 %, 100 3 6 % 43
  44. 44. Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.Se repararmos em nossa volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüênciaem jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.Exemplos: A cesta básica teve um reajuste de 6,2 % no último bimestre;  Os rendimentos da caderneta de poupança que vencem hoje, são de 3,1 %; A taxa de desemprego no Brasil cresceu 19% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista.Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de númerosdecimais. Vejam os exemplos:12 = 0 12 , 81= 0 81 ,100 100Trabalhando com PorcentagemVamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.Exemplos:1. Uma geladeira custa 800 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quantopagarei se comprar esta geladeira à vista? 10 %  10100(primeiro representamos na forma de fração decimal)10% de 100  10% x 100 10 8000100 100 x 800 8 0800 – 80 = 720Logo, pagarei 720 reais. 44
  45. 45. 2. Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueiraPedro usou. 32% = 3232 % de 100 ⇒ 32 100 x 100 ⇒ 3200 = 32 100Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucrode 25% sobre o preço de custo.25% = 25 10025 % de 2000 ⇒ 25 10 x 2000 ⇒ 50000 100 = 500O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.Então, 2000 + 500 = 2500 reais.Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.4. Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por centoeu obtive de lucro?Lucro: 25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)500020000 = 444 = 0 2525100 = 25 % 45
  46. 46. (resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)5. O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais.Qual era o preço desta casa antes deste aumento?Porcentagem Preço120 35 000100 x120 x 00 x 35000 ⇒120 x 500000 = , 9166 67 1 3 2Logo, o preço anterior era R$ 29.166,676. FUNÇÕES E GRÁFICOS6.1. FUNÇÕESA idéia de função sempre está associada a uma relação de dependência entre dois conjuntos. Parachegar à definição de uma função, vamos lembrar alguns conceitos importantes.Produto Cartesiano: A x BA x B = { (a, b)/a ∈ A e b ∈ B }Exemplo:Sejam os conjuntos A = { -1, 0, 1 } e B = { 0, 1, 4 }.A x B = { (-1,0); (-1,1); (-1,4); (0,0); (0,1); (0,4); (1,0); (1,1); (1,4) } Multiplicamos cada termo doconjunto A por cada termo do conjunto B.RelaçãoUma relação R é qualquer subconjunto de A x B 46
  47. 47. Exemplo:Determine os pares das relações:a) R1 = { (x,y) ∈ A x B | y = x + 1 }R1A B-1 00 11 4R1 = {(-1,0);(0,1)}b) R2 = {(x,y) ∈ A x B y = xR2A B-1 00 11 4R2 = {(-1,1); (0,0); (1,1)}Observe que na Relação R2 todos os elementos do primeiro conjunto se corresponderam com algumelemento do segundo conjunto, e uma só vez. A este tipo de Relação chamamos de função de A emBEntão:Diz-se que f é uma função (ou aplicação) de A em B ( f: A  B) se, e somente se, para todoelemento x ∈ A, existir um único elemento y ∈ B, tal que (x,y) ∈ f.TODOS os elementos de A devem enviar flecha a algum elemento de B;CADA elemento de A deve mandar uma única flecha para algum elemento de B.Domínio D(f) : é o conjunto da partida das flechas (A)Contradomínio CD(f): é o conjunto da chegada das flechas (B)Imagem Im(f) : é um subconjunto do contradomínio e é formada pelos elementosdo CD(f), que são, de fato, imagens de elementos do domínio.y = f(x) 47
  48. 48. Tipos Fundamentais de FunçõesFunção Injetora: Uma função f definida de A em B é injetora quando cadaelemento de B (que é imagem), é imagem de um único elemento de AFunção Bijetora: Uma função f definida de A em B, quando injetora esobrejetora ao mesmo tempo, recebe o nome de função bijetora.Exemplo:É sobrejetora  Im(f) = BÉ injetora  cada elemento da imagem em B tem um único correspondenteem AFunção Inversa: Seja f uma função bijetora definida de A em B, com x ∈ A e y ∈R, sendo (x,y) ∈ f. Chamaremos de função inversa de f, e indicaremos por f-1, oconjunto dos pares ordenados (y,x) ∈ f-1 com y ∈ B e x ∈ AExemplo:.f é definida de R em R, sendo y = 2 x.Para determinarmos f-1, basta trocarmos x por y e y por xObserve:Y = 2 x x = 2 yIsolando y em função de x resulta: y = x/2Exemplo:Achar a função inversa de y = 2xSolução:a) troquemos x por y e y por x: teremos x = 2 yb) expressemos o novo y em função do novo x; teremos, então, y = x/2 e finalmente,f-1(x) = x/2Paridade das funções1. Função parA função y = f(x) é PAR, quando x ∈ D(f), f(-x) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio,f(x) = f (-x). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma 48
