Exercícios resolvidos de física para ciências biológicas sobre movimento uniforme

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -
MECÂNICA

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
Tutores: Luis Paulo Silveira Machado e
Wagner Máximo de Oliveira

UFPB VIRTUAL

5 de setembro de 2012

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de BIOLÓGICAS - MECÂNICA
FÍSICA PARA CIÊNCIAS Oliveira


Introdução

Estamos iniciando a Semana, e estudaremos os seguintes
assuntos:
Equação horária do movimento uniforme;
Gráﬁcos do movimento uniforme;
Aceleração.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os
assuntos descritos acima, porém, é interessante que você
estude antes a teoria no Livro de FÍSICA., na primeira unidade.

BOM ESTUDO!



EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME

Vimos alguns casos de movimento uniforme, que é o
movimento em que a velocidade é constante. No entanto
existem problemas cuja resolução ﬁca facilitada se usarmos
uma equação que será vista a seguir.
Consideremos uma partícula
em movimento uniforme, com
velocidade escalar ν(que pode
ser positiva ou negativa). Su-
ponhamos que, ao iniciarmos a
contagem dos tempos (t0 = 0),
a partícula tenha abscissa (ou
espaço) s0 ; essa abscissa será
chamada de espaço inicial. Al-
gum tempo depois, no instante
t, a partícula terá espaço s.



EQUAÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME

Como o movimento é uniforme, a velocidade instantânea
coincide com a velocidade média num intervalo de tempo
qualquer. Assim, entre os instantes t0 e t temos:

∆s s − s0
v= =
∆t t − t0 = 0

Daí tiramos:
s − s0 = vt ⇐⇒ s = s0 + vt

OBSERVAÇÃO 1: s = s0 + vt é a equação horária dos
espaços. Ela nos fornece o espaço s num instante qualquer t.



EXERCÍCIOD RESOLVIDOS: Uma partícula tem movimento
uniforme e progressivo, de velocidade escalar v = 3, 0 m/s. No
instante em que iniciamos a observação da partícula seu espaço
é 10 m.
1 Determine a equação horária do espaço;
2 Determine o espaço da partícula no instante t = 2, 0 s;
3 Determine o instante em que a partícula passa pelo ponto se
espaço s = 31 m.

Resolução:
1. No instante t0 = 0 temos t = 10 m. Portanto o espaço inicial
da partícula é s0 = 10 m :. Como o movimento é progressivo, a
velocidade é positiva: v = 3, 0 m/s. Assim, temos:
s = s0 + vt = 10 + 3, 0t
s = 10 + 3, 0t (no SI)


CONTINUAÇÃO
2. Partindo da equação horária do ítem anterior, temos:
s = 10 + (3, 0)t
t = 2, 0 s =⇒ s = 10 + (3, 0)(2, 0) = 10 + 6, 0 =⇒
s = 16 m

3. Consideremos novamente a equação horário do espaço,
substituindo s por 31 m, temos: s = 10 + (3, 0)t
31 = 10 + (3, 0)t =⇒ (3, 0)t = 31 − 10 =⇒ (3, 0)t = 21
t = 7, 0 s


EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula tem movimento
uniforme e retrógrado de modo que no instante t0 = 0 seu
espaço é 80 Km. Sabendo que a velocidade escalar da partícula
tem módulo 20 Km/h, determine a equação horária do espaço.
Resolução:

O espaço no instante t0 = 0 é o espaço inicial. Assim,
s0 = 80 km. O enunciado do problema diz que |v| = 20 km/h
Porém, como o movimento é retrógrado, a velocidade deve ser
negativa (v < 0). Daí, v = −20 Km/h
A equação horária então ﬁca:

s = s0 + vt =⇒ s=80-20t



2. Em uma estrada, um automóvel A, com velocidade escalar 80
Km/h, persegue um automóvel B, cuja velocidade escalar é 60
Km/h, de modo que os dois automóveis se movem no mesmo
sentido, como indica a ﬁgura. Num determinado instante, a
distância que os separa é de 30 Km/h.

1 Depois de quanto tempo o automóvel A alcançará o automóvel
B?
2 Qual a posição do encontro?



CONTINUAÇÃO
Resolução:
1. Vamos desprezar o tamanho dos veículos e supor que cada
um seja uma partícula. Adotemos uma trajetória de modo que
no instante inicial o espaço de A seja nulo, isto é, s0A = 0.
Assim, o espaço inicial de B será 30 Km: s0B = 30 Km. Em
seguida, vamos determinar as equações horárias do espaço
para cada partícula:
s = s0 + vt s = s0 + vt
sA = s0A + vA t sA = s0B + vB t
sA = 0 + 80t = 80t sA = 30 + 60t



CONTINUAÇÃO

No momento do encontro, as duas partículas deverão ter o
mesmo espaço:
sA = sB
80t = 30 + 60t
30
20t = 30 =⇒ t = ∴ t=1,5 h
20

Assim, o encontro ocorrerá após 1,5 hora (ou 1 h 30 min).



CONTINUAÇÃO

2. Para saber a posição de encontro, basta substituirmos t por
1,5 h na equação de A ou na equação de A, temos:

sA = 80t

t = 1, 5 h =⇒ sA = 80 · 1, 5 ∴

sA = 120 Km

Se substituirmos t na equação de B, obteremos:

sB = 30 + 60t = 30 + 60 · 1, 5 = 30 + 90 = 120 ∴

sB = 120 Km



GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: s × t
Gráfico s × t:
No movimento uniforme a equação horária é do 10 grau
(s = s0 + vt) e, aprendemos que equações do 10 grau
correspondem sempre a gráficos retilíneos. Portanto, num
movimento uniforme o gráfico s × t é sempre retilíneo.

Figura: v > 0: Inclinação positiva Figura: v < 0: Inclinação negativa



GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: v × t

Num movimento uniforme, a velocidade escalar é constante.
Portanto o gráﬁco da velocidade em função do tempo (v × t)
deve ser retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos.

Figura: v > 0 Figura: v < 0



GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: EXEMPLO

Na tabela abaixo fornecemos o espaço (s) em função do
tempo, para uma partícula em movimento.

t(s) 0 2 4 6 8
s(m) -10 0 10 20 30

Levando em conta os dados da tabela, podemos veriﬁcar que a
velocidade escalar média é a mesma em qualquer intervalo de
tempo. Vamos então admitir que o movimento seja uniforme.
Consideremos por exemplo o intervalo de tempo entre os
instantes t1 = 4 s e t2 = 8 s. Nesses instantes os espaços são
s1 = 10 m e s2 = 30 m. Assim:

∆s s2 − s1 (30 m) − (10 m) 20 m
v= = = = = 5 m/s
∆t t2 − t1 (8 s) − (4 s) 4s



CONTINUAÇÃO

Vamos agora construir o gráfico s × t. Na tebela vemos que
para t = 0, s = −10 m; esses valores correspondem ao ponto
A no gráfico abaixo. Para t = 2 s temos s = 0; isso nos dá o
ponto B. Para t = 4 s temos s = 10 m; isso nos dá o ponto C.
Para t = 6 s temos s = 20 m; isso nos dá o ponto D. Para
t = 8 s temos s = 30 m; isso nos dá o ponto E. Ligando esses
pontos, obtemos um gráfico retilíneo.



CONTINUAÇÃO



CONTINUAÇÃO
O espaço inicial é o espaço no instante t = 0. Portanto, temos
s0 = −10 m.
O ponto B é o ponto onde o gráﬁco corta o eixo dos tempos:
esse ponto corresponde a s = 0.
Isso signiﬁca que, nesse instante (t = 2 s), a partícula passa
pela origem da trajetória.

Como v = 5 m/s e s0 = −10 m, a equação horária do espaço
é:
s = s0 + vt
s = −10 + 5t (SI)


CONTINUAÇÃO

Como a velocidade escalar é constante, o gráﬁco v × t deve ser
retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos, como vemos abaixo.



EXERCÍCIO RESOLVIDO
Na ﬁgura ao abaixo temos o gráﬁco s × t para uma partícula em
movimento. Vamos determinar a equação horária do espaço.



CONTINUAÇÃO
Resolução:
Do gráﬁco, tiramos s0 = 16 m. Para obter a velocidade,
podemos considerar dois instantes quaisquer e os
correspondentes espaços. Por exemplo:

t1 = 1 s =⇒ s1 = 12 m

t2 = 3 s =⇒ s2 = 4 m
Assim,
∆s s2 − s1 (4m) − (12m) −8m
v= = = = = −4m/s
∆t t2 − t1 (3s) − (1s) 2s

Observação importante: Note que, o resultado negativo
para o valor da velocidade está totalmente coerente com o
gráﬁco que descreve o movimento da partícula, isto é, o
espaço diminui com o tempo.


