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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(01)

Solução

1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(02)
Determine os valores de x e y nas figuras planas abaixo:

(a)

(b)

Solução
(a)

(c)

(b)

(d)

2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(c)

(d)

(03)

Solução

3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(04)
Um ponto interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo.
Qual a distância desse ponto à bissetriz desse ângulo?
Solução

(05)
Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, √ m e 2 m de
um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice
desse ângulo.
Solução

(06)
Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 6 m e 9 m dos lados desse
ângulo. Qual a distância entre P e a bissetriz do ângulo?
Solução

4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(07)
Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo.
Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo.
Solução
Prolongando o segmento de medida 6 m, obtemos o
triângulo BCD com 𝐶𝐵 𝐷 = 30°. Daí:

A

6m

𝑆𝑒𝑛 30° =
D

∆𝐴𝑂𝐵: 𝑇𝑎𝑛𝑔 60° =

6m

x

𝐶𝐷 1
3
→ =
→ 𝐵𝐷 = 6 𝑚; 𝐴𝐵 = 12 𝑚
𝐵𝐷 2
𝐵𝐷

3m

60°
O

∆𝐴𝑂𝐷: 𝑥² =

30°
C

𝐴𝑂

2

𝐴𝐵
12
→ √3 =
→ 𝐴𝑂 = 4√3
𝐴𝑂
𝐴𝑂
𝐴𝐷

2

→ 𝑥 2 = 48 + 36 → 𝒙 = 𝟐√𝟐𝟏 𝒎

B

(08)
Um ponto P, interno de um ângulo de 30°, dista 3 m de um lado e √
vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo?

m do

Solução

5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

B
Prolongamos o segmento cuja medida vamos
determinar e obtemos o triângulo ABC. Temos:

90°
x

𝑦 2 + 33 = 3√13
𝑡𝑎𝑛𝑔 60° =

3√13

w

𝑆𝑒𝑛 60° =

3
30°

60°

a

y

A

z

𝒙=

→ 𝒚 = 𝟔√𝟑𝒎

3
3
→ √3 = → 𝒛 = √𝟑𝒎
𝑧
𝑧

3
√3 3
→
= → 𝒘 = 𝟐√𝟑
𝑤
2
𝑤

∆𝐴𝐵𝐶: 𝑆𝑒𝑛 30° =

C

2

𝑥+ 𝑤 1
𝑥 + 2√3
→ =
→
𝑦+ 𝑧
2
7√3

𝟑√𝟑
𝒎
𝟐

(09)
Um ponto P, externo de um ângulo de 60°, dista √
dos lados do
√
ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é
a distância entre P e a bissetriz do ângulo?
Solução
Na figura abaixo precisamos determinar a distância PT. Assim, temos:
𝟏

𝑵𝒐 ∆𝑷𝑸𝑾:

P
90° W
y

𝑠𝑒𝑛 60° =

60°

𝟐 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑹𝑺:

90°

60°
x

9√3

3√3 √3 3√3
→
=
→ 𝒚= 𝟔 𝒎
𝑦
2
𝑦

𝑠𝑒𝑛 60° =
T

9√3 √3 9√3
→
=
→ 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 𝒎
𝑃𝑆
2
𝑃𝑆

𝟑 𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖

x

𝑦 + 2𝑥 = 18 → 6 + 2𝑥 = 18 → 𝒙 = 𝟔 𝒎

30°
30°

60°
R

S

𝑷𝑻 = 𝒙 + 𝒚 → 𝑃𝑇 = 6 + 6 → 𝑷𝑻 = 𝟏𝟐 𝒎

6
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(10)
Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a
altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média
multiplicada por √ .
Solução

(11)
Determine a tangente do ângulo “â”, sabendo que “E” é o ponto médio do
lado ̅̅̅̅ do quadrado ABCD.
D

C

Solução

2a

A

E

B

7
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(12)
Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° e 6 dm de
raio.
Solução

(13)
Seja AB = 3r, tangente em “A” a uma circunferência de centro “O” e raio “r”.
Traça-se por “B” a tangente ̅̅̅̅, que tem “C” por ponto de contato. Calcule a
distância “C” à reta ⃡ .
Solução

8
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(14)
Consideremos um triângulo retângulo ABC, onde a medida de um ângulo
agudo é . Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função
de e da hipotenusa “a”.
Solução

