Este documento contém 38 questões de matemática sobre diversos tópicos como álgebra, geometria e logaritmos. As questões abordam conceitos como sistemas de equações, equações do segundo grau, razão e proporção, geometria plana e espacial, entre outros.

1. REMEMBER V
Cód. 954 vendidas. Pede-se a razão entre o preço de custo e o
preço marcado nas roupas.
01-O quadrado de 5 - √y² - 25 é: a)1 / 2 B) 1 / 3 c) 1 / 4 d) 2 / 3 e) 3 / 4
a) y² -5√y² - 25 b) – y² c) y²
d) (5 – y)² e) y² -10√y² - 25 12- A solução do sistema de equações 2x – 3y = 7 é:
4x – 6y = 20
02- A equação a) x = 18 e y = 12 b) x = y = 0
2x² - 2x + 7 + 4 – 6x + 1 = 0 c) não existe solução d) há um número infinito
x–1 3 x–1 de soluções
pode ser transformada por eliminação de frações na e) x = 8, y = 5.
equação x² - 5x + 4 = 0. As raízes dessa última
equação são 4 e 1. Então as raízes da 1ª equação são: 13- Um quadrilátero está inscrito em um círculo.
a) 4 e 1 b) somente 1 c) somente 4 Então a soma dos ângulos que são formados, inscritos
d) nem 4 nem 1 e) 4 e alguma outra raiz. nos 4 arcos formados pelos lados do quadrilátero,
com centro num dos pontos do arco e passando pelos
03- Se x varia com o cubo de y e y varia com a raiz vértices do lado do quadrilátero que forma o arco, é:
quinta de z, então x varia com a enésima potência de a) 180° b) 540° c) 360° d) 450° e) 1080°
z, onde n é igual a:
a) 1 / 15 b) 5 / 3 c) 3 / 5 d) 16 e) 8 14- Depois de simplificada a expressão
1+ x4–1 ² torna-se:
04- Se o Máximo Divisor Comum de 2x²
6 432 e 132 é diminuído de 8, ele se torna:
a) -6 b) 6 c) - 2 d) 3 e) 4 a) (x4 + 2x² - 1) / 2x² b) (x4 – 1) / 2x²
c) (√x²+1) / 2 d) x² / √2 e) x²/ 2 + 1 / 2x²
05- Um hexágono regular é inscrito em um círculo de
10 cm de raio. Sua área é em cm²:
15- Log 125 =
a) 150√3 b) 150 c) 25√3 d) 600 e) 300√3 a) 100 log 1,25 b) 5 log 3 c) 3 log 25
d) 3 – 3 log 2 e) (log 25)(log 5)
06- O valor de (1/16) a° + (1/16a)° - 64-1/2 – (-32)-4/5 é:
a) 1 13/16 b) 1 3/16 c) 1 d) 7/8 e) 1/16. 16- Se f(x) = 5x² - 2x – 1, então f(x + h) é igual a:
a) 5h² - 2h b) 10xh – 4x + 2 c) 10xh – 2x – 2
07- Uma senhora economiza R$ 2,50 por um vestido d) h(10x + 5h – 2) e) 3h
em liquidação. Se o preço pago foi R$ 25,00 então
sua economia foi de: 17- O gráfico da função f(x) = 2x³ - 7 tem o seguinte
a) 8% b) 9% c) 10% d) 11% e) 12% aspecto:
a) para cima à direita e para baixo à esquerda
08- A base de um ∆ é duas vezes o lado de um b) para baixo à direita e para cima à esquerda
quadrado e suas áreas são iguais. Então razão entre a c) para cima à direita e para cima à esquerda
altura do ∆ e o lado do quadrado é: d) para baixo à direita e para baixo à esquerda
a) 1 / 4 b) 1 / 2 c) 1 d) 2 e) 4 e) nenhum dos aspectos descritos acima
09- Um ponto P está fora de um círculo e a 13 cm de 18- Indicar qual dos conjuntos a seguir contém todos
seu centro. Uma secante que passa por P corta o os valores de x que satisfazem a 2x – 3 > 7 – x.
