1) O documento resume os principais conceitos de funções matemáticas como função, função injetora, função sobrejetora, função quadrática, equações e inequações com funções.
2) Inclui explicações sobre diferentes tipos de funções como função afim, função do primeiro grau, função exponencial e logaritmos.
3) Apresenta exemplos resolvidos de equações e inequações com funções para demonstrar a aplicação dos conceitos.
O documento descreve os conceitos básicos de funções afins, incluindo sua representação, construção de gráficos, coeficiente angular, coeficiente linear, zero da função e identificação de crescente ou decrescente. Também aborda como resolver sistemas e inequações do 1o grau usando gráficos e estudo de sinal.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de pré-cálculo, incluindo conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações do 1o e 2o grau e inequações. O capítulo 1 discute conjuntos numéricos, operações com números inteiros e racionais, e o capítulo 2 introduz conceitos de funções e o plano cartesiano.
1) O documento discute operações com intervalos, funções polinomiais do 1o grau e gráficos de funções lineares.
2) As operações com intervalos incluem união, intersecção e diferença.
3) Funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções lineares, têm a forma f(x)=ax+b e seu gráfico é sempre uma reta.
O documento descreve os conceitos básicos de funções afins, incluindo sua representação, construção de gráficos, coeficiente angular, coeficiente linear, zero da função e identificação de crescente ou decrescente. Também aborda como resolver sistemas e inequações do 1o grau usando gráficos e estudo de sinal.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de pré-cálculo, incluindo conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações do 1o e 2o grau e inequações. O capítulo 1 discute conjuntos numéricos, operações com números inteiros e racionais, e o capítulo 2 introduz conceitos de funções e o plano cartesiano.
1) O documento discute operações com intervalos, funções polinomiais do 1o grau e gráficos de funções lineares.
2) As operações com intervalos incluem união, intersecção e diferença.
3) Funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções lineares, têm a forma f(x)=ax+b e seu gráfico é sempre uma reta.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar as raízes dos polinômios no numerador e denominador e analisar o sinal de cada termo em diferentes intervalos de x.
3. Os resultados são expressos como a união de intervalos na reta numérica ou por meio de tabelas de sinais.
O documento discute potenciação, funções exponenciais e logaritmos. Apresenta as propriedades e definições dessas funções, incluindo exemplos de equações e inequações exponenciais e logarítmicas. Explica como resolver esses tipos de problemas aplicando conceitos como mudança de base e propriedades dos logaritmos.
O documento descreve um trabalho sobre módulo matemático. Apresenta uma introdução sobre o assunto e é dividido em seções sobre definição de módulo, interpretação geométrica, propriedades, exercícios resolvidos e propostos, equações modulares, inequações modulares e gabarito. O objetivo é ensinar o conceito de módulo de forma simples, com teoria e exercícios.
O documento discute funções modulares, definindo-as como funções cuja variável está dentro de um módulo. Explica que funções modulares podem ser representadas por duas funções equivalentes separadas pelo valor da variável. Apresenta exemplos de funções modulares e como construir seus gráficos.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, destaca-se a definição, gráfico, coeficientes angular e linear, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, explica-se a definição, gráfico em forma de parábola, raiz, vértice, imagem e estudo do sinal. Por fim, aborda-se a função modular, equações e inequações modulares.
O documento apresenta informações sobre funções lineares, sistemas lineares e exercícios de maximização e minimização de funções. Contém definições, exemplos resolvidos e gráficos de funções e sistemas lineares.
O documento discute funções do primeiro grau, definindo-as como funções polinomiais da forma f(x) = ax + b, com a ≠ 0. Explica como calcular o gráfico, determinar se uma função é crescente ou decrescente, e resolve exercícios envolvendo sistemas de equações para encontrar os valores de a e b.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre operações com intervalos, funções polinomiais do primeiro grau e suas características.
2) São descritas as operações de união, intersecção e diferença entre intervalos, bem como exemplos ilustrativos.
3) As funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins, são definidas e exemplificadas, mostrando casos especiais e como representá-las graficamente.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar o sinal dos termos do numerador e denominador e analisar em quais intervalos esses sinais são iguais ou diferentes de acordo com a especificação da inequação original.
