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- 1. COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – MEIO AMBIENTE - PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE POTÊNCIAS E RAÍZES - GABARITO 1. Simplifique as potências. a) 2 1 3 1 2 1 3 2 34316125 ++ b) − − −− 4 3 4 3 3 2 3 2 1616.2727 Solução. Escreve-se na forma de potências e aplicam-se as propriedades. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 636742572572534316125 2 1 22 2 1 3 1 52 1 43 2 3 2 1 3 1 2 1 3 2 ==++=++= ++= ++ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )=−−= − −= − − −−−−−− 33224 3 44 3 43 2 33 2 34 3 4 3 3 2 3 2 22.3322.331616.2727 70 8 63 . 9 80 8 1 8. 9 1 9 = = − −= 2. (FUVEST-SP) Efetue a expressão 3 3028 10 22 + . Solução. Aplicando as propriedades de radiciação e algébricas, temos: 512222.2 2 2 10 )5(2 10 )21(2 10 2.22 10 22 93 273 1283 28 3 28 3 228 3 28228 3 3028 ====== + = + = + − 3. Simplifique a expressão ( ) ( ) ( ) bababa abbaab 13122 214212 .. .. −−− −−− e calcule o seu valor para a = 10-3 e b = – 10-2 . Solução. Aplicando as propriedades das potências e agrupando as bases iguais, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10010.110.1.10 .. .. 10.10.... . . ..... ..... .. .. 210512 13122 214212 5243541341 13 41 3162 28224 13122 214212 −=−=−=⇒ ⇒−===== − −−− −−− −−−−−− − − −−− −−− −−− −−− bababa abbaab bababa ba ba bbbaaa bbbaaa bababa abbaab 4. Utilize as propriedades de potências e radicais e encontre o valor de x em cada caso. a) ( ) 642 = x b) 81 3 1 = x c) ( ) 7293 1 = +xx d) 11312 84.2 −++ = xxx e) ( ) ( ) 12 3 13 162 −− = xx f) x 10.115,0 02,0 3,2 = g) ( ) 001,0100 = x Solução. Usam-se as propriedades de potências procurando igualar as bases. a) ( ) ( ) 126 2 2222642 62/62/1 =⇒=⇒=⇒=⇒= x xxxx b) ( ) 44333381 3 1 441 −=⇒=−⇒=⇒=⇒= −− xxxx x
- 2. c) () = −= ⇒=−+⇒=−+⇒=⇒= ++ 2 3 0)2)(3(06337293 261 2 x x xxxxxxxx d) ( ) ( ) 5 6 33261222.222.284.2 332612131321211312 −=⇒−=+++⇒=⇒=⇒= −++−++−++ xxxxxxxxxxxxx e) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 81639 3 48 2 13 22162 123/4132/112 3 13 =⇒−=−⇒ − = − ⇒=⇒= −−−− xxx xxxxxx f) 3101010 10 1 10.10.11511510.10.115 2 230 10.115,0 02,0 3,2 3 3 33 =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= − −− xxxxxx g) ( ) ( ) 2 3 3210101010001,0100 3232 −=⇒−=⇒=⇒=⇒= −− xxxxx 5. (OBM) O valor de 44 .94 .49 .99 é igual a: ( ) 1313 ( ) 1336 ( X ) 3613 ( ) 3636 ( ) 129626 Solução. Agrupando as bases e aplicando as propriedades, temos: ( ) 131313139494 369.49.49.9.4.4 === 6. (OBM) Quando 1094 – 94 é desenvolvido, a soma dos algarismos do resultado é igual a: ( ) 19 ( ) 94 ( ) 828 ( X ) 834 ( ) 840 Solução. A potência 1094 é um número com o algarismo 1 seguido de 94 zeros. Representando a subtração, temos: 95 ª 94 ª 93 ª 92 ª 91 ª 3 ª 2 ª 1ª 1 0 0 0 0 .. . 9 0 0 - 9 4 9 9 9 9 .. . 