(1) O documento apresenta a resolução de três questões sobre geometria analítica. A primeira questão demonstra a igualdade do paralelogramo e o teorema de Pitágoras para vetores ortogonais. A segunda questão determina os elementos de uma hipérbole dada. A terceira questão faz um esboço detalhado de uma curva dada pela interseção de um círculo e uma hipérbole.

1. AD2 - Geometria Analítica I - 2014.2
Gabarito
Questão 1: [3,0 pontos]
Sejam,
→
u e
→
v vetores quaisquer.
(a) [1,5 pontos] Mostre a “Igualdade do Paralelogramo”
→
u +
→
v
2
+
→
u −
→
v
2
= 2
→
u
2
+
→
v
2
.
(b) [0,5 ponto] Faça um desenho que justifique o nome “Igualdade do Paralelogramo”.
(c) [1,0 ponto] Conclua da letra (a) uma das direções do Teorema de Pitágoras:
Se
→
u e
→
v são ortogonais, então
→
u +
→
v
2
=
→
u
2
+
→
v
2
.
Solução:
(a) Primeiro, vamos calcular u + v 2
:
u + v 2
= u + v, u + v
= u, u + v + v, u + v
= u, u + u, v + v, u + v, v
= u 2
+ v 2
+ 2 u, v
De maneira análoga teremos,
u − v 2
= u − v, u − v
= u, u − v − v, u − v
= u, u − u, v − v, u + v, v
= u 2
+ v 2
− 2 u, v
Portanto,
u + v 2
+ u − v 2
= u 2
+ v 2
+ 2 u, v + u 2
+ v 2
− 2 u, v
= 2( u 2
+ v 2
)
(b)
1

2. (c) Se u e v são ortogonais, então o paralelogramo é um quadrado, logo, suas diagonais tem o mesmo
comprimento, isto é,
u + v = u − v .
Nesse caso, a igualdade do paralelogramo fica:
u + v 2
+ u + v 2
= 2 u 2
+ v 2
2 u + v 2
= 2 u 2
+ v 2
u + v 2
= u 2
+ v 2
,
como queríamos.
Questão 2: [5,0 pontos]
Considere a hipérbole de foco F2 = (4, 5/2) e vértices A1 = (1, 1) e A2 = (3, 2) sobre o eixo focal.
(a) [1,0 ponto] Determine o centro e outro foco da hipérbole.
(b) [1,5 pontos] Determine o eixo não focal e os vértices não focais (ou imaginários).
(c) [1,5 pontos] Determine a equação de H e os pontos de interseção dela com os eixos coordenados.
(d) [1,0 ponto] Faça um esboço de H, exibindo os eixos de simetria, os vértices, focos e os pontos de
interseção da hipérbole com os semi-eixos coordenados positivos.
Solução:
(a) Sabemos que o centro C da hipérbole é:
C =
A1 + A2
2
= 2,
3
2
.
Os pontos A1, A2, o centro C e os focos ficam na mesma reta que chamaremos de r. Pode-se escolher
dois dos pontos A1, A2, e F para determinar a equação r : x − 2y + 1 = 0. Assim, F1 tem como
coordenadas F1 = (2y − 1, y), já que esse ponto está na reta r. Além disso,
d(F1, C) = d(F2, C) = c
(2y − 3)2 + (y − 3/2)2 =
√
5
(2y − 3)2
+ (y − 3/2)2
= 5
4y2
− 12y + 5 = 0
y = 5/2 ou y = 1/2
Esta equação nos fornece as ordenadas das duas possibilidades de focos. Como a ordenada de F2 é
y = 5/2, então a ordenada de F1 deve ser y = 1/2. Logo, F1 = 2(1
2
) − 1, 1
2
= 0, 1
2
.
2

