1) O cilindro oscilará com uma frequência natural de 3,9 Hz devido às duas molas de rigidez k tracionadas. 2) Uma mola equivalente única de rigidez k1 + k2 fará com que cada massa vibre com sua frequência original. 3) A constante máxima k para cada mola idêntica é de 474 kN/m para manter a frequência abaixo de 3 Hz descarregado. Carregado com 40t, a frequência natural seria de 0,905 Hz.

1. ıcios Resolvidos - 5o Tarefa
Exerc´ .
10 de abril de 2013
Quest˜o 1
a
Calcule a frequˆncia natural fn de oscila¸ao vertical do cilindro carregado por molas quando
e c˜
ele ´ posto em movimento. As duas molas est˜o tracionadas o tempo todo.
e a
Solu¸˜o
ca
Analisemos o sistema quando em equil´
ıbrio (valores em m´dulo):
o
T1 = Fel1 = kx1
T2 = Fel2 = kx2

2. onde x1 e x2 s˜o os valores das deforma¸oes das molas 1 e 2 no sistema inicial. Assim:
a c˜
P + T2 = T1 => P = T1 − T2 = k(x1 − x2 )
Agora, analisemos o que acontece quando se produz uma pequena deforma¸˜o para baixo(valores
ca
em m´dulo, e assumindo que a for¸a resultante tem dire¸˜o para cima):
o c ca
T1 = kx1 = k(x1 + x)
T2 = kx2 = k(x2 − x)
Fr = T1 − (P + T2 )
Fr = k(x1 + x) − [k(x1 − x1 ) + k(x2 − x)]
Fr = 2kx
d2 x 2k
Ou seja, escrevendo de forma vetorial : 2 = − x, onde x ´ a posi¸˜o do elevador. Logo, o
e ca
dt m
movimento ser´ um MHS e sua frequˆncia ser´ dada por
a e a
1 2k 1 2.300
fn = = = 3, 9Hz
2π m π 10
Quest˜o 2 Substitua as molas em cada um dos dois casos mostrados por uma unica mola de
a ´
rigidez k(constante de mola equivalente) que far´ com que cada massa vibre com sua frequˆncia
a e
original.
Solu¸˜o
ca

3. No primeiro caso,a deforma¸ao ∆x causada ´ a mesma para ambas as molas. A equa¸ao de
c˜ e c˜
equil´
ıbrio vertical, utilizando os valores em m´dulo, ´:
o e
F1 + F2 = P
k1 ∆x + k2 ∆x = P
(k1 + k2 )∆x = P
Portanto a rigidez da mola equivalente ´ Keq = k1 + k2 No segundo caso, considerando a massa
e
da mola desprez´ıvel, a for¸a ´ a mesma em todos os pontos dela, isto ´:
c e e
F = k1 ∆x1 = k2 ∆x2 = Keq ∆x
∆x1 + ∆x2 = ∆x
F F F
+ =
k1 k2 Keq
k1 k2
Keq =
k1 + k2
Vale a pena frisar aqui que o resultado obtido nessse problema pode ser estendido para um
n´mero qualquer n de molas, sejam todas em s´rie ou todas em paralelo. Assim, ter´
u e ıamos, em
cada caso, os seguintes valores para a constante de mola equivalente:
n
Kparalelo = ki = k1 + k2 + . . . + kn
i=1
e n
1 1 k1 k2 . . . kn
= => Kserie =
Kserie i=1
ki k1 + k2 + . . . + kn
Quest˜o 3 Durante o projeto do sistema de apoio com molas para a plataforma de pesagem
a
de 4t, decide-se que a frequˆncia da vibra¸ao livre vertical na condi¸ao descarregada n˜o deve
e c˜ c˜ a
exceder 3 ciclos por segundo. (a) Determine a constante de mola m´xima aceit´vel k para cada
a a
uma das trˆs molas idˆnticas. (b) Para esta constante de mola, qual seria a frequˆncia natural
e e e
fn da vibra¸ao vertical da plataforma carregada com caminh˜o de 40t?
c˜ a

4. Solu¸˜o
ca
a) A contante equivalente do sistema ´ K = k + k + k = 3k. Como se trata de um MHS:
e
3k
ω2 =
m
Onde m ´ a massa da estrutura. Logo:
e
3k
2πf =
m
1 3k
f=
2π m
A constante ser´ maior ` medida que f aumenta. Como f n˜o pode exceder 3 ciclos por
a a a
segundo, este o valor para maximizar k:
3KM
4π 2 32 =
4000
KM = 474kN/m
b) Neste caso, ainda temos um MHS, por´m o sistema tem massa m + M , onde M ´ a massa
e e
do caminh˜o:
a
1 3k
f =
2π m + M
1 3.474.103
f =
2π 44.103
f = 0, 905Hz