  49. 49. conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções pares são curvas simétricas emrelação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.Exemplo:z = x4 + 2 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 2 = 18 e f(- 2) = (-2)4 + 2 = 18O gráfico abaixo, é de uma função par.2. Função ímparA função y = f(x) é ímpar , quando x ∈ D(f) , f (- x) = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seudomínio, f (-x) = - f (x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagenssimétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, sãocurvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.Exemplo:y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(-x) = - f(x).Por exemplo, f(- 3) = (- 3)3 = - 278e - f( x) = - ( 33 ) = - 27.O gráfico abaixo é de uma função ímpar: 49
  50. 50. Observação: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.Exemplo:O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica emrelação ao eixo dos x e também não é simétrica em relação à origem.FUNÇÃO DE 1º GRAUDefiniçãoChama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada pelaexpressão f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termoconstante. 50
  51. 51. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:f(x) = 6z - 4, onde a = 6 e b = - 4f(x) = -3y + 2, onde a = -3 e b = 2f(x) = 8x, onde a = 8 e b = 06.2. GRÁFICOSSistema Cartesiano OrtogonalO Sistema Cartesiano ortogonal é composto por dois eixos perpendiculares com origem comum euma unidade de medida.No eixo horizontal, chamado eixo das abscissas, representamos os primeiros elementos do par ordenado de números reais.No eixo vertical, chamado de eixo das ordenadas, são representados os segundos elementos do par ordenado de números reais.Observações:a todo par ordenado de números reais corresponde um só ponto do plano, e a cada pontocorresponde um só par ordenado de números reais;O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixosOx e Oy.Exemplo:Vamos construir o gráfico da função y = 4x + 2:Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:Quando x = 0, temos y = 4 · 0 + 2 = 2; portanto, um ponto é (0, 2).Quando y = 0, temos 0 = 4x +2; portanto, x = ½ e outro ponto é(1/2,0).Marcamos os pontos (0, 2) e (1/2,0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a estáligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b.Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.Análise de GráficosO comportamento de uma função pode ser obtido através de um gráfico, onde 51
  52. 52. podemos tirar informações acerca de: crescimento, decrescimento, domínio, imagem,valores máximos e mínimos, se é função positiva ou negativa, etc. 3x 1f (x)   e o seu gráfico, podemos analisar o seu Dada uma função5comportamento da seguinte maneira:Zero da Função: graficamente, encontramos o zero da função no ponto de encontro da reta como eixo dos x: f(x) = 0 3x/5 + 1/5 = 0 x =-1/3Domínio: projetando o gráfico sobre o eixo dos x: D = [-2,3]Imagem: projetando o gráfico sobre o eixo dos y: Im = [-1,2]Podemos observar que para:-2 < 3 temos f ( -2) < f (3) dizemos que a função é crescente.Sinais:X ∈ [ –2, –1/3 [ f (x) < 0 X ∈ ] –1/3, 3 ] f (x) > 0Valor Mínimo: –1 é o menor valor assumido por y = f (x) Ymin = – 1Valor Máximo: 2 é o maior valor assumido por y = f (x) Ymáx = – 2Como reconhecer se um gráfico representa ou não uma FunçãoQuando quisermos saber se um gráfico de uma relação representa ou não uma função, aplicamos aseguinte técnica:Traçamos qualquer reta paralela ao eixo dos y; qualquer que seja a reta traçada, se o gráfico darelação for interceptado em um único ponto, e somente em um ponto, então o gráficorepresenta uma função. Caso contrário não representa uma função.Gráfico de Função CrescenteTomando por base a função y = 2 x, definida de R em R. Se formos atribuindo valores para x, iremosobtendo valores correspondentes para y e representado-os no plano cartesiano, ficamos com: 52