círculo nos pontos Q e R de maneira que o segmento a) x > 4 b) x < 10 / 3 c) x = 10 / 3
externo da secante PQ mede 9 cm e QR 7 cm. O raio d) x > 10 / 3 e) x < 0
do círculo é:
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm
19- Se os três pontos de contato de um círculo
10- A soma dos coeficientes numéricos da expansão inscrito em um ∆ são ligados, então os ângulos do
binomial (a + b)6 é: triângulo resultante:
a) 32 b) 16 c) 64 d) 48 e) 7 a) são sempre iguais a 60°
b) são sempre um ângulo obtuso e dois agudos
11- Um comerciante expôs diversas roupas com seus distintos
respectivos preços. Depois disso, colocou um cartaz c) são sempre um ângulo obtuso e dois agudos iguais
dizendo “desconto de 1/3 no preço destas roupas”. O d) são sempre ângulos agudos
custo das roupas era ¾ do preço pelo qual elas foram e) são sempre 3 ângulos distintos
1

2. 20- A equação x³ + 6x² + 11x + 6 = 0 tem: 30- A e B trabalhando juntos fazem um trabalho em
a) nenhuma raiz real negativa dois dias; B e C fazem o mesmo trabalho em 4 dias;
b) nenhuma raiz real positiva c) nenhuma raiz real A e C em 2 2/5 dias. O número de dias que seriam
d) uma raiz positiva e duas negativas necessários para que A faça o trabalho sozinho é:
e) uma raiz negativa e duas positivas a) 1 b) 3 c) 6 d) 12 e) 2,8
21- As raízes da equação 2√x + 2x-1/2 = 5 podem 31- No ∆ABC, AB = AC e o ângulo A = 40°. O
ser encontradas resolvendo-se: ponto X interior ao ∆, forma um ângulo XBC =
a) 16x² - 92x + 1 = 0 b) 4x² - 25x + 4 = 0 ângulo XAC. Então o ângulo BXC mede:
c) 4x² -17x + 4 = 0 d) 2x² - 21x + 2 = 0 a) 110° b) 35° c) 140° d) 55° e) 70°
e) 4x² - 25x – 4 = 0
32- Os fatores de x4 + 64 são:
22- A expressão 2x² - x___ - 4 + x____ a) (x² + 8) b) (x² + 8)(x² - 8)
(x + 1) (x – 2) (x + 1) (x – 2) c) (x² + 2x + 4)(x² - 8x + 16)
não pode ser calculada para x = -1 ou x = 2, visto que d) (x² - 4x + 8)(x² - 4x – 8) e) (x² -4x +8)(x² +4x +8)
a divisão por zero não é definida. Para os demais
valores de x: 33- Um banco cobra R$ 6,00 sobre um empréstimo
a) a expressão assume diversos valores distintos de R$ 120,00. Quem pede o empréstimo recebe
b) a expressão assume apenas o valor 2 R$114,00 e paga sua dívida em 12 parcelas de R$
c) a expressão assume apenas o valor 1 10,00 ao mês. A taxa anual de juros sobre esse
d) a expressão assume valores entre -1 e +2 empréstimo é aproximadamente, de:
e) a expressão assume sempre valores maiores que +2 a) 5% b) 6% c) 7% d) 9% e) 15%
ou menores que -1
34- a fração 1 / 3:
23- Se a margem de lucro feita por um artigo que a) é igual a 0, 33333333.
custa C reais e é vendida por V reais é M= (1/n).C, 1
b) menor que 0, 3333333
então o valor da margem é dado por: 3.10 8
a) M = [ 1/(n-1)] V b) M = ( 1 / n) V c) 1
menor que 0, 33333333
3.10 9
c) M = [ 1 /(n+1)] V d) M = [ 1 /(n+1)] V
e) M = [ n / (n-1)] V d) 1
maior que 0,33333333
3.10 8
24- Os valores de k para os quais a equação e) 1
maior que 0,33333333
3.10 9
2x³ - kx + x + 8 = 0 terá raízes reais e iguais são:
a) 9 e -7 b) apenas -7 c) 9 e 7 d) -9 e -7
e)apenas 9
25- As duas raízes da equação a(b – c)x² + b(c – a)x + 35- No ∆ retângulo abaixo MCA a soma das
c(a – b) = 0 são 1 e : distâncias BM e MA é igual a soma das distâncias
aabbcc aabbc c ccaab b ccaabb
a) bbcc a a b) ccaabb c) bbcc a a d) aabbc c e) bbcc aa BC e CA. Se MB = x, CB = h e CA = d, então o valor
aabbc c de x é:
a) h d / (2h + d )
26- O segmento de reta AB é dividido por um ponto b) d – h
C de tal forma que AC = 3 CB. São traçados dois c) 1 / 2 d
círculos tendo AC e CB como diâmetros. Uma d) h + d - √2 d
tangente aos dois círculos encontra a reta que passa e) √h² + d² - h
por A e B no ponto D. Nestas condições BD é igual a:
