Aula 5 - Função do 2º grau

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Aula 5 - Função do 2º grau

  1. 1. FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
  2. 2. DEFINIÇÃO: A função f: IR em IR dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0, denomina-se função quadrática ou função do 2º grau.
  3. 3. São exemplos de função de função do 2º grau: f(x) = x² - 4x – 3, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3 f(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0 e c = - 9 f(x) = 6x², onde a = 6, b = 0 e c = 0 f(x) = - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0
  4. 4. Ex.: Considere a função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c. Sabendo que f(0) = 5, f(1) = 3 e f(- 1) = 1, calcule os valores de a, b e c e escreva a função f. Solução: Inicialmente iremos substituir o valor de x e f(x) na função f(x) = ax² + bx + c. Assim: f(0) = a.0² + b.0 + c, como f(0) = 5 vem que: C=5 f(1) = a.1² + b.1 + c a + b + c = 3, substituindo o valor de c fica: a+b+5=3 a+b=-2 f(- 1) = a.(- 1)² + b(- 1) + c a–b+c=1 a–b+5=1 a–b=-4
  5. 5. a b Resolvendo o sistema: a b 2 4 a b 2 a b 4 2a a a 6 6 2 3
  6. 6. Substituindo o valor de a em uma das equações teremos: a b 2 3 b b 2 2 3 b 1 Portanto os valores de a = - 3, b = 1 e c = 5. A função tem sua representação algébrica f(x) = - 3x² + x + 5
  7. 7. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
  8. 8. Para construir o gráfico de uma função quadrática ou do 2º grau no plano cartesiano, vamos proceder da seguinte maneira: 1.Atribuindo valores a x; 2.Representando os pontos no plano cartesiano; 3.Ligando os pontos de variável real.
  9. 9. Ex.: represente no plano cartesiano a função real f(x) = x² - 6x + 5. Solução: Construindo uma tabela com valores arbitrários para x vem x f(x) = x² - 6x + 5 (x, y) 1 f(1) = 1² - 6.1 + 5 = 1 – 6 + 5 = - 5 + 5 = 0 (1, 0) 2 f(2) = 2² - 6.2 + 5 = 4 – 12 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (2, - 3) 3 f(3) = 3² - 6.3 + 5 = 9 – 18 + 5 = -9 + 5 = - 4 (3, - 4) 4 f(4) = 4² - 6.4 + 5 = 16 – 24 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (4, - 3) 5 f(5) = 5² - 6.5 + 5 = 25 – 30 + 5 = - 5 + 5 = 0 (5, 0)
  10. 10. Representando os pontos no plano cartesiano teremos:
  11. 11. E por fim a representação gráfica da função quadrática
  12. 12. ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Denomina-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. •Se ∆ > 0, a função tem dois zeros reais e distintos (x’ ≠ x’’) •Se ∆ = 0, a função apresenta tem dois zeros iguais (x’ = x’’) •Se ∆ < 0, a função não tem zero real
  13. 13. Ex.: Vamos encontrar, se existir, os zeros da função f(x) = x² - 4x – 5. Solução: x² 4 x 5 0 b² 4ac ( 4)² 4.1.( 5) 16 20 36 0 Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim: x b 2a Calculemos agora seus zeros:
  14. 14. x x 4 6 2 ( 4) 36 2 .1 4 6 10 x' 5 2 2 4 6 2 x' ' 1 2 2 Logo, os zeros da função são – 1 e 5
  15. 15. Ex.: Determinar os zeros da função y = x² - 2x + 6. Solução: ( 2)² 4.1.6 4 24 20 0 Como ∆ < 0, a função não tem zero real Ex.: Determinar os zeros da função y = 4x² + 20x + 25. Solução: (20)² 4.4.25 400 400 0 Como ∆ = 0 a função tem dois zeros reais e iguais. Continuemos então a resolução:
  16. 16. 20 0 2.4 x x x' x' ' 20 0 8 20 8 5 2
  17. 17. INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DOS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Pela definição dada anteriormente, vimos que os zeros ou raízes da função f(x) = ax² + bx + c sâo os valores de x para os quais f(x) = 0 Ex.: Construir o gráfico da função f(x) = x² - 2x – 3.
  18. 18. Solução: Fazendo a construção da tabela podemos montar o gráfico f(x). x y -2 5 -1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0 4 5
  19. 19. Note que a função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos, ou seja, para esses dois valores f(x) = 0. Portanto temos os zeros da função quadrática.
  20. 20. ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são: xv b (abscissa ) 2a yv 4a (ordenada) Os esboços dos gráficos, nos diversos casos são os seguintes:
  21. 21. 0 b 2a 4a
  22. 22. 0
  23. 23. 0 Logo: O vértice da parábola é o ponto V b , 2a 4a
  24. 24. O pensamento é muito mais importante do que o conhecimento “Albert Heinstein”

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