  53. 53. Y9 y = 2x 8 7 6 5 4 3 2X 1 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4Observe que à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; nestecaso podemos afirmar que a função é crescente.Função ConstanteChamamos de Função Constante toda função definida de R em R e representada porf (x) = c ( c = constante )Exemplos: f (x) = 5; f (x) = - 5; f (x) = ¾Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos x, passando pelo par ordenado(ponto) (0,c). Neste caso, teremos o Domínio D = R, o Contradomínio CD = R e a Imagem Im = {c}(0,c) y = c xFunção IdentidadeÉ a função de R em R definida por : f (x) = xÉ dita função identidade quando seu gráfico é uma reta que contém as bissetrizes do 1º e 3ºquadrantes. Ou seja, os valores de x serão sempre iguais aos valores de y.D = R; CD = R; Im = Ry 53
  54. 54. Função AfimÉ toda função f de R em R definida por f (x) = ax + b, sendo a; b ∈ R e a ≠ 0Observações:Quando b = 0 a função é denominada de função linear;D = R;Im = R;Seu gráfico é uma reta do plano cartesiano.Função Quadrática 2É toda a função f de R em R definida por f (x) = ax + bx + c, e tendo quea; b; c ∈ R e a ≠ 0. 2 4 2Exemplos: f (x) = 3 x + 5 x - 7; f (x) = x + 4; f (x) = x gráfico de uma função quadrática é uma PARÁBOLA que terá sua concavidade voltada paracima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.Exemplos: 2f (x) = x – 6x + 8 (a = 1 > 0 2f (x) = -x + 6x – 8 (a = -1 < 0 )7. SEQÜÊNCIAS NÚMERICASAlguns acontecimentos repetem-se periodicamente em nosso cotidiano. Eles possuem estreitarelação com a matemática, no que se refere à sucessão de percepções diversas, tais como o passardo tempo, a rotina diária de trabalho e até mesmo os fatos menos perceptíveis como a nossarespiração, o batimento de nosso coração e assim sucessivamente.Assim, a seqüência (ocorrência periódica) de fatos em nosso cotidiano nos conduz, principalmente àidéia de ordem. Seja, por exemplo, a seqüência de números, a seguir:1 2 3 4 5 6 7 8 9 ....Esta sucessão de números compõe o conjunto dos números Inteiros.Este exemplo mostra-nos que:Seqüência ou sucessão é qualquer conjunto onde seus elementos estão dispostosnuma certa ordem. 54
  55. 55. Seqüências NuméricasÉ todo o conjunto de números, que estão dispostos ordenadamente, de uma maneira que possamosindicar quais são os elementos desse conjunto.Exemplo: A seqüência de FibonacciNesta seqüência, cada elemento é formado pela soma dos dois elementos anteriores, ou seja: 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, .........Representação de uma seqüênciaRepresentamos a seqüência numérica colocando os termos entre parênteses e separando-os porvirgulas.Exemplo:(a1, a2, a3, ......., an, .... ) onde n ∈ N*Estas seqüências poderão ser:Finitas – quando o último termo é conhecido. Ex: (2, 8, 14).Infinitas – quando o último termo não é conhecido. Ex : (3, 13, 23, ...)Leis de FormaçãoExistem seqüências numéricas em que os elementos ou termos estão dispostos de tal forma que nãoé possível relacioná-los com uma das leis de formação.Um dos exemplos mais recorrentes desta situação é a seqüência dos números primos: (2, 3, 5, 7, ...)Para a continuação dos nossos estudo de seqüências vamos supor sempre a possibilidade derelacionarmos as seqüências com uma lei de formação. Podemos destacar dois tipos de leis deformação de uma seqüência.1º. Fórmula do Termo GeralPermite calcular um termo de ordem n em qualquer seqüência.Exemplo:Dado an = 1 – 1/(n+1) para n ∈ N*, pede-se calcular o produto dos 99primeiros termos da seqüência.Solução:Temos que: an = n / (n+1), calculando os termos, a seguir: 55
