O documento apresenta técnicas de integração como integração por substituição de variável, integração por partes e integração utilizando decomposição em frações parciais. Exemplos de exercícios são resolvidos utilizando essas técnicas.

1. 01 de3
Integral Indefinida
Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Técnicas de Integração (Primitivação)
uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

2. 02 de37
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
  F(x)
dx
f(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES
PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO
DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

3. EXERCÍCIO 01
Calcular   dx
2x
1)
(x 50
2
Solução
Seja u = x2 + 1
Logo: 2xdx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 du
(u)50
C
51
1)
(x
C
51
u
du
(u)
51
2
51
50






03 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2x
dx
du


4. EXERCÍCIO 02
Calcular   dx
9)
sen(x
Solução
Seja u = x + 9
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 du
sen(u)
C
9)
cos(x
C
cos(u)
du
sen(u) 







04 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1
dx
du


5. EXERCÍCIO 03
Calcular  dx
cos(x)
(x)
sen2
Solução
Seja u = sen(x)
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 du
u2
C
3
(x)
sen
C
3
u
du
u
3
3
2





05 de37
cos(x)
dx
du

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

6. EXERCÍCIO 04
Calcular  dx
x
e x
Solução
Então
x
2
1
x
1
2
1
x
2
1
x
dx
d
dx
du
2
1
2
1
2
1













Seja u = x
Logo: = du
dx
x
2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra
forma.
06 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

7. Assim, a integral dada pode ser escrita como:
C
e
2
C
e
2
du
e
2
du
2e x
u
u
u




 



 
 dx
x
2
1
2e
dx
x
2
2
1
e
dx
x
e x
x
x

  du
2e
dx
x
2
1
2e u
x
Ou seja: C
e
2
dx
x
e x
x



du
2
dx
x
1
du
dx
x
2
1



outra maneira de chegar aqui
sem manipular a função
dada é fazendo (página 08):
07 de37

8. EXERCÍCIO 05
Calcular   dx
1
x
x2
Solução
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
08 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

9.  
 du
u
1)
2u
(u2
ou:



























du
u
2u
u
du
1u
u
2u
u
u
du
u
1)
2u
(u
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
Portanto:
C
1
2
1
u
1
2
3
u
2
1
2
5
u
du
u
2u
u
1
2
1
1
2
3
1
2
5
2
1
2
3
2
5





















09 de37

10. C
u
3
2
u
5
4
u
7
2
du
u
2u
u 2
3
2
5
2
7
2
1
2
3
2
5















Finalmente:
Escrevendo em termos de x:
C
)
1
(x
3
2
)
1
(x
5
4
)
1
(x
7
2
dx
1
x
x 2
3
2
5
2
7
2









10 de37

11. EXERCÍCIO 06
Calcular  dx
e
x x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .
 dv
u
Seja, portanto:
dx
e
x x

x
u  dx
e
dv x

Deste modo:
C
e
xe
dx
e
xe
du
v
uv
dv
u
dx
xe x
x
x
x
x







 



a constante C pode ser
incluída apenas no final.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dx
du 
x
x
x
e
dx
e
v
dx
e
dv 


 


Então:

12. EXERCÍCIO 07
Calcular 

dx
e
x x
2
Solução
Seja:
2
x
u  dx
e
dv x


Assim:
dx
2x
du 
x
x
x
e
dx
e
v
dx
e
dv 






 


Portanto:
2xdx
)
e
(
e
x
du
v
uv
dv
u
dx
e
x x
x
2
x
2














12 de37
INTEGRAÇÃO POR PARTES

13. A última integral é semelhante à original, com a exceção de
que x2 foi substituído por x.
ou:
dx
e
x
2
e
x
dx
e
x x
x
2
x
2







 (1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dx
e
x x


Seja:
x
u  dx
e
dv x


13 de37

14. Assim:
dx
du 
x
x
x
e
dx
e
v
dx
e
dv 






 


Portanto:
dx
)
e
(
e
x
du
v
uv
dv
u
dx
e
x x
x
x














ou:
1
x
x
x
x
x
C
e
e
x
dx
e
e
x
dx
e
x 





 





 (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
14 de37

15.  
1
x
x
x
2
1
x
x
x
2
x
x
2
x
2
C
2
e
2
e
x
2
e
x
C
e
e
x
2
e
x
dx
e
x
2
e
x
dx
e
x

























Portanto:
C
e
)
2
x
2
x
(
dx
e
x x
2
x
2




 


