O documento discute funções quadráticas do segundo grau. Explica que a parábola é a curva fundamental para entender essas funções e apresenta a forma geral F(x) = ax2 + bx + c. Demonstra gráficos de funções do primeiro e segundo grau e discute como determinar a função a partir de seu gráfico.

1. Função do 2º grau ou função Quadrática
1 – A parábola
O estudo da função do 2º grau é necessário o
conhecimento de uma curva plana denominada
parábola.
A parábola é composta por dois ramos simétricos em
relação a uma reta e chamado de eixo de simetria, o
ponto “v” representa o vértice da parábola. Ex:
Vértice
Eixo de simetria

2. Função do 2º grau ou função Quadrática
Forma geral de uma função do 2º grau.
F(x) = ax² + bx + c, (a # 0)
Vamos demonstrar os gráficos de y = x 1º grau
y = x² 2º grau

3. Função do 2º grau ou função Quadrática
y=x
y=x²
X Y=x
1 1
3 3
X Y = x²
2 Y = 2² = 4
1 Y = 1² = 1
0 Y = 0² = 0
-1 Y = (-1)² = 1
-2 Y = (-2)² = 4
Y=x
Y=x²

4. Função do 2º grau ou função Quadrática
- O gráfico y = x é uma reta, o gráfico é crescente
- O quadrado de um situado entre o 0 e 1, é menor do
que o próprio número, ou seja, x² < x para 0 < x < 1.
- O gráfico y = x² encosta suavemente no eixo “x”.
- A curva corresponde a uma parábola.

5. Exercício
Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das
seguintes funções:
a) f(x) = x²
b) f(x) = 2x²
c) f(x) = 10x²
d) f(x) = 1/10x²
e) f(x) = -x²
f) f(x) = -2x²
g) f(x) = -10x²
h) f(x) = -1/10x²

6. Função do 2º grau ou função Quadrática
F(x) = ax² + bx + c
F(X) = x² - 4x + 3
Forma fatorada
F(x) = (X – X1) (X – X2) a
- É uma equação do 2º grau, mas vamos ter a idéia da
função de 2º grau.
- Vamos determinar o gráfico da função;
- Através de um gráfico determinar a função;

7. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Vamos determinar o gráfico desta função > x² - 4x + 3
- Para determinar este gráfico vamos precisar de 4 pontos
- Nós não vamos atribuir valores aleatórios para “x” e
achar o “y” correspondente.
- Vamos calcular pontos que são notáveis e através
deles, vamos formar nossa parábola.
- Toda função do 2º grau terá como gráfico uma parábola.

8. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Uma parábola é uma curva, que vai ter sua
concavidade, para cima ou para baixo.
- O que vai determinar a concavidade é o valor de “a”, se
for positivo a concavidade é para cima, se negativo a
concavidade é para baixo
A > 0 A < 0

9. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Se a sua conta no banco está positiva, você fica feliz, se
a sua conta está negativa você fica triste.
- Também vamos ter que calcular as raízes da nossa
função.
- As raízes vão ser os pontos onde a nossa função vai
cortar o eixo “x”, vai ser onde meu “y” vai valer “0”.
- Raízes f(x) = 0 OU Y = 0 (quando o “y” for “0”)

10. Função do 2º grau ou função Quadrática
X² - 4X + 3 = 0
- Podemos resolver por soma e produto ou utilizando a
fórmula de Bhaskara.
x² - 4x + 3 = 0
-1 -3
------- + ------ = -4
-1 -3
------- x -------= 3
(x - 1 = 0) (x – 3) = 0
x = 1 x = 3

11. Função do 2º grau ou função Quadrática
-Achamos as duas raízes “1” e “3”
-Devemos lembrar que o Y=0 ou f(x) = 0
Y = 0

12. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Temos que localizar os vértices de nossa parábola:
- Quando a minha função tem a concavidade para cima o
vértice é o ponto mínimo, que está mais abaixo.
- Quando a minha concavidade é para baixo o vértice é o
ponto máximo.

13. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Nossa função tem a concavidade para cima, então o
vértice, vai ter um ponto mínimo.
- Para calcular o vértice, vamos ter duas coordenadas, ele
é um ponto: a coordenada “x” e a coordenada “y”
x² - 4x + 3 = 0
Xv = - b -(-4) = 4 = 2
2 a 2.1 2
Yv = - delta = b² - 4ac
4a

14. Função do 2º grau ou função Quadrática
x² - 4x + 3 = 0
Delta = b² - 4ac
Delta = (-4)² - 4.1.3
Delta = 16 -12
Delta = 4
Yv = - delta = -4 = -4 = -1
4 a 4.1 4

15. Função do 2º grau ou função Quadrática
-Achamos as duas raízes “1” e “3”
- Agora temos os vértices Xv = 2 e Yv = -1

16. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Podemos ainda melhorar calculando mais um ponto,
onde o x = 0, ponto que corta o eixo “y”.
- Substituindo “x” por “0” na equação
- x² - 4x + 3 = 0
- Y = 0² - 4.0 + 3 = 0
- Y = 3

17. Função do 2º grau ou função Quadrática
Relembrando
1 – temos que calcular as raízes da nossa função.
(as raízes são os valores de “x”, quando o “y” é zero.)
2 – localizando as raízes, vou calcular as coordenadas do
vértice.
3 – posso calcular o ponto onde a parábola corta o eixo “y”,
atribuindo zero para “x”.

18. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Lembrando da forma fatorada:
- F(x) = (X – X1) (X – X2) a
- Agora nós já sabemos o que é o x1 e o x2, são as raízes
da minha função.
- A forma fatorada será útil, quando temos um gráfico e
precisamos determinar a função.
- Para determinar a função através de um gráfico, eu
preciso somente de 3 pontos da parábola

19. Função do 2º grau ou função Quadrática
Vamos supor que a questão, indicasse o gráfico, para que
nós descobríssemos a função, desse gráfico?

20. Função do 2º grau ou função Quadrática
- Para determinar a função através de um gráfico, eu
preciso de três pontos.
F(x) = (X – X1) (X – X2) a
Substituindo o x1 e x 2 que são nossas raízes, multiplicado
por “a’ que não sei quem é.
F(x) = (x – 1) (x – 3) a
F(x) = (X² - 3X – X + 3) a
F(x) = (X² - 4X + 3) a

21. Função do 2º grau ou função Quadrática
Nós não sabemos o valor do “a”
F(x) = (X² - 4X + 3) a
Vou substituir o valor de um ponto, no nosso caso vou
utilizar o ponto do vértice Vx = 2 e Vy = -1
(2, -1)
F(x) = (x² - 4x + 3) a
-1 = (2² - 4.2 + 3) a
-1 = (4 - 8 + 3) a
-1 = -a
a = 1

22. Função do 2º grau ou função Quadrática
Descobrimos o valor de “a” = 1, que multiplica toda nossa
função.
F(x) = (x² - 4x + 3) a
F(x) = x² - 4x + 3

23. Exemplo 1

24. Função do 2º grau ou função Quadrática
F(x) = -x² não deixa de ser uma função do 2º grau,
somente o “b” e o “c” valem zero.
Obs. Sobre as raízes da função, as raízes é aonde o
gráfico vai cortar o eixo “x”.
1 – Pode ocorrer da função, não ter raízes reais
(aprendemos em equações do 2º grau), significa que o
gráfico não vai cortar o eixo “x”.
2 – Pode ocorrer também de ter duas raízes com o mesmo
valor. Significa que o gráfico vai pegar um ponto só no
eixo “x” (uma tangente).

25. Função do 2º grau ou função Quadrática
F(x) –x²
- Vamos definir quão vão ser nossas raízes.
- 0 = -x²
X² = 0
X = 0
Como o “a” é negativo nossa concavidade vai ser para baixo

26. Função do 2º grau ou função Quadrática
Continuação....posteriormente.......