3. As soluções finais são expressas como união de intervalos na reta numérica.
Recuperação lista exercicios 9º ano 1º bimestreRafael Marques
O documento apresenta os conceitos básicos de matemática sobre números inteiros, racionais, equações de 1o e 2o grau. Inclui regras para adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de inteiros e operações com frações. Também explica como resolver equações de 1o grau usando a propriedade distributiva e como encontrar as raízes de equações do 2o grau usando a fórmula quadrática.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
O documento resume os conceitos básicos de equações do 1o e 2o grau, incluindo suas definições, formas e métodos de resolução. Explica que equações do 1o grau têm a incógnita com expoente 1, enquanto equações do 2o grau têm a forma ax2 + bx + c = 0. Fornece exemplos de equações completas e incompletas do 2o grau, e métodos para resolver cada tipo através da fatoração ou isolamento de variáveis. Por fim, inclui vários exercícios para a prática dos conceitos
O documento resume os conceitos básicos de equações do 1o e 2o grau, incluindo suas definições, formas e métodos de resolução. Explica que equações do 1o grau têm a incógnita com expoente 1, enquanto equações do 2o grau têm a forma ax2 + bx + c = 0. Fornece exemplos de equações completas e incompletas do 2o grau, e métodos para resolver cada tipo através da fatoração ou isolamento de variáveis. Por fim, inclui vários exercícios para a prática dos conceitos
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do 2o grau da forma f(x) = ax2 + bx + c. Explica como identificar os parâmetros a, b e c de funções quadráticas, e como determinar propriedades como raízes, vértice e concavidade com base nesses parâmetros. Apresenta também exercícios resolvidos sobre o assunto.
Este documento fornece informações sobre equações do segundo grau, incluindo a forma geral das equações, a fórmula de Bhaskara para resolver equações, e como representar graficamente funções quadráticas. O documento também apresenta exemplos de resolução de equações e construção de gráficos de funções.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática básica sobre equações e funções do 1o e 2o graus. Os exercícios 1-9 tratam de equações do 1o grau, os exercícios 10-17 tratam de equações do 2o grau. Os exercícios complementares tratam de funções do 1o grau nos exercícios 1-7 e de funções do 2o grau nos exercícios 8-18.
- O documento discute a língua portuguesa no Brasil, destacando sua riqueza devido às diversas influências culturais ao longo da história, desde a colonização céltica e grega até a invasão árabe.
- A língua portuguesa serve para todos os gêneros literários e poéticos, sendo suave ou grandiosa de acordo com o assunto.
- No Brasil, a língua portuguesa adquiriu novos elementos de beleza sem perder seu caráter original.
1) O documento apresenta um livro sobre a Língua Portuguesa com 5 capítulos que abordam tópicos como variedades linguísticas, sintaxe, pontuação, estrutura de parágrafos e leitura.
2) Inclui prólogo enfatizando a importância do ensino da norma culta e correções frequentes de erros comuns.
3) Apresenta exercícios lúdicos sobre pontuação para demonstrar regras ortográficas.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar as raízes dos polinômios no numerador e denominador e analisar o sinal de cada termo em diferentes intervalos de x.
3. Os resultados são expressos como a união de intervalos na reta numérica ou por meio de tabelas de sinais.
O documento discute potenciação, funções exponenciais e logaritmos. Apresenta as propriedades e definições dessas funções, incluindo exemplos de equações e inequações exponenciais e logarítmicas. Explica como resolver esses tipos de problemas aplicando conceitos como mudança de base e propriedades dos logaritmos.
O documento descreve um trabalho sobre módulo matemático. Apresenta uma introdução sobre o assunto e é dividido em seções sobre definição de módulo, interpretação geométrica, propriedades, exercícios resolvidos e propostos, equações modulares, inequações modulares e gabarito. O objetivo é ensinar o conceito de módulo de forma simples, com teoria e exercícios.
O documento discute funções modulares, definindo-as como funções cuja variável está dentro de um módulo. Explica que funções modulares podem ser representadas por duas funções equivalentes separadas pelo valor da variável. Apresenta exemplos de funções modulares e como construir seus gráficos.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, destaca-se a definição, gráfico, coeficientes angular e linear, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, explica-se a definição, gráfico em forma de parábola, raiz, vértice, imagem e estudo do sinal. Por fim, aborda-se a função modular, equações e inequações modulares.
O documento apresenta informações sobre funções lineares, sistemas lineares e exercícios de maximização e minimização de funções. Contém definições, exemplos resolvidos e gráficos de funções e sistemas lineares.