15 de37

16. O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador
possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz
o termo:
2
x
A

16 de37
Determinar
 





dx
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x
2
2
2
3
4
EXERCÍCIO 08
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

17. Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2
presente no denominador introduz os termos:
2
2
2
3)
(x
E
Dx
3
x
C
Bx





Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
2
2
2
2
2
2
3
4
3)
(x
E
Dx
3
x
C
Bx
2
x
A
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x














Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
2
3)
(x
E
Dx
3)
2)(x
(x
3
x
C
Bx
3)
2)(x
(x
2
x
A
3)
2)(x
(x
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x
3)
2)(x
(x






















17 de37

18. que resulta:
E)
2)(Dx
(x
C)
3)(Bx
2)(x
(x
A
3)
(x
9
20x
16x
4x
3x 2
2
2
2
3
4













Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes
resulta:
E)
2
9A
(6C
x
E)
2D
3C
(6B
x
D)
2C
3B
(6A
x
C)
(2B
x
B)
(A
9
20x
16x
4x
3x
2
3
4
2
3
4



















Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado,
obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5
incógnitas:
18 de37

19. 























9
E
2
6C
9A
20
E
2D
3C
6B
16
D
2C
3B
6A
4
C
2B
3
B
A
A solução deste sistema resulta:
0
E
4
D
0
C
2
B
1
A 




Portanto:
2
2
2
2
2
2
3
4
3)
(x
4x
3
x
2x
2
x
1
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x












19 de37

20. Logo:
dx
3)
(x
4x
dx
3
x
2x
dx
2
x
1
dx
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x
2
2
2
2
2
2
3
4



 











C
2
x
ln
C
u
ln
du
u
1
dx
2
x
1
dx
du
1
dx
du
2
x
u














dx
3)
(x
x
4
dx
3
x
2x
dx
2
x
1
2
2
2 

 





C
3
x
ln
C
u
ln
du
u
1
dx
3
x
2x
dx
2x
du
2x
dx
du
3
x
u
2
2
2













 20 de37

21. C
3)
2(x
1
2u
1
1
2
u
2
1
du
u
2
1
dx
x
3)
(x
dx
x
2
du
dx
2x
du
3
x
u
dx
3)
(x
x
dx
3)
(x
x
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2



































dx
3)
(x
x
4
dx
3
x
2x
dx
2
x
1
2
2
2 

 





E, finalmente:
C
3
x
2
3
x
ln
2
x
ln
dx
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x
2
2
2
2
2
3
4














21 de37

22. Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x
1
x
cos
2
cos2x
1
x
sen 2
2 



Assim,



 


 dx
cos2x
2
1
dx
2
1
dx
2
cos2x
1
dx
x
sen2
















2
sen2x
2
1
1
0
x
2
1 1
0
C
u
sen
2
1
du
u
cos
2
1
dx
cos2x
dx
2
du
2
dx
du
2x
u
dx
cos2x










C
4
2x
sen
2
x
x
sen2




22 de37
EXERCÍCIOS 09
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)

23. Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C
4
2x
sen
2
x
x
cos2




A integral
dx
x
cos
x
sen 2
2

pode ser resolvida fazendo:
    dx
cos2x
1
2
1
cos2x
1
2
1
 


 dx
2x
cos
1
4
1 2
 

dx
2
cos2x
1
2
cos2x
1
dx
x
cos
x
sen 2
2

 




 





 

23 de37

24.  dx
2x
cos
1
4
1 2
 

dx
2x
cos
4
1
dx
1
4
1 2

 

8
4x
sen
2
x
8
2u
sen
4
u
4
2u
sen
2
u
2
1
du
u
cos
2
1
dx
2x
cos
dx
2
du
2x
u
dx
2x
cos
2
2
2




























8
sen4x
2
x
4
1
4
x
C
32
sen4x
8
x



24 de37

25. Solução
EXERCÍCIO 10
Determinar
 

 dx
6)
4x
sen(x
2)
(x 2
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
4
2x
dx
du


dx
2)
(x
2
dx
4)
(2x
du 



INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
25 de37

26. Logo, seja: dx
2)
(x
2
du


Assim,


 



 du
sen(u)
2
1
2
du
sen(u)
dx
6)
4x
sen(x
2)
(x 2
Sabe-se que:
C
cos(u)
du
sen(u) 


 TABELA
Mas:
 

 dx
6)
4x
sen(x
2)
(x 2
26 de37

27. Então:
C)
cos(u)
(
2
1
dx
6)
4x
sen(x
2)
(x 2







C
6)
4x
cos(x
2
1
dx
6)
4x
sen(x
2)
(x 2
2









Portanto:
27 de37

28. Solução
EXERCÍCIO 11
Determinar
 

dx
1
x
x
x
2
Seja u = x2 + x + 1
Então:
1
2x
dx
du

 dx
1)
(2x
du 

Na integral original, fazer:


 









dx
1
x
x
1
1
2x
2
1
dx
1
x
x
2x
2
1
dx
1
x
x
x
2
2
2
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
28 de37

29. Mas:


 










dx
1
x
x
1
2
1
dx
1
x
x
1
2x
2
1
dx
1
x
x
1
1
2x
2
1
2
2
2
1 2
u
u
2
1
u
2
1
1
2
1
u
2
1
du
u
2
1
du
u
1
2
1 2
1
2
1
1
2
1
2
1
































C
1
x
x
dx
1
x
x
1
2x
2
1 2
2








1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

 



du
u
1
2
1
dx
1
x
x
1
2x
2
1
2
ver detalhes na página anterior
29 de37

30. A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada)
na forma acima:
2 TABELA
C
u
a
u
ln
du
u
a
1 2
2
2
2








 




















du
a
u
1
2
1
dx
2
3
2
1
x
1
2
1
dx
1
x
x
1
2
1
2
2
2
2
2
onde:
2
3
a
dx
du
2
1
x
u 



30 de37

31. Portanto:
C
2
1
x
4
3
2
1
x
ln
2
1
dx
1
x
x
1
2
1
2
2















Então, finalmente:
C
2
1
x
4
3
2
1
x
ln
2
1
1
x
x
dx
1
x
x
x
2
2
2


















31 de37

32. Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
EXERCÍCIO 12
Determinar
 


dx
x
x
1
3x
9x
2
3
3
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer
aparecer frações próprias.
1
3x
9x
9
9x
9x
x
x
1
3x
x
0
9x
2
2
3
2
3
2
3







2
3
2
2
3
3
x
x
1
3x
9x
9
x
x
1
3x
9x







 fração própria
32 de37

33. 
 







dx
x
x
1
3x
9x
9
dx
x
x
1
3x
9x
2
3
2
2
3
3
  



 dx
x
x
1
3x
9x
dx
9 2
3
2
  



 dx
)
1
(x
x
1
3x
9x
dx
9 2
2
)
1
(x
C
x
B
x
A
)
1
(x
x
1
3x
9x
2
2
2







)
1
(x
C
)
1
(x
x
x
B
)
1
(x
x
x
A
)
1
(x
x
)
1
(x
x
1
3x
9x
)
1
(x
x 2
2
2
2
2
2
2











B
x
B)
A
(
x
C)
(A
1
3x
9x 2
2








DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
33 de37

34. 












1
B
3
B
A
9
C
A
A = 2 B = – 1 C = 7
  











 dx
)
1
(x
7
x
1
x
2
dx
9 2
  



 dx
)
1
(x
x
1
3x
9x
dx
9 2
2
dx
)
1
(x
7
dx
x
1
dx
x
2
dx
9 2 

  




C
1
x
ln
7
x
1
x
ln
2
x
9 





34 de37

35. Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
EXERCÍCIO 13
Determinar
 

dx
2x
x
x
1
2
3
2)
1)(x
(x
x
1
2)
x
(x
x
1
2x
x
x
1
2
2
3








2)
(x
C
1)
(x
B
x
A
2)
1)(x
(x
x
1







2A
x
C)
2B
(A
x
C)
B
(A
1 2







Multiplicando os dois lados da igualdade por x( x–1 )( x+2 ) e
rearranjando resulta:
35 de37

36. 












1
2A
0
C
2B
A
0
C
B
A
Portanto:
6
1
C
3
1
B
2
1
A 



2)
6(x
1
1)
3(x
1
2x
1
2)
1)(x
(x
x
1








E, finalmente:
Logo:
dx
2
x
1
6
1
dx
1
x
1
3
1
dx
x
1
2
1
dx
2x
x
x
1
2
3 


 







C
2
x
ln
6
1
1
x
ln
3
1
x
ln
2
1
dx
2x
x
x
1
2
3










36 de37

37. crédito da figura de fundo
Catedral de
Saint-Nazaire
Carcassonne, França
37 de37