  56. 56. Quando n = 1, então a1 = ½ n=2, a2 = 2/3 n=3, a3 = ¾ ... ... n = 98, a98 = 98/99 n = 99 a99 = 99/100Efetuando o produto dos termos da seqüência, temos que:½ . 2/3. ¾. 4/5. ..... . 98/99. 99/100 =Como o denominador de um termo é igual ao numerador do termo seguinte, fazendo assimplificações, temos que:1 2 .3 4. . ... . 51 52 .1 2 3 4 51 52 98 99 . . . ..... . ..... . 2 4 5 52 53 99 100Então, o produto dos 99 primeiros termos desta seqüência é igual a 0,01.2º. Lei de recorrência Neste caso, é necessário recorrer a outros termos conhecidos(geralmente o primeiro) para se obter qualquer outro elemento da seqüência,através de uma fórmula que forneça esta relação.Exemplo.Dado an+1= an (2n-1 + 1). Se a3= 3, calcule a5.Temos a3 = 3, logon = 4  3+1 = a3 (23-1 + 1) aa4 = a3 (22+ 1)a4 = a3.5 a4 = 15 56
  57. 57. Como queremos a5, temos então:a4+1 = a4 (24-1 + 1)a5 = a4(23 + 1)a5 = 15.9  a5 = 135Seqüência como funçãoSeja a sucessão de números pares (2, 4, 6, 8, 10, ....)Essa seqüência de números pares é formada de acordo com uma regra ou lei de correspondência, naqual é possível estabelecer uma expressão f(n) que contenha a variável n e tal que para cadanumeral natural {1, 2, 3, 4, 5, .....} atribuído a n se tenha a relação:an = f(n)Neste caso, dizemos que f(n) é o termo geral da seqüênciaA lei de formação do conjunto de números pares é dada através do termo geralan = 2n ou por f(n) = 2nNeste caso, podemos dizer que:Seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos naturais diferente de zero {1, 2,3, ....} e cujas imagens formam o conjunto dos números reais, ou sejaF : N*  RSériesSão expressões numéricas que resultam quando substituímos as vírgulas por sinais de adição entreos termos sucessivos de uma seqüência.Exemplo:A seqüência dos números triangulares 1, 3, 6, 10,..... pode ser decomposta assim:a1 = 1a2 = 1 + 2 = 3a3 = 1 + 2 + 3 = 6a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 .......... 57
  58. 58. Assim, para encontrarmos o enésimo número triangular, devemos somar os termos de umaseqüência finita, de 1 até o número desejado, ou seja:an = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ....... + nExemplo.Determinar o décimo primeiro número triangulara11 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 64Desta forma, podemos dizer que dada uma única seqüência numérica (a1, a2, a3, a4, a5,... , an)formamos a seqüência de somas (S1, S2, S3, S4, ....., Sn)Podemos, então, observar que :S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3............................Sn =a1 + a2 + a3 ..... + anFica, portanto, caracterizado o que chamamos de SérieAs séries também podem ser finitas (quando se conhece o último termo da série) ou infinitas(quando não se conhece o último termo).A representação de uma série é dada pelo símbolo ∑ (somatório)Para a série finita temos a representaçãoExemplo prático de sérieE, para a série infinita é usada a representação 58
  59. 59. Uma pessoa A, chega às 14 horas para um encontro com uma pessoa B. ComoB não chegou, ainda, A resolveu esperar um tempo t1 = ½ hora, e após, t2 =½ t1, e após, t3 = ½ t2, e assim sucessivamente. Se B não veio quanto tempoA esperou até ir embora?Pelos dados temos a seguinte seqüência infinita:(30min, 15min, 7,5min, 3,75min, .........)Para obter o valor da soma desta seqüência, basta calcular o valor da série, ou seja:Sn = 30 + 15 + 7,5 + 3,75 + ........Observamos que:S1 = 30minS2 = 30 + 15 = 45minS3 = 30 + 15 + 7,5 = 52,5minS4 = 30 + 15 + 7,5 + 3,75 = 56,25min................................... S8 = 59,765625minPodemos constatar que, conforme o número de termos vai aumentando, o valor de cada termoacrescentado vai diminuindo, aproximando-se cada vez mais de 60 minutos. Dizemos, neste caso,que a seqüência converge para 60 minutos.Logo, a pessoa terá que esperar 60 minutos até ir embora.Exercícios resolvidos1) A partir das seqüênciasa) 12 = 122 = 1+2+132 = 1+2+3+2+1..................b) 12 = 1112 = 1211112................... 59