O documento discute funções do primeiro grau, definindo-as como funções polinomiais da forma f(x) = ax + b, com a ≠ 0. Explica como calcular o gráfico, determinar se uma função é crescente ou decrescente, e resolve exercícios envolvendo sistemas de equações para encontrar os valores de a e b.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre operações com intervalos, funções polinomiais do primeiro grau e suas características.
2) São descritas as operações de união, intersecção e diferença entre intervalos, bem como exemplos ilustrativos.
3) As funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins, são definidas e exemplificadas, mostrando casos especiais e como representá-las graficamente.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar o sinal dos termos do numerador e denominador e analisar em quais intervalos esses sinais são iguais ou diferentes de acordo com a especificação da inequação original.
3. As soluções finais são expressas como união de intervalos na reta numérica.
Recuperação lista exercicios 9º ano 1º bimestreRafael Marques
O documento apresenta os conceitos básicos de matemática sobre números inteiros, racionais, equações de 1o e 2o grau. Inclui regras para adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de inteiros e operações com frações. Também explica como resolver equações de 1o grau usando a propriedade distributiva e como encontrar as raízes de equações do 2o grau usando a fórmula quadrática.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
O documento resume os conceitos básicos de equações do 1o e 2o grau, incluindo suas definições, formas e métodos de resolução. Explica que equações do 1o grau têm a incógnita com expoente 1, enquanto equações do 2o grau têm a forma ax2 + bx + c = 0. Fornece exemplos de equações completas e incompletas do 2o grau, e métodos para resolver cada tipo através da fatoração ou isolamento de variáveis. Por fim, inclui vários exercícios para a prática dos conceitos
O documento resume os conceitos básicos de equações do 1o e 2o grau, incluindo suas definições, formas e métodos de resolução. Explica que equações do 1o grau têm a incógnita com expoente 1, enquanto equações do 2o grau têm a forma ax2 + bx + c = 0. Fornece exemplos de equações completas e incompletas do 2o grau, e métodos para resolver cada tipo através da fatoração ou isolamento de variáveis. Por fim, inclui vários exercícios para a prática dos conceitos
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do 2o grau da forma f(x) = ax2 + bx + c. Explica como identificar os parâmetros a, b e c de funções quadráticas, e como determinar propriedades como raízes, vértice e concavidade com base nesses parâmetros. Apresenta também exercícios resolvidos sobre o assunto.
Este documento fornece informações sobre equações do segundo grau, incluindo a forma geral das equações, a fórmula de Bhaskara para resolver equações, e como representar graficamente funções quadráticas. O documento também apresenta exemplos de resolução de equações e construção de gráficos de funções.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática básica sobre equações e funções do 1o e 2o graus. Os exercícios 1-9 tratam de equações do 1o grau, os exercícios 10-17 tratam de equações do 2o grau. Os exercícios complementares tratam de funções do 1o grau nos exercícios 1-7 e de funções do 2o grau nos exercícios 8-18.
- O documento discute a língua portuguesa no Brasil, destacando sua riqueza devido às diversas influências culturais ao longo da história, desde a colonização céltica e grega até a invasão árabe.
- A língua portuguesa serve para todos os gêneros literários e poéticos, sendo suave ou grandiosa de acordo com o assunto.
- No Brasil, a língua portuguesa adquiriu novos elementos de beleza sem perder seu caráter original.
1) O documento apresenta um livro sobre a Língua Portuguesa com 5 capítulos que abordam tópicos como variedades linguísticas, sintaxe, pontuação, estrutura de parágrafos e leitura.
2) Inclui prólogo enfatizando a importância do ensino da norma culta e correções frequentes de erros comuns.
3) Apresenta exercícios lúdicos sobre pontuação para demonstrar regras ortográficas.
Este documento fornece dicas práticas de língua portuguesa para servidores do Tribunal de Justiça do Estado de São Paulo. Aborda tópicos como padronização e estilo, aspectos gramaticais, vocabulário e expressões comuns e redundâncias a serem evitadas. Tem o objetivo de auxiliar os servidores no aprimoramento da escrita em seu dia a dia profissional.
Este documento fornece informações sobre características da língua portuguesa, incluindo: 1) as diferenças entre a produção da fala e da escrita; 2) verbos e seus modos; 3) pontuação e seus usos; 4) acentuação gráfica; e 5) outros tópicos gramaticais. O documento é uma apostila de língua portuguesa organizada por um professor.