ACELERAÇÃO
Toda vez que a velocidade de um corpo sofre alteração,
dizemos que houve aceleração. Suponhamos que num
instante t1 a velocidade de uma partícula seja ν1 e num
instante t2 a velocidade seja ν2 . A aceleração escalar média
(am ) da partícula entre esses dois instantes é deﬁnida por:
∆v ν2 − ν1
am = =
∆t t2 − t1
Da deﬁnição concluímos que a unidade de aceleração é igual
ao quociente entre uma unidade de velocidade e uma unidade
de tempo. Por exemplo, podem ser unidades de aceleração:
m/s Km/h Km/h cm/s
, , , , ···
s s min s
m
m/s m 1 m
No SI temos: = s =
s · = 2
s 1 s s s
Como ∆t é sempre positivo, vemos que o sinal da aceleração
escalar média é igual ao sinal de ∆v .


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Um automóvel percorre uma
estrada de modo que sua velocidade vai aumentando. Num
determinado instante sua velocidade escalar é 54 Km/h e, 2,0
segundos depois, sua velocidade escalar é 72 Km/h. Calcule a
aceleração escalar média do automóvel, entre esses instantes.
Resolução:

O intervalo de tempo é ∆t = 2, 0 s.
A variação de velocidade nesse intervalo de tempo foi:
∆v = (72 Km/h) − (54 Km/h) = 18 Km/h Portanto, a
aceleração escalar média foi:
∆v 18 Km/h Km/h
am =
= = 9, 0
∆t 2, 0 s s
isto é, 9,0 quilômetros por hora, por segundo.


CONTINUAÇÃO

Isso signiﬁca que, em média, a velocidade escalar aumentou 9
Km/h, a cada segundo.
Se quisermos dar a resposta no SI, teremos:

18
∆v = 18 Km/h = m/s = 5, 0 m/s
3, 6
Assim:
∆v 5, 0 m/s
am = = = 2, 5 m/s2
∆t 2, 0 s
Portanto,

Km/h
am = 9, 0 = 2, 5 m/s2
s

Isso signiﬁca que, em média, a velocidade aumentado 2,5 m/s
a cada segundo.


EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um motorista está dirigindo seu
automóvel a uma velocidade escalar 30m/s quando observa que
um pouco adiante há um buraco. Pisa, então, no freio, reduzindo
a velocidade para 10m/s, num intervalo de tempo de 4,0
segundos. Calcule a aceleração escalar média do automóvel
durante a freada.
Resolução:
O intervalo de tempo é ∆t = 4, 0 s.
A velocidade escalar inicial é v1 = 30 m/s, a e velocidade
escalar no ﬁm da freada é v2 = 10 m/s. Portanto, durante a
freada a variação de velocidade escalar foi:
∆v = v2 − v1 = (10 m/s) − (30 m/s) = −20 m/s
Portanto, a aceleração escalar média foi:
∆v −20 m/s
am = = = −5, 0 m/s2
∆t 4, 0 s

am = −5, 0 m/s2


MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Além da aceleração escalar média (am ), deﬁne-se também a
aceleração escalar instantânea (a), que é a aceleração
escalar em determinado instante. Consideremos apenas o
caso em que a aceleração escalar instantânea é constante

∆v
a constante =⇒ a = am =
∆t
Por exemplo, no caso representado na tabela abaixo, onde
temos as velocidades escalares de uma partícula em intervalos
de 1 segundo. Podemos observar que a velocidade varia de
modo regular: a cada 1 segundo, o aumento de velocidade é 2
m/s.



MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

t(s) v (m/s)
0 5
1 7 = 5 m/s + 2 m/s
2 9 = 7 m/s + 2 m/s
3 11 = 9 m/s + 2 m/s
4 13 = 11 m/s + 2 m/s
Portanto podemos dizer que a acelaração é constante e dada
por:
a = 2 m/s por segundo = 2 m/s2
Quando a aceleração escalar de uma partícula é constante
(mas não nula), dizemos que o movimento da partícula é
uniformemente variado.



BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch
Moysés - 4. ed. - São Paulo: Blucher, 2002.
Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. -
Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2006.
Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio,
José Luiz - 2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.



OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados
nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no
fórum da semana, para que possamos esclarecê-las.
O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo
o curso. Portanto aproveitem este material!

ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!


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