  60. 60. Calcule o valor de AA= (55555 x 55555) / 1+2+3+4+5+4+3+2+1 - 1000Solução:Ora, pela seqüência b, temos que:1+2+3+4+5+4+3+2+1 = 52e, pela seqüência a, temos que:111112 = 123454321Então, aplicando estes resultados na expressão A, temos que :a= (52 x 123454321 ) / 52 – 10000Logo, A=1234533212) Uma seqüência numérica é definida por:a1 = 1an = an-1 + (-1)n para n >= 2Determine a soma dos 6 primeiros termos.Solução:Pelos dados temos que:a2 = 1 + (-1)2 = 2 a3 = 2 + (-1)3 = 1 a4 = 1 + (-1)4 = 2 a5= 2 + (-1)5 = 1 a6 = 1 + (-1)6 = 2Logo S6 = 1+2+1+2+1+2 = 93) Qual é a soma da série:n = 1 ==> a1 = -1 n = 2 ==> a2 = 1 n = 3 ==> a3 = -1Então, se n é par a soma é zero e se n é impar a soma é igual a –1 60
  61. 61. 8. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS8.1. JUROS SIMPLESConceito: é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principalJ= C x i x nOnde:J = jurosC = capital iniciali = taxa unitária de jurosn = número de períodos que o capital ficou aplicadoObservações:a taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa foranual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses,e assim sucessivamente; em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por 100)Juro Comercial - para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. Ojuro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.Juro Exato -no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias seo ano for bissexto) e os meses com o número real de dias.sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercialTaxa Nominal - é a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nosexercícios; a taxa nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado períodode capitalização.Taxa Proporcional  duas taxas são denominadas proporcionais quando existe entre elas a mesmarelação verificada para os períodos de tempo a que se referem.i1 = t1i2 t2Taxa Equivalente - duas taxas são equivalentes se fizerem com que um mesmo capitalproduza o mesmo montante no fim do mesmo prazo de aplicação. 61
  62. 62. no regime de juros simples, duas taxas equivalentes também são proporcionais;CAPITAL, TAXA E PRAZO MÉDIOSem alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados, emépocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar osrendimentos produzidos ao fim de um certo período. Em outras situações, podemos tero mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitaisaplicados a diversas taxas por períodos distintos de tempo.Capital Médio (juros de diversos Capitais) é o mesmo valor de diversos capitaisaplicados a taxas diferentes por prazos diferentes que produzem a MESMAQUANTIA DE JUROS.Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nni1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nnTaxa Média - é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certoperíodo de tempo, para produzir juros iguais à soma dos juros que seriam produzidos pordiversos capitais.Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nnC1 n1 + C2 n2+ C3 n3 + ... + Cn nnPrazo Médio - é o período de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a uma certataxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais.Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nnC1 i1 + C2 i2+ C3 i3 + ... + Cn inMontante - é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.M = C(1+ixn)a fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária; 62
  63. 63. a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;Desconto Simples - quando um título de crédito (letra de cambio, promissória,duplicata) ou uma aplicação financeira é resgatada antes de seu vencimento, o títulosofre um ABATIMENTO, que é chamado de Desconto.Valor Nominal: valor que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antesdo vencimento, o título pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, valor estedenominado de valor Atual ou valor de Resgate.Desconto Comercial - também conhecido como Desconto Bancário ou“por fora”, é quando o desconto é calculado sobre o VALOR NOMINAL de um título.- pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal do título;Dc = N x i x nOnde:Dc = Desconto ComercialN = Valor Nominali = Taxa de jurosn = Período consideradoEx.: Uma promissória de valor nominal de $ 500 foi resgatada 4 meses antes de seuvencimento, à taxa de8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ?N = $ 500i = 8 % a.a. = 0.08 Dc = N . i . nn = 4 meses = 4/12 Dc = 500 . 0.08 . 4/12Dc = ?Dc = $ 13,33Valor Atual - o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido)por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominalmenos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o descontocomercial aplicado.Vc = N - Dc 63
  64. 64. Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, édescontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor deresgate (valor atual) do título.N = $ 2000 Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 .65/360n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469,44i = 130 a.a. = 1.30Dc = ? Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44Vc = ? Vc = $ 1.530,56Desconto Racional  desconto racional ou “por dentro” corresponde ao juro simples calculado osobre o valor atual (ou presente) do título. Note-se que no caso do desconto comercial, o descontocorrespondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do título.Dr = N x i x n(1+ixn)Ex.: Qual o desconto racional de um título com valor de face de $270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m. ? N = $ 270Dr = N . i . n / (1 + i . n)n = 2 meses Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2)i = 3 a.m. = 0.03 a.m. Dr = $ 16,20 / 1.06Dr = ? Dr = $ 15,28Valor Atual Racional - é determinado pela diferença entre o valor nominal N e odesconto racional DrVr = N - DrEQUIVALÊNCIA DE CAPITAISCapitais Diferidos quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito, certificados deempréstimos,etc), forem exigíveis em datas diferentes, estes capitais são denominadosDIFERIDOS. 64
  65. 65. Capitais Equivalentes  por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão EQUIVALENTES, em umacerta data se, nesta data, seus valores atuais forem iguais.Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial  Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título num instanten’ e de V’c o de outro título no instante n’, o valor atual destes títulos pode ser expressocomo segue:Vc = N ( 1 – i.n ) e V’c = N’ ( 1 – i . n’ )Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c, então:onde:N’ = N ( 1 – i x n)1 – i x n’N’ = Capital EquivalenteN = Valor Nominaln = período inicialn’ = período subseqüentei = taxa de jurosEx.: Uma promissória de valor nominal $ 2000, vencível em 2 meses, vai ser substituídapor outra, com vencimento para 5 meses. Sabendo-se que estes títulos podem serdescontados à taxa de 2 % a.m., qual o valor de face da nova promissória ?$ 2.000 N’ N’ = ?N = $ 2.000 0 1 2 3 4 5n’ = 5 meses n = 2 mesesI = 2 % a.m. = 0,02 a.m.N’ = N (1 – i . n) / 1 – i . n’ = 2.000 (1 – 0.02 . 2) / (1 – 0.02 . 5)N’ = $ 2.133 65
  66. 66. Equivalência de Capitais p/ Desconto Racional  Para se estabelecer a equivalência de capitais diferidos em se tratando de descontoracional, basta lembrar que os valores atuais racionais dos respectivos capitais devemser iguais numa certa data. Chamando-se de Vr o valor atual do desconto comercial de um título na data n’ ede N o valor nominal deste título na data n, e de V’r o valor racional atual de outro títulona data n’, e de N’ o valor nominal do outro título na data n’, temos:Vr = N / ( 1 + i.n ) e V’r = N’ / ( 1 + i . n’ )logo:Para que se estabeleça a equivalência de capitais devemos ter Vr = V’r,N’ = N ( 1 + i x n’ )1+ixnonde:N’ = Capital EquivalenteN = Valor Nominaln = período inicialn’ = período subseqüentei = taxa de jurosEx.: qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a $ 600, disponível em 75 dias, ‘ataxa de 80 % a.a. de desconto racional simples? N $ 600 N’ = ?] ] ] ] 0 75 120Vr 75Vr 120Vr 75 = ? Vr 120 = ? n = 75 diasn’ = 120 diasi = 80 % a.a. = 0.80 a.a. = 0.80/360 a.d. 66
