O documento apresenta as equações da circunferência, explicando que a equação reduzida representa uma circunferência quando r>0. Fornece também a equação normal e as condições para que uma equação do segundo grau represente uma circunferência. A seguir, apresenta exercícios para identificar e determinar equações de circunferências.

1. CIRCUNFRÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA = (𝑥 − 𝑎)2
+(𝑦 − 𝑏)2
=𝑟2
EQUAÇÃO NORMAL = Desenvolvendo a equação reduzida temos;
(𝑥2
-2xa+𝑎2
)+( 𝑦2
-2yb+𝑏2
) = 𝑟2
𝑥2
+𝑦2
-2xa-2yb+(𝑎2
+𝑏2
-𝑟2
)=0
Quando r>0 representa uma circunferência, quando r=0 representa um ponto e quando r<0 representa um
conjunto vazio.
Dada uma equação do 2° grau, em x e y com coeficiente reais.
A𝑥2
+B𝑦2
+Cxy+Dx+Ey+F=0
Temos que r2
=
D2+E2−4AF
4A2
e centro = (
−𝐷
2𝐴
,
−𝐸
2𝐴
)
Se uma das três condições necessárias (A=B≠ 0, 𝐶 = 0,D2
+ E2
− 4AF) não for satisfeita, a equação
A𝑥2
+B𝑦2
+Cxy+Dx+Ey+F=0 não representa uma circunferência mas pode representar uma cônica ou a
reunião de duas retas ou um ponto ou o conjunto vazio.
Exercícios
1) Qual das equações abaixo representa uma circunferência?
a) 𝑥2
+ 3𝑦2
– 5x – 7y – 1 = 0
b) 𝑥2
+ 𝑦2
+ xy – 4x – 6y – 9 = 0
c) 32
+ 3𝑦2
– 4x – 6y + 15 = 0
d) 𝑥2
+ 𝑦2
– 2x – 2y + 2 = 0
e) 2𝑥2
+ 2𝑦2
– 4x – 6y – 3 = 0
2) Determine a equação da circunferência de ponto C e raio r nos seguintes casos:
a) C(0,0) e r = 3 b) C(2,4) e r = 1
c) C(2,0) e r = 4 d) C(0,-3) e r = 2
e) C(-1,-2) e r = 5 f) C(
1
2
,
3
2
) e r = 4

2. 3) Qual é a equação da circunferência de centro C(1,2) que passa por P(5,5)?
4) (MAPOFEI-74) Indicar as condições que devem ser satisfeitas pelos coeficientes da equação
a𝑥2
+ b𝑦2
+ 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0 , para que os pontos de coordenadas (x,y) do plano cartesiano
representem uma circunferência.
5) Determine o centro e o raio das circunferências:
a) 𝑥2
+ 𝑦2
– 6x + 4y – 12 = 0
b) 𝑥2
+ 𝑦2
– 8x + 7 = 0
c) 𝑥2
+ 𝑦2
+ 8y + 6x = 0
d) 2𝑥2
+ 2𝑦2
– 8x + 6y = 0
e) 3𝑥2
+ 3𝑦2
– 6x + 12y + 14 = 0
6) (MAPOFEI-76) Achar a equação da reta que passa pelo centro da circunferência
(𝑥 − 3)2
+(𝑦 − 2)2
= 8 e é perpendicular à reta x – y – 16 = 0.
7) (MAPOFEI-74) Determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação é
4𝑥2
+ 4𝑦2
– 12x + 12y - 7 = 0

3. 8) (MAPOFEI-76) Se A𝑥2
+ B𝑦2
+ Bx + Cy + D = 0 (A ≠0) é a equação de uma circunferência, determinar
o centro e o raio.
9) Para que valores de m e K a equação m𝑥2
+ 𝑦2
+ 4x - 6y +k = 0 representa uma circunferência?
10) Para que valores de m e K a equação abaixo representa uma circunferência?
a) m𝑥2
+ 𝑦2
+ 4x + 6y +k = 0
b) m𝑥2
+ 2𝑦2
+ 2x + 8y - k = 0
c) m𝑥2
+ 𝑦2
+ 2x - 4y + k = 0
11) Determine a, b, c de modo que a equação 2𝑥2
+ a𝑦2
+ bxy + 3x + 4y + c = 0 represente uma
circunferência.