a) o diâmetro do círculo menor b) o raio do círculo
menor c) o raio do círculo maior d) CB √3 36- Um barco navega na velocidade de 15 km/h em
e) a diferença dos raios dos dois círculos água parada. Em uma corrente marinha cuja
velocidade é de 5 km/h ele navega certa distância no
27- Um cone circular reto tem por base um círculo sentido da corrente e depois volta. A razão entre a
cujo raio é igual ao de uma esfera. A razão entre a velocidade média da viagem (ida e volta) e a
altura do cone e o raio de sua base é: velocidade em água parada é:
a) 1 / 1 b) 1 / 2 c) 2 / 3 d) 2 / 1 e) √5/4 a) 5/4 b) 1/1 c) 8/9 d) 7/8 e) 9/8
37- Dado um ∆PQR onde RS bissecta o ângulo R, PQ
m 4 r 9 3mrr nt é estendido até D e o ângulo n é reto, então:
28- Se n n 3
e t
t 24
, então o valor de 4ntt 7mr
é:
a) ] m = ½ (]p - ]q) b) ]m = ½(]p + ]q)
a) -5 1
2
b)- 11
14
c) -1 1
4
d) 11
14
e) - 2
3 c) ]d = ½ (]q + ]p) d) ]d = ½ ]m e) nra
R
29- Se a proporção entre os comprimentos dos catetos
de um ∆ retângulo é 1 : 2, então a proporção entre as m
partes da hipotenusa que resultam da divisão da n
mesma por uma reta perpendicular a ela passando
p q d
pelo vértice oposto é:
P S Q D
a) 1 : 4 b) 1 : √2 c) 1 : 2 d) 1 : √5 d) 1 : 5
2

3. 38- Se log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, então o valor o qual corta AB num
de x quando 3x + 3 = 135 é aproximadamente: ponto T. Nestas
a) 5 b) 1,47 c) 1,67 d) 1,78 e) 1,63 condições AT e TB são
raízes de:
39- O lugar geométrico dos pontos médios de um a) x² + px + q² = 0
segmento que é traçado a partir de um ponto externo b) x² - px + q² = 0
P até um círculo de centro O e raio r é: c) x² + px – q² = 0
a) uma reta perpendicular a PO d) x² - px – q² = 0
b) uma reta paralela a PO e) x² - px + q² = 0
c) um círculo de centro P e raio r
d) um círculo de centro no ponto médio de PO e raio
2r e) um círculo cujo centro é o ponto médio de 48- Um trem encontra a linha bloqueada por um
PO e raio 1/2r. acidente, uma hora após sua partida, o que o detém
por meia hora. Depois disso ele parte viajando a ¾ da
40- Se ( a + 1 / a )² = 3, então a³ + 1 / a³ é igual a: velocidade anterior e chega ao destino com 3 ½ hora
a) 10√3 / 3 b) 3√3 c) 0 d) 7√7 e) 6√3 de atraso. Se o acidente tivesse ocorrido 90 km mais
adiante, o atraso seria de apenas 3 horas. Qual é o
41- A soma de todas as raízes da equação comprimento (em km) do trajeto que o trem percorre?
4x³ - 8x² - 63x – 9 = 0 é : a) 400 b) 465 c) 600 d) 640 e) 550
a) 8 b) 2 c) -8 d) -2 e) 0
49- A diferença dos quadrados de dois números
42- Considere os gráficos de (1) y = x² - ½ x + 2 e ímpares é sempre divisível por 8. Se a > b ,e 2a+ 1 e
(2) y = x² + ½ x + 2 num mesmo conjunto de eixos. 2b + 1 são números ímpares, então, para provarmos a
Essas parábolas têm exatamente a mesma forma. afirmação anterior, devemos calcular a diferença dos
Então: quadrados na forma:
a) os gráficos coincidem a) (2 a + 1)² - (2b + 1)² b) 4 a² - 4b² + 4 a – 4b
b) o gráfico de (1) está abaixo do gráfico de (2) c) 4[a (a + 1) – b(b + 1)] d) 4(a – b)(a + b + 1)
c) o gráfico de (1) está à esquerda do gráfico de (2) e) 4 ( a² + a – b² - b)
d) o gráfico de (1) está à direita do gráfico (2)
e) o gráfico de (1) está acima do gráfico de (2) 50- Entre as 7 e as 8 horas, existem dois instantes em
que os ponteiros do relógio farão entre si, um ângulo
43- A hipotenusa de um ∆retângulo mede 10cm e o exato de 84 graus. Esses instantes, calculados com
raio do círculo inscrito, 1 cm. O perímetro do ∆, em aproximação ao minuto mais próximo, são:
centímetros, mede: a) 7h 23’ e 7h 53’ b) 7h 20’ e 7h 50’ c) 7h 22’ e
a) 15 b) 22 c) 24 d) 26 e) 30 7h 53’ d) 7h 23’ e 7h 52’ e) 7h 21’ e 7h e 49’.
