O documento explora o conceito de recursividade em programação, fornecendo exemplos práticos de soma de números e exponenciação. Ele discute a importância de identificar casos base e passos recursivos, além de analisar a complexidade de algoritmos recursivos por meio de relações de recorrência. A indução matemática também é mencionada como uma ferramenta para provar relações de recorrência.

1. Tutoria AEDSI
Pablo Silva

2. Mais de recursividade
Vamos ver mais alguns exemplos de problemas que
podemos resolver com recursividade

3. Seja o problema em que temos um número
natural n >= 0 e queremos descobrir a soma
de todos os números de n até 0. Como
resolver este problema recursivamente?

4. Entender o problema matemático
Precisamos sempre encontrar o caso base e o passo
recursivo. Mas para isso, temos que entender o
problema matemático.

5. Entender o problema matemático
Vejamos possíveis iterações:
0 = 0
1 = 1 + 0 = 1
2 = 2 + 1 + 0 = 3
3 = 3 + 2 + 1 + 0 = 6
...
n = n + n-1 + n-2 + ... + 0
O caso base como podemos
perceber é zero, pois é sempre
onde o problema termina!

6. Entender o problema matemático
Vejamos possíveis iterações:
0 = 0
1 = 1 + 0 = 1
2 = 2 + 1 + 0 = 3
3 = 3 + 2 + 1 + 0 = 6
...
n = n + n-1 + n-2 + ... + 0
O que podemos perceber
analisando as iterações, é que
começamos a somar em n e
vamos diminuindo em 1 para
cada número natural anterior a
n até zero.
n-1

7. Entender o problema matemático
Se assumirmos que diminuímos o problema em um fator de 1, então
teríamos a seguinte situação:
0 = 0
1 = + 0 = 1
2 = + 1 + 0 = 3
3 = + 2 + 1 + 0 = 6
...
n = + n + n-1 + ... + 0
Ao diminuirmos, percebemos que
novamente, nessa iteração, teríamos após o
n, um fator n-1 e então podemos definir
nosso passo recursivo como:
n + soma(n-1)
Pois para resolver o problema, sempre
somamos n com o seu antecessor direto (n-
1).
n-1

8. Soma de n termos
Nossa função então ficaria da seguinte forma:
int soma(int n){
if(n == 0)
return 0;
return n + soma(n-1);
}

9. Mais um exemplo
Seja o problema de elevar qualquer número n á um expoente qualquer k.
Como resolver isso de maneira recursiva. Vamos ver algumas possíveis
interações deste problema matemático, com n = 2 e k >= 0:
20
= 1
21
= 2 ∗ 20
22
= 2 ∗ 2 ∗ 20
= 2 ∗ 21
23
= 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 20
= 2 ∗ 22
24
= 2 ∗ 21
∗ 21
∗ 21
∗ 20
= 2 ∗ 23
Na multiplicação de mesma base podemos somar os
expoentes e manter a base (1+1+1+0 = 3)
K - 1 Percebemos que o
problema termina sempre
que k = 0. Portanto, desta
vez, a diminuição do nosso
problema, ocorrerá no
expoente e não no número
que estamos somando.

10. Um fato importante a se considerar
sobre recursão
- Nós podemos ter mais de um caso base!
- Sempre precisamos encontrar uma maneira de diminuir o problema. O
fator que vamos diminuir e qual é o nosso parâmetro de diminuição não
será o mesmo para todos os problemas. Podemos, inclusive, ter que
diminuir o problema utilizando mais que um parâmetro para isso.
- É importante notar que o fator de diminuição nem sempre será em 1,
pode por exemplo ser 2 ou até mesmo dividir o problema pela metade
a cada passo recursivo!

11. Mais um exemplo
Seja o problema de elevar qualquer número n á um expoente qualquer k.
Como resolver isso de maneira recursiva. Vamos ver algumas possíveis
interações deste problema matemático, com n = 2 e k >= 0:
20
= 1
21
= 2 ∗ 20
22
= 2 ∗ 2 ∗ 20
= 2 ∗ 21
23
= 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 20
= 2 ∗ 22
24
= 2 ∗ 21
∗ 21
∗ 21
∗ 20
= 2 ∗ 23
Na multiplicação de mesma base podemos somar os
expoentes e manter a base (1+1+1+0 = 3)
K - 1 O caso base é fácil de
perceber, pois quando k =
0, o problema terminou
para todas as iterações.
Logo k = 0 é o nosso caso
base.

