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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS




              FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -
                          MECÂNICA

                             Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
                           Tutores: Luis Paulo Silveira Machado e
                                 Wagner Máximo de Oliveira

                                                 UFPB VIRTUAL


                                        5 de setembro de 2012




Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA
                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 Introdução



      Estamos iniciando a Semana, e estudaremos os seguintes
      assuntos:
              Equação horária do movimento uniforme;
              Gráficos do movimento uniforme;
              Aceleração.
      Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os
      assuntos descritos acima, porém, é interessante que você
      estude antes a teoria no Livro de FÍSICA., na primeira unidade.

                                              BOM ESTUDO!




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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME

      Vimos alguns casos de movimento uniforme, que é o
      movimento em que a velocidade é constante. No entanto
      existem problemas cuja resolução fica facilitada se usarmos
      uma equação que será vista a seguir.
      Consideremos uma partícula
      em movimento uniforme, com
      velocidade escalar ν(que pode
      ser positiva ou negativa). Su-
      ponhamos que, ao iniciarmos a
      contagem dos tempos (t0 = 0),
      a partícula tenha abscissa (ou
      espaço) s0 ; essa abscissa será
      chamada de espaço inicial. Al-
      gum tempo depois, no instante
      t, a partícula terá espaço s.

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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME


      Como o movimento é uniforme, a velocidade instantânea
      coincide com a velocidade média num intervalo de tempo
      qualquer. Assim, entre os instantes t0 e t temos:

                                                 ∆s     s − s0
                                          v=        =
                                                 ∆t   t − t0 = 0

      Daí tiramos:
                                    s − s0 = vt ⇐⇒ s = s0 + vt

         OBSERVAÇÃO 1: s = s0 + vt é a equação horária dos
       espaços. Ela nos fornece o espaço s num instante qualquer t.




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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 EXERCÍCIOD RESOLVIDOS: Uma partícula tem movimento
 uniforme e progressivo, de velocidade escalar v = 3, 0 m/s. No
 instante em que iniciamos a observação da partícula seu espaço
 é 10 m.
 1  Determine a equação horária do espaço;
 2  Determine o espaço da partícula no instante t = 2, 0 s;
 3  Determine o instante em que a partícula passa pelo ponto se
    espaço s = 31 m.


      Resolução:
      1. No instante t0 = 0 temos t = 10 m. Portanto o espaço inicial
      da partícula é s0 = 10 m :. Como o movimento é progressivo, a
      velocidade é positiva: v = 3, 0 m/s. Assim, temos:
                                       s = s0 + vt = 10 + 3, 0t
                                        s = 10 + 3, 0t             (no SI)
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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO
      2. Partindo da equação horária do ítem anterior, temos:
      s = 10 + (3, 0)t
      t = 2, 0 s =⇒ s = 10 + (3, 0)(2, 0) = 10 + 6, 0 =⇒
                                                   s = 16 m




      3. Consideremos novamente a equação horário do espaço,
      substituindo s por 31 m, temos: s = 10 + (3, 0)t
      31 = 10 + (3, 0)t =⇒ (3, 0)t = 31 − 10 =⇒ (3, 0)t = 21
                                                   t = 7, 0 s
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

  EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula tem movimento
 uniforme e retrógrado de modo que no instante t0 = 0 seu
 espaço é 80 Km. Sabendo que a velocidade escalar da partícula
 tem módulo 20 Km/h, determine a equação horária do espaço.
      Resolução:




      O espaço no instante t0 = 0 é o espaço inicial. Assim,
      s0 = 80 km. O enunciado do problema diz que |v| = 20 km/h
      Porém, como o movimento é retrógrado, a velocidade deve ser
      negativa (v < 0). Daí, v = −20 Km/h
      A equação horária então fica:

                                     s = s0 + vt =⇒ s=80-20t

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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 2. Em uma estrada, um automóvel A, com velocidade escalar 80
 Km/h, persegue um automóvel B, cuja velocidade escalar é 60
 Km/h, de modo que os dois automóveis se movem no mesmo
 sentido, como indica a figura. Num determinado instante, a
 distância que os separa é de 30 Km/h.