44- Um homem nascido na primeira metade do
século XIX tem x anos de idade no ano x². O ano de
nascimento desse homem é: GABARITO
a) 1 849 b) 1 825 c) 1 812 d) 1 836 e)1 806
01-E 11-A 21-C 31-A 41-B
45- Em um romboedro ABCD são traçados 02-C 12-C 22-B 32-E 42-D
segmentos de reta no seu interior paralelos à diagonal
BD, terminando nos lados do romboedro. É feito 03-C 13-B 23-D 33-D 43-B
então um gráfico mostrando o comprimento do 04-E 14-E 24-A 34-D 44-E
segmento em função da distância do vértice A. O 05-A 15-D 25-D 35-A 45-D
gráfico é:
06-D 16-D 26-B 36-C 46-E
a) uma reta que passa pela origem
b) uma reta passando pelo quadrante superior direito 07-B 17-A 27-D 37-B 47-B
c) duas retas, formando um V voltado para cima 08-C 18-D 28-B 38-B 48-C
d) duas retas, formando um V invertido (∧) 09-C 19-D 28-A 39-E 49-C
e) n.r.a.
10-C 20-B 30-B 40-C 50-A
46- Se os pontos A, B e C no diagrama são os pontos
de tangência, então x é igual:
a) 3 / 16 cm C
b) 1 / 8 cm • x
c) 1 / 32 cm A
• 3/8 •
B
d) 3 / 32 cm 1/2
e) 1 / 16 cm
60 °
47- No ponto médio de um segmento AB que mede p
unidades de comprimento, é levantada uma
perpendicular MR, de comprimento q. Depois é
traçado um círculo com centro em R e raio 1 / 2 AB,
3

4. NOTA: Substituem-se as variáveis do binômio por 1,
SOLUÇ’ES ou seja: a = b = 1.
01(E)
11(C) Seja P o preço de venda, M o preço marcado e
Elevando-se a expressão ao quadrado(quadrando-se) C o custo. Temos então:
2
1
55 y 2 2 25 2 25 5 10 y 2 2 25  y 2 2 25 PPM - 3
M M2 M
3
3 3 2
y 2 2 10 y 2 2 25 CC 4
PP 4
. 3
M M1 M M
2
C
M
M 1
2
12(C) Do ponto de vista analítico, as duas equações
02(C) A equação de origem trata-se de uma equação representam duas retas paralelas e distintas, pois
fracionária, possuindo a condição de existência: possuem o mesmo coeficiente angular m = 2/3. Logo
x – 1 x 0 ∴ x 1. Logo o conjunto solução da elas não possuem ponto em comum. Outro modo é
primeira equação é apenas o elemento 4. pela Regra de Cramer. Nota-se que o determinante
dos seus coeficientes é nulo, portanto não há solução.
03(C) Temos que: x = k1y³ (i).
A seguir temos: y = k2z1/5 (ii). 13(B) Temos uma
Substituindo (ii) em (i), temos: x = k1(k2z1/5)³ ∴ questão sobre “ângulo
x = k1k2³ z3/5 = k z 3/5. Onde n = 3/5. inscrito” em uma
circunferência: Sua
04(E) Vamos fatorar os dois números e em seguida medida (α) é a metade da
determinar o M.D.C. pelos fatores comuns de medida do arco: α =
menores expoentes, ou seja: med.arc. / 2.
132 = 2².3.11 ; 6432 = 25.3.67 Para o nosso problema
∴ MDC (132, 6432) = 2². 3 = 12. Logo: 12 – 8 = 4 temos:
] x = 1 / 2 ( a + b + c). Portanto a soma dos quatro
05(A) No hexágono inscrito
ângulos: S = ½ (a + b + c + b + c + d + c + d + a + d
podemos traçar seis triângulos
+ a + b) = ½ (3a + 3b + 3c + 3d)= 3/2 (a + b + c + d)
eqüiláteros de lado = raio(R) = 10.
= 3/2 (360°) = 540°. (Veja a figura lado).
∴ Área do hexágono = 6.Área ∆
∴ AH = 6.1/2. R.R. sen 60°= 14(E) Inicialmente, vamos desenvolver o quadrado
150√3 cm². no radicando e a seguir executar o mmc.Finalmente
Nota: para cálculo da área de um ∆ do qual se tem
dois de seus lados e o ângulo entre eles é dado por: x4 41 2 4x 4 x 882x 4 1 x 8 2x 4 1 x 4 1 2
1 2 4 4 2
A ∆ = ½(lado1. lado2). seno do ângulo entre lados. 2x 4x 4 4x 4 2x 2
x 4 1 x4 1 x2 1
2 2  2 
06(D) Temos uma questão sobre potências e suas 2x 2 2x 2 2x 2 2 2x2
propriedades. executamos a raiz quadrada.
x° = 1 para todo x ( x x 0) e – 32 = - 25
15(D) Temos uma questão envolvendo algumas
∴
1
propriedades de logarítmos (divisão, expoentes,etc.)
16
 11 1 4 1
4
5 16  1 1 1 8 16 6 7
1
8
1
8 log 125 = log (1000 / 8) = log 1000 – log 8 =
64
12 5 5
= log 10³ - log 2³ = 3.log 10 – 3.log2 = 3 – 3.log 2.
