Apostila com conteúdo para revisão do ENEM e para todos aqueles que se interessam por este conteúdo. Bons estudos e força sempre.

1. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
1

2. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
2
ANÁLISE COMBINATÓRIA.
Fatorial
Sendo n um número natural diferente de zero, chamamos de fatorial de n a expressão;
nnnn )1)(2....(3.2.1!  .
O Fatorial é uma ferramenta muito importante na analise combinatória, por isso vamos
estudar seu conceito e aplicação, de forma que este possa auxiliá-lo mais tarde.
Matematicamente, podemos definir assim Fatorial:







0)!1(
0,1
!
nsenn
nse
n
Observe que com essa definição em dupla sentença, resolvemos todos os casos:
a) 0! = 1 (por definição)
b) 1! = 1.(1 – 1)! = 1. 0! = 1.1 = 1
c) 2! = 2.(2 – 1)! = 2. 1! = 2.1 = 2
d) 3! = 3.(3 – 1)! = 3. 2! = 3.2.1 = 6
e) 4! = 4.(4 – 1)! = 4. 3! = 4.3.2.1 = 24, e assim por diante.
Exemplo:
Calcule o valor de n na expressão:
 
)(7''4'0283
3123131
!
)1)(2(1!
31
!
!)1)(2(!
31
!
)!2(!
2
2
convémnãonnnn
nn
n
nnn
n
nnnn
n
nn







Daí podemos concluir que o conjunto solução é S = {4}

3. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
3
Coeficientes Binomiais
Sendo n e p dois números naturais quaisquer tal que pn  , chamamos de coeficiente
binomial o número indicado por 





p
n
definido por;:
)!(!
!
pnp
n
p
n







; n, p IN e pn 
Fazendo uma analogia com o conhecimento a cerca das frações dizemos que o número n é
o numerador e p é o denominador; lê-se “n sobre p”.
Existem três conseqüências da definição de coeficiente binomial a considerar:
I) n
n






1
II) 1
0





n
III) 1





n
n
Números Binomiais complementares: Dois coeficientes Binomiais são chamados
complementares quando ambos tiver o mesmo numerador, e a soma dos seus
denominadores for igual ao numerador comum, ou seja:















pn
n
p
n
Exemplo: Determine o valor de k, sabendo – se que os coeficientes binomiais


















 5
8
12
8
kk
são complementares.
Solução:
Se os coeficientes binomiais dados são complementares, então a soma dos denominadores é
igual ao denominador, logo, 2k +1 + (-k) + 5 = 8 k + 6 = 8k = 2.
TRIÂNGULO DE PASCAL OU DE TARTAGLIA
O Triângulo de Pascal recebe esse nome, devido à forma em que os elementos estão
distribuídos, e esses elementos são os coeficientes binomiais que tem a seguinte
característica:

4. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
4






0
0






0
1






1
1






0
2






1
2






2
2







0
3







1
3







2
3







3
3







 
0
1n







 
1
1n







 
2
1n
 







1
1
n
n






0
n






1
n






2
n
 







1n
n






n
n
Podemos também representar o Triângulo de Pascal substituindo os coeficientes binomiais
pelos seus respectivos valores:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

5. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
5
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL
 1ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o primeiro elemento vale 1, pois
qualquer que seja a linha, o primeiro elemento é INn
n






,1
0
.
 2ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o último elemento vale 1, pois
qualquer que seja a linha, o último elemento é INn
n
n






,1 .
 3ª PROPRIEDADE. Numa linha, dois coeficientes binomiais eqüidistantes dos
extremos são iguais, isto equivale a dizer que 














pn
n
p
n
.
Observe no quadro:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
 A partir da 3ª linha, cada elemento (com exceção do primeiro e do último) é a soma
dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Essa propriedade é
conhecida como Relação de Stifel e afirma que:























1
1
1 p
n
p
n
p
n
Vamos mostrar um exemplo e uma aplicação da Relação de Stifel numa questão do
vestibular da Faculdade Baiana.

6. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
6
Obs: Um detalhe importante no uso da Relação de Stifel é observar o valor que representa
n, p e p + 1. Na questão do vestibular da Faculdade Baiana, n = 12, p = 7 e p + 1 = 7 +1 =
8.
BINÔMIO DE NEWTON
Inicialmente vamos considerar as seguintes potências desenvolvidas:
 222
2)( yxyxyx  , que podemos escrever também da seguinte forma;
201102
2 yxyxyx  ou 





0
2 02
yx + 





1
2 11
yx + 





2
2 20
yx .
 32233
33)( yxyyxxyx  , que podemos escrever também da seguinte forma;
30211203
33 yxyxyxyx  ou 





0
3 03
yx + 





1
3 12
yx + 





2
3 3021
3
3
yxyx 





 .
 4322344
464)( yxyyxyxxyx  , que podemos escrever também da
seguinte forma; 4031221304
464 yxyxyxyxyx  ou






0
4 04
yx + 





1
4 13
yx + 





2
4 403122
4
4
3
4
yxyxyx 











 .
Generalizando a situação, podemos escrever; para INneIRyex  :
nkknnnnn
y
n
n
yx
k
n
yx
n
yx
n
x
n
yx 





























 
221
210
)(
É interessante notar que os expoentes de x começam em n e decrescem de1 em 1 até
zero, enquanto os expoentes de y começam com zero e crescem até n. A esse
desenvolvimento damos o nome de Binômio de Newton.
Exemplos:
1) Efetuar o desenvolvimento de 5
)( ax  .

7. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
7
Solução:
5
)( ax  = 





0
5 05
yx + 





1
5 14
yx + 





2
5 50413223
5
5
4
5
3
5
yxyxyxyx 

















 .
Observemos que:
1
0
5






, 5
1
5






, 10
2
20
!3!.2
!3.4.5
!3!.2
!5
2
5






, 10
!2!.3
!5
3
5






,
5
1
5
!1!.4
!4.5
!1!.4
!5
4
5






, 1
0
5






Substituindo os valores na expressão temos:
5
)( ax  = 5
x + 5 yx4
+ 10 543223
510 yxyyxyx  .
2) Efetuar o desenvolvimento de
6
2
1






x .
Solução:
Inicialmente, devemos observar que
66
2
1
2
1


















 xx .
6
0
5
1
4
2
3
3
2
4
1
5
0
6
6
2
1
6
6
2
1
5
6
2
1
4
6
2
1
3
6
2
1
2
6
2
1
1
6
2
1
0
6
2
1




























































































x
xxxxxxx

8. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
8
Calculando cada coeficiente binomial e as potências de 






2
1
temos:
1
0
6






1
2
1
0







6
1
6













1
2
1







2
1
15
2
30
!4!.2
!4.5.6
!4!.2
!6
2
6













2
2
1






4
1
20
6
120
!3!.3
!3.4.5.6
!3!.3
!6
3
6













3
2
1







8
1
15
2
30
!2!.4
!4.5.6
!2!.4
!6
4
6













4
2
1






16
1
6
1
6
!1!.5
!5.6
!1!.5
!6
5
6













5
2
1







32
1
1
6
6













6
2
1






64
1
Substituindo os respectivos valores na expressão temos:
Fazendo as
operações
elementares obtemos:
TERMO GERAL DO BINÔMIO
O termo geral do Binômio de Newton é dado por:
kkn
k yx
k
n
T 
 





1
O termo geral do binômio é muito útil quando queremos calcular um termo qualquer n
desse binômio.











































64
1
32
1
6
16
1
15
8
1
20
4
1
15
2
1
6
2
1
4
23456
6
xxxxxxx













64
1
16
3
16
15
2
5
4
15
3
2
1 23456
6
xxxxxxx

9. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
9
Questões comentadas
1) Qual é o 5º termo do desenvolvimento de 5
)3( x , de acordo com as potências
decrescentes de x?
Solução: Inicialmente, vamos procurar o valor de 5T . Como 451  kk . Daí:
xxxxxxT 40581.581
!1!.4
!4.5
81
!1!.4
!5
81.
4
5
3.
4
5 445
5 











 
Portanto o 5º termo de 5
)3( x é 405x.
2) Calcular o termo independente de x no desenvolvimento de
6
1







x
x .
Solução:
k
k
kk
k
k
k
k
x
k
T
xx
k
T
x
x
k
T
26
1
6
1
6
1
6
.
6
1
.
6

































Observe que o termo independente de x é aquele cuja potência de x é zero, ou seja, 0
x .
Logo temos que:
6 – 2k = 0, e portanto k = 3.
Então temos que 4131 TTTk  
20
6
120
1.2.3
120
!3!.3
!3.4.5.6
)!36!.(3
!6
3
6
4 







