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Prof. Ivan MS Monteiro – Álgebra – CN/EPCAr 2014

BLOCO DO

1) No desenvolvimento de

( ax

2

IRADO!

5

− 2bx + c + 1) obtém-se um polinômio p ( x) cujos
p ( x) , então a soma de a + b + c é igual a:

coeficientes somam 32 . Se 0 e -1 são raízes de
(a)

−

1
2

(b)

−

1
4

(c)

1
2

(d) 1

(e)

3
2

2) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A( x ) = B ( x ) + 3 x
raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(-1) é igual a:
(a) 98 (b) 100 (c) 102 (d) 103 (e) 105

3

+ 2 x 2 + x + 1 . Sabendo-se que -1 é

+ bx 2 + cx + d , onde a , b , c , d são números reais , tal que
f (1) = f (2) = 0 e 4. f (3) = 3. f (4) = −2. f (2) . Podemos afirmar que:
(a) f (6) = a + 1 (b) f (6) = a + 2 (c) f (6) = a + 3 (d) f (6) = d (e) f (6) = d − 1

3) Seja f ( x ) = ax

3

4) Os coeficientes A , B , C e D do polinômio P ( x ) = Ax

3

+ Bx 2 + Cx + D devem satisfazer

certas relações para que P ( x ) seja um cubo perfeito. Assinale a opção para que isto se
verifique :

C2A
B
B2
2
2 2
(a) D =
(b) C =
e D=
(c) BC = 3 A e CD = B A
3
3
3B
3A
27 A
2
3
B
B
(d) C =
e D=
(e) BC = 27 AD
3A
27 A2
5) A divisão de um polinômio

f ( x) por ( x − 1)( x − 2 ) tem resto x + 1 . Se os restos das

divisões de f ( x ) por x − 1 e x − 2 são, respectivamente, os números
vale:
(a) 13 (b) 5 (c) 2 (d) 1 (e) 0
6) Para algum número real r , o polinômio 8 x

3

a e b , então a 2 + b 2

2

− 4 x 2 − 42 x + 45 é divisível por ( x − r ) . Qual

dos números abaixo está mais próximo de r ?
(a) 1,62
(b) 1,52 (c) 1,42 (d) 1,32 (e) 1,22
7) Sejam

a , b , c e d constantes reais. Sabendo que a divisão de P ( x ) = x 4 + ax 2 + b por
1

P2 ( x ) = x 2 + 2 x + 4 é exata, e que a divisão de P3 ( x ) = x 3 + cx 2 + dx − 3 por
P4 ( x ) = x 2 − x + 2 tem resto igual a -5, determine o valor de a + b + c + d .
(a) 0

(b) 7

(c) -7

(d) 21

(e) -21
8) Sendo

c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9 x 2 − 63 x + c , numa

diferença de dois cubos

3

( x + a ) − ( x + b)

Neste caso, − a − b + c é igual a:
(a) 104 (b) 114 (c) 124 (d) 134

3

.

(e) 144

a , b e c são raízes do polinômio p ( x) = x 3 − rx + 20 , onde r é um número real,
3
3
3
podemos afirmar que a + b + c é:
2
3
(a) -60 (b) 62 + r (c) 62 + r
(d) 62 + r
(e) 62 − r
9) Se

10) As raízes do polinômio de coeficientes reais

p ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c são inteiros positivos

consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então,
(a) 190 (b) 191 (c) 192 (d) 193 (e) 194

a 2 + b 2 + c 2 é igual a:

11) Se R( x) é o resto da divisão do polinômio

x8 + 3 x6 + 2x5 + 10x4 + 6 x3 + 3 x2 + 20 x + 10
por x4 + 3 x2 + 9 então, R(1995) é igual a :
(a) 3990
(b) 3991
(c) 7980
(d) 7981
(e) 7989
12) Se x4 + px2 + q é divisível por x2 − 6 x + 5 então p + q é igual a :
(a) 2

(b) 1

(c) 0

(d) −1

(e) −2

13) Um polinômio P( x) , de grau 3, dividido por x2 − 1 deixa resto 6 x − 2 e quando dividido
por x2 + 1 deixa resto 2 x − 8 . A soma dos coeficientes dos termos de grau impar de P( x) é :
(a) um número maior do que 13
(b) um número que possui quatro divisores positivos
(c) um número primo
(d) um número negativo
(e) um quadrado perfeito
14) Os valores reais a e b , tais que os polinômios x3 − 2ax2 + ( 3 a + b) x − 3b e x3 − ( a + 2b) x + 2a
sejam divisíveis por x + 1, são:
(a) dois números inteiros positivos. (b) dois números inteiros negativos.
(c) números inteiros, sendo que um é positivo e o outro negativo.
(d) dois números reais, sendo um racional e o outro irracional.
(e) dois números primos e positivos.
15) Um polinômio P ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

é tal que P ( −2 ) = −2 , P ( −1 = 3 ,
)

P ( 2 ) = 2 .Temos, então, que:
(a) b = 0
(b) b = 1

(d) b = 3

(c) b = 2

P ( 1 = −3
)

e

(e) b = 4

16) Sabendo que P( x) é um polinômio de grau maior que 3 tal que

P (1) = 2 , P ( 2 ) = 3

e

P ( 3) = 5 , seja R(x) o resto da divisão de P(x) por (x − 1 x − 2)(x − 3 ) . O resto da divisão de
)(
R ( 2015 ) − R ( 2014 ) por 7 é igual a:

(a) 0

(b) 2

(c) 3

(d) 5

(e) 6

17) Quando P( x) = x81 + Lx57 + Gx41 + Hx19 + 2x + 1 é dividido por x− 1 o resto é 5 ; quando P( x) é
dividido por x− 2 o resto é −4 . Sabendo que x81 + Lx57 + Gx41 + Hx19 + Kx+ R é divisível por
(x − 1 x − 2) , o valor do produto K ⋅ R é igual a :
)(
(a) -130
(b) 130
(c) -133
(d) -143
(e) 143
18) Dividindo x100 por x2 − 3 x + 2 obtemos resto igual a:

(

) (

)

(a) x 2 100 − 1 + 2 2 99 − 1

(b) 2 100 − 1

(c) 2 100 ( x − 3 )

(d) 2 100 ( x − 1 − ( x − 2 )
)

(e) 2 100 ( x + 1 − ( x + 2 )
)

19) O resto

R ( x ) da divisão do polinômio 1 + x + x 2 + ⋅⋅⋅ + x100 por x 2 − 1 é tal que R ( 51) é:

(a) 2500

(b) 2600

(c) 2601

(d) 2603

(e) 2605

20) Um polinômio do 3o grau é tal que o coeficiente do seu termo do terceiro grau é igual a 1.
Sabendo que
(a) 48

P (1) = P ( 2 ) = 0 e P ( 3) = 30 . O valor de P ( −1) é igual a:
(b) 66

(c) 18

(d) −2

GABARITO
1–a
2–c
3–d
4–d
5–a
6–b
7–d
8–c
9–a
10 – d
11 – b
12 – d
13 – b
14 – c
15 – a
16 – d
17 – d
18 – d
19 – c
20 – b

(e) 68

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Polinômios carnaval 2014

  • 1. Prof. Ivan MS Monteiro – Álgebra – CN/EPCAr 2014 BLOCO DO 1) No desenvolvimento de ( ax 2 IRADO! 5 − 2bx + c + 1) obtém-se um polinômio p ( x) cujos p ( x) , então a soma de a + b + c é igual a: coeficientes somam 32 . Se 0 e -1 são raízes de (a) − 1 2 (b) − 1 4 (c) 1 2 (d) 1 (e) 3 2 2) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A( x ) = B ( x ) + 3 x raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(-1) é igual a: (a) 98 (b) 100 (c) 102 (d) 103 (e) 105 3 + 2 x 2 + x + 1 . Sabendo-se que -1 é + bx 2 + cx + d , onde a , b , c , d são números reais , tal que f (1) = f (2) = 0 e 4. f (3) = 3. f (4) = −2. f (2) . Podemos afirmar que: (a) f (6) = a + 1 (b) f (6) = a + 2 (c) f (6) = a + 3 (d) f (6) = d (e) f (6) = d − 1 3) Seja f ( x ) = ax 3 4) Os coeficientes A , B , C e D do polinômio P ( x ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D devem satisfazer certas relações para que P ( x ) seja um cubo perfeito. Assinale a opção para que isto se verifique : C2A B B2 2 2 2 (a) D = (b) C = e D= (c) BC = 3 A e CD = B A 3 3 3B 3A 27 A 2 3 B B (d) C = e D= (e) BC = 27 AD 3A 27 A2 5) A divisão de um polinômio f ( x) por ( x − 1)( x − 2 ) tem resto x + 1 . Se os restos das divisões de f ( x ) por x − 1 e x − 2 são, respectivamente, os números vale: (a) 13 (b) 5 (c) 2 (d) 1 (e) 0 6) Para algum número real r , o polinômio 8 x 3 a e b , então a 2 + b 2 2 − 4 x 2 − 42 x + 45 é divisível por ( x − r ) . Qual dos números abaixo está mais próximo de r ? (a) 1,62 (b) 1,52 (c) 1,42 (d) 1,32 (e) 1,22 7) Sejam a , b , c e d constantes reais. Sabendo que a divisão de P ( x ) = x 4 + ax 2 + b por 1 P2 ( x ) = x 2 + 2 x + 4 é exata, e que a divisão de P3 ( x ) = x 3 + cx 2 + dx − 3 por P4 ( x ) = x 2 − x + 2 tem resto igual a -5, determine o valor de a + b + c + d . (a) 0 (b) 7 (c) -7 (d) 21 (e) -21
  • 2. 8) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9 x 2 − 63 x + c , numa diferença de dois cubos 3 ( x + a ) − ( x + b) Neste caso, − a − b + c é igual a: (a) 104 (b) 114 (c) 124 (d) 134 3 . (e) 144 a , b e c são raízes do polinômio p ( x) = x 3 − rx + 20 , onde r é um número real, 3 3 3 podemos afirmar que a + b + c é: 2 3 (a) -60 (b) 62 + r (c) 62 + r (d) 62 + r (e) 62 − r 9) Se 10) As raízes do polinômio de coeficientes reais p ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então, (a) 190 (b) 191 (c) 192 (d) 193 (e) 194 a 2 + b 2 + c 2 é igual a: 11) Se R( x) é o resto da divisão do polinômio x8 + 3 x6 + 2x5 + 10x4 + 6 x3 + 3 x2 + 20 x + 10 por x4 + 3 x2 + 9 então, R(1995) é igual a : (a) 3990 (b) 3991 (c) 7980 (d) 7981 (e) 7989 12) Se x4 + px2 + q é divisível por x2 − 6 x + 5 então p + q é igual a : (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) −1 (e) −2 13) Um polinômio P( x) , de grau 3, dividido por x2 − 1 deixa resto 6 x − 2 e quando dividido por x2 + 1 deixa resto 2 x − 8 . A soma dos coeficientes dos termos de grau impar de P( x) é : (a) um número maior do que 13 (b) um número que possui quatro divisores positivos (c) um número primo (d) um número negativo (e) um quadrado perfeito 14) Os valores reais a e b , tais que os polinômios x3 − 2ax2 + ( 3 a + b) x − 3b e x3 − ( a + 2b) x + 2a sejam divisíveis por x + 1, são: (a) dois números inteiros positivos. (b) dois números inteiros negativos. (c) números inteiros, sendo que um é positivo e o outro negativo. (d) dois números reais, sendo um racional e o outro irracional. (e) dois números primos e positivos. 15) Um polinômio P ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d é tal que P ( −2 ) = −2 , P ( −1 = 3 , ) P ( 2 ) = 2 .Temos, então, que: (a) b = 0 (b) b = 1 (d) b = 3 (c) b = 2 P ( 1 = −3 ) e (e) b = 4 16) Sabendo que P( x) é um polinômio de grau maior que 3 tal que P (1) = 2 , P ( 2 ) = 3 e P ( 3) = 5 , seja R(x) o resto da divisão de P(x) por (x − 1 x − 2)(x − 3 ) . O resto da divisão de )( R ( 2015 ) − R ( 2014 ) por 7 é igual a: (a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) 5 (e) 6 17) Quando P( x) = x81 + Lx57 + Gx41 + Hx19 + 2x + 1 é dividido por x− 1 o resto é 5 ; quando P( x) é dividido por x− 2 o resto é −4 . Sabendo que x81 + Lx57 + Gx41 + Hx19 + Kx+ R é divisível por (x − 1 x − 2) , o valor do produto K ⋅ R é igual a : )( (a) -130 (b) 130 (c) -133 (d) -143 (e) 143
  • 3. 18) Dividindo x100 por x2 − 3 x + 2 obtemos resto igual a: ( ) ( ) (a) x 2 100 − 1 + 2 2 99 − 1 (b) 2 100 − 1 (c) 2 100 ( x − 3 ) (d) 2 100 ( x − 1 − ( x − 2 ) ) (e) 2 100 ( x + 1 − ( x + 2 ) ) 19) O resto R ( x ) da divisão do polinômio 1 + x + x 2 + ⋅⋅⋅ + x100 por x 2 − 1 é tal que R ( 51) é: (a) 2500 (b) 2600 (c) 2601 (d) 2603 (e) 2605 20) Um polinômio do 3o grau é tal que o coeficiente do seu termo do terceiro grau é igual a 1. Sabendo que (a) 48 P (1) = P ( 2 ) = 0 e P ( 3) = 30 . O valor de P ( −1) é igual a: (b) 66 (c) 18 (d) −2 GABARITO 1–a 2–c 3–d 4–d 5–a 6–b 7–d 8–c 9–a 10 – d 11 – b 12 – d 13 – b 14 – c 15 – a 16 – d 17 – d 18 – d 19 – c 20 – b (e) 68