07(B) Vamos a primeiro lugar calcular o preço sem 16(D) Aplicando a função f(x) temos:
descontos do vestido: Pr. venda = Pr. Custo – f(x + h) – f(x) = [5(x + h)² - 2(x + h) – 1] – (5x²-2x-1)
desconto ∴ 25,00 = C – 2,50 ∴ C = 27,50. = 10xh + 5h² - 2h = h( 10x + 5h – 2).
Logo a taxa dos descontos = desconto / Pr.Custo =
2,50 / 27,50 = 1 / 11 2 9%. 17(A) Há uma variedade de maneiras de se verificar
que a alternativa correta é (A). Uma maneira (óbvia)
08(C) Sejam L o lado do quadrado e h a altura do ∆. é colocar vários pontos em um gráfico.
Como as áreas são iguais, temos: NOTA: O traçado de um gráfico de um polinômio de
At = Aq ∴ (base x altura) / 2 = (lado)² 3°grau está fora do escopo do nível médio.
∴(2L. h)/2 = L² ∴ h = L ∴ h / L = 1.
18(D) Assunto: Inequação do 1° grau. Temos que:
09(C) Considere as 2x – 3 > 7 – x, adicionando x + 3 a ambos os
cordas: PQ = 9; PR = membros da inequação: 3x > 10 ∴ x > 10 / 3.
PQ + QR=9+7 = 16.
Temos ainda: PS = 13 – 19(D) Assunto: Ângulo Inscrito
r(raio) e PT = 13 + r. em uma circunferência (Veja
Usando uma das fórmulas da potência de um ponto, problema 13). Vamos
temos: PT . PS = PQ . PR ∴ (13 + r)( 13 – r) = 16 . 9 considerar o ∆ A’B’C’ inscrito
∴ 169 – r² = 144 ∴ r = 5. no círculo e este por sua vez,
inscrito no ∆ABC (Veja figura)
10(C) Soma dos coeficientes = ( 1 + 1)6 = 26 = 64. Como: A’ = a / 2 e que ] A = 180° - a∴ a = 180° - ]
A.
] A’ = a / 2 = 90° - ]A / 2 ∴ A’ < 90°.
4

5. [Da mesma forma encontramos: ]B’ < 0 e ] C’ < 0. 29(A) Usando relações métricas no ∆ retângulo
20(B) Raízes racionais de uma eq. Polinomial: Se p/ m 4 r 9
(i) Temos que n e t , onde
q, com p Ze q  Z*, é raiz de P(x) = ao + a1x + a2x² + ... n 3 t 14
+ anxn = 0, p é divisor de ao e q é divisor de a n. Na multiplicando as proporções entre si,obtém-se:
equação do problema x³ + 6x² + 11x + 6 = 0, temos mr
n 4 3 14 4 6 7 6k k mr m 6k e nt n 7k
9
nt 3 7 7k
que ao = 6 e a n= 1, p é divisor de 6 = {±1; ±2; ±3;
±6} e q é divisor de 1 = {±1}.Então p/q = {±1; ±2; Podemos então calculara a razão pedida:
3mrr nt
±3; ±6}.
4ntt 7mr
r 28kk42k k k14k k k11 .
18kk7k 11k
14
Verifica-se então que p(-1) = p(-2) = p(-3) = 0, logo: (considerar figura) e dados do problema temos:
-1; -2 e -3 são raízes racionais da equação
x x c c a² e ec c xxc c b².
21(C) Inicialmente devem-se quadrar a equação e em Como a razão catetosc a b 1
b 2
seguida, “zera-la” (operar seus ternos semelhantes no
1º membro zerando o segundo). a razão das p artes da hip otenusa
Temos: 2 x  2
x 5 5 2 x  2
2
2
2 5 2 4x  8  4
x x 25 h xccxxc c ccx x a² ²
xc x
b²
1
2
² ² 1
4
.
x x
(multiplicando-se os membros da equação por x, temos) (Veja figura abaixo).
30(B) Sejam a, b
) 4x² ² 17x  4 4 0
e c os dias que
A, B e C
22(B) Vamos operar as frações e fatorar: gastariam para
2x²² x 4 x 2x²² xx44x
Temos : xx 111xx2 2
2 xx 111xx2 2 2 xx 111xx2 2 2 terminar o
22x²² xx22 22x 1 11xx22
trabalho se
2x²² 2xx4
2 4x 1 11xx22
2 2x 1 11xx22 2 2x 1 11xx22 2 2, estivessem
trabalhando sozinhos. Então 1 / a. 1 / b e 1 / c
para valores de x x x 1 ou x x 2. representam as frações do trabalho que eles executam
23(D) Pelas alternativas do problema, observa-se que em cada dia. Como A e B trabalhando juntos gastam
o pedido é a margem (M) do lucro em função do 2 dias para fazer o trabalho, então fazem a metade do
preço de venda (V). Iniciamos a resolução calculando trabalho por dia, isto é 1/a + 1/b = ½ (i) e
o preço de custo (C) em função de (V), usando (i) semelhantemente 1/b + 1/c = ¼ (ii) e 1/a + 1/c=
para em seguida calcularmos M em função de V. 1 / 2 2/5 = 5/12 (iii).