T
3) Determine o termo médio (ou central) no desenvolvimento de 6
)3( x .
Solução: Observe que se o binômio esta elevado a 6ª potência significa que o seu
desenvolvimento constará 7 termos, Lembre-se que se a quantidade de termos é ímpar,

10. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
10
então o termo central é aquele que divide a esse grupo de termos em quantidades de termos
iguais.
Exemplo:
 1 2 3, o termo central é 2.
 1 2 3 4 5, o termo central é 3.
 1 2 3 4 5 6 7, o termo central é 4.
Feito isso, podemos voltar ao problema inicial. Como Já havíamos dito, se o binômio está
elevado a 6ª potência, então o seu desenvolvimento constará de 7 termos. Devemos então
procurar 4º termo, que é o termo central:
k + 1 = 4
k = 3
Portanto;
3
4
4
3
4
336
4
540)27.(20
)27(
!3!.2
!6
)27.(
3
6
)3.(
3
6
xxT
xT
xT
xT















 
4) No desenvolvimento de 50
)2( x , determinar os coeficientes do 4º e do penúltimo termo.
Solução: O termo geral é dado por
kk
k x
k
T )2.(
50 50
1 





 

 O 4º termo é o 4T . Como k + 1 = 4, então k = 3.








  3350
4 )2.(
3
50
xT 







)8.(
3
50 47
x  )8.(
!47!.3
!50 47
x  )8.(
!47!.3
!47.48.49.50 47
x
474747
156800)8.(19600)8.(
1.2.3
48.49.50
xxx  .

11. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
11
 O penúltimo termo é o 50T . Como k +1 = 50, então k = 49.
4949494950
4 )2.(50)2(
!1!.49
!50
)2.(
49
50






 
xxT
Portanto os coeficientes do 4º e do penúltimo termo são 47
156800x e 49
)2.(50 x .
5) Existe o termo independente de x no desenvolvimento de
3
1







x
x ?
Solução:
O termo geral é dado por
kkk
k
k
k x
k
xx
kx
x
k
T 2333
1
331
.
3 
 























 .
Para que exista o termo independente é necessário que 3 – 2k = 0. Como
2
3
32  kk , podemos observar que k não é um número natural. Logo, não há termo
independente de x no desenvolvimento de
3
1







x
x .
6) Qual o termo de 5
x no desenvolvimento de  8
3x ?
Solução: O termo geral é dado por
kk
k x
k
T 3.
8 8
1

 





 . Observe que o termo em 5
x ocorre apenas quando 8 – k = 5, ou seja k
= 3. Daí temos que 4131 TTTk   e portanto o termo em 5
x é dado por:
55338
4 1512.27.563.
3
8
xxxT 





 
Observações importantes;
I. No desenvolvimento de  n
yx  temos: o número de termos no
desenvolvimento do binômio é igual ao expoente mais 1, desta forma teremos n + 1 termos.
II. A medida em que os expoentes de x vão decrescendo, os expoentes de y vão
crescendo.
III. Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos são iguais aos
coeficientes dos extremos , sendo que o maior deles se encontra no centro.
IV. A soma dos expoentes de x e y em cada termo é igual ao expoente do
binômio.
V. O coeficiente do primeiro termo é sempre igual a 1.

12. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
12
VI. Os coeficientes dos outros termos se encontram através do produto do
expoente de x com o seu coeficiente, dividindo-se este resultado pelo número de ordem do
termo.
VII. No desenvolvimento de  n
yx  temos; os sinais de cada termo do
desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par são negativos e os de
ordem impar são positivos.
VIII. Para obter a soma dos coeficientes de  n
yx  , basta fazer cada letra igual a
unidade.
Exemplos:
a) A soma dos coeficientes de  6
yx  é:
642)11( 66
cS
b) A soma dos coeficientes de  65
32 x é:
1)1()31.2( 6565
cS
De uma forma geral, no desenvolvimento de  n
yx  , a soma dos coeficiente será
dada por n
2
EXERCÍCIO COMENTADO
(UCSAL –BA) O coeficiente de terceiro termo do desenvolvimento do binômio de
 n
yx  , segundo as potencias decrescentes de x, é igual a 60. Nessas condições, o valor
de n pertence ao conjunto:
a) {3, 4} b) {-5, 6} c) {7, 8} d) {9, 10} e) {11, 12}
Solução comentada: Em primeiro lugar devemos desenvolver o binômio dado até o
terceiro termo, pois é a partir daí que vamos identificar o valor de n. Portanto:
Pela definição temos que:
  

















