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Questões do livro “A Matemática do Ensino Médio” Volume 1
Sétima edição
Autores:
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho
Eduardo Wagner
Augusto César Morgado
Capítulo 1 - Conjuntos
Exercícios:
1) Sejam P1 , P2 , Q1 , Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto-universo U. Suponha
que P1, P2 esgotam todos os casos possíveis (ou seja, um elemento qualquer de U ou tem a
propriedade P1 ou tem P2 ). Suponha ainda que Q1, Q2 são incompatíveis (isto é, excluem-se
mutuamente). Suponha, finalmente, que P1 ⇒ Q1 e P2 ⇒ Q2. Prove que valem as recíprocas: Q1 ⟹
P1 e Q2 ⟹ P2.
Demonstração:
Vamos demostrar que a implicação Q1 ⇒ P1 é verdadeira. Com efeito, seja “a” um
elemento qualquer do conjunto-universo U que goze da propriedade Q1. Segue da
hipótese das propriedades Q1 e Q2 serem incompatíveis que o elemento “a” não goza da
propriedade Q2. P2 ⟹ Q2 é equivalente a escrever que Q'2 ⟹ P'2 , onde Q'2 é a negação
da propriedade Q2 e P'2 é a negação da propriedade P2 . Com isso, de “a” não gozar de
Q2 implica que “a” não goza de P2. Segue da hipótese das propriedades P1 e P2
esgotarem todos os casos possíveis dos elementos de U, então só pode ser que “a” goze
da propriedade P1. Portanto, tem-se Q1 ⟹ P1.
Vamos demostrar agora que a implicação Q2 ⟹ P2 é verdadeira. Com efeito, seja “b”
um elemento qualquer do conjunto-universo U que goze da propriedade Q2. Segue da
hipótese das propriedades Q1 e Q2 serem incompatíveis que o elemento “b” não goza da
propriedade Q1. P1 ⟹ Q1 é equivalente a escrever que Q'1 ⟹ P'1 , onde Q'1 é a negação
da propriedade Q1 e P'1 é a negação da propriedade P1 . Com isso, de “b” não gozar de
Q1 implica que “b” não goza de P1. Segue da hipótese das propriedades P1 e P2
esgotarem todos os casos possíveis dos elementos de U, então só pode ser que “b” goze
da propriedade P2. Portanto, tem-se Q2 ⟹ P2.
c.q.d.
2) Enquadre no contexto do exercício anterior o seguinte fato geométrico. Duas oblíquas que se
afastam igualmente do pé da perpendicular são iguais. Se se afastam desigualmente então são
desiguais e a maior á a que mais se afasta.
Sem solução!
3) Sejam X1 X2, Y1 Y2 subconjuntos do conjunto-universo U. Suponha que X1 ∪ X2 = U e Y1 ∩ Y2
= ∅, que X1 ⊂ Y1 e que X2 ⊂ Y2. Prove que X1 = Y1 e que X2 = Y2.
Demonstração:
Segue pelas hipóteses X1 ⊂ Y1 e X2 ⊂ Y2, que basta provar que Y1 ⊂ X1 e que Y2 ⊂ X2
para demonstrar as igualdades requeridas.
Seja “a” um elemento qualquer de U, tal que a ∈ Y1. De Y1 ∩ Y2 = ∅, segue que a ∉ Y2.
De X2 ⊂ Y2, segue que a ∉ X2. De X1 ∪ X2 = U, então só pode ser que a ∈ X1. Assim, Y1 ⊂
X1. Portanto, a igualdade X1 = Y1 é verdadeira.
Seja “b” um elemento qualquer de U, tal que b ∈ Y2. De Y1 ∩ Y2 = ∅, segue que b ∉ Y1.
De X1 ⊂ Y1, segue que a ∉ X1. De X1 ∪ X2 = U, então só pode ser que a ∈ X2. Assim, Y2
⊂ X2. Portanto, a igualdade X2 = Y2 é verdadeira.
c.q.d.
4) Compare o exercício anterior com o primeiro em termos de clareza e simplicidade dos
enunciados. Mostre que qualquer um deles pode ser resolvido usando o outro. Estabeleça resultados
análogos com n propriedades ou n subconjuntos em vez de 2. Veja no livro “Coordenadas no
Espaço”, (Coleção do Professor de Matemática, S.B.M.) pág. 83 uma utilização deste fato com n =
8.
Demonstração:
É fácil ver que a solução do segundo exercício é muito mais conciso, objetivo e claro em
relação ao primeiro. O uso das definições Matemáticas para solucionar problemas de
lógica é extremamente interessante, pois sintetiza o pensamento e torna a solução rápida
e limpa.