(i) Venda (V) = Custo (C) + Lucro (L) ∴ Fazendo (iii) – (ii), temos: 1/a – 1/b = 1/6 (iv).
V = C+1/n C = C ( 1 + 1/n ) ∴ C = [ n / (n+1)] V Finalmente: (i) + (ii) = 2/a = 2/3 ∴ a = 3.
(ii) Como temos que: M = (1 / n)C ∴
M = (1 / n).[n / (n + 1)] V ∴ M = V / (n + 1) . 31(A) A
40°
24(A) Para uma equação do 2ºgrau possuir raízes
reais e iguais, o valor do discriminante = 0 (zero).
D E
Na equação 2x² - x(k – 1) + 8 = 0 temos que:
40°+α
∆ = (k – 1)² - 64 = 0 ∴ k – 1= ± 8 ∴ k = 9 ou k = -7. X
70- α β α
25(D) Trata-se de um problema de equações do α 70- α
2ºgrau (ax² + bx + c = 0, a20) em que uma das raízes, B C
temos que é x1= 1. Vamos usar a fórmula do produto
das raízes, ou seja: Pelo enunciado temos que AB = AC ∴ ∆ABC é
x1.x2 = c / a ∴ 1 . x2 = c(a – b) / a(b – c) isósceles, e: (i) ] A = 40°,(ii) pela soma dos ângulos
∴ x2 = c(a – b) / a(b – c). internos de um ∆, temos ] B = ] C = 70°.
Vamos a figura acima e considere:
26(B) Seja x = BD
e seja R o raio do a) No ∆BXC, temos: ] B = α; ]X = β e
círculo menor. ]C= 70°- α.
Traçada uma reta b) No ∆ADC, temos: ] A = 40°; ] C = α .
do centro de cada
circunferência até o c) NO ∆BDX, temos: ] B = 70°- α; ] D =
ponto de contato da 40°+ α ( ângulo externo do ∆BDX)
tangente e o círculo, por semelhança de triângulos, d) ] β (Externo ∆BDX) = (70°-α) + (40°+ α)
temos:
= 110°.
x R x 5R
R
R 3R
R xx R
27(D) Como dados temos: Rcone = Resf. = R; Temos
mais que: Vcone = ½ Vesf ∴ 1/3 R² hc = ½ (4/3 RR³)
∴ h c / R = 4/2 = 2 / 1. 32(E) Trata-se de um problema de fatoração. Existem
alguns métodos, como a complementação dos
28(B) Vamos usar algumas propriedades das quadrados, uso de regras dos produtos notáveis, etc.
proporções: Mas vamos ao nosso caso:
x4 + 64 = (x²)² + (8)² + 16x²- 16x²=
5

6. =(x4 + 16x²+64) - 16x² = (x² + 8)² - (4x)² = ∴x 1,47.
(x² + 8+ 4x) (x²+ 8 – 4x) = (x² + 4x + 8) (x²- 4x + 8).
39(E) Seja PA um segmento de reta qualquer
33(D) A taxa de juros Compostos, trata-se de um passando por P de forma que A seja um ponto sobre
cálculo bastante complexo. Vamos aqui usar uma uma circunferência de centro O e raio r. Seja A’ o
aproximação. O quociente do juro pelo capital inicial ponto médio de PA r seja O’ o ponto médio de
nos fornece a taxa, pois j = C.i ∴ i = j / C (onde C = PO.Para se convencer de que o lugar geométrico
Capital inicial e j = juros). No nosso problema vamos procurado é a circunferência de centro O’ e raio r/2,
considerar a média(metade) de C = 120/2 = 60. considere os triângulos equivalentes POA e PO’A’.
Portanto temos: i = j / C = 6 / 60 = 0,10 P 10%. Qualquer que seja o ponto A sobre a circunferência
dada, O’A’ = ½ AO = ½ r (veja figura a seguir). Logo
34(D) Assunto: Dízimas periódicas Simples e a alternativa
Compostas: Temos que 1 / 3 = 0, 333. . . (dízima correta é (E).
periódica simples).
Podemos ver: 1/ 3 = 0, 33333333 + 0, 00000000333... 40(C) Como
∴ 1/3 – 0, 00000000333... = 0, 33333333. temos (a +
Podemos concluir então que 1/3 é maior que 1/a)² = 3 ∴ a +
0,33333333 em 0,00000000333... = 1 / 3.10 8. 1/a = √3.
