Este documento apresenta os principais conceitos e fórmulas da matemática, incluindo: 1) Probabilidades, combinações, distribuição binomial e curva normal; 2) Funções, derivadas, integrais e trigonometria; 3) Números complexos, módulo, argumento e operações com números complexos.

1. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
- PROBABILIDADES –
Prop. Distributiva:
Leis de De Morgan:
A∩= ∪
B
A
B
P ( A ∪ = ( A) + ( B ) − ( A ∩
B)
P
P
P
B)
P ( A ∩B )
P( B )
P ( A / B ) = ( A)
P
Combinações (não há repetição e ordem não importa):
n
n
s/ repetição
Cp =
n º acont. favoráveis
P ( A) =
n º acont. possiveis
Lei Laplace:
A B = A− B = A∩ B
.
;
P ( A | B ) = ( A) − ( A ∩
P
P
B)
Arranjos (a ordem importa) :
P = !
n
n
A ∩ ∪) =A ∩ ∪ ∩)
(B
C
(
B)
(A
C
P ( A) =
1 − A)
P(
P( A / B) =
;
P ( A ∩ = ( A).P ( B )
B)
P
Acont. Diferença( A realiza-se sem que B se realize ):
Permutações
;
A∪= ∩
B
A
B
Prob. Condicionada (acontecer A sabendo que B aconteceu):
Acont. Independ.:
;
A ∪ ∩) =A ∪ ∩ ∪)
(B
C
(
B)
(A
C
Ap =
B ⊂ ⇒ A | B ) = ( A) − ( B )
A
P(
P
P
n!
(n − p )!
c/ repetição
n
A' p =n p
n!
p!. ( n −p )!
n
(a +b) n = ∑nC p a n − pb p
Binómio Newton
( a + ) 3 = 3 + a 2b + ab 2 + 3
b
a
3
3
b
( a + ) 4 = 4 + a 3b + a 2b 2 + ab3 + 4
b
a
4
6
4
b
p =0
n
n
C p = Cn −p
n
n
n 1
Cp + Cp+ = + Cp+
1
1
n
Tp + = C p a n −p b p
1
n
1
1
Tp = C p − b p − a n −p +
1
Prop. Triângulo Pascal:
Dist. Prob. :
0 ≤ pi ≤ 1 ∧
n
∑p
i
=1
n
valor médio
i =1
Coef. Binomial
n
n!
Cr =
r!. ( n − )!
r
µ = ∑ xi × pi
n
variância
i =1
σ 2 = ∑( xi − µ) 2 × pi
desvio padrão
σ = σ2
i =1
n
r
P ( X = ) = Cr p r ×1 − ) n −
r
(
p
( n=nº experiências e r=nº sucessos )
Curva Normal :
Intervalo
Probabilidade
68.27%
]µ −2σ, µ + 2σ[
]µ −3σ, µ +3σ[
95.45%
]µ −σ, µ +σ[
Estandardização da variável
Z =
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X −µ
σ
N ( µ, σ)
99.73%
Tm.: 919 853 327

2. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
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- FUNÇÕES PROP.
POTENCIAS :
PARIDADE
Função par: f(-x) = f(x)
Função ímpar: f(-x) = - f(x)
a × a = a m +n
m
n
a m ÷ a n = a m −n
Função quadratica :
a m × b m = ( a × b) m
CASOS
a m ÷ b m = ( a ÷ b) m
( a +b) 2 = a 2 + 2ab +b 2
(a m ) n = a m×n
( a −b) 2 = a 2 − 2ab +b 2
a 0 = 1 se a ≠ 0
1
a −n = n
a
f ( x ) = ax 2 + bx + c
( a +b)(a −b) = a 2 −b 2
y = a ( x − h) 2 + k
 b
b2 