Vamos mostrar a equivalência dos dois problemas. Sejam os conjuntos X1, X2, Y1, Y2,
subconjuntos do conjunto-universo U, tais que:
X1 = {a ∈ U; a goza da propriedade P1}
X2 = {b ∈ U; b goza da propriedade P2}
Y1 = {c ∈ U; c goza da propriedade Q1}
Y2 = {d ∈ U; d goza da propriedade Q2}
Suponha que:
X1 ∪ X2 = U; Y1 ∩ Y2 = ∅; X1 ⊂ Y1 e Y2 ⊂ X2.
Observe que P1, P2, Q1 e Q2 são propriedades referentes a elementos do conjunto-
universo U.
É fácil ver que independente das hipóteses vale X1 ∪ X2 ⊂ U. Assim, a hipótese do
problema está na inclusão U ⊂ X1 ∪ X2. Segue daí que para todo 𝛼 ∈ U, tem-se 𝛼 ∈ X1 ou
𝛼 ∈ X2. Isto é equivalente a dizer que para todo 𝛼 elemento de U, ou 𝛼 goza da
propriedade P1 ou 𝛼 goza da propriedade P2.
De Y1 ∩ Y2 = ∅, segue que para todo c ∈ Y1, tem-se c ∉ Y2 e para todo d ∈ Y2, tem-se d ∉
Y1. Isto é equivalente a dizer que para todo c elemento de U que goza da propriedade Q1,
tem-se c não goza da propriedade Q2; e que para todo d elemento de U que goza da
propriedade Q2, tem-se d não goza da propriedade Q1. Ou seja, as propriedades Q1 e Q2
excluem-se mutuamente.
X1 ⊂ Y1 é equivalente a dizer que P1 ⟹ Q1. Com efeito, seja 𝛼 um elemento qualquer de U
tal que goze da propriedade P1. Assim, 𝛼 ∈ X1. Segue de X1 ⊂ Y1 que 𝛼 ∈ Y1. Com isso, 𝛼
goza da propriedade Q1. Portanto, a implicação P1 ⟹ Q1 é verdadeira. Reciprocamente,
seja 𝛽 ∈ X1. Segue que 𝛽 é elemento qualquer de U, tal que goze da propriedade P1. De
P1 ⟹ Q1, segue que 𝛽 goza da propriedade Q1. Com isso, 𝛽 ∈ Y1. Portanto, a inclusão X1
⊂ Y1 é verdadeira.
X2 ⊂ Y2 é equivalente a dizer que P2 ⟹ Q2. A demonstração é análoga ao parágrafo
anterior.
Prove que X1 = Y1 e X2 = Y2.
Devemos mostrar que valem as inclusões Y1 ⊂ X1 e Y2 ⊂ X2.
Y1 ⊂ X1 é equivalente a dizer que Q1 ⟹ P1.
Y2 ⊂ X2 é equivalente a dizer que Q2 ⟹ P2.
Vamos generalizar o problema para n ∈ ℕ.
Sejam os conjuntos X1,..., Xn ⊂ U e Y1,..., Yn ⊂ U, com n ∈ ℕ, tais que:
X1 ∪ … ∪ Xn = U
Y1 ∩ … ∩ Yn = U
Suponha ainda que X1 ⊂ Y1,..., Xn ⊂ Yn.
Prove que X1 = Y1,..., Xn = Yn.
Demonstração:
Seja ak ∈ Yk; k ∈ {1,..., n}. Segue por Y1 ∩ … ∩ Yn = U, que ak ∉ Ym com m ∈ {1,...,n} – {k}.
Assim, segue por X1 ⊂ Y1,..., Xn ⊂ Yn , que ak ∉ Xm com m ∈ {1,...,n} – {k}
Observe que X1 ∪ … ∪ Xn = U. Como ak ∈ U, então só pode ser que ak ∈ Xk. Portanto, Yk
⊂ Xk para qualquer que seja k ∈ {1,...,n}. Logo, valem as requeridas igualdades.
c.q.d.
5) Ainda no tema do primeiro exercício, seria válido substituir as implicações P1 ⇒ Q1 e P2 ⇒ Q2 na
hipótese por suas recíprocas Q1 ⇒ P1 e Q2 ⇒ P2?
Resposta: Não. As hipóteses não seriam suficientes para mostrar as novas implicações.
6) Escreva as implicações lógicas que correspondam à resolução da equação √ 𝑥 + 2 = 𝑥, veja
quais são reversíveis e explique o aparecimento de raízes estranhas. Faça o mesmo com a equação
√ 𝑥 + 3 = 𝑥.