 1   Depois de quanto tempo o automóvel A alcançará o automóvel
     B?
 2   Qual a posição do encontro?


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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO
      Resolução:
      1. Vamos desprezar o tamanho dos veículos e supor que cada
      um seja uma partícula. Adotemos uma trajetória de modo que
      no instante inicial o espaço de A seja nulo, isto é, s0A = 0.
      Assim, o espaço inicial de B será 30 Km: s0B = 30 Km. Em
      seguida, vamos determinar as equações horárias do espaço
      para cada partícula:
      s = s0 + vt                                               s = s0 + vt
      sA = s0A + vA t                                           sA = s0B + vB t
      sA = 0 + 80t = 80t                                        sA = 30 + 60t




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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO

      No momento do encontro, as duas partículas deverão ter o
      mesmo espaço:
                               sA = sB
                                         80t = 30 + 60t
                                                  30
                                 20t = 30 =⇒ t =     ∴ t=1,5 h
                                                  20




      Assim, o encontro ocorrerá após 1,5 hora (ou 1 h 30 min).

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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
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 CONTINUAÇÃO


      2. Para saber a posição de encontro, basta substituirmos t por
      1,5 h na equação de A ou na equação de A, temos:

                                                    sA = 80t

                                   t = 1, 5 h =⇒ sA = 80 · 1, 5 ∴

                                                sA = 120 Km

      Se substituirmos t na equação de B, obteremos:

                  sB = 30 + 60t = 30 + 60 · 1, 5 = 30 + 90 = 120 ∴

                                                sB = 120 Km



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 GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: s × t
      Gráfico s × t:
      No movimento uniforme a equação horária é do 10 grau
      (s = s0 + vt) e, aprendemos que equações do 10 grau
      correspondem sempre a gráficos retilíneos. Portanto, num
      movimento uniforme o gráfico s × t é sempre retilíneo.




       Figura: v > 0: Inclinação positiva Figura: v < 0: Inclinação negativa

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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
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 GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: v × t

      Num movimento uniforme, a velocidade escalar é constante.
      Portanto o gráfico da velocidade em função do tempo (v × t)
      deve ser retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos.




                      Figura: v > 0                                        Figura: v < 0



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 GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: EXEMPLO

      Na tabela abaixo fornecemos o espaço (s) em função do
      tempo, para uma partícula em movimento.

                                    t(s)       0        2     4       6        8
                                   s(m)       -10       0     10      20       30

      Levando em conta os dados da tabela, podemos verificar que a
      velocidade escalar média é a mesma em qualquer intervalo de
      tempo. Vamos então admitir que o movimento seja uniforme.
      Consideremos por exemplo o intervalo de tempo entre os
      instantes t1 = 4 s e t2 = 8 s. Nesses instantes os espaços são
      s1 = 10 m e s2 = 30 m. Assim:

                     ∆s   s2 − s1   (30 m) − (10 m)   20 m
             v=         =         =                 =      = 5 m/s
                     ∆t   t2 − t1     (8 s) − (4 s)    4s


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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO




      Vamos agora construir o gráfico s × t. Na tebela vemos que
      para t = 0, s = −10 m; esses valores correspondem ao ponto
      A no gráfico abaixo. Para t = 2 s temos s = 0; isso nos dá o
      ponto B. Para t = 4 s temos s = 10 m; isso nos dá o ponto C.
      Para t = 6 s temos s = 20 m; isso nos dá o ponto D. Para
      t = 8 s temos s = 30 m; isso nos dá o ponto E. Ligando esses
      pontos, obtemos um gráfico retilíneo.




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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO




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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO
      O espaço inicial é o espaço no instante t = 0. Portanto, temos
      s0 = −10 m.
      O ponto B é o ponto onde o gráfico corta o eixo dos tempos:
      esse ponto corresponde a s = 0.
      Isso significa que, nesse instante (t = 2 s), a partícula passa
      pela origem da trajetória.




      Como v = 5 m/s e s0 = −10 m, a equação horária do espaço
      é:
                             s = s0 + vt
                                            s = −10 + 5t (SI)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO

      Como a velocidade escalar é constante, o gráfico v × t deve ser
      retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos, como vemos abaixo.




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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 EXERCÍCIO RESOLVIDO
      Na figura ao abaixo temos o gráfico s × t para uma partícula em
      movimento. Vamos determinar a equação horária do espaço.




