As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios
1. As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a
época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações
polinomiais do segundo grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem
desenvolvidas e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes atuais ou pelo
método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados
geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi
feito a partir do século XVIII.
Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentes
casos possíveis.
X2 + Px = q
X2 = Px + q
X2 + q = Px
O caso X2 + Px + q = 0 com p e q positivos obviamente não teria soluções. Na Grécia,
a matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático Euclides, nos elementos resolve
equações polinomiais do segundo grau através de métodos geométricos.
Diophanto, também chamado “ pai da álgebra”, introduziu na equação do segundo
grau, alguns símbolos, onde até então a equação e sua solução eram representadas em forma
discursiva. Na índia as equações polinomiais do 2° grau era resolvidascompletando quadrados.
Eles descartavam as raízes irracionais. A abordagem chinesa para a resolução destas equações
foi o método fan – fan publicado por Zhu Shijie, no século XIII.
No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluções
da equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreta, esta nomenclatura não é
usada em nenhum outro país. A função polinomial é muito utilizada para modelar situações
práticas em diversas áreas do conhecimento dadas a simplicidade do seu estudo e suas
propriedades. Assim como a função potência, a função polinomial é muito utilizada em
problemas que envolvem o estudo da produção em relação a utilização de insumos, situação
como o estudo da receita, do custo e dos lucros já analisados anteriormente, podem ser
estudadas de maneira mais ampla com funções polinomiais de grau superior a 2.
Função polinomial e preço de um produto.
O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que
pode ser aproximado pela função P(T)= T 3 – 6T2 + 9T + 10, onde T representa o número do
2. mês a partir do mês T = 0 que marca o inicio das analises.Construindo uma tabela para alguns
meses determinados os preços P do produto e esboçamos o respectivo gráfico.
Tempo (T)(meses) 0 1 2 3 4 5
Preço(P)(R$) 10,00 14,00 12,00 10,00 14,00 30,00
Preço P(T) = T 3 – 6T2 +9T + 10 de um produto no decorrer dos meses T.
P
30
14
12
10
1 2 3 4 5 T
0
Passo 2) Resolver as seguintes situações – problemas:
1. Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem e uma fórmula,
quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por blusa que costura.O seu salário mensal s
está determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um mínimo de
20 e um máximo de 30 blusas por mês.
F (n) = 2n
Para n = 20 f (n) = 2 . 20 = 40
Para n = 30 f (n) = 2 . 30 = 60
D f (n) = 20 ≤ 30
I m = 40 ≤ y ≤ 60
2. Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L = R,
em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que
produziu x unidades, verificou-se que R (x) = 6000x – x2 e C (x) = x2 – 2000x. Nessas condições,
3. qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor mínimo do
custo?
L=R–C
L = 6000x – x2 – (x2 – 2000x)
L = 6000x – x2 - x2 + 2000x
L = -2x2 + 8000x
*Para que o lucro da empresa seja máximo:
L (x) = -2x2 + 8000x
x = - b =-8000 = - 8000 = 2000
2a 2 . (-2) -4
O lucro será máximo para a produção de 2000 unidades.
*Custo mínimo;
C (x) = x2 – 2000x
Custo mínimo = y =+ = + 4.000.000 = 4.000.000 = 1.000.000
4a 4.1 4
b2– 4ac
(- 2000)2 – 4 .1 .0
4.000.000
O custo mínimo será de R$ 1.000.000,00
Passo 3) Reunir todos os conteúdos desenvolvidos nessa etapa anotar todo o processo de
resolução e os resultados obtidos. Reservar arquivo para ser entregue ao final desta ATPS.
4. Etapa 4:
Passo 1)Fazer uma pesquisa para conhecer um pouco de geometria analítica, principalmente,
as noções de como construir a equação da reta que passa por um ponto, conhecida sua
inclinação e o calculo da declividade da reta. Para a pesquisa, utilizar o livro – texto e a
bibliografia complementar da disciplina.
Discutir os conceitos estudados e enumerar até 10 conteúdos estudados.
Equação Geral da Reta
Toda reta do plano possuiuma reta da forma:
ax + by + c = 0
na qual a, b,c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.
Exemplos:
a) – 5x + 3y – 1 = 0
b) 9x -4y – 13 = 0
Equação reduzida da reta
È toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma
reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (
termo independente da equação) .