Para o cálculo do pedido vamos usar o cubo da soma
35(A) Usando: (i) Teorema de Pitágoras no ∆ACM de dois termos e uma de suas aplicações. Lembrando
temos: c² = m² + a² ∴ c = √ d² + (h + x)² = que: (x + y)3 = x³+3x²y+3xy²+y³ = x³ + y³ + 3xy(x+y)
= √ d² +h² +2hx + x². ∴ x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y). Podemos então usar
(ii) Dados do problema: BM + MA = BC + CA ∴ que: a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3 a.1/a (a + 1/a) =
x+c=h+d∴c=h+d–x. (√3)³-3.a.1/a(√3) ∴ a³ + 1/a³ = 3√3 - 3√3 = 0.
Fazendo (i) = (ii), e a seguir quadrando a igualdade
temos: 41(D) Uma equação do 3° grau apresenta-se como:
ax³ + bx² + cx + d = 0 e tem como soma das raízes:
√ d² + h² + 2hx + x² = h + d – x ∴
S = - b/a, portanto na equação 4x³ - 8x² - 63x – 9 = 0
d² + h² + 2hx + x² = h² + d² + x² +2hd – 2hx – 2dx ∴
temos: S = -(-8) / 4 ∴ S = 2.
∴2hx + dx = hd ∴ x = hd / (2h + d) .
42(D) Construindo o gráfico das funções ou
36(C) Do enunciado temos; Velocidade do barco em
observando o ponto mínimo vértice V(-b / 2 a; -∆/4 a)
águas parada → Vág. Par. = 15 km/h; Vel. da corrente de cada função, V1(1 / 4; 31 / 16) e V2(-1 / 4; 31 / 16),
→ Vcor = 5 km/h Vel. barco descendo o rio → Vds = em um plano cartesiano pode-se concluir que a
15 + 5 = 20 km/h; Vel. barco subindo o rio → Vsd = alternativa correta é (D).
15 – 5 = 10 km/h.
Cálculo da velocidade média(Vm) da subida e 43(B) Num ∆ABC retângulo com hipotenusa c e
descida do trecho do rio, usaremos a média catetos a e b temos que c = a – r + b – r , onde r é o
harmônica sobre Vds e Vsd (Ver II REMEMBER – raio do círculo inscrito (Veja problema 35 –
Prob 39), ou seja: Remember I ). Como dados temos: c = 10 cm e r = 1
cm. Daí: 10 = a + b – 2.1 ∴ a + b = 12(Soma com
2 2 2 40
Vm V 1 1 V 1 1 0 1 2 0 3
km/h catetos) ∴ Perímetro = a + b + c = 12 + 10 = 22 cm.
Vds  Vsd 20  10 20
Vm 40/3 8
Logo a razão pedida: Vág.par. . 15
5 9
44(E) A 1ª metade do século XIX compreende um
número inteiro entre 1800 e 1850. Extraindo a raiz
37(B) Pelas opções verifica-se que o pedido do quadrada de 1950 temos: 1950 = 43² + 1, ou seja, o
problema é o ângulo ]m ou o ângulo ] d e que único inteiro que possui quadrado neste intervalo
] n = 90°. acima é 43, pois 43² = 1849. Portanto em 1849 =x²
Como o ]m ele possui 43 anos = x, logo ele nasceu em 1849 – 43
é externo ao = 1806.
∆MPD
45(D) Seja x a distância de A medida da reta
temos:]m=
(diagonal)AC e seja y o comprimento do segmento
]p+]d. paralelo a BD e x
Os ∆MRNM∆ORN → ]m = ]o → No ∆OQD → unidades a partir de A.
]q = ]m + ]d . Isolando ]d nas duas equações Considerando o losango
ABCD, com diagonais AC
temos: ]m - ]p = ]q - ]m → 2]m = ]p + ]q → e BD. Por semelhança
]m = (]p + ]q) / 2. (Observe a figura) temos: ∆AEF A ABD,
logo:
38(B) Aplicando a princípio a propriedade de i) Se x ≤ AC / 2 → ½ y = ½ BD
potências am + n = am. an e a seguir usando logarítmos x ½ AC
na igualdade com a propriedade da divisão, temos: ∴y=2xBD/AC ∴ y = 2kx (k = BD/AC → constante)
3x + 3 = 3 x. 33 = 135 ∴ 3 x = 5 ∴ log3x = log 5 ∴
x log 3 = log 5 ∴ x log 3 = log( 10/2) =log10 – log 2
ii) Se x ≥ AC / 2 ( temos ∆CGH C ∆ CBD
)
∴ x = (log 10 – log 2) / log 3 = (1 – 0,3010) / 0,4771
½ y = ½ BD ∴ y = 2k(AC – x)
6

7. AC – x ½ AC desloca-se apenas 30°).(Considere relógio com
∴ y = -2kx + 2kAC, onde k = BD / AC (constante). mostrador circular para melhor compreensão).