9 0 6 Após as subtração há 92 ordens com o algarismo 9 (94ª à 3ª), um algarismo zero e a unidades simples, 6. Logo a soma dos algarismos será: 9 + 9 + 9 + ... + 9 + 0 + 6 = (92 x 9) + 0 + 6 = 828 + 6 = 834. 7. (CESP-SP) Desenvolvendo ( )2 128 ++ , obtemos o resultado 2ba + , com a e b racionais. Calcule a. Solução. Desenvolvendo a raiz de 8 e simplificando, vem: ( ) ( ) ( ) 192619126181231222128 222 =⇒+=++=+=++=++ a 8. Simplifique a expressão ( ) ( )22 3333 ++−=A . Solução. Como cada radicando está ao quadrado, extraímos a raiz na forma de módulo. i) ( ) ( ) 33333333 22 ++−=++− ii) Como 033 <− , temos: ( ) +=+ −−=− 3333 3333 . Logo, ( ) ( ) 633333333 22 =+++−=++−
- 3. 9. (OCM) Determine qual é o maior dos dois números: 999 999 10123457 10123456 + + e 999 999 10123458 10123457 + + Solução. Podemos representar as parcelas da seguinte forma: 1123457 123456 += = a a e b a = += 999 10 2123458 . Supondo o 1ª termo menor que o segundo, a diferença entre eles deverá ser menor que zero. Temos: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2.1 1 2.1 21222 2.1 21222 2.1 12. 2 1 1 2222 22222 < ++++ −= ++++ −−−−−−+++ = = ++++ +++++−+++ = ++++ +++++ = ++ ++ − ++ + babababa bbabaababaa baba bbabaababaa baba bababa ba ba ba ba Logo, 999 999 10123458 10123457 + + é o maior número. 10. Transforme em soma de radicais simples os radicais duplos. a) 245 + b) 347347 −++ c) 12 −− aa Solução. Um radical duplo pode ser reduzido a uma soma de radicais mediante a seguinte transformação: 22 CACA BA − ± + =± , onde BAC −= 2 e é um quadrado perfeito. a) A = 5, B = 24 e C = 52 – 24 = 1 (quadrado perfeito). Logo 23 2 15 2 15 245 += − + + =+ b) Temos que 483.434 2 == . Dessa forma A = 7, B = 48 e C = 72 – 48 = 1 (quadrado perfeito). Logo, 43232 2 17 2 17 2 17 2 17 487487347347 =−++= − − + + − + + =−++=−++ c) A = a, B = a2 – 1 e C = a2 – (a2 – 1) = 1 (quadrado perfeito). Logo, 2 1 2 1 12 − + + =−+ aa aa 11. Simplificar os radicais. a) 3333 1928124375 −+− b) 33 443 43 4 3 ababbabababa −++ c) 21217 223 21217 223 + + − − − d) 1 1 1 1 2 2 2 2 −+ −− − −− −+ xx xx xx xx Solução. Aplicando as propriedades de potências e radicais, temos: a) 333333 333 33 33 33333 3.23.43.33.23.52.2.33.32.35.31928124375 =−+−=−+−=−+− b) 03333 33333333 443 43 4 =−=−++=−++ ababababababababababababababbabababa c) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − × + + − + + × − − = + + − − − 21217 21217 21217 223 21217 21217 21217 223 21217 223 21217 223 ( ) ( ) ( ) ( ) 8383 288289 223 288289 223 21217 4823423651 21217 4823423651 2222 −−+= − − − − + = − −+− − − −−+ = A última expressão é um radical duplo com A = 3 e B = 8. Logo C = 32 – 8 = 9 – 8 = 1. Temos: ( ) ( ) 212121212 2 13 2 13 2 13 2 13 8383 =+−+=−−+= − − + − − + + =−−+
- 4. d) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = −+−− −−−−−−+−+ = −+ −− − −− −+ 1.1 1.11.1 1 1 1 1 22 2222 2 2 2 2 xxxx xxxxxxxx xx xx xx xx ( ) ( ) 14 1 112112 2 22 2 222 2 222 −= +− −−−+−−+−+ = xx xx xxxxxxxx