12. Mais um exemplo
Seja o problema de elevar qualquer número n á um expoente qualquer k.
Como resolver isso de maneira recursiva. Vamos ver algumas possíveis
interações deste problema matemático, com n = 2 e k >= 0:
20
= 1
21
= 2 ∗ 20
22
= 2 ∗ 2 ∗ 20
= 2 ∗ 21
23
= 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 20
= 2 ∗ 22
24
= 2 ∗ 21
∗ 21
∗ 21
∗ 20
= 2 ∗ 23
Na multiplicação de mesma base podemos somar os
expoentes e manter a base (1+1+1+0 = 3)
K - 1 Para o passo recursivo,
percebemos que sempre
podemos multiplicar n por
uma potenciação de 𝑛 𝑘−1.
O k-1 é em relação ao
expoente inicial. Logo o
passo recursivo:
𝑛 * 𝑛 𝑘−1

13. Potenciação recursiva
Nossa função então ficaria da seguinte forma:
int pot(int n, int k){
if(k == 0)
return 1;
return n * pot(n,k-1);
}

14. Análise da recursividade
Qual é a complexidade do algoritmo recursivo que
calcula o fatorial de n? Como conseguimos calcular
esse valor?

15. Análise da recursividade
Analisar a complexidade de algoritmos recursivos
não é tão simples assim e muitas vezes temos que
utilizar recursos matemáticos mais aguçados para
conseguir chegar à um valor.

16. Análise da recursividade
Analisar a complexidade de algoritmos recursivos
não é tão simples assim e muitas vezes temos que
utilizar recursos matemáticos mais aguçados para
conseguir chegar à um valor. Isto envolve saber a
descrição matemática que nos dá o
comportamento do algoritmo, que será definida
como sua relação de recorrência! (recorrência, pois o algoritmo sempre
“recorre” a si mesmo várias vezes para resolver um problema qualquer. Recorrência é o mesmo que repetição!)

17. Relações de recorrência
Uma relação de recorrência é sempre formada por:
o caso base e por um elemento que se parece
muito com o passo recursivo, mas tem a ver com
número de operações completadas. Vamos tentar
entender um pouco deste elemento, utilizando o
fatorial recursivo de n.

18. Relações de recorrência
Seja uma relação de recorrência representada pelo
símbolo 𝑇, podemos definir então a função de 𝑇(n),
que será a função que descreverá nossa relação de
recorrência, de modo que:
𝑇 𝑛 =
𝐶 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑎𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒 𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑇 𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑘 + 𝑑 𝑑 ≥< 0
Onde o valor mínimo de n depende do nosso problema matemático!

19. Relações de recorrência
Vamos utilizar como exemplo o fatorial de n.
Sabemos que o caso base é quando n = 1 e neste
caso, o valor retornado é 1. Logo C = 1 quando n = 1,
então:
𝑇 𝑛 =
1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1

20. Relações de recorrência
Agora vamos analisar a função fatorial, para encontrar nossa
relação de recorrência:
int fatorial(int n){
if( n == 1 )
return 1;
return n * fatorial(n-1);
}
Para encontrar a recorrência do algoritmo temos
que nos atentar para o número de operações
que temos a cada passo. Olhando para o passo
recursivo, pode-se perceber que sempre vamos
ter 1 multiplicação mais uma chamada da função
fatorial com o nosso problema diminuído em 1.
Portanto nossa recorrência pode ser definida
por:
1 + 𝑇 𝑛 − 1
Onde T refere-se neste caso a função fatorial!
Uma multiplicação e uma
chamada de função com o
problema diminuído em 1!

21. Relações de recorrência
Logo, k = 1, o fator de diminuição é uma subtração
por k e d = 1, que é o valor de operações
completadas por cada chamada da função.
𝑇 𝑛 =
1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1
𝑇 𝑛 − 1 + 1 ,

22. Relações de recorrência
Para finalizar o nosso T(n), precisamos definir o valor
mínimo que n atinge em que a recorrência ainda
existe. Neste caso, é todo valor que n assume que é
maior que o caso base. Logo
𝑇 𝑛 =
1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1
𝑇 𝑛 − 1 + 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 1
Quando n atingir 1, não teremos mais recorrências!

23. Como resolver uma relação de recorrência?
Temos duas maneiras de resolver uma relação de
recorrência:
- Por expansão dos fatores
- Por indução matemática

24. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
1º) Copie a fórmula original
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 1 + 1
2º) Descubra por quanto que a recorrência é diminuída a cada passo (fator de
diminuição k)
T(n) está escrito em função de T(n-1) então a cada passo o parâmetro n é
subtraído de 1 (k = 1)

25. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
3º) Encontre o valor de T para os próximos valores da diminuição,
utilizando valor da equação original T(n) = T(n – 1) + 1
Como já sabemos que o fator de diminuição é subtraído de 1, então
devemos achar os valores de T(n-1), T(n-2), T(n-3) e assim por diante,
substituindo n pelos respectivos valores na equação inicial.

26. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
3º) Encontre o valor de T para os próximos valores da diminuição,
utilizando valor da equação original T(n) = T(n – 1) + 1
Se ainda está confuso o que devemos fazer, pense nesse problema
matemático, seja:
𝑓 𝑥 = 2𝑥
Se queremos saber o valor de f(2) e f(3) logo x = 2, x = 3, então fazemos:
𝑓 2 = 2 ∗ 2 = 4
𝑓 3 = 2 ∗ 3 = 6

27. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
3º) Encontre o valor de T para os próximos valores da diminuição, utilizando valor
da equação original T(n) = T(n – 1) + 1
Portanto se queremos saber os valores de T(n-1), T(n-2)... Então n = n-1, n = n-2,...
E fazemos como anteriormente substituindo os valores de n. Logo:
𝑇 (𝑛 − 1) = 𝑇 𝑛 − 1 − 1 + 1 = T n − 2 + 1 (3.1)
𝑇 (𝑛 − 2) = 𝑇 𝑛 − 2 − 1 + 1 = T n − 3 + 1(3.2)
𝑇 (𝑛 − 3) = 𝑇 𝑛 − 3 − 1 + 1 = T n − 4 + 1(3.3)

28. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
4º) Substitua os valores encontrados em 3, na equação original (chamamos isto de
expansão da recorrência) T(n) = T(n-1) + 1
Utilizando 3.1, onde encontramos o valor de T(n-1):
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 1 + 1 ⇒ 𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 2 (4.1)
Utilizando 3.2, onde encontramos o valor de T(n-2), substituímos em 4.1
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 1 + 2 ⇒ 𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 3 (4.2)
k
k

29. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
4º) Continuamos a substituir, até conseguirmos enxergar um padrão nas expansões:
Utilizando 3.2, onde encontramos o valor de T(n-3), substituímos em 4.2:
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 1 + 3 ⇒ 𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 4 (4.3)
Podemos notar que o valor de k incrementa a cada expansão, que é o comportamento
experado, já que estamos sempre diminuindo a recorrência pelo fator de 1 (valor inicial
de k). A ideia é perceber o comportamento da recorrência ao se aumentar o valor de k
(diminuir a recorrência)!
k

30. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
4º) Analisando todas as iterações:
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 2 (4.1)
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 3 4.2
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 4 4.3
k
A cada expansão da recorrência, k assume um novo valor. Percebemos também que o valor constante que é
somado a recorrência e indica a quantidade de multiplicações que teremos que realizar para encontrar a
solução do problema (fatorial de n) é o mesmo valor de k em todas as iterações.

31. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
4º) Analisando todas as iterações:
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 2 (4.1)
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 3 4.2
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 4 4.3
k
Logo, depois de k expansões teremos:
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 𝑘 + 𝑘

32. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
5º) Encontrar quando a expansão para. Precisamos pensar no caso base, que é o
mesmo que pensar em quando T(n-k) nos retornará um valor. Olhando para o caso
base, sabemos que teremos um valor de retorno e não uma nova recorrência quando n
= 1. Para o nosso caso, n = (n-k) que é o valor de argumento da recorrência [T(n-k)]
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 𝑘 + 𝑘 (5.1)
Logo precisamos saber quando n-k = 1, pois então teremos T(1) e já sabemos que isso é
igual a 1.
𝑛 − 𝑘 = 1 ⇒ 𝑘 = 𝑛 − 1

33. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
5º) Substituindo o valor de k encontrado (n-1) em 5.1 temos
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − (𝑛 − 1) + 𝑛 − 1
= 𝑇 1 + 𝑛 − 1
Como sabemos que T(1) = 1, então
𝑇 𝑛 = 1 + 𝑛 − 1
𝑇 𝑛 = 𝑛

34. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
6º) Definir o limite assintótico de T(n)
Como encontramos que T(n) = n, então neste caso sabemos que o algoritmo fatorial de
n recursivo é O(n), maior grau no polinômio encontrado.
Na prática, depois de várias décadas de estudo, sabe-se que o resultado da relação de
recorrência é suficiente para conhecer a complexidade do algoritmo, porém se
quisermos realmente provar (e às vezes isso será necessário!), precisamos utilizar
indução matemática, que é um método da matemática discreta que nos ensina como
provar problemas matemáticos, entre eles relações de recorrência.