Solução:
√ 𝑥 + 2 = 𝑥 ⟺ √ 𝑥 = 𝑥 − 2
⟹ 𝑥 = (𝑥 − 2)
⟺ 𝑥 = 𝑥 − 4𝑥 + 4
⟺ 0 = 𝑥 − 5𝑥 + 4
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎
Onde Δ = 𝑏 − 4𝑎𝑐
Assim, tem-se:
Δ = (−5) − 4(1)(4) = 9
𝑥 =
5 + 3
2
= 4; 𝑥 =
5 − 3
2
= 1
𝑆 ⊂ {1; 4}
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4 ⟹ √4 + 2 = 4 ⟺ 2 + 2 = 4 ⟺ 4 = 4
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 ⟹ √1 + 2 = 1 ⟺ 1 + 2 = 1 ⟺ 3 = 1 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜
Portanto, a raiz da equação √ 𝑥 + 2 = 𝑥 é 4.
A implicação √ 𝑥 = 𝑥 − 2 ⟹ 𝑥 = (𝑥 − 2) não é reversível, pois para 𝑥 = 1, √ 𝑥 < 0,
𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜.
√ 𝑥 + 3 = 𝑥 ⟺ √ 𝑥 = 𝑥 − 3
⟹ 𝑥 = (𝑥 − 3)
⟺ 𝑥 = 𝑥 − 6𝑥 + 9
⟺ 0 = 𝑥 − 7𝑥 + 9
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎
Onde Δ = 𝑏 − 4𝑎𝑐
Assim, tem-se:
Δ = (−7) − 4(1)(9) = 13
𝑥 =
7 + √3
2
; 𝑥 =
7 − √13
2
𝑆 ⊂ {
7 + √13
2
;
7 − √13
2
}
Para que algum número real x seja a raiz da equação √ 𝑥 + 3 = 𝑥 é necessário que 𝑥 − 3 ≥ 0.
Assim, tem-se:
𝑥 − 3 =
7 + √13
2
− 3 =
7 + √13 − 6
2
=
1 + √13
2
> 0
𝑥 − 3 =
7 − √13
2
− 3 =
7 − √13 − 6
2
=
1 − √13
2
< 0
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 √ 𝑥 + 3 = 𝑥 é
7 + √13
2

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A matemática do ensino médio vol 1

  • 1. Questões do livro “A Matemática do Ensino Médio” Volume 1 Sétima edição Autores: Elon Lages Lima Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner Augusto César Morgado Capítulo 1 - Conjuntos Exercícios: 1) Sejam P1 , P2 , Q1 , Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto-universo U. Suponha que P1, P2 esgotam todos os casos possíveis (ou seja, um elemento qualquer de U ou tem a propriedade P1 ou tem P2 ). Suponha ainda que Q1, Q2 são incompatíveis (isto é, excluem-se mutuamente). Suponha, finalmente, que P1 ⇒ Q1 e P2 ⇒ Q2. Prove que valem as recíprocas: Q1 ⟹ P1 e Q2 ⟹ P2. Demonstração: Vamos demostrar que a implicação Q1 ⇒ P1 é verdadeira. Com efeito, seja “a” um elemento qualquer do conjunto-universo U que goze da propriedade Q1. Segue da hipótese das propriedades Q1 e Q2 serem incompatíveis que o elemento “a” não goza da propriedade Q2. P2 ⟹ Q2 é equivalente a escrever que Q'2 ⟹ P'2 , onde Q'2 é a negação da propriedade Q2 e P'2 é a negação da propriedade P2 . Com isso, de “a” não gozar de Q2 implica que “a” não goza de P2. Segue da hipótese das propriedades P1 e P2 esgotarem todos os casos possíveis dos elementos de U, então só pode ser que “a” goze da propriedade P1. Portanto, tem-se Q1 ⟹ P1. Vamos demostrar agora que a implicação Q2 ⟹ P2 é verdadeira. Com efeito, seja “b” um elemento qualquer do conjunto-universo U que goze da propriedade Q2. Segue da hipótese das propriedades Q1 e Q2 serem incompatíveis que o elemento “b” não goza da propriedade Q1. P1 ⟹ Q1 é equivalente a escrever que Q'1 ⟹ P'1 , onde Q'1 é a negação da propriedade Q1 e P'1 é a negação da propriedade P1 . Com isso, de “b” não gozar de Q1 implica que “b” não goza de P1. Segue da hipótese das propriedades P1 e P2 esgotarem todos os casos possíveis dos elementos de U, então só pode ser que “b” goze da propriedade P2. Portanto, tem-se Q2 ⟹ P2. c.q.d. 2) Enquadre no contexto do exercício anterior o seguinte fato geométrico. Duas oblíquas que se afastam igualmente do pé da perpendicular são iguais. Se se afastam desigualmente então são desiguais e a maior á a que mais se afasta. Sem solução! 