4. 12) Determine 𝛼, 𝛽, 𝛾 de modo que a equação 𝛼𝑥2
+ a𝑦2
+ 𝛽xy + 6x + 8y + 𝛾 = 0 represente uma
circunferência de raio 6.
13) Qual deve ser a relação entre m, n, p para que a circunferência de equação 𝑥2
+ 𝑦2
- mx - ny + 𝑝 = 0
passe pela origem?
14) Qual deve ser a relação entre m, n, p para que a circunferência de equação 𝑥2
+ 𝑦2
- mx - ny + 𝑝 = 0
tenha centro na origem?
15) Dada a circunferência de equação 𝑥2
+ 𝑦2
- mx - ny + 𝑝 = 0 pede-se a relação entre m, n, e p para
que a circunferência tangencie os eixos.
16) Um quadrado tem vértices consecutivos A(5,0) e B(-1,0). Determine a equação da circunferência
circunscrita ao quadrado.

5. 17) Determine a equação do círculo que satisfaz a propriedade dada:
a) Tangente a ambos os eixos coordenados, centro no primeiro quadrante e raio 2.
b) Centro em (-4,60 passando por (1,2).
c) Passa pelos pontos (1,1), (1,-2) e (2,3).
18) Escreva a equação da reta tangente ao círculo 𝑥2
+ 𝑦2
+ 14x + 18y - 39 = 0 no ponto do segundo
quadrante deste círculo, tal que x = -2.
19) Encontre a equação de reta tangente ao círculo 𝑥2
+ 𝑦2
= 180 que tem inclinação 2.
20) Encontre os pontos de interseção dos círculos com equações 𝑥2
+ 𝑦2
– 2x = 0 e 𝑥2
+ 𝑦2
– 3y = 0.

6. 21) Determine a equação da circunferência de centro C(1,2) e t é a reta tangente a circunferência e de
equação 3x + 4y – 36 = 0. Lembrando ( d =
| 𝑎 𝑥0+𝑏𝑦0 +𝑐|
√𝑎2+ 𝑏2 ).
22) Dê a equação da circunferência de centro C(4,6) e a reta de equação 4x – 3y + 27 = 0 é tangente a
ela.
23) Dê a equação da circunferência em que os pontos A(-1,-1) e B(9,9) são extremidade de um
diâmetro.
24) Dê a equação da circunferência em que os pontos A(-1,-4) e B(3,5) são extremidade de um
diâmetro.
25) Dê a equação da circunferência em que ela passa pela origem do sistema, o raio mede √2
E o centro está na reta de equação y = -x.

7. RESPOSTAS
1 5 10 17
a), b), c) e d) não são a) C(3,-2) e r = 5 a) m = 1 e K < 13 a) (𝒙 − 𝟏) 𝟐
+(𝒚 + 𝟐) 𝟐
= 25
e) sim b) C(40) e r = 3 b) m = 2 e K < -
17
2
b) (𝒙 + 𝟒) 𝟐
+(𝒚 − 𝟔) 𝟐
= 41
2 c) C(-3,-4) e r = 5 c) m = 1 e K < 5 c) (𝒙 −
𝟏𝟑
𝟐
) 𝟐
+(𝒚 +
𝟏
𝟐
) 𝟐
=
𝟔𝟓
𝟐
a) 𝑥2
+ 𝑦2
= 9 d) C(2,
3
2
) e r =
5
2
11 18
b) (𝑥 − 2)2
+ 𝑦2
= 16
e) C(1,-2) e r =
√3
3
a = 2, b = 0 e c <
25
8
5x + 12y + 26 = 0.
c) (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 + 2)2
= 25 6 12 19
d) (𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 4)2
= 1 X + y – 5 = 0 𝛼 = 1, 𝛽 = 0 𝑒 𝛾 = −11 Y = 2x ± 30
e) 𝑥2
+ (𝑦 − 3)2
= 4 7 13 20
f) (𝑥 −
1
2
)2
+ (𝑦 −
3
2
)2
= 16 C(
3
2
,−
3
2
) e r =
5
2
P = 0 e 𝑚 + 𝑛2
> 0 (0,0) e (
18
13
,
36
39
)
3 8 14 21
(𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= 25 Centro O (−
𝐵
2𝑎
,−
𝐶
2𝐴
) M = n = 0 e p < 0 (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= 25
4
Raio r=
√ 𝐁 𝟐
+ 𝐂 𝟐
−𝟒𝐀𝐃
𝟐𝐀
15 22
a=b≠0 Com 𝐁 𝟐
+ 𝐂 𝟐
− 𝟒𝐀𝐃 > 0 | 𝑚| = | 𝑛| ≠ 0 e 𝑚2
= 4p
C=0 9 16
𝑑2
+ 𝑒2
- af > 0 M = 1 e K < 13 (𝑥 − 2)2
+ (𝑦 ± 3)2
= 18