35. Resolvendo recorrências por expansão de
fatores. Receita de bolo!
6º) Definir o limite assintótico de T(n)
Como encontramos que T(n) = n, então neste caso sabemos que o algoritmo fatorial de
n recursivo é O(n), maior grau no polinômio encontrado.
Na prática, depois de várias décadas de estudo, sabe-se que o resultado da relação de
recorrência é suficiente para conhecer a complexidade do algoritmo, porém se
quisermos realmente provar (e às vezes isso será necessário!), precisamos utilizar
indução matemática, que é um método da matemática discreta que nos ensina como
provar problemas matemáticos, entre eles relações de recorrência.

36. Indução matemática
Em uma linguagem bem simplificada. Você pode usar a indução
matemática para provar uma expressão matemática quando:
1 – Sabe que ela é verdadeira para algum valor.
2 – Quer provar que ela é válida então para esse valor em
relação a um fator de um (pode ser aumentar ou diminuir). Ou
seja, quer provar que o próximo valor e os próximos valores
depois deste também são verdadeiros.

37. Indução matemática
Características:
1 – O passo 1 do slide anterior é chamado de passo base.
2 – O passo 2 é o passo indutivo.

38. Indução matemática
Exemplo. Seja um teorema que tenha como parâmetro um número
natural n. Provando que T é válido para todos os valores de n,
provamos que:
1 – T é válido para n = 1 (eu tenho que saber que isto é verdade!);
2 – Para todo n > 1, se T é válido para n – 1, então T é válido para n
(Se conseguirmos provar que n – 1 é válido (e isto implica em provar
que n – 2, n – 3 e assim por diante também é válido), então podemos
provar que n é verdadeiro. Esse é o passo indutivo.

39. O que é uma prova?
Em matemática, uma prova é uma argumentação
precisa que procura convencer o leitor de que uma
certa preposição, previamente enunciada está
correta. Num sentindo mais informa, uma prova é
um texto que ajuda o leitor a entender por que
uma dada afirmação é verdadeira!

40. Provando uma relação de recorrência por indução
matemática
Primeiro temos que provar que o passo base é verdadeiro. Para
nossa equação de recorrência do problema do fatorial:
𝑇 𝑛 =
1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1
𝑇 𝑛 − 1 + 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 1
Logo primeiro queremos provar que T(1) = 1. Sabemos que T(1)
é verdadeiro, pois quando n = 1, o algoritmo não realiza
nenhuma multiplicação. Logo, o nosso caso base é verdadeiro!

41. Provando uma relação de recorrência por indução
matemática
Agora supomos que T(k) = k (pois não sabemos quanto é
realmente este valor antes de calcular todas as multiplicações. A
variável n foi substituída por k, pois estamos generalizando para
quaisquer valores n > 1, pois quando n = 1 já provamos ser
verdadeiro). Para provar que T(k) = k é verdadeiro, precisamos
provar que T(k + 1) = k + 1 também é verdadeiro. Se
conseguirmos provar que T(k + 1) é verdadeiro, então T(k)
também será verdadeiro, pois derivamos T(k+1) de T(k) e assim
nosso passo indutivo seria verdadeiro e nossa relação de
recorrência também.

42. Provando uma relação de recorrência por indução
matemática
A ideia principal aqui é a seguinte. Vamos encontrar definir
nossa hipótese de indução. A hipótese de indução é sempre
nosso passo recursivo:
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 1 + 1
Vamos a partir da nossa hipótese de indução, determinar o valor
de T(k + 1).

43. Provando uma relação de recorrência por indução
matemática
𝑇 𝑘 + 1 = 𝑇 (𝑘 + 1) − 1 + 1
= 𝑇 𝑘 + 1
Sempre, que queremos provar T(k+1), precisamos tentar deixá-lo
em função de T(k), que é o valor que supomos no começo do
exercício que queríamos provar. Supomos que T(k) = k, então
vamos substituí-lo na expressão encontrada acima.

44. Provando uma relação de recorrência por indução
matemática
Como supomos que T(k) = k no começo do exercícios,
podemos então substituí-lo na expressão encontrada no slide
anterior:
𝑇 𝑘 + 1 = 𝑇 𝑘 + 1
T(k + 1) = 𝑘 + 1
Note que é exatamente o que queríamos provar, pois lembre-se
que no começo do exercício, supomos T(k) = k e queríamos
provar que T(k+1) = k +1.

45. Provando uma relação de recorrência por indução
matemática
Escrever uma prova de indução matemática sempre envolve:
- Provar o caso base
- Supor T(k) = k e tentar provar que T(k+1) = k+1
- Encontrar uma hipótese de indução, que é o nosso passo
recursivo
- Utilizar a hipótese de indução para encontrar T(k+1) em
função de T(k)
- Manipular T(k+1) para que ele seja k+1