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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO
      Resolução:
      Do gráfico, tiramos s0 = 16 m. Para obter a velocidade,
      podemos considerar dois instantes quaisquer e os
      correspondentes espaços. Por exemplo:

                                        t1 = 1 s =⇒ s1 = 12 m

                                         t2 = 3 s =⇒ s2 = 4 m
      Assim,
                     ∆s   s2 − s1   (4m) − (12m)   −8m
              v=        =         =              =     = −4m/s
                     ∆t   t2 − t1    (3s) − (1s)    2s

      Observação importante: Note que, o resultado negativo
      para o valor da velocidade está totalmente coerente com o
      gráfico que descreve o movimento da partícula, isto é, o
      espaço diminui com o tempo.
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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 ACELERAÇÃO
      Toda vez que a velocidade de um corpo sofre alteração,
      dizemos que houve aceleração. Suponhamos que num
      instante t1 a velocidade de uma partícula seja ν1 e num
      instante t2 a velocidade seja ν2 . A aceleração escalar média
      (am ) da partícula entre esses dois instantes é definida por:
                                   ∆v      ν2 − ν1
                             am =       =
                                   ∆t      t2 − t1
      Da definição concluímos que a unidade de aceleração é igual
      ao quociente entre uma unidade de velocidade e uma unidade
      de tempo. Por exemplo, podem ser unidades de aceleração:
                    m/s Km/h Km/h cm/s
                         ,        ,       ,    , ···
                       s      s      min     s
                            m
                   m/s           m 1      m
      No SI temos:       = s =
                            s       · = 2
                     s      1     s s     s
      Como ∆t é sempre positivo, vemos que o sinal da aceleração
      escalar média é igual ao sinal de ∆v .
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Um automóvel percorre uma
 estrada de modo que sua velocidade vai aumentando. Num
 determinado instante sua velocidade escalar é 54 Km/h e, 2,0
 segundos depois, sua velocidade escalar é 72 Km/h. Calcule a
 aceleração escalar média do automóvel, entre esses instantes.
      Resolução:




      O intervalo de tempo é ∆t = 2, 0 s.
      A variação de velocidade nesse intervalo de tempo foi:
      ∆v = (72 Km/h) − (54 Km/h) = 18 Km/h Portanto, a
      aceleração escalar média foi:
                            ∆v    18 Km/h          Km/h
                              am =
                               =            = 9, 0
                            ∆t      2, 0 s          s
      isto é, 9,0 quilômetros por hora, por segundo.
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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 CONTINUAÇÃO

      Isso significa que, em média, a velocidade escalar aumentou 9
      Km/h, a cada segundo.
      Se quisermos dar a resposta no SI, teremos:

                                                          18
                            ∆v = 18 Km/h =                     m/s = 5, 0 m/s
                                                          3, 6
      Assim:
                                         ∆v   5, 0 m/s
                               am =         =          = 2, 5 m/s2
                                         ∆t    2, 0 s
      Portanto,

                                                    Km/h
                                    am = 9, 0            = 2, 5 m/s2
                                                     s

      Isso significa que, em média, a velocidade aumentado 2,5 m/s
      a cada segundo.
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                                                                   FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um motorista está dirigindo seu
 automóvel a uma velocidade escalar 30m/s quando observa que
 um pouco adiante há um buraco. Pisa, então, no freio, reduzindo
 a velocidade para 10m/s, num intervalo de tempo de 4,0
 segundos. Calcule a aceleração escalar média do automóvel
 durante a freada.
      Resolução:
      O intervalo de tempo é ∆t = 4, 0 s.
      A velocidade escalar inicial é v1 = 30 m/s, a e velocidade
      escalar no fim da freada é v2 = 10 m/s. Portanto, durante a
      freada a variação de velocidade escalar foi:
                  ∆v = v2 − v1 = (10 m/s) − (30 m/s) = −20 m/s
      Portanto, a aceleração escalar média foi:
            ∆v     −20 m/s
      am =      =           = −5, 0 m/s2
            ∆t       4, 0 s

                                             am = −5, 0 m/s2
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO


      Além da aceleração escalar média (am ), define-se também a
      aceleração escalar instantânea (a), que é a aceleração
      escalar em determinado instante. Consideremos apenas o
      caso em que a aceleração escalar instantânea é constante

                                                                               ∆v
                                 a constante =⇒ a = am =
                                                                               ∆t
      Por exemplo, no caso representado na tabela abaixo, onde
      temos as velocidades escalares de uma partícula em intervalos
      de 1 segundo. Podemos observar que a velocidade varia de
      modo regular: a cada 1 segundo, o aumento de velocidade é 2
      m/s.