  67. 67. Como Vr 75 = Vr 120, temos  N’ = 600 . ( 1 + 0.80/360 . 120) / (1 +0.80/360 . 75)N’ = $ 651,288.2. JUROS COMPOSTOSConceito: No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa dejuros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que osjuros são capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a render novos juros noperíodo seguinte.Juros Compostos - são aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capitalinicial, acrescidos dos juros acumulados até o período anteriorCálculo do Montante - vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000,aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4 meses.CAPITAL(C)Juros ( J )Montante ( M )1º Mês 1.000 100 1.1002º Mês 1.100 110 1.2103º Mês 1.210 121 1.3314º Mês 1.331 133 1.464Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente.Onde: nS = P (1+i)S = Soma dos MontantesP = Principal ou Capital Inicial i = taxa de jurosn = nº de períodos consideradosa taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo; 67
  68. 68. Ex.: Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 %a.m., para retirar no final deste período. Quanto irá retirar ?S=?0 i = 8 % a.m.$ 800 n=3Dados: Pede-se: S = ?P = $ 800n = 3 mesesi = 8 % a.m. = 0.08 a.m.3(1.08)nS = P (1 + i )= 800 x (1 + 0.08)3= 800 xS = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08S = $ 1.007,79Valor Atual  Considere-se que se deseja determinar a quantia P que deve ser investida à taxa dejuros i para que se tenha o montante S, após n períodos, ou seja, calcular o VALOR ATUAL de S.- Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dosMontantes, para encontrarmos o valor atual nP = S/(1+i)Onde:S = Soma dos MontantesP = Principal ( VALOR ATUAL )i = taxa de jurosn = nº de períodos consideradosInterpolação Linear  é utilizada para o cálculo do valor de ( 1 + i )n , quando o valor de n ou de inão constam da tabela financeira disponível para resolver o problema.a interpolação é muito utilizada quando se trabalha com taxas de juros “quebradas” ou períodos detempo “quebrados”. Ex.: taxa de juros de 3.7 % a.m. ou 5 meses e 10 dias nComo a tabela não fornece o valor da expressão ( 1 + i ) para números “quebrados”, devemos 68
  69. 69. procurar os valores mais próximos, para menos e para mais, e executarmos uma regra de três, destemodo:Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa de juros de 3.7 % a.m.,após 10 meses, a juros compostos. nA tabela não fornece o fator ( 1 + i ) correspondente a 3.7 %, mas seu valor aproximado pode sercalculado por interpolação linear de valores fornecidos na tabela.Procuramos, então, as taxas mais próximas de 3.7 %, que são 3 % e 4 %. Na linha correspondente a n10 períodos (n), obtêm-se os fatores correspondentes a ( 1 + i ) que são, respectivamente,1.343916 e 1.480244. Procedemos, então, a uma regra de três para encontrarmos o fator referentea 3.7 %:para um acréscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acréscimo de 0.136328(1.480244 – 1.343916); npara 0.7 % de acréscimo na taxa, o fator ( 1 + i ) terá um acréscimo de x. Portanto:1 % --------------- 0.1363280.7% ------------- xx = 0.09543 n- Somando-se o valor encontrado (0.09543) ao do fator ( 1 + i ) correspondente à taxa de 3 %(1.343916), teremos o fator (1.439346) correspondente à taxa de 3.7 %.- Voltando à solução do problema, temos:S = 1.000 x 1.439346  S = $ 1.439,348.3. TAXAS DE JUROSTAXAS PROPORCIONAISNa formação do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente, trimestralmente,semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando se refere a período decapitalização, a taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em:juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente; nQuando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo de ( 1 + i ) é feito com a 69