 
22110
2
2
2.
1
2.
0
2 nnnn
x
n
x
n
x
n
x 





 
4.
2
2. 21 nnn
x
n
nxx
Temos que
22
)1(
)!2(!2
)!2)(1(
)!2(!2
!
2
2
nnnn
n
nnn
n
nn 













, que substituindo na
expressão temos:

13. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
13





 
  2
2
1
2
42 nnn
x
nn
nxx Ocorre que:
06022602260
2
4 22
2





 
nnnn
nn
dividindo todos os termos da
equação por 2 temos 0302
 nn e portanto o valor de n pertence ao conjunto solução
{-5, 6}.
Alternativa B.
TEORIA DOS CONJUNTOS
1. REPRESENTAÇÃO
Inicialmente vamos representar um conjunto de três formas diferentes;
NA FORMA TABULAR
Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma letra latina maiúscula, colocando-se
seus elementos entre chaves e separados por ponto e vírgula.
A { a, e, i, o, u } B { 2; 4; 6; 8}
POR UMA PROPRIEDADE
Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma propriedade que determine seus
elementos.
A {x / x é vogal do alfabeto latino}
B {x / x é um número par positivo menor do que 9}
OBS. A barra (/) significa “ tal que”.
POR UM DIAGRAMA DE VENN
Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como
diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais
diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos
conjuntos.

14. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
14
Exemplo: representemos o conjunto A dos números primos menores que 15 usando o
diagrama de Venn:
São válidas as seguintes relações de pertinência:
 1  A ( lê – se: “ 1 pertence a A” )
 15  B ( lê – se: “ 15 não pertence a B” )
2. CONJUNTOS ESPECIAIS
Existem alguns conjuntos que aparecem com freqüência em nosso estudo. Veja alguns
deles:
CONJUNTO UNIVERSO
O conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar é chamado de
conjunto universo e usualmente é representado por U.
CONJUNTO UNITÁRIO
Como o próprio nome já diz, o conjunto unitário é aquele que possui um único elemento.
Exemplo: M {x / x é mês do ano com menos de 30 dias}
CONJUNTO VAZIO
O conjunto que não possui elemento algum é chamado de conjunto vazio e é representado
pela letra grega  ou por chaves sem elementos entre elas.
M {x / x é dia da semana com 32 horas} M  ou M { }
3. RELAÇÃO DE INCLUSÃO ( SUBCONJUNTOS)
Quando todos os elementos que pertencem a um conjunto A também pertence a um
conjunto B, diz-se que A está contido )(  em B ou que A é subconjunto de B, ou ainda
que B contém A ( representa-se )AB  .
Em símbolos:

15. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
15
),( BxAxxBA 
Obs. O símbolo  significa “ qualquer que seja” ou “para todo”.
Propriedades
1. AAA  ;
2. AA  ; 11
Exemplos:
Se A { 2; 3; 4 } e B { 1; 2; 3; 4; 5; 6}, então BA  ..
4. IGUALDADE
Dois conjuntos A e B são iguais, se e somente se, BA  e AB  .
Observe a seguinte situação:
A { a; b; c } e B { b; a; c}
BA  e BAAB  .
 A ordem dos elementos não interferem na igualdade dos conjuntos.
 A repetição de um ou mais elementos em um conjunto não interfere na sua
igualdade.
5. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
UNIÃO )(
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto
A ou ao conjunto B.
A B = { x / x A ou x B }
Representação em diagrama:

16. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
16
Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então A B ={a, e, i, o, 3, 4}.
Propriedades:
 ABBA 
 AAA 
 AA 
INTERSECÇÃO )(
Dados dois conjuntos A e B chama-se intersecção de A com B o conjunto formado por todos
os elementos comuns a A e a B.
A B = { x: x A e x B }
Representação em diagrama:
Exemplo:
Se A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, a, d, u} então A B = { a,u }.
Se A = {a,e,i,o,u} e B = {1,2,3,4} então A B = Ø.
Propriedades:
 ABBA 
 AAA 
  A
 ABABA 
DIFERENÇA
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

17. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
17
A - B = {x / x A e x B}
Representação em diagrama:
Exemplo:
Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 7, 8, 9} então A – B = { 1, 2, 3 } e B – A = {7, 8, 9}.
Propriedade:
 ABBA 
  AA
 AA 
   A
COMPLEMENTAR )( A
BC
Dados dois conjuntos, A e B, tal que BA  , chama-se complementar de A em relação a B a
diferença B – A .
ABCA
B 
Representação em diagrama:
A região colorida representa
A
BC

18. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
18
Exemplo: Se A = { 2; 3; 4} e B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }, então ABCA
B  = {1; 5; 6 }
Propriedades:
 A
AC
 ACB 
Obs. AAAUCA
U  '
LEIS DE MORGAN
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares
desses conjuntos.
(A B)c
= Ac
Bc
1) O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos
complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c
= A1
c
A2
c
... An
c
2) O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares
desses conjuntos.
(A B)c
= Ac
Bc
3) O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos
complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c
= A1
c
A2
c
... An
c
6. NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS
Sejam A e B dois conjuntos e:
n(A) = número de elementos do conjunto A
n(B) = número de elementos do conjunto B
)()()()( BAnBnAnBAn 
Se  )( BAn , ou seja, A e B são dois conjuntos disjuntos, temos:

19. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
19
)()()( BnAnBAn 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes.
Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.
Divididos em:
• Conjunto dos Naturais (N),
• Conjunto dos Inteiros (Z),
• Conjunto dos Racionais (Q),
• Conjunto dos Irracionais (I),
• Conjunto dos Reais (R).
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( N )
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero.
Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre
chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos
colocar * ao lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em
antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.
• O conjunto dos alunos da classe.

20. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
20
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )
Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos
e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que
o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros.
N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }
Z = {
... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
N Z
O conjunto dos números inteiros é representado pela
letra Z maiúscula. Os números positivos são
representados com o sinal de (+) positivo na frente
ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números
negativos são representados com o sinal de
negativo (-) na sua frente (-2).
►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:
♦ Exemplo:
Um termômetro em certa cidade que marcou 10°
C acima de zero durante o dia, à noite e na
manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas
temperaturas com os números inteiros?
Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando
falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.
+10° C ------------- 10° C acima de zero
- 3° C --------------- 3° C abaixo de zero
♦ Exemplo 2:
Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça
sucessivas retiradas:
• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00
• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00
• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00

21. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
21
A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:
Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada
por – R$100,00.
►Oposto de um número inteiro
O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto
de + 2 é - 2; o oposto de - 3 é + 3.
►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos:
- INTEIROS NÃO – NULOS
São os números inteiros, menos o zero.
Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
- INTEIROS NÃO POSITIVOS
São os números negativos incluindo o zero.
Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.
Z = {..., -3, -2, -1, 0}
- INTEIROS NÃO POSITIVOS E NÃO – NULOS
São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.
*
Z = {..., -3, -2, -1}
- INTEIROS NÃO NEGATIVOS
São os números positivos incluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z.
Z = { 0,1 ,2 ,3, 4,...}
O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N
- INTEIROS NÃO NEGATIVOS E NÃO - NULOS

22. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
22
São os números do conjunto Z+, excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.
*
Z = {1, 2, 3, 4,...}
O Conjunto *
Z é igual ao Conjunto N*
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q )
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:
Por exemplo:
♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.
Esses números tem a forma
b
a
com a , b Z e b ≠ 0.
Dessa forma podemos dizer que N Z Q.
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:

23. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
23
Esses números têm a forma
b
a
com a , b Z e b ≠ 0.
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São
dízimas periódicas simples ou compostas:
As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma
b
a
: com a, b
Z e b ≠ 0.
► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.
Q = { x =
b
a
, com a e b  Z*}
►Outros subconjuntos de Q:
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.
Q*
---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*
+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.
Q*
- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.
► Representação Geométrica

24. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
24
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )
O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de fração (contrário
dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número
infinito e não periódico.
Exemplo
• 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da
vírgula não repetem periodicamente), então é irracional.
• 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.
• Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2 , √3 , π são valores que representam
números irracionais.
A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números
racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas
também todos os números irracionais.
Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua
(incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração
decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma
correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.
O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos racionais com os
irracionais.
R = Q U I

25. Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
25
Sendo que Q ∩ I = , pois se um número é racional ele não é irracional e vice-versa.
Sabemos que N Z Q R
Além desses subconjuntos, o conjunto dos reais tem mais alguns importantes subconjuntos:
R*
-------- Conjunto dos números reais não nulos.
R+ -------- Conjunto dos números reais positivos e o zero.
R*
+ ------- Conjunto dos números reais positivos.
R - -------- Conjunto dos números reais negativos e o zero.
R*
- -------- Conjunto dos números reais negativos menos o zero.