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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO


                                t(s)     v (m/s)
                                 0           5
                                 1           7          =       5 m/s + 2 m/s
                                 2           9          =       7 m/s + 2 m/s
                                 3          11          =       9 m/s + 2 m/s
                                 4          13          =      11 m/s + 2 m/s
      Portanto podemos dizer que a acelaração é constante e dada
      por:
                   a = 2 m/s por segundo = 2 m/s2
      Quando a aceleração escalar de uma partícula é constante
      (mas não nula), dizemos que o movimento da partícula é
       uniformemente variado.


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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 BIBLIOGRAFIA UTILIZADA




              Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch
              Moysés - 4. ed. - São Paulo: Blucher, 2002.
              Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. -
              Rio de Janeiro: LTC, 2007.
              Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: Editora
              Livraria da Física, 2006.
              Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio,
              José Luiz - 2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.




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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 OBSERVAÇÕES:



              Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
              vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
              estarem em dia com o conteúdo.
              Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados
              nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no
              fórum da semana, para que possamos esclarecê-las.
              O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo
              o curso. Portanto aproveitem este material!

                             ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!




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  • 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - MECÂNICA Prof. Carlos Alberto G. de Almeida Tutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira UFPB VIRTUAL 5 de setembro de 2012 Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Introdução Estamos iniciando a Semana, e estudaremos os seguintes assuntos: Equação horária do movimento uniforme; Gráficos do movimento uniforme; Aceleração. Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os assuntos descritos acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria no Livro de FÍSICA., na primeira unidade. BOM ESTUDO! Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME Vimos alguns casos de movimento uniforme, que é o movimento em que a velocidade é constante. No entanto existem problemas cuja resolução fica facilitada se usarmos uma equação que será vista a seguir. Consideremos uma partícula em movimento uniforme, com velocidade escalar ν(que pode ser positiva ou negativa). Su- ponhamos que, ao iniciarmos a contagem dos tempos (t0 = 0), a partícula tenha abscissa (ou espaço) s0 ; essa abscissa será chamada de espaço inicial. Al- gum tempo depois, no instante t, a partícula terá espaço s. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME Como o movimento é uniforme, a velocidade instantânea coincide com a velocidade média num intervalo de tempo qualquer. Assim, entre os instantes t0 e t temos: ∆s s − s0 v= = ∆t t − t0 = 0 Daí tiramos: s − s0 = vt ⇐⇒ s = s0 + vt OBSERVAÇÃO 1: s = s0 + vt é a equação horária dos espaços. Ela nos fornece o espaço s num instante qualquer t. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOD RESOLVIDOS: Uma partícula tem movimento uniforme e progressivo, de velocidade escalar v = 3, 0 m/s. No instante em que iniciamos a observação da partícula seu espaço é 10 m. 1 Determine a equação horária do espaço; 2 Determine o espaço da partícula no instante t = 2, 0 s; 3 Determine o instante em que a partícula passa pelo ponto se espaço s = 31 m. Resolução: 1. No instante t0 = 0 temos t = 10 m. Portanto o espaço inicial da partícula é s0 = 10 m :. Como o movimento é progressivo, a velocidade é positiva: v = 3, 0 m/s. Assim, temos: s = s0 + vt = 10 + 3, 0t s = 10 + 3, 0t (no SI) Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO 2. Partindo da equação horária do ítem anterior, temos: s = 10 + (3, 0)t t = 2, 0 s =⇒ s = 10 + (3, 0)(2, 0) = 10 + 6, 0 =⇒ s = 16 m 3. Consideremos novamente a equação horário do espaço, substituindo s por 31 m, temos: s = 10 + (3, 0)t 31 = 10 + (3, 0)t =⇒ (3, 0)t = 31 − 10 =⇒ (3, 0)t = 21 t = 7, 0 s Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula tem movimento uniforme e retrógrado de modo que no instante