O documento apresenta 10 questões de matemática básica sobre operações, sistemas de numeração e medidas. As questões abordam tópicos como cálculo de distâncias usando diferentes unidades de medida, interpretação de notação científica e resolução de problemas envolvendo conversão de unidades.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da integral definida ou integral de Riemann. Descreve o processo de partição de intervalos, a soma de Riemann e como o limite desta soma quando o tamanho máximo dos intervalos tende a zero define a integral definida. Apresenta também propriedades e teoremas importantes como o Teorema Fundamental do Cálculo.
1. O documento apresenta fórmulas e propriedades relacionadas a progressões aritméticas e geométricas. 2. Inclui a definição de progressão aritmética e geométrica, fórmula do termo geral, classificação e propriedades dessas progressões. 3. Resolve exemplos ilustrativos sobre cálculo de termos e soma dos primeiros termos de progressões aritméticas e geométricas.
Esta unidade apresenta uma revisão de tópicos fundamentais de matemática do ensino médio, incluindo simbologia, conjuntos numéricos, operações com números, equações, progressões aritméticas e geométricas, coordenadas cartesianas, números complexos e matrizes.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos: (1) números naturais, (2) inteiros, (3) racionais, (4) irracionais e (5) reais. Também apresenta a álgebra de Boole e sua relação com circuitos digitais, onde elementos como "0" e "1" representam estados ligado/desligado.
1. O documento descreve a origem e o desenvolvimento histórico da trigonometria, desde os gregos até os séculos XVIII e XIX.
2. A trigonometria surgiu para resolver problemas de medição e cálculos astronômicos, tendo sido desenvolvida por astrônomos gregos como Hiparco de Niceia.
3. Ao longo dos séculos, matemáticos indianos, árabes e europeus contribuíram para estabelecer as principais relações e fórmulas trigonométricas,
1. O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra linear como grupos, anéis e corpos, e ilustra esses conceitos com exemplos.
2. É introduzido o corpo dos números complexos C, definido como o conjunto {(a,b): a,b ∈ R} munido de operações de adição e multiplicação específicas.
3. Propriedades importantes dos números complexos são apresentadas, incluindo a representação na forma a + bi e operações como conjugação e módulo.
O documento fornece dicas para a preparação e realização de provas discursivas. Ele aborda a importância da leitura, da simulação do ambiente da prova, da participação em grupos de estudo, do auxílio de um professor e do desenvolvimento de uma metodologia de estudos. Além disso, destaca a necessidade de preparação psicológica para enfrentar esse tipo de avaliação.
1) O documento discute a tomografia computadorizada, explicando seu histórico, funcionamento, tipos e vantagens em relação à radiografia convencional.
2) A TC permite a visualização de cortes finos do corpo, fornecendo imagens tridimensionais com maior sensibilidade na diferenciação de tecidos do que a radiografia.
3) Ao longo do tempo, os tomógrafos evoluíram de primeira para quarta geração, reduzindo significativamente os tempos de varredura à medida que mais detectores e maior
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
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Resumo de Matemática
Função: dado dois conjuntos A e B, função de a em b é uma relação na qual para todo elemento de a existe
um só correspondente em B.
OBS: Mesmo que todos de A se liguem a um só em B, ou que fique alguns em B, sem ligação será função.
Em gráfico: domínio = x e Imagem = Y
OBS: Contradomínio = conjunto dentro de B(ou o mesmo) que têm ligação em A .
EX.: 1
-2 2 Função = F(X) = X² + 1
A= 0 B= 3
1 4 O contradomínio é ,em B, = 1, 2 e 5.
2 5
Tipos de Função:
Função injetora è Quando elementos de A se ligam a um único e diferente elemento em B.
No gráfico : traçar retas horizontais, e cada uma só interceptará um único ponto.
Função sobrejetora è Conjunto imagem é igual ao contradomínio. Todos elementos de B estão ligados a
pelo menos um em A .
OBS: Ás vezes, no gráfico/ função é injetora e ,sobrejetora ao mesmo tempo sendo
BIJETORA.
Função
Determine f(X) para que f(G(X))=8x+7, sabendo que G(X)=4x+5
F(G(X))=8x+7
Chamando G(X)=t
G(X)=4x+5 è t= 4x+5 è x= t –5
4
substituindo
f(G(X)) = 8x+7 è 8 t – 5 +7 è 2t - 3 è já que G(X) = T è T= X è 2x - 3
4
Função inversa è dadas as funções F : A à B e G : B à A è F e G são funções inversas de f(A)=B
E G(B)=A então escrevemos F:G --¹, toda função inversa é também bijetora.
EX.: de F --¹ de f(X)=3x-5 è y=3x-5 è x = 3y – 5 è Y=F(X) = x + 5
3
OBS: arrumar è F(X)=+x +- Nº
+Nº +- x
Gráfico : traça-se um reta em Beta13 e faz o gráfico como se a reta fosse espelho.
Função afim = 1ºgrau = ax + b, é constante e seu gráfico é uma reta è EX.: y=2x+3 e y = 7 pois y=0x+7.
Qual a função afim para F(4)=3 e F(3)=4
Logo sei que 4=x e 3=x
4A +b = 3
3A +b = 2
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A – 1 Logo a resposta será : X - 1
Função do 1º Grau è y = Ax + b, é uma função afim com A diferente de 0
Estudo da variação do sinal:
EX.: discuta o sinal da função
1º è achar raizes e construir o gráfico
2º è analizar o gráfico e ver Y<0 e Y>0
Resolva a inequação 10 – 5 X > 0 ( maior ou igual )
10 – 5 x >=0 è -5x >= - 10 è 5x <=0 è x<=2
Função quadrática è função do 2º grau redutível a Ax² + Bx + c com A diferente de 0
Para que esta função tenha:
Uma raiz = 0
Duas raizes > 0
Não tenha raiz < < 0
O GRÁFICO:
O gráfico é uma parábola com
· concavidade voltada para cima se A > 0
· concavidade voltada para baixo se A< 0
Obs: O vértice ( ponto max/min) é dado por duas fórmulas :
X= -B Y= -
2 A 4 A
OBS: > 0 A parábola intercepta x em 2 pontos.
= 0 A parábola intercepta o eixo x em um ponto.
< 0 A parábola não intercepta x.
Imagem de uma função quadrática
Y = Imagem = - è se A > 0 Se A<0
4 A
Para estudarmos o sinal de uma função quadrática, construímos o gráfico e o analisamos:
+ Analizando o gráfico:
+ Y>0 se X<0 e X>0
0 - 2 Y=0 se X=0 e X=2
Y<0 se 0<X<2
Numa equação quando y>0 <0
EX.: De o valor de m para que X² + 2x + m > 10 seja valida para qualquer x :
X² + 2X + m>10
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X² + 2x +(m-10) è y > 0 então < 0 pois assim só terei y>0 se delta = 0 Y>=0
OBS: sempre que se pedir o domínio deve se por no gráfico as raízes a aí sim analisar
EX.: dê o domínio:
+
Y = x – 1 ==. Logo x –1 >=0 1
--
EX2.: y = x² - 5x + 4 è sempre faço assim x – 5x +4 = 0 resolvo Y’=4 ++++ +++++
Y >= 0 aplico Y’’=1 -----
Logo a solução como pede Y >=0 A resposta será XER/X<=1 e X>=4
EX3.: Dê o valor de K para que KX² - 6X + 3 exista qualquer que seja X
Para que isso exita KX² - 6X +3 = Y >=0 então não terá número negativo só de zero para cima, logo;
<=0 ou seja Y sem raízes ou zeros. R: 36 – 4K3 <=0 è 36 – 12K <= 0 è K >=3
Inequação produto
(6 – x) (x² - 6x + 8) > 0 è se resolvermos cairemos em uma equação do 3º grau, a qual não sabemos
resolver, então resolvemos as separadamente e multiplicamos seus sinais. 6 ++
Y = 6 – X è Y=6 –0 e 0 = 6 –x è Y = 6 e X =6è –x determina decrescente 6 ---
X² - 6X + 8 è X’=2 e X’’=4 ++++ +++ 2 4 6
2 ----- 4 Y1+++ +++++ +++++ ---------
Ponho os sinais na tabela ( n.º de raízes X n.º de equações) Y2 +++ --------- +++++ +++++