3. (b) O eixo não focal é perpendicular à r, portanto sua equação pode ser dada por s : 2x + y + d = 0.
Como esse eixo passa pelo centro C = 2, 3
2
, então temos 2(2) + 3/2 + d = 0, isto é, d = −11/2 e a
equação do eixo não focal é s : 2x + y − 11/2 = 0.
Como os vértices imaginários estão sobre s, suas coordenadas podem ser escritas das forma B =
(x, −2x + 11/2). Além disso, b2
= c2
− a2
, do item anterior, c =
√
5 e a = d(C, A1) = d(C, A2) =
√
5
2
.
Logo, b =
√
15
2
. Desta forma,
d(B, C) = b =
√
15
2
(x − 2)2 + (−2x + 4)2 =
√
15
2
(x − 2)2
+ (2x − 4)2
=
15
4
x2
− 4x + 4 + 4x2
− 16x + 16 =
15
4
5x2
− 20x + 20 =
15
4
x2
− 4x + 4 =
3
4
4x2
− 16x + 16 − 3 = 0
4x2
− 16x + 13 = 0.
Esta última equação tem soluções x = 2±
√
3
2
. Logo, os vértices imaginários são B1 = 2 +
√
3
2
, 3
2
−
√
3
e B2 = 2 −
√
3
2
, 3
2
+
√
3 .
(c) A hipérbole tem equação |d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a, que é equivalente a
d(P, F1) = d(P, F2) + 2a ou d(P, F2) = d(P, F1) + 2a
Sabemos da teoria que, para se obter uma equação polinomial para a hipérbole, basta trabalharmos
com uma das duas equações acima, pois com a outra obteremos o mesmo resultado. Trabalhando
com a última equação temos
d(P, F2) = d(P, F1) + 2a
d(P, F2)2
= d(P, F1)2
+ 4ad(P, F1) + 4a2
16a2
d(P, F1)2
= d(P, F2)2
− d(P, F1)2
2
− 8a2
d(P, F2)2
− d(P, F1)2
+ 16a4
(∗)
Fazendo P = (x, y), como F1 = (0, 1
2
), F2 = (4, 5
2
) temos
d(P, F1)2
= x2
+ y2
− y + 1
4
e d(P, F2)2
= x2
− 8x + y2
− 5y + 89
4
. (∗∗)
donde
d(P, F2)2
− d(P, F1)2
= −8x − 4y + 22.
Agora substituindo a =
√
5
2
, d(P, F1)2
e d(P, F2)2
− d(P, F1)2
em (∗) temos
20(x2
+ y2
− y + 1
4
)2
= (−8x − 4y + 22)2
+ 44(−8x − 4y) + 222
− 10(−8x − 4y) − 195.
Desenvolvendo os cálculos segue que
H : 44x2
+ 64xy − 4y2
− 272x − 116y + 284 = 0.
3

4. Fazendo y = 0 na equação da hipérbole, encontramos os seguintes pontos onde H intercepta o eixo
OX: Q = 34+5
√
15
11
, 0 e P = 34−5
√
15
11
, 0 .
Fazendo x = 0 na equação da hipérbole, encontramos os seguintes pontos onde H intercepta o eixo
OY : R = 0, −29+15
√
5
2
e M = 0, −29−15
√
5
2
, onde M pertence ao semi-eixo negativo de OY .
(c)
Questão 3: [2,0 pontos]
Faça um esboço detalhado do conjunto
C : (x2
+ y2
− x − y +
1
2
)(9x2
− 9y2
+ 18y − 27) = 0.
Solução: Para que (x2
+ y2
− x − y + 1
2
)(9x2
− 9y2
+ 18y − 27) = 0, devemos ter
(x2
+ y2
− x − y +
1
2
) = 0 ou (9x2
− 9y2
+ 18y − 27) = 0.
Assim C = {A} ∪ H, onde:
1. A = (1/2, 1/2) é a única solução da equação 0 = x2
+ y2
− x − y + 1
2
= (x − 1/2)2
+ (y − 1/2)2
;
2. H é a hipérbole de equação:
9x2
− 9y2
+ 18y − 27 = 0
9x2
− 9(y2
− 2y)2
− 27 = 0
9x2
− 9(y − 1)2
+ 9 − 27 = 0
9x2
− 9(y − 1)2
= 18
x2
2
−
(y − 1)2
2
= 1,
com:
(a) Focos: C = (−2, 1) D = (2, 1)
(b) Centro: B = (0, 1)
(c) Vértices: E = (−
√
2, 1), F = (
√
2, 1)
(d) Eixos de simetria: y = 1 e x = 0
4

5. 5