O documento descreve as propriedades das funções quadráticas. Apresenta as famílias de funções do tipo f(x)=ax2+bx+c, discutindo o valor do vértice, raízes, sinal, monotonia e extremos de acordo com os valores de a, b e c. Inclui quadros resumo com as características dessas funções.

1. numerosnamente 1
Função quadrática
- são funções polinomiais, de domínio , tendo como imagem uma parábola.
1- Família de funções do tipo ; (a )
- Para o coeficiente
Assim quando menor for o valor do coeficiente “ ”, mais aberta é a parábola.
O Vértice V=(0 , 0)
- Para o coeficiente

2. numerosnamente 2
O Vértice V=(0 , 0)
- O valor do coeficiente “ ”, influencia a abertura da parábola.
Quadro resumo:
Domínio  
Contradomínio  
Zeros 0 0
Sinal Positiva em 0 Negativa em 0
Monotonia Decrescente em - , 0
Crescente em 0 , +
Decrescente em 0 , +
Crescente em - , 0
Extremos Mínimo: 0
Minimizante: 0
Máximo: 0
Maximizante: 0
2- Família de funções do tipo ; (a )
Por exemplo: (a >0 )
…o gráfico desta função obtém-se a partir o gráfico de , deslocando-se 2
unidades para a direita.
Para as funções do tipo , conclui-se que o vértice V = (h , 0 )

3. numerosnamente 3
Por exemplo: (a > 0 )
… o gráfico desta função obtém-se a partir do gráfico da função ,
deslocando-se 3 unidades par a esquerda.
Para as funções do tipo , com h <0 , o valor do vértice V = (- h , 0 )
Por exemplo: ( a <0 )
…O gráfico desta função obtém-se a partir do gráfico da função ,
deslocando-se 2 unidades para a direita.
O vértice V = ( h , 0 )

4. numerosnamente 4
Por exemplo: (a < 0)
… o gráfico desta função obtém-se a partir do gráfico da função ,
deslocando-se 3 unidades par a esquerda.
O vértice V = (- h , 0 )
Quadro resumo das funções da família
Domínio    
Contradomíni
o
   
Zeros h -h h -h
Sinal Positiva em
h
Positiva em
-h
Negativa em h Negativa em
-h
Monotonia
Decrescente
em - , h
Crescente em
h , +
Decrescente
em - , -h
Crescente em
-h , +
Decrescente
em h , +
Crescente em
- , h
Decrescente
em -h , +
Crescente em
- , -h
Extremos Mínimo: 0
Minimizante: h
Mínimo: 0
Minimizante: -h
Máximo: 0
Maximizante: h
Máximo: 0
Maximizante: -h

5. numerosnamente 5
3- Funções de família do tipo ; (a )
Estas funções também podem aparecer na forma
O vértice V = (h , k )
As raízes podem ser obtidas pela fórmula resolvente, igualando a expressão

√
; sendo as raízes da equação, o valor da abcissa do vértice pode
ser obtido por: ; O valor da ordenada do vértice é obtido substituindo o valor da
abcissa (
Por outro lado também se tivermos uma função do tipo , pode-se
calcular o vértice através do caso notável:
 ( ) ( ) ( )  
 , onde e = ; = binómio discriminante.
- Para o coeficiente a > 0
Exemplo:
-Raízes: 
√

√
 
-Vértice: 
Outra forma de calcular o vértice: Pelo caso notável
 ( ) ( ) -3  ;

6. numerosnamente 6
- Para o coeficiente a < 0
Por exemplo:
-Raízes: 
√

√
 
-Vértice: 
Outra forma de calcular o vértice: Pelo caso notável
 ( ) ( ) -3  
 

7. numerosnamente 7
Para estudo do sinal das funções do tipo ; (a ), tem-se:
- Para o coeficiente a > 0
.Raízes (zeros):
.Sinal = {
   
 
- Para o coeficiente a < 0
.Raízes (zeros):
.Sinal = {
 
   

8. numerosnamente 8
Para o estudo da monotonia e extremos das funções do tipo ; (a ),
tem-se:
- Para o coeficiente a >0
.Vértice V =(h , k )
.Monotonia: {
 
 
.Extremo: Mínimo = e Minimizante =
- Para o coeficiente a < 0
.Vértice V =(h , k )
.Monotonia: {
 
 
.Extremo: Máximo = e Maximizante =

9. numerosnamente 9
Quadro resumo:
Domínio  
Contradomínio    
Zeros X1 e x2 X1 e x2
Sinal    
 
 
   
Monotonia  
 
 
 
Extremos Mínimo:-k
Minimizante: h
Máximo: k
Maximizante: h
4 - Funções de família do tipo ; (a )
Para este tipo de função, quer para a > 0 , como para a < 0, não existem raízes.
Também pode acontecer para as funções do tipo não terem raízes, desde
que o binómio discriminante ( ) seja negativo.
Basta calcular o vértice da função para se poder fazer o seu estudo.
- Para o coeficiente a > 0
Por exemplo: ; a = 2 > 0
.raízes não tem ( √  )
.interseta o eixo das ordenadas (yy´) no ponto  ; Vértice V =(0 , 4)

10. numerosnamente 10
.Sinal: sempre positiva (positiva em )
.Monotonia:{
 
 
.Vértice = (h , k) = (0 , 4)
.Extremo: Mínimo = 4 ; Minimizante = 0
- Para o coeficiente a < 0
Por exemplo: ; a = -2 < 0
.raízes não tem ( √  )
.interseta o eixo das ordenadas (yy´) no ponto  ; Vértice V =(0 , - 4)
.Sinal: sempre negativa (negativa em )
.Monotonia:{
 
 
.Vértice V = (h , k) = (0 , -4)
.Extremo: Máximo = - 4 ; Maximizante = 0

11. numerosnamente 11
Quadro Resumo:
Domínio  
Contradomínio    
Zeros Não tem Não tem
Vértice (h , k) = (0, k) (h ,- k) = (0, -k)
Sinal Sempre positiva Sempre negativa
Monotonia  
 
 
 
Extremos Mínimo: k
Minimizante: h = 0
Máximo: -k
Maximizante: h = 0
Estudo do binómio discriminante
Considere a equação ; as suas raízes são obtidas pela fórmula
resolvente:
√
onde é o binómio discriminante.
. < 0  a equação não tem raízes

12. numerosnamente 12
. = 0  a equação tem uma raiz ( raiz dupla)
. > 0  a equação tem duas raízes
Função quadrática 
Considere a função quadrática do tipo , pode ser escrita em função da
soma e do produto das suas raízes.
Assim ;
, também se pode
calcular a soma = e o produto = .
Tem-se então:

13. numerosnamente 13
Exemplos de aplicação:
1- Qual deve ser o valor de n, para que a equação tenha duas
raízes reais?
Resolução:
 = 
> 0    -  , 26
2- Qual deve ser o valor de m, para que a equação possua apenas
uma raiz?
Resolução:
 = )=
= 0   √ =  
3- Qual deve ser o valor de w, para que a equação não possua
raízes reais?
Resolução:
 = =
< 0    - ,    , +
4- Para a equação , calcule o binómio discriminante e diga quantas
soluções admite a equação.
Resolução:

5- Para a equação , qual é o valor da soma e produto das suas raízes?
Resolução:

√
 
Soma =