Exemplos:
a) y = 8x – 10
Coeficiente angular = 8
5. Coeficiente linear = -10
b) y= - 4x + 12
Coeficiente angular = -4
Coeficiente linear = 12
Calculo do coeficiente angular e da equação da reta
Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinaçãoα ) e achar a
equação da reta, utiliza-se uma única formula:
IMPORTANTE: A partir da formula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a
equação da reta da seguinte forma:
m =y2 – y1
x2 – x1
Coeficiente angular equação da reta
2 valores para o y. O valor do m.
2 valores para o n. 1 valor para o n.
1 valor para o x.
Equação fundamental da reta
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa
equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA,yA)e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não- vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto
A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P (x, y ) tal que P ≠ A.
y
P(x,y)
A(xA, yA)
O m = tga x
A equação fundamenta da retaé:
m =y -yA y – yA = m (x – xA)
x - xA
Equação geral da reta
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
6. ax + by + c = 0
Em que :
• a, b e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
Podemos obter a equação geral da reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:
A(xa, ya) e B ( xb, ya)
Para issousa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P (x,y) de r.
x y 1
xa ya 1 =0 ax + by + c = 0
xa ya 1
r
y B(xB, yB)
P(x,y)
A(xA, yA)
O x
Equação reduzida da reta
Vamos determinar a equação da reta rque passa por Q(0, q), e tem coeficiente angular m = tg
(α):
y – q = m ( x- 0)
P(0,q)
y – q = mx
y – mx + q α
O
x
7. Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o
coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida
pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:
ax + by + c = 0 by = - ax – c
y =- a x - c
b b
m =- a
b
Onde: q =- c
b
Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e ( p, 0).
y
Q(0, q)
P(p,0)
O x
Vamos escrever a equação da reta r:
x y 1
0 q 1 =0 qx + py – pq qx + py = pq
p 0 1
Dividindo essa equação por pq, obtenhamos a equação segmentária da reta:
x+ y = 1
p q
Passo 2) Resolver as seguintes situações problemas:
8. 1. Sendo R(q) = q2 – 7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos, encontre
algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos vendidos.Qual
será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassar 1000 unidades?
R(q) = q2 – 7q – 8
R (q) = 2q – 7 – 0
R (q) = 2q – 7
R (1000) = (1000)2 – 7 . 1000 - 8
R (1000) = 1000.000 – 7000 – 8
R (1000) = 992.992
A receita será mais que 992.992,00 quando a quantidade de brinquedos vendidos
ultrapassar 1000 unidades.
2. Uma industria tem seu custo total representado pela função C (q) = q2 – 6q + 8, onde q
representa a quantidade de tijolos produzidas e C (q) o custo total em reais, para obtermos a
equação do custo marginal, devemos obter a derivada dessa função. Dessa forma:
a) Encontrar algebricamente, a função derivada do custo marginal.
C(q) = q2 – 6q + 8
C(q) = 2q – 6 + 0
C(q) = 2q – 6
b) Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) = q2 – 6q + 8 no ponto q = 1,
construindo seu gráfico.
Anotar todo o processo de resolução e os resultados obtidos.
Y – yo = m (x – x0)
Y – 0 = - 4 (x- 1) Ponto (1,0) de tangência
Y = - 4x + 4
Para esboçar o gráfico, temos os pontos (1,0) e para encontrar o outro ponto
atribuímos x = 0, assim:
y = - 4 . 0 + 4 = (0,4)
m = C’ (x)
9. m = 2q – 6 + 0
m = 2q – 6
q=1 m= 2 .1 – 6
m=2–6
m=-4
Passo 3) Pesquisar nos sites abaixo, ou em outras referencias bibliográficas, conteúdos
referentes a derivadas e ampliar seu entendimento de questões que vão além da pratica das
técnicas e regras de derivação.Produzir um texto com 2 exemplos.
• Derivadas.
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da tangente
trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x),
no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da
função no ponto x0.
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y’ ,dy/dx ou f’(x).
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dado por:
df (x0) = f’(x0) = lim f(x) – f(x0) = lim f(x0 + h) –f(x0)
dx x->x0 x – x0 h -> 0 h
Algumas derivadas básicas
Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são constantes.
*Derivada de uma constante;
d(c) = 0
dx
*Derivada da potência;
d(xx) = n . xx – 1
Portanto:
d(x) = 1
dx
10. *Soma / Subtração;
d(u +v) =du +dv
dx dx dx
*Produtos por uma constante;
d(cu) = cdu
dx dx
*Derivada do produto;
d(uv) = u dv+ v du
dx dx dx
*Derivada da divisão;
vdu - u dv
du = dx dx
dx v v2
*Potência de uma função;
d (un) = n . un – 1 du
dx dx
*Derivada de uma função composta;
d(u0v) = dvdu0v
dx dxdx