  70. 70. TAXA PROPORCIONAL. Dessa forma:Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional é 15% a.s.1 ano = 2 semestres  30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional é 5 % a.t.1 ano = 4 trimestres  20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional é 1 % a.m.1 ano = 12 meses  12 % a.a. = 12 x 1 %a.m.Ex.: Qual o montante do capital equivalente a $ 1.000, no fim de 3 anos, com juros de 16 %,capitalizados trimestralmente ?Dados: P = 1.000i = 16 % a.a. = 4 % a.t. = 0.04 a.t. n = 3 anos = 12 trimestres nS= P.(1+i) 12S = 1.000 . ( 1 + 0.04 )S = 1.000 x (1.601032)  S = $ 1.601,03TAXAS EQUIVALENTESSão taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas quelevam um capital a um mesmo resultado final ao término de um determinado período detempo.Duas taxas são EQUIVALENTES quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes,fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo detempo.Temos, então: nC = ( 1 + ie ) , onde: ie = taxa de juros equivalente nkCk = ( 1 + ik ) , onde: ik = taxa de juros aplicada- Como queremos saber a taxa de juros equivalente (ik), para um mesmo capital, temos: n nkC = Ck  ( 1 + ie ) = ( 1 + ik ) k Então: ie = ( 1 + ik ) - 1 70
  71. 71. - Esta fórmula é utilizada para, dada uma taxa menor (ex.: dia, mês, trimestre), obter a taxa maiorequivalente (ex.: semestre, ano).Ex.: Qual a taxa anual equivalente a 10 % a.m. ?ik = 10 % a.m. = 0.1 a.m. ie = ?k = 1 ano = 12 meses k 12ie = ( 1 + ik ) – 1 = (1 + 0.1) - 1 = 2.138428ie = 2.138428 ou transformando para taxa percentualie = 213,84 %TAXAS NOMINAL e EFETIVA (ou REAL)No regime de juros simples, as taxas são sempre EFETIVAS. Para melhor compreensão dos conceitosde Taxa Nominal e Taxa Efetiva, no sistema de juros compostos, vamos considerar os seguintesenunciados:1. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos à taxa de 10 %a.a., com capitalização anual, durante 2 anos ?Solução: Tal enunciado contém uma redundância, pois em se tratando de uma taxaanual de juros compostos, está implícito que a capitalização (adição de juros aoCapital), é feita ao fim de cada ano, ou seja, é anual. Elaborado visando o aspectodidático, este enunciado objetivou enfatizar que a taxa efetivamente considerada é a de10 % a.a., ou seja, que a taxa de 10 % é uma TAXA EFETIVA.2. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos, àtaxa de 10 % a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos ?Solução: Este segundo enunciado também apresenta uma incoerência, pois sendo umataxa anual, os juros só são formados ao fim de cada ano e, portanto, decorridosapenas 1 semestre, não se terão formados ainda nenhum juros e, por conseguinte, nãopoderá haver capitalização semestral.Portanto, na prática costuma-se associar o conceito de TAXA NOMINAL ao deTAXA PROPORCIONALAssim, se a taxa de juros por período de capitalização for i e se houverN períodos de capitalização, então a TAXA NOMINAL iN será:IN = N x i 71
  72. 72. O conceito de TAXA EFETIVA está associado ao de taxa equivalente. Assim, a taxa efetiva ie podeser determinada por equivalência, isto é, o principal P, aplicado a uma taxa ie, durante um ano, deveproduzir o mesmo montante quando aplicado à taxa i durante n períodos. 1/ni = ( 1 + ie) - 1Ex.: Vamos supor $ 100 aplicados a 4 % a.m., capitalizados mensalmente, pelo prazo de 1 ano.Qual a taxa nominal e a taxa efetiva.a) Taxa NominalIN = N x i 12 x 0.04 = 0.48 IN = 48 % a.a. TaxaNominalb) Taxa Efetiva nP = $ 100 S = P (1 + i)S=? 12i = 4 % a.m. = 0.04 a.m. S = 100 x ( 1 + 0.04)n = 12 meses S = 100 x 1.60103S = $ 160,10Logo, J = 160,10 – 100  J = $ 60,10, que foi produzido por $ 100;então:ie = 60,10 % a.a.A taxa equivalente também poderia ser determinada pela fórmula: 1/ni = ( 1 + ie) - 1 n 12ie = ( 1 + i) - 1 = (1 + 0.04) – 1 = 1.60103 – 1 =0.60103ie = 0.6010 transformando-se para a forma percentual, temos:ie = 60,10 % a.a. 72

×