Ytotal ++++ --------- +++++ -----------
Logo a resposta é X<2 ou 4 < X < 6
Inequação Quociente
++++ +++ +++ +++
( 3 – X ) (X² -6X + 8) > 0 3 2 4 5
2X – 10 è não pode ser 0 ----- ---- -------
1º passo è fazer os gráficos
2 º passo è fazer a tabela
2 3 4 5(Não entra)
Logo 2 < X < 3 e 4 < X < 5 Y1 +++ +++++ -------- -------- -------
OBS: X + 1 > 1è X + 1 -1 > 0 è Tira MMc Y2 +++ --------- -------- +++++ ++++
2X + 3 è X + 1 – (2X + 3)è -x -2 Y3 ----- -------- ------- -------- ++++
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2x +3 2x +3 Ytotal ----- +++++ -------- +++ ------
Sistema de inequações è tabelas diferente
2x – 3 > 0 Ou seja achar X que satisfaça as 2 inequações
3x – 12 > 0 ++++ ++++
1º passo è gráfico 2x –3 è ----- 3/2 3x –12è----- 4
2 passo è tabela (diferente)
-----3/2 +++ ---------- 4 ++++++ Logo X > 4
Equações modulares
| X | = 3 è X = 3 e X = -3
EX.: | X –1| = 4 EX.: |2x-1| + X =4
Logo è x -1 =4 e x –1 = -4 2x –1 = 4 –x e 2x –1 = -4 +x
X=5 e X= -3 x = 5/3 e x = -3
EX.: |a| = |b| è a = b e a = -b EX.: |x² - 3x -4| = 0
|3x –2| = |x –2| |K| = 0 è x² -3x -4
3x –2 = x-2 e 3x -2 = -x +2 X’ = -1
x=0 x=1 X’’= 4 R: S = { -1 , 4 }
EX.: |x²| - 3|x| - 4 = 0
Chamando |x| = k è k² -3x –4
k’= -1 K’’ = 4
Como K = |X| è -1 é impossível
Então |x| = 4 è s = {4 , -4}
Inequações modulares
1º passoè resolvo
2º passoè Faço gráfico
3º passo è aplico na tabela
|x| > a è x < -a e x > a EX.: |x –3| < 4 è x – 3 < 4 e x-3 > -4 è X < 7 e X > -1
7 -1 è -1 7
EX2.: | x² - 3x -2 | < 2 è x² -x -2 < 2 e x² - 3x - 2 > -2
X² -3x-4 < 0 e x ² -3x >0
X’ = 4 e x’’= -1 x’=0 e x’’=3
Gráfico -1 4 e 0 3 ‘
Logo :
-1 4 0 3 ‘
S= { x e r / -1 < X < 0 e 3< x < 4}
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Função Modular è não vai para y negativo( 3º ou 4º quadrante) a não ser que tenha número
negativo fora do módulo(ex.: |3x – 4| - 2)
1º passo è faço a função normalmente
2º passo levo a parte de y <0 para cima
f (x) : | x –1 X F(X)
-1 2
0 1 è fazendo direto ou a cada passo, como segue:1
1 0 1
2 1
1
1º passo normalè 1 2ºpasso por em módulo 1
-1
EX2.: F(X)=|x-1| -1 2 2
Faço o 1º em módulo
E diminuo 1 y 1 1
-1
EX3.: F(X) = |x² -4|
1º passoè fazer normal
2º passoè tira, pondo para -2 2 -2 2
cima y<0
EX4.: |x²| -2|x| +1 è k –2k +1 è k=1 como k = |x| è x =1 e X = -1 e a outra raiz
Gráfico normalè
Certo è
Equação exponencial è variável no expoente
Ex.: 8x
= 4 è 2x3
= 22
è logo 3x = 2è x=3/2.
Obs : Ax
> 0 è todo x pertencente a R, será resposta, isso se x for número positivo
EX.: 9x
- 4 . 3x
+ 3 è 32x
-4 . 3x
+ 3 è Fazendo 3x
= K è K² - 4K + 3 è K’=1 e K’’=3
Como K=x è 3x
= 1 e 3x
= 3 è 30
= 1 e 3¹ = 3 è logo S={ 0,1 }
Obs: Am+n
è (Am
) . (An
)
Am-n
è (Am
) : (An
)
EX.: 2x-1
+ 2x+2
= 72 è 2x
+ 2x
. 2² = 72 è Fazendo 2x
= K è K + K(4) = 72 èk + 8k = 144 èK=16
2 2
Como 2x
= K è x =4
OBS 27
è 27/2
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Inequação exponencial
EX.: 7x
> 49 è 7x
> 7² è X > 2
OBS: Na fração o sinal é inverso, o que devemos fazer é sempre analizar e ver se a resposta preenche o
pedido.