3) Sejam X1 X2, Y1 Y2 subconjuntos do conjunto-universo U. Suponha que X1 ∪ X2 = U e Y1 ∩ Y2 = ∅, que X1 ⊂ Y1 e que X2 ⊂ Y2. Prove que X1 = Y1 e que X2 = Y2. Demonstração: Segue pelas hipóteses X1 ⊂ Y1 e X2 ⊂ Y2, que basta provar que Y1 ⊂ X1 e que Y2 ⊂ X2 para demonstrar as igualdades requeridas. Seja “a” um elemento qualquer de U, tal que a ∈ Y1. De Y1 ∩ Y2 = ∅, segue que a ∉ Y2. De X2 ⊂ Y2, segue que a ∉ X2. De X1 ∪ X2 = U, então só pode ser que a ∈ X1. Assim, Y1 ⊂ X1. Portanto, a igualdade X1 = Y1 é verdadeira. Seja “b” um elemento qualquer de U, tal que b ∈ Y2. De Y1 ∩ Y2 = ∅, segue que b ∉ Y1.
  • 2. De X1 ⊂ Y1, segue que a ∉ X1. De X1 ∪ X2 = U, então só pode ser que a ∈ X2. Assim, Y2 ⊂ X2. Portanto, a igualdade X2 = Y2 é verdadeira. c.q.d. 4) Compare o exercício anterior com o primeiro em termos de clareza e simplicidade dos enunciados. Mostre que qualquer um deles pode ser resolvido usando o outro. Estabeleça resultados análogos com n propriedades ou n subconjuntos em vez de 2. Veja no livro “Coordenadas no Espaço”, (Coleção do Professor de Matemática, S.B.M.) pág. 83 uma utilização deste fato com n = 8. Demonstração: É fácil ver que a solução do segundo exercício é muito mais conciso, objetivo e claro em relação ao primeiro. O uso das definições Matemáticas para solucionar problemas de lógica é extremamente interessante, pois sintetiza o pensamento e torna a solução rápida e limpa. Vamos mostrar a equivalência dos dois problemas. Sejam os conjuntos X1, X2, Y1, Y2, subconjuntos do conjunto-universo U, tais que: X1 = {a ∈ U; a goza da propriedade P1} X2 = {b ∈ U; b goza da propriedade P2} Y1 = {c ∈ U; c goza da propriedade Q1} Y2 = {d ∈ U; d goza da propriedade Q2} Suponha que: X1 ∪ X2 = U; Y1 ∩ Y2 = ∅; X1 ⊂ Y1 e Y2 ⊂ X2. Observe que P1, P2, Q1 e Q2 são propriedades referentes a elementos do conjunto- universo U. É fácil ver que independente das hipóteses vale X1 ∪ X2 ⊂ U. Assim, a hipótese do problema está na inclusão U ⊂ X1 ∪ X2. Segue daí que para todo 𝛼 ∈ U, tem-se 𝛼 ∈ X1 ou 𝛼 ∈ X2. Isto é equivalente a dizer que para todo 𝛼 elemento de U, ou 𝛼 goza da propriedade P1 ou 𝛼 goza da propriedade P2. De Y1 ∩ Y2 = ∅, segue que para todo c ∈ Y1, tem-se c ∉ Y2 e para todo d ∈ Y2, tem-se d ∉ Y1. Isto é equivalente a dizer que para todo c elemento de U que goza da propriedade Q1, tem-se c não goza da propriedade Q2; e que para todo d elemento de U que goza da propriedade Q2, tem-se d não goza da propriedade Q1. Ou seja, as propriedades Q1 e Q2 excluem-se mutuamente. X1 ⊂ Y1 é equivalente a dizer que P1 ⟹ Q1. Com efeito, seja 𝛼 um elemento qualquer de U tal que goze da propriedade P1. Assim, 𝛼 ∈ X1. Segue de X1 ⊂ Y1 que 𝛼 ∈ Y1. Com isso, 𝛼 goza da propriedade Q1. Portanto, a implicação P1 ⟹ Q1 é verdadeira. Reciprocamente, seja 𝛽 ∈ X1. Segue que 𝛽 é elemento qualquer de U, tal que goze da propriedade P1. De P1 ⟹ Q1, segue que 𝛽 goza da propriedade Q1. Com isso, 𝛽 ∈ Y1. Portanto, a inclusão X1 ⊂ Y1 é verdadeira. X2 ⊂ Y2 é equivalente a dizer que P2 ⟹ Q2. A demonstração é análoga ao parágrafo anterior. Prove que X1 = Y1 e X2 = Y2. Devemos mostrar que valem as inclusões Y1 ⊂ X1 e Y2 ⊂ X2. Y1 ⊂ X1 é equivalente a dizer que Q1 ⟹ P1. Y2 ⊂ X2 é equivalente a dizer que Q2 ⟹ P2. Vamos generalizar o problema para n ∈ ℕ. Sejam os conjuntos X1,..., Xn ⊂ U e Y1,..., Yn ⊂ U, com n ∈ ℕ, tais que: X1 ∪ … ∪ Xn = U Y1 ∩ … ∩ Yn = U Suponha ainda que X1 ⊂ Y1,..., Xn ⊂ Yn. Prove que X1 = Y1,..., Xn = Yn.