O gráfico de y como função de x é linear. A 1ºinstante: Conforme o
declividade da reta = 2k, é positiva para x < AC/2 e a enunciado, há um ângulo de 84°
declividade = -2k (negativa) para x > AC/2. Portanto entre os ponteiros no horário
a alternativa correta é a (D). entre 7 e 8 h. Neste horário o
ponteiro das horas deslocou-se x
46(E) Na figura o ∆OBD é após as 7hs, formando um
retângulo em B; logo: ângulo de 210° + x relativo as
sen 30° = OB/OD ∴1/2=3/16 /OD ∴ OD=3/8. 12hs e, o ponteiro dos minutos deslocou-se y após a
Daí então: marca das 4 hs, formando ângulo de 120° + y com a
CD=3/8 + 3/19=9/16=x +1/2 ∴
x = 1/16 cm marca das 12 hs. (Veja figura ao lado).
Temos por equação relacionada ao deslocamento dos
ângulos: Deslocamento do ponteiro menor em relação
47(B) Usando o teorema de Pitágoras no ∆KMT as 12 hs – desl. do pont. maior relativo as 12 hs. =
(retângulo em M) temos: (1/2 p)² = q² + MT² ∴ 84° ∴ (210° + x ) – (120° + y) = 84° . Como o
ponteiro menor, entre 7 e 8 hs deslocou-se apenas x,
MT = √(1/2 p)² - q² = ( √p² - 4q² ) / 2 . temos que 120° + y = 12x (deslocamento do ponteiro
Vamos calcular as raízes, sua a soma e o produto: maior). Logo a nossa equação torna-se: 210° + x –
AT = AM + MT = p/2 + ( √p² - 4q² ) / 2 = 12x = 84° ∴ x = 126/11° 23 minutos.
=(p + √p² - 4q² ) / 2 e, Temos então o horário de 7hs e 23 min.
TB = AB – AT = p - (p + √p² - 4q²) / 2 =
= (p - √p² - 4q²) / 2. 2ºinstante: Fazendo as mesmas considerações do
Daí então: S =AT+TB = p e P = AT.TB= q² instante anterior, temos(Veja figura ao lado)
∴ a equação é: x² - px + q² = 0. Deslocamento ponteiro pequeno =
x
48(C) Seja d a distância do local do acidente ao final Deslocamento ponteiro grande =
da viagem e v, a velocidade constante do trem antes 300° + y = 12x;
do acidente. Nossa equação:
Temos então que o tempo normal da viagem, em Desl. pont.Gde – Desl.pont.Peq. =
horas, é dado por: 84° ∴ (300° + x) - ( 210° + x) =
T normal = T (antes do acid.) + T (após o acid.) = 84° ∴
= 1 + d / v = (v + d ) / 2 hs. 12x – 210° - x = 84° ∴ x = 294°/11 53 min.
Lembre-se no Mov.Uniforme: V = d/t ∴ t = d/v Logo o horário é 7 hs e 53 min.
Vamos considerar o tempo gasto em cada tipo de
viagem.
Veja que, no primeiro tipo temos três etapas de
tempo:
t1 (antes do acid.) + t2 (retido) + t3 (após acidente) =
= T normal + 3 ½ ∴
1 + ½ + d / (3/4 v) = (v+d)/2 + 31/2 ∴ d = 9v (I)
No segundo tipo temos as etapas:
t1(antes do acid.) + t2(+ 90km) +t3(retido) + t4(após
acid.) = T normal + 3 ∴
1 + 90 / v + ½ + (d – 90)/ (3/4 v) = (v + d)/2 + 3 ∴
2d – 15v = 180 (II).
Substituindo (I) em (II), temos: v = 60 km/h e d = 540
km.
Como o trem deslocou-se 1h com velocidade 60
km/h, antes do acidente podemos concluir:
a viagem = 540 + 60 = 600 km.
49(C) Considerando os impares 2 a + 1 e 2b + 1,
temos:(2 a + 1)² - (2b + 1)² =
= 4 a + 4 a + 1 – 4b² - 4b – 1 =
= 4 a (a + 1) – 4b (b + 1) =
= 4[a (a + 1) – b( b + 1)]
Como o produto de dois números consecutivos é
divisível por 2, a última expressão é divisível por 8.
50(A) Para resolução deste problema temos que saber
que, em termos de deslocamento, o que o ponteiro
dos minutos (y) executa em determinado tempo, o
ponteiro das horas (x) executa 1/12 do deslocamento,
ou seja: y = 12.x (veja que enquanto o ponteiro
grande (y) dar uma volta=360°, o ponteiro menor (x)
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