Vértice : V   −
;c−
 2a
y
x=h
4a  ESTUDO COMPLETO FUNÇÃO :


x=
Zeros :
Propriedades Módulos :
m
n
NOTÁVEIS :
− b ± b 2 − 4ac
2a
y =log a x ⇔ y = x
a
log a b =
log a b =
log b x =
log a x . log b a
log a a x = x
log a 1 =
0
.
x

x
lim 1 +

un

n
f ( x) =
Assimpt. função racional
zeros de q ( x )
y =
mx +
b
x→
0
h→
o
1
log a x
n
sen x
=1
x
ln( x +1)
=1
x
x→
0
8º − Equações das assimptotas
9º − Contradominio
log a a =
1
Assimpt. Horiz.
m = lim
lim
x→
1
ln x
=1
x −1
lim
x→ ∞
+
ln x
=0
x
PERÍODO DE UMA FUNÇÃO (T )
2Π
f ( x ) =sen( kx) T =
k
=ex
p( x)
a x n + a1 x n −1 + ... + an
= 0 m
q ( x ) b0 x + b1 x m −1 + ... + bm
t.m.v.[ a , b ] =
f ' ( x0 ) = lim
n
x =
lim
log a
un




x→
+∞
Taxa variação média
log a ( x p ) =p. log a x
log b
log a
lim
lim
x

lim 1 +  = e x
n

1
log b a
6º − Extremos e monotonia
7º − Sentido das concavidades
a log a x = x
ex
= +∞
x →+∞ x p
e x −1
=1
x→
0
x
lim
log a ( x. y ) =
log a x +
log a y
y = x ⇔ =
ln
ey
x
x 
log a   = log a x −log a y
y 
 
Assimpt. Obliq.
2º − Dominio
3º − Continuidade
4º − Coordenadas pontos intersecção com eixos
V (h,k )
5º − Simetria
am = a n
Assimpt. Vert.
1º − Obter esboço do gráfico com calculadora
y=
f ( x)
x
f (b) − f ( a )
b −a
f ( x ) =cos(kx)
T =
2Π
k
Π
f ( x ) =tan( kx) T =
a0
k
( se n = m) y = 0 ( se n < m) não existe ( se n > m)
b0
b = lim [ f ( x ) −m x ]
x→ ∞
+
Definição derivada
f ' ( x0 ) = lim
x→ 0
x
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
ou
f ( x0 +h) − f ( x0 )
h
'
Regras Derivação :
(u + =' +
v )'
u
v'
(u.v )' = v + '
u '.
u.v
u´.v − .v´
u
u 
 =
v2
v 
1
(u n )' = u n − u´
n.
.
( a u )' = .a u . ln a
u´
(ln u )' =
(e u )' =´.e u
u
(tg x)' =
u'
u
u'
(log a u )' =
u . ln a
( sen x )' = cos x
x '.
(cos x )' = '. sen x
−
x
x'
cos 2 x
'
Alguns exemplos:
1
1
  =− 2
x
x
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( x )' =
1
2 x
(ln x )' =
1
x
(e x )' = x
e
Der. Composta:
( f 0 g )`( x0 ) =f ` [g ( x0 )]× `( x0 )
g
Tm.: 919 853 327

3. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
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- TRIGONOMETRIA tg α =
sen 2α cos 2 α 1
+
=
sen α
cos α
1+
1
1
=
tg 2α sen 2α
cos ( a + =
b)
cos a. cos b −
sen a.sen b
Ângul
o
30º ou
0º ou 0
rad
cos ( 2 a ) =
cos 2 a −
sen 2 a
tg a − b
tg
tg ( a − ) =
b
1 + a . tg b
tg
π
45º ou
6
rad
π
60º ou
4
rad
0
1
2
cos α
1
3
2
2
2
2
2
tg α
0
3
3
sen ( − ) = −
α
sen α
cos ( − ) =cos α
α
tg ( − ) = − α
α
tg
3π
+ α) = − cos α
2
3π
cos (
+ α) = sen α
2
sen (
Equações trigonométricas:
sen x =
sen
cos ( a − =
b)
cos a. cos b +
sen a.sen b
3
2 . tg a
1 −tg 2 a
π
90º ou
sen ( 2 a ) = sen a . cos a
2.
180º ou
rad
2
π
3π
2
270º ou
rad
3
2
1
0
-1
1
2
0
-1
0
--
0
--
3
sen (
cos (
π
2
π
2
− α) = cos α
− α) = sen α
sen (π −α) = sen α
cos (π −α) = −cos α
tg (π −α) = − α
tg
cos x =
cos
tg ( 2a) =
rad
1
Reduções ao 1º quadrante:
π
rad
sen α
1
cos 2 α
sen ( a + =
b)
sen a. cos b +
cos a.sen b
sen ( a − =
b)
sen a. cos b −
cos a.sen b
tg a + b
tg
tg ( a + ) =
b
1 − a . tg b
tg
tg 2α + 1 =
sen (
cos (
π
2
π
2
sen (π +α) = −sen α
cos (π +α) = −cos α
tg (π +α) = tg α
∨
x =−
+
2k
sen (
+ α) = −sen α
sen ( 2π −α) = −sen α
cos ( 2π −α) = cos α
tg ( 2π −α) = − α
tg
α
α π
πα π
α x =+ π x = + π ∈
⇔
α k ∨ − 2k , k Ζ
2
α
⇔
x =+
2k
3π
−α) = − cos α
2
3π
cos (
− α) = −sen α
2
+ α) = cos α
,k ∈
Ζ
tan x =
tan
α x =+ , k ∈
⇔
απ Ζ
k
Circulo trigonométrico:
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
+1
eixo
dos
senos
tan x
co
h
x
sin x
ca
x
-1
eixo dos co-senos
0
-1
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+1
cos x
TEOREMA PITÁGORAS
eixo
das
tangentes
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4. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
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- NÚMEROS COMPLEXOS Forma algébrica nº complexo:
Forma trigonométrica:
i = −
1
z = cis
r.
i 2 =−
1
θ ou
i3 = i
−
2
z = −
a
bi
z = (cos
r.
i 4 n =1
i4 = 1
+
Módulo de z:
Argumento de z:
r = = a2 + 2
z
b
b 
a 
θ = arg z = tan −1  
θi . senθ
+
)
1
i 4 n + =i
2
i4n+ = 1
−
27
3
3
i 4n + = i
−
4
6
Inverso
Conjugado
Simétrico
z =z cis ( − )
θ
z
z=
z
z × n º real
z =
( a + bi ) −1 =
Conjugado de z:
z = +
a
bi
− = z cis (θ+ )
z
π
1
z− =
1
1
=
cis ( − )
θ
z
z
a
b
−
i
a 2 + b2 a 2 + b2
Operações com nº complexos (fórmulas de Moivre) :
θ+ )
θ
z1 × = × cis (
z2
r
r
1
2
n
r cis θ =n r . cis
1
θ
)
z n =n cis ( n .
r
2
θ +2kπ
n
,n ∈
Ζ
z1
r
= 1 cis (θ1 −θ2 )
z2
r2
, k∈
Ζ
Nota: todas as raízes de índice n têm o mesmo módulo e os argumentos (não negativos mínimos) estão em progressão aritmética de razão
Nota: as n raízes de índice n têm por imagem os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio n
z
2Π
.
n
.
Domínios planos e condições de variável complexa:
Circunf. de centro z1 e raio r :
z −1 =
z
r
Mediatriz do segm. reta entre z1 e z2 :
Diagrama Argand
z −1 = −2
z
z
z
Semiplano limitado por mediatriz segm rect entre z1 e z2 , ao qual pertence z1 :
Reta vertical x=a+r :
( )
b
Re ( z − 1 ) =
z
r
Exemplo: Re z ≥ a
Reta horizontal y=b+r :
Im
z − ≤ −2
z1
z
z
representa o semiplano fechado definido pela reta x=a , que fica à direita da reta.
a
Im ( z − 1 ) =
z
r
Semirreta origem afixo z1 q forma com Ox um ang α :
Re
arg ( z − 1 ) =
z
α
- SUCESSÕES –
un + − n ≥
u
0
1
⇒
crescente
Progressão Aritmética :
un+ − n =
u
r
1
prof_mariocosta@hotmail.com
un+ − n ≤
u
0
1
⇒
decrescente
u n = 1 +n −) . r
u
(
1
Sn =
u1 + un
×n
2
r=
ub − u a
b−a
Tm.: 919 853 327

5. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
u n +1
=r
un
Progressão Geométrica :
S n =u1 .
1
un = 1 . r n −
u
1 −r n
1 −r
- GEOMETRIA –
Distância entre 2 pontos
d =
PQ = ( x2 − 1 )
x
2
+ y2 − 1 ) 2
(
y
sendo P ( x1 , y1 ) e Q ( x 2 , y 2 )
( x − 1 )2 + y − 1 )2 = x − 2 )2 + y − 2 )2
x
(
y
(
x
(
y
Mediatriz de [AB] :
sendo A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 )
 focos (± c,0)
x y
 vértices (± a,0) ( ,0 ± b)
+ = 1 e (a > b) sendo  eixomaior: 2a
2 2
eixo menor : 2b
a b
 c= a2− b2
2 2
( x − 1 ) 2 + y −y1 ) 2 = 2
x
(
r
Eq. Circunf. centro (x1,y1) raio r :
Eq. Elipse
Vetores
Elipse
y
.
b
-a
.
a
c
AB = − = x2 − 1 , y2 − 1 )
B
A
(
x
y
+a
x
Soma de vetores
u + = 1 + , y1 +2 )
v
(x
x2
y
Ponto médio [AB]
 x + x2 y1 + y2 
M  1
,

2
 2

Eq. Vetorial reta
Declive reta
 x = x0 + k u1

 y = y0 + k u 2
m = tan α =
proj
a
u .v
b = . cos
b
θ
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k ∈ contém
ℜ
o
pto
Equação reta q contém P(x1,y1) e declive m:
. cos (u , v )
proj
a
u = x1
2
+ 1
y
2
se
u ( x1 , y1 )
b.a
b =
a
A( x
, y
)
0
0
e tem direcção de
u
(u , u
)
1
2
x − x0
y − y0
=
u1
u2
 m' = m ⇒ r / s
 r : y = mx + b 
  1
 s : y = m'x + b'  m' −= ⇒ r ⊥ s
 m
=
u . v
Norma vetor:
u ( x1 , y1 ) e v ( x 2 , y 2 )
se A = ( x1 , y1 ) e B = ( x 2 , y 2 )
Eq. Cartezianas reta
y2 − y1
x2 − x1
Relação entre declives de duas retas:
Produto vetorial:
sendo
( x, y ) = , y 0 ) +u1 , u 2 )
( x0
k (
Eq. Paramétricas reta
sendo A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 )
Produto escalar:
ou
u .v =
ac +
bd
a .b = b
a .
Teorema cossenos
y − 1 = .( x − 1 )
y
m
x
. cos
se
u
Eq. Reduzida:
= b)
(a,
e
θ entre 2 vetores:
Âng.
v
y =
mx +
b
= d )
(c,
cos θ=
a .b
a . b
Projeção:
a 2 =2 +2 −bc . cos Â
b
c
2
Tm.: 919 853 327

6. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
Eq. plano
a ( x −1 ) + ( y − 1 ) +( z −1 ) =
x
b
y
c
z
0
Eq. geral do plano
ax + + +=
by
cz
d
0
TRIÂNGULO : A =
Áreas e Volumes:
p lan o
⊥
a
contém o pto ( x1 , y1 , z1 )
e
é
⊥ u ( a, b, c)
u (a, b, c)
b×h
2
CIRCULO : P = 2.π .r A = π .r 2
B+b
TRAPÉZIO : A =
×h
2
PRISMA e CILINDRO : V = Abase × h
PIRÂMIDE
e CONE : V =
ESFERA : V =
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Abase × h
3
4.π .r 3
3
Tm.: 919 853 327

7. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
Eq. plano
a ( x −1 ) + ( y − 1 ) +( z −1 ) =
x
b
y
c
z
0
Eq. geral do plano
ax + + +=
by
cz
d
0
TRIÂNGULO : A =
Áreas e Volumes:
p lan o
⊥
a
contém o pto ( x1 , y1 , z1 )
e
é
⊥ u ( a, b, c)
u (a, b, c)
b×h
2
CIRCULO : P = 2.π .r A = π .r 2
B+b
TRAPÉZIO : A =
×h
2
PRISMA e CILINDRO : V = Abase × h
PIRÂMIDE
e CONE : V =
ESFERA : V =
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Abase × h
3
4.π .r 3
3
Tm.: 919 853 327