O documento discute polinômios, definindo-os como expressões algébricas da forma anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, onde ai são coeficientes. Apresenta exemplos de polinômios de diferentes graus, explica igualdade e divisibilidade de polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra sobre o número de raízes complexas de um polinômio.

1. PolinômiosPolinômios

2. O que são Polinômios?
Exemplos:
0 1 2( ) . . ² ... . n
nP x a a x a x a x= + + + +
( ) ² 1P x x= +
4
( ) 3 197P x x x= + +
( )( ) 1 ³ ³ 3 ² 3 1P x x x x x= + = + + +

3. Grau de um polinômio
Exemplos:
0 1 2( ) . . ² ... . n
nP x a a x a x a x= + + + +
( ) ² 1P x x= +
4
( ) 3 197P x x x= + +
( )( ) 1 ³ ³ 3 ² 3 1P x x x x x= + = + + +
Grau 2
Grau 4
Grau 3

4. Igualdade de Polinômios
Exemplos: Determine a e b para que
P(x)=Q(x)
0 1 2( ) . . ² ... . n
nP x a a x a x a x= + + + +
( )( ) ² 1
( ) ² ( ). 1
Q x a b x
P x x a b x
= − +
= − + +
0 1 2( ) . . ² ... . n
nQ x b b x b x b x= + + + +

5. Igualdade de Polinômios
Ou seja:
( )( ) ² 0. 1Q x a b x x= − + +
( ) ² ( ). 1P x x a b x= − + +
1 1 1
0 2 2
a b
a b
a b
− =
∴ = = −
+ =

6. Raiz de um polinômio
α é raíz do polinômio
Exemplo:
Logo 1 é raiz de P(x)= x-1
( ) 1P x x= −
( ) 0P α⇔ =
(1) 1 1 0P = − =

7. Teorema fundamental da Álgebra
Todo polinômio de grau n tem exatamente n
raízes complexas (podendo ou não ser reais
puras)
Exemplo: tem 2 raízes
tem 5 raízes
² 3 1 0x x+ − =
5 2
3 1 0x x+ − =

8. Exercício
Determine as raízes dos polinômios a seguir:
Gabarito:
( ) ( )
4
) ² 5 6
) 1 . 3 ²
) 1
a x x
b x x
c x
− +
− +
−
)2 3 )1 3 ) 1, 1, ,a e b e c i i− − −

9. Divisão de Polinômios
A divisão de um polinômio P(x) por D(x) de grau
n é representada, com polinômios Q(x) e R(x)
(onde R tem grau menor que D(x) ) tais que:
Quociente Divisor Resto
( ) ( ). ( ) ( )P x Q x D x R x= +

10. Exemplos:
P(x)= x³ + 3x² + 3x + 2 tem divisão representada
por Q(x)=x+1 como sendo:
Divisor Resto
Quociente
( ) ( )³ 3 ² 3 2 1 1 ² 1x x x x x+ + + = + + +

11. Como achar Quociente e Resto???
Método 1 - Divisão Algébrica
4
5 ³ 3 ² 2 1x x x x+ + + − ² 2 5x x+ −
3 ³ 8 ² 2 1x x x+ + −
²x
4
x− 2 ³x− 5 ²x+

12. Divisão Algébrica
4
5 ³ 3 ² 2 1x x x x+ + + − ² 2 5x x+ −
3 ³ 8 ² 2 1x x x+ + −
²x4
x− 2 ³x− 5 ²x+ 3x+
3 ³ 6 ² 15x x x− − +
2 ² 17 1x x+ −
2+
2 ² 4 5x x− − +
13 4x +
Quociente
Resto
( ) ( ) ( )4
5 ³ 3 ² 2 1 ² 3 2 ² 2 5 13 4x x x x x x x x x+ + + − = + + + − + +

13. Método 2 – Algoritmo de Briot – Ruffini para
divisores do tipo (x-r)
Exemplo: por (x-2)4
5 ³ 3 ² 2 1x x x x+ + + −
1 5 3 2 1−
1 7 17 36 712
³ 7 ² 17 36x x x+ + + Quociente
Resto
( ) ( ) ( )4
5 ³ 3 ² 2 1 2 ³ 7 ² 17 36 70x x x x x x x x+ + + − = − + + + +

14. Raízes Múltiplas
Quando P(x) possui uma raiz ´a´ que
também é raiz de seu quociente por (x-a) ,
ela é chamada de raiz dupla do polinômio.
Se for raíz do quociente (x-a)², ela é
chamada de raiz tripla.
Raízes multiplas de ordem n contam como n
raízes.

15. Divisibilidade
Dizemos que P(x) é divisível por Q(x)
quando TODAS as raízes de Q(x) são raízes
de P(x)
Exemplo: Mostre que P(x)=x³-x²-5x-3 é
divisível por Q(x)=x²+2x+1

16. Gráficos Polinomiais
Polinômios são funções contínuas. As raízes
são os pontos que a curva do polinômio
cortam o eixo x.

17. FIM