(15)
Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Sabendo
que um de seus ângulos internos vale 120°, calcule o perímetro do
quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos.
Solução

9
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
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(16)

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10

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Exercícios resolvidos de geometria plana triângulos retângulos - celso brasil

  • 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (01) Solução 1
  • 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (02) Determine os valores de x e y nas figuras planas abaixo: (a) (b) Solução (a) (c) (b) (d) 2
  • 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (c) (d) (03) Solução 3
  • 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (04) Um ponto interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo. Qual a distância desse ponto à bissetriz desse ângulo? Solução (05) Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, √ m e 2 m de um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução (06) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 6 m e 9 m dos lados desse ângulo. Qual a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução 4
  • 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (07) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução Prolongando o segmento de medida 6 m, obtemos o triângulo BCD com 𝐶𝐵 𝐷 = 30°. Daí: A 6m 𝑆𝑒𝑛 30° = D ∆𝐴𝑂𝐵: 𝑇𝑎𝑛𝑔 60° = 6m x 𝐶𝐷 1 3 → = → 𝐵𝐷 = 6 𝑚; 𝐴𝐵 = 12 𝑚 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 3m 60° O ∆𝐴𝑂𝐷: 𝑥² = 30° C 𝐴𝑂 2 𝐴𝐵 12 → √3 = → 𝐴𝑂 = 4√3 𝐴𝑂 𝐴𝑂 𝐴𝐷 2 → 𝑥 2 = 48 + 36 → 𝒙 = 𝟐√𝟐𝟏 𝒎 B (08) Um ponto P, interno de um ângulo de 30°, dista 3 m de um lado e √ vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo? m do Solução 5
  • 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves B Prolongamos o segmento cuja medida vamos determinar e obtemos o triângulo ABC. Temos: 90° x 𝑦 2 + 33 = 3√13 𝑡𝑎𝑛𝑔 60° = 3√13 w 𝑆𝑒𝑛 60° = 3 30° 60° a y A z 𝒙= → 𝒚 = 𝟔√𝟑𝒎 3 3 → √3 = → 𝒛 = √𝟑𝒎 𝑧 𝑧 3 √3 3 → = → 𝒘 = 𝟐√𝟑 𝑤 2 𝑤 ∆𝐴𝐵𝐶: 𝑆𝑒𝑛 30° = C 2 𝑥+ 𝑤 1 𝑥 + 2√3 → = → 𝑦+ 𝑧 2 7√3 𝟑√𝟑 𝒎 𝟐 (09) Um ponto P, externo de um ângulo de 60°, dista √ dos lados do √ ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução Na figura abaixo precisamos determinar a distância PT. Assim, temos: 𝟏 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑸𝑾: P 90° W y 𝑠𝑒𝑛 60° = 60° 𝟐 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑹𝑺: 90° 60° x 9√3 3√3 √3 3√3 → = → 𝒚= 𝟔 𝒎 𝑦 2 𝑦 𝑠𝑒𝑛 60° = T 9√3 √3 9√3 → = → 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 𝒎 𝑃𝑆 2 𝑃𝑆 𝟑 𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 x 𝑦 + 2𝑥 = 18 → 6 + 2𝑥 = 18 → 𝒙 = 𝟔 𝒎 30° 30° 60° R S 𝑷𝑻 = 𝒙 + 𝒚 → 𝑃𝑇 = 6 + 6 → 𝑷𝑻 = 𝟏𝟐 𝒎 6
  • 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (10) Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média multiplicada por √ . Solução (11) Determine a tangente do ângulo “â”, sabendo que “E” é o ponto médio do lado ̅̅̅̅ do quadrado ABCD. D C Solução 2a A E B 7
  • 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (12) Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° e 6 dm de raio. Solução (13) Seja AB = 3r, tangente em “A” a uma circunferência de centro “O” e raio “r”. Traça-se por “B” a tangente ̅̅̅̅, que tem “C” por ponto de contato. Calcule a distância “C” à reta ⃡ . Solução 8
  • 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (14) Consideremos um triângulo retângulo ABC, onde a medida de um ângulo agudo é . Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função de e da hipotenusa “a”. Solução (15) Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Sabendo que um de seus ângulos internos vale 120°, calcule o perímetro do quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos. Solução 9
  • 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (16) Solução 10