EX.: 1 > 1 5
è para que isso ocorra é necessário que X < 5
3 3
Massete: Para Ter outro método de se fazer basta passar a fração para um número inteiro não fracionário
com expoente negativo à isso só não deve ocorrer em equação do 2º grau.
EX.: 1 x
> 1 è 5-x
> 5-1/3
è x < 1/3
5 5
OBS: Existem também respostas óbvias:
EX.: 1 x
> 1 è logo X < 0
5
EX.: Resolva 4x+1
- 10.2x
+4 > 0 è 4x
. 4 -10 . 2x
+ 4 > 0 è 22x
. 4 -10 . 2x
+ 4 > 0
Fazendo 2x
=K Teremos
4K² - 10K + 4 > 0 è K’ = 2 e K’’ = ½
Como K = 2x
2x
> 2 è X > 1 e 2x
> ½ è x = -1
ENTÃO PONHO NO GRÁFICO E ANALIZO O QUE SE PEDE equação > 0
½ 2 LOGO R. Y < ½ ou Y > 2
Logaritmo
Logaritmo é sinônimo de expoente
Log a B = M è M é o logaritmo(EXPOENTE) de B na base a.
Log a B = M è aM
= B
Ex.: Determine x para que Log 3 X = 2 è Logo 3 = x è x = 9
Ex2.: Se Log 2 M = K então Log 10 M
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Log 10 8
Resolvendo
Log 10 M = k Logo Log 10 M
Log 10 2 Log 10 8 è Como 2³ =8 o Log na base 3 vezes maior que na base
2 è então 1/3 de K ou K
3
PROPRIENDADES DE UM LOGARITMO
1- Log a M . P è Log a M + Log a P
2- Log a M è Log a M - Log a P
P
3- Log a MP
è P ( Log a M ) è passa multiplicando
4- Log a P
M è Log a M1/p
è 1 Log a Mè é igual a 3º regra.
P
EX.: 2 Log a 3 =m e Log a 2 = P dê o valor de Log a 6
Log a 6 = Logo a 3 .2 è Log a 3 + Log a 2 è M + P
5- Mudança de base Log b M = Log a M
Log a B
Equação com Logaritmos
Ex.: Log 1/5 ( X – 2) = Log 1/5 (2) è x – 2 = 2 è repare que não muda o sinal.
1º passo ver condições de existência TODO LOGARITMO TEM QUE SER > 0
EX.: Log 2 (X – 3) = 5 è X – 3 >0
2º passo fazemos normal e vemos se bate com a condição
25
= X – 3 è 32 = X –3 è X =35 e 35 > 0 R.: x = 35.
EX2.: Resolver Log 1/3 (3x –4 ) = Log 1/3 (2 –x)
3x –4 > 0 è x > 4/3 e 2-x >0 X< 2
3º passo por no gráfico mas só se for mais de uma equação
4/3 . Logo 4/3 < x<2
Agora resolvo 3x –4 = 2 –x è X = 3/2 e bate com a necessidade
2
4/3 2
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Inequação com Logaritmo
Ex.: Log 3 (x –2) > Log 3 (2x –6)
1º passoè condição de existência
X –2> 0 e 2X –6> 0
X>2 e X>3
2ºpasso è por no gráfico a condição de existência
.
2 3 è 2 3 .
Logo X > 3
3º passo è Resolver
X – 2 > 2X –6 è -X > -4 è X < 4
Logo a solução será {X E R 3 < X < 4}
EX2.: Log 1/3 (x-1) > Log 1/3 ( X +3 ) è como a base é fração, inverto o sinal.
X – 1 > 0 e X +3 > 0
Pondo no gráfico vejo que a condição é X >1
Resolvendo:
X –1 < X + 3 è 0< 4Isso é verdade Logo a resposta é a condição
OBS.: Se isso fosse falso ex.: 0 > 4 Não haveria resposta.
Importante Li. Pág. 141 Ex.: 511
Gráfico de Função Exponencial è fazer sempre com fração e número normal
Y = 2X Y= (½)X
Gráfico de Função logarítmica
Y = Log 2 X Y = Log ½ X