  • 3. Demonstração: Seja ak ∈ Yk; k ∈ {1,..., n}. Segue por Y1 ∩ … ∩ Yn = U, que ak ∉ Ym com m ∈ {1,...,n} – {k}. Assim, segue por X1 ⊂ Y1,..., Xn ⊂ Yn , que ak ∉ Xm com m ∈ {1,...,n} – {k} Observe que X1 ∪ … ∪ Xn = U. Como ak ∈ U, então só pode ser que ak ∈ Xk. Portanto, Yk ⊂ Xk para qualquer que seja k ∈ {1,...,n}. Logo, valem as requeridas igualdades. c.q.d. 5) Ainda no tema do primeiro exercício, seria válido substituir as implicações P1 ⇒ Q1 e P2 ⇒ Q2 na hipótese por suas recíprocas Q1 ⇒ P1 e Q2 ⇒ P2? Resposta: Não. As hipóteses não seriam suficientes para mostrar as novas implicações. 6) Escreva as implicações lógicas que correspondam à resolução da equação √ 𝑥 + 2 = 𝑥, veja quais são reversíveis e explique o aparecimento de raízes estranhas. Faça o mesmo com a equação √ 𝑥 + 3 = 𝑥. Solução: √ 𝑥 + 2 = 𝑥 ⟺ √ 𝑥 = 𝑥 − 2 ⟹ 𝑥 = (𝑥 − 2) ⟺ 𝑥 = 𝑥 − 4𝑥 + 4 ⟺ 0 = 𝑥 − 5𝑥 + 4 𝑥 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 Onde Δ = 𝑏 − 4𝑎𝑐 Assim, tem-se: Δ = (−5) − 4(1)(4) = 9 𝑥 = 5 + 3 2 = 4; 𝑥 = 5 − 3 2 = 1 𝑆 ⊂ {1; 4} 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4 ⟹ √4 + 2 = 4 ⟺ 2 + 2 = 4 ⟺ 4 = 4 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 ⟹ √1 + 2 = 1 ⟺ 1 + 2 = 1 ⟺ 3 = 1 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜 Portanto, a raiz da equação √ 𝑥 + 2 = 𝑥 é 4. A implicação √ 𝑥 = 𝑥 − 2 ⟹ 𝑥 = (𝑥 − 2) não é reversível, pois para 𝑥 = 1, √ 𝑥 < 0, 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜. √ 𝑥 + 3 = 𝑥 ⟺ √ 𝑥 = 𝑥 − 3 ⟹ 𝑥 = (𝑥 − 3) ⟺ 𝑥 = 𝑥 − 6𝑥 + 9 ⟺ 0 = 𝑥 − 7𝑥 + 9 𝑥 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 Onde Δ = 𝑏 − 4𝑎𝑐 Assim, tem-se: Δ = (−7) − 4(1)(9) = 13 𝑥 = 7 + √3 2 ; 𝑥 = 7 − √13 2 𝑆 ⊂ { 7 + √13 2 ; 7 − √13 2 } Para que algum número real x seja a raiz da equação √ 𝑥 + 3 = 𝑥 é necessário que 𝑥 − 3 ≥ 0. Assim, tem-se:
  • 4. 𝑥 − 3 = 7 + √13 2 − 3 = 7 + √13 − 6 2 = 1 + √13 2 > 0 𝑥 − 3 = 7 − √13 2 − 3 = 7 − √13 − 6 2 = 1 − √13 2 < 0 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 √ 𝑥 + 3 = 𝑥 é 7 + √13 2