t0 = 0 seu espaço é 80 Km. Sabendo que a velocidade escalar da partícula tem módulo 20 Km/h, determine a equação horária do espaço. Resolução: O espaço no instante t0 = 0 é o espaço inicial. Assim, s0 = 80 km. O enunciado do problema diz que |v| = 20 km/h Porém, como o movimento é retrógrado, a velocidade deve ser negativa (v < 0). Daí, v = −20 Km/h A equação horária então fica: s = s0 + vt =⇒ s=80-20t Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. Em uma estrada, um automóvel A, com velocidade escalar 80 Km/h, persegue um automóvel B, cuja velocidade escalar é 60 Km/h, de modo que os dois automóveis se movem no mesmo sentido, como indica a figura. Num determinado instante, a distância que os separa é de 30 Km/h. 1 Depois de quanto tempo o automóvel A alcançará o automóvel B? 2 Qual a posição do encontro? Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO Resolução: 1. Vamos desprezar o tamanho dos veículos e supor que cada um seja uma partícula. Adotemos uma trajetória de modo que no instante inicial o espaço de A seja nulo, isto é, s0A = 0. Assim, o espaço inicial de B será 30 Km: s0B = 30 Km. Em seguida, vamos determinar as equações horárias do espaço para cada partícula: s = s0 + vt s = s0 + vt sA = s0A + vA t sA = s0B + vB t sA = 0 + 80t = 80t sA = 30 + 60t Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO No momento do encontro, as duas partículas deverão ter o mesmo espaço: sA = sB 80t = 30 + 60t 30 20t = 30 =⇒ t = ∴ t=1,5 h 20 Assim, o encontro ocorrerá após 1,5 hora (ou 1 h 30 min). Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO 2. Para saber a posição de encontro, basta substituirmos t por 1,5 h na equação de A ou na equação de A, temos: sA = 80t t = 1, 5 h =⇒ sA = 80 · 1, 5 ∴ sA = 120 Km Se substituirmos t na equação de B, obteremos: sB = 30 + 60t = 30 + 60 · 1, 5 = 30 + 90 = 120 ∴ sB = 120 Km Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: s × t Gráfico s × t: No movimento uniforme a equação horária é do 10 grau (s = s0 + vt) e, aprendemos que equações do 10 grau correspondem sempre a gráficos retilíneos. Portanto, num movimento uniforme o gráfico s × t é sempre retilíneo. Figura: v > 0: Inclinação positiva Figura: v < 0: Inclinação negativa Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 13. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: v × t Num movimento uniforme, a velocidade escalar é constante. Portanto o gráfico da velocidade em função do tempo (v × t) deve ser retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos. Figura: v > 0 Figura: v < 0 Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 14. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: EXEMPLO Na tabela abaixo fornecemos o espaço (s) em função do tempo, para uma partícula em movimento. t(s) 0 2 4 6 8 s(m) -10 0 10 20 30 Levando em conta os dados da tabela, podemos verificar que a velocidade escalar média é a mesma em qualquer intervalo de tempo. Vamos então admitir que o movimento seja uniforme. Consideremos por exemplo o intervalo de tempo entre os instantes t1 = 4 s e t2 = 8 s. Nesses instantes os espaços são s1 = 10 m e s2 = 30 m. Assim: ∆s s2 − s1 (30 m) − (10 m) 20 m v= = = = = 5 m/s ∆t t2 − t1 (8 s) − (4 s) 4s Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO Vamos agora construir o gráfico s × t. Na tebela vemos que para t = 0, s = −10 m; esses valores correspondem ao ponto A no gráfico abaixo. Para t = 2 s temos s = 0; isso nos dá o ponto B. Para t = 4 s temos s = 10 m; isso nos dá o ponto C. Para t = 6 s temos s = 20 m; isso nos dá o ponto D. Para t = 8 s temos s = 30 m; isso nos dá o ponto E. Ligando esses pontos, obtemos um gráfico retilíneo. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 16. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 17. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO O espaço inicial é o espaço no instante t = 0. Portanto, temos s0 = −10 m. O ponto B é o ponto onde o gráfico corta o eixo dos tempos: esse ponto corresponde a s = 0. Isso significa que, nesse instante (t = 2 s), a partícula passa pela origem da trajetória. Como v = 5 m/s e s0 = −10 m, a equação horária do espaço é: s = s0 + vt s = −10 + 5t (SI) Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 18. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO Como a velocidade escalar é constante, o gráfico v × t deve ser retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos, como vemos abaixo. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 19. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIO RESOLVIDO Na figura ao abaixo temos o gráfico s × t para uma partícula em movimento. Vamos determinar a equação horária do espaço. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 20. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO Resolução: Do gráfico, tiramos s0 = 16 m. Para obter a velocidade, podemos considerar dois instantes quaisquer e os correspondentes espaços. Por exemplo: t1 = 1 s =⇒ s1 = 12 m t2 = 3 s =⇒ s2 = 4 m Assim, ∆s s2 − s1 (4m) − (12m) −8m v= = = = = −4m/s ∆t t2 − t1 (3s) − (1s) 2s Observação importante: Note que, o resultado negativo para o valor da velocidade está totalmente coerente com o gráfico que descreve o movimento da partícula, isto é, o espaço diminui com o tempo. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 21. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ACELERAÇÃO Toda vez que a velocidade de um corpo sofre alteração, dizemos que houve aceleração. Suponhamos que num instante t1 a velocidade de uma partícula seja ν1 e num instante t2 a velocidade seja ν2 . A aceleração escalar média (am ) da partícula entre esses dois instantes é definida por: ∆v ν2 − ν1 am = = ∆t t2 − t1 Da definição concluímos que a unidade de aceleração é igual ao quociente entre uma unidade de velocidade e uma unidade de tempo. Por exemplo, podem ser unidades de aceleração: m/s Km/h Km/h cm/s , , , , ··· s s min s m m/s m 1 m No SI temos: = s = s · = 2 s 1 s s s Como ∆t é sempre positivo, vemos que o sinal da aceleração escalar média é igual ao sinal de ∆v . Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 22. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Um automóvel percorre uma estrada de modo que sua velocidade vai aumentando. Num determinado instante sua velocidade escalar é 54 Km/h e, 2,0 segundos depois, sua velocidade escalar é 72 Km/h. Calcule a aceleração escalar média do automóvel, entre esses instantes. Resolução: O intervalo de tempo é ∆t = 2, 0 s. A variação de velocidade nesse intervalo de tempo foi: ∆v = (72 Km/h) − (54 Km/h) = 18 Km/h Portanto, a aceleração escalar média foi: ∆v 18 Km/h Km/h am = = = 9, 0 ∆t 2, 0 s s isto é, 9,0 quilômetros por hora, por segundo. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 23. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO Isso significa que, em média, a velocidade escalar aumentou 9 Km/h, a cada segundo. Se quisermos dar a resposta no SI, teremos: 18 ∆v = 18 Km/h = m/s = 5, 0 m/s 3, 6 Assim: ∆v 5, 0 m/s am = = = 2, 5 m/s2 ∆t 2, 0 s Portanto, Km/h am = 9, 0 = 2, 5 m/s2 s Isso significa que, em média, a velocidade aumentado 2,5 m/s a cada segundo. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 24. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um motorista está dirigindo seu automóvel a uma velocidade escalar 30m/s quando observa que um pouco adiante há um buraco. Pisa, então, no freio, reduzindo a velocidade para 10m/s, num intervalo de tempo de 4,0 segundos. Calcule a aceleração escalar média do automóvel durante a freada. Resolução: O intervalo de tempo é ∆t = 4, 0 s. A velocidade escalar inicial é v1 = 30 m/s, a e velocidade escalar no fim da freada é v2 = 10 m/s. Portanto, durante a freada a variação de velocidade escalar foi: ∆v = v2 − v1 = (10 m/s) − (30 m/s) = −20 m/s Portanto, a aceleração escalar média foi: ∆v −20 m/s am = = = −5, 0 m/s2 ∆t 4, 0 s am = −5, 0 m/s2 Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 25. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Além da aceleração escalar média (am ), define-se também a aceleração escalar instantânea (a), que é a aceleração escalar em determinado instante. Consideremos apenas o caso em que a aceleração escalar instantânea é constante ∆v a constante =⇒ a = am = ∆t Por exemplo, no caso representado na tabela abaixo, onde temos as velocidades escalares de uma partícula em intervalos de 1 segundo. Podemos observar que a velocidade varia de modo regular: a cada 1 segundo, o aumento de velocidade é 2 m/s. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 26. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO t(s) v (m/s) 0 5 1 7 = 5 m/s + 2 m/s 2 9 = 7 m/s + 2 m/s 3 11 = 9 m/s + 2 m/s 4 13 = 11 m/s + 2 m/s Portanto podemos dizer que a acelaração é constante e dada por: a = 2 m/s por segundo = 2 m/s2 Quando a aceleração escalar de uma partícula é constante (mas não nula), dizemos que o movimento da partícula é uniformemente variado. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 27. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS BIBLIOGRAFIA UTILIZADA Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch Moysés - 4. ed. - São Paulo: Blucher, 2002. Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. - Rio de Janeiro: LTC, 2007. Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006. Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio, José Luiz - 2. ed. - São Paulo: Atual, 2008. Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira
  • 28. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS OBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum da semana, para que possamos esclarecê-las. O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo o curso. Portanto aproveitem este material! ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO! Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira