As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde aépoca dos egípcios, babilônios, gregos, hindus ...
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qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor mínimo docusto?L=R–CL = 6000x – x2 – (x2 ...
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Coeficiente linear = -10b)      y= - 4x + 12Coeficiente angular = -4Coeficiente linear = 12Calculo do coeficiente angular ...
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Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é ocoeficiente angular e q a ordenada do pon...
1.      Sendo R(q) = q2 – 7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos, encontrealgebricamente a função derivad...
m = 2q – 6 + 0m = 2q – 6q=1     m=            2 .1 – 6m=2–6m=-4Passo 3) Pesquisar nos sites abaixo, ou em outras referenci...
*Soma / Subtração;         d(u +v) =du +dv       dx               dx      dx*Produtos por uma constante;        d(cu) = cd...
BIBLIOGRAFIA•     www.matematicaaplicada/derivada.com.br•     www.wiki.equaçãodareta.wikipedia.com.br
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As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios

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As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios

  1. 1. As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde aépoca dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equaçõespolinomiais do segundo grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bemdesenvolvidas e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes atuais ou pelométodo de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretadosgeometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foifeito a partir do século XVIII. Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentescasos possíveis.X2 + Px = qX2 = Px + qX2 + q = Px O caso X2 + Px + q = 0 com p e q positivos obviamente não teria soluções. Na Grécia,a matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático Euclides, nos elementos resolveequações polinomiais do segundo grau através de métodos geométricos. Diophanto, também chamado “ pai da álgebra”, introduziu na equação do segundograu, alguns símbolos, onde até então a equação e sua solução eram representadas em formadiscursiva. Na índia as equações polinomiais do 2° grau era resolvidascompletando quadrados.Eles descartavam as raízes irracionais. A abordagem chinesa para a resolução destas equaçõesfoi o método fan – fan publicado por Zhu Shijie, no século XIII. No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluçõesda equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreta, esta nomenclatura não éusada em nenhum outro país. A função polinomial é muito utilizada para modelar situaçõespráticas em diversas áreas do conhecimento dadas a simplicidade do seu estudo e suaspropriedades. Assim como a função potência, a função polinomial é muito utilizada emproblemas que envolvem o estudo da produção em relação a utilização de insumos, situaçãocomo o estudo da receita, do custo e dos lucros já analisados anteriormente, podem serestudadas de maneira mais ampla com funções polinomiais de grau superior a 2. Função polinomial e preço de um produto. O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se quepode ser aproximado pela função P(T)= T 3 – 6T2 + 9T + 10, onde T representa o número do
  2. 2. mês a partir do mês T = 0 que marca o inicio das analises.Construindo uma tabela para algunsmeses determinados os preços P do produto e esboçamos o respectivo gráfico.Tempo (T)(meses) 0 1 2 3 4 5Preço(P)(R$) 10,00 14,00 12,00 10,00 14,00 30,00 Preço P(T) = T 3 – 6T2 +9T + 10 de um produto no decorrer dos meses T.P30141210 1 2 3 4 5 T0Passo 2) Resolver as seguintes situações – problemas:1. Expresse o texto por meio de uma relação. Dê o domínio e a imagem e uma fórmula,quando possível: Uma costureira recebe R$ 2,00 por blusa que costura.O seu salário mensal sestá determinado pelo número de blusas n que costura. Ela consegue costurar um mínimo de20 e um máximo de 30 blusas por mês.F (n) = 2nPara n = 20 f (n) = 2 . 20 = 40Para n = 30 f (n) = 2 . 30 = 60D f (n) = 20 ≤ 30I m = 40 ≤ y ≤ 602. Sabe-se que o lucro total de uma empresa de cosméticos é dado pela fórmula L = R,em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa queproduziu x unidades, verificou-se que R (x) = 6000x – x2 e C (x) = x2 – 2000x. Nessas condições,
  3. 3. qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor mínimo docusto?L=R–CL = 6000x – x2 – (x2 – 2000x)L = 6000x – x2 - x2 + 2000xL = -2x2 + 8000x*Para que o lucro da empresa seja máximo:L (x) = -2x2 + 8000xx = - b =-8000 = - 8000 = 2000 2a 2 . (-2) -4 O lucro será máximo para a produção de 2000 unidades.*Custo mínimo;C (x) = x2 – 2000x Custo mínimo = y =+ = + 4.000.000 = 4.000.000 = 1.000.000 4a 4.1 4b2– 4ac (- 2000)2 – 4 .1 .0 4.000.000 O custo mínimo será de R$ 1.000.000,00Passo 3) Reunir todos os conteúdos desenvolvidos nessa etapa anotar todo o processo deresolução e os resultados obtidos. Reservar arquivo para ser entregue ao final desta ATPS.
  4. 4. Etapa 4:Passo 1)Fazer uma pesquisa para conhecer um pouco de geometria analítica, principalmente,as noções de como construir a equação da reta que passa por um ponto, conhecida suainclinação e o calculo da declividade da reta. Para a pesquisa, utilizar o livro – texto e abibliografia complementar da disciplina.Discutir os conceitos estudados e enumerar até 10 conteúdos estudados.Equação Geral da Reta Toda reta do plano possuiuma reta da forma:ax + by + c = 0na qual a, b,c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.Exemplos:a) – 5x + 3y – 1 = 0b) 9x -4y – 13 = 0Equação reduzida da reta È toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na formareduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (termo independente da equação) .Exemplos:a) y = 8x – 10Coeficiente angular = 8
  5. 5. Coeficiente linear = -10b) y= - 4x + 12Coeficiente angular = -4Coeficiente linear = 12Calculo do coeficiente angular e da equação da reta Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinaçãoα ) e achar aequação da reta, utiliza-se uma única formula:IMPORTANTE: A partir da formula acima, podemos determinar o coeficiente angular e aequação da reta da seguinte forma:m =y2 – y1 x2 – x1Coeficiente angular equação da reta2 valores para o y. O valor do m.2 valores para o n. 1 valor para o n.1 valor para o x.Equação fundamental da reta Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essaequação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA,yA)e do coeficiente angular m dessa reta. Considere uma reta r não- vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo pontoA(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P (x, y ) tal que P ≠ A. y P(x,y) A(xA, yA) O m = tga x A equação fundamenta da retaé:m =y -yA y – yA = m (x – xA) x - xAEquação geral da reta Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
  6. 6. ax + by + c = 0Em que :• a, b e c são números reais;• a e b não são simultaneamente nulos.Podemos obter a equação geral da reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:A(xa, ya) e B ( xb, ya)Para issousa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P (x,y) de r. x y 1 xa ya 1 =0 ax + by + c = 0 xa ya 1 r y B(xB, yB) P(x,y) A(xA, yA) O xEquação reduzida da retaVamos determinar a equação da reta rque passa por Q(0, q), e tem coeficiente angular m = tg(α):y – q = m ( x- 0) P(0,q)y – q = mxy – mx + q α O x
  7. 7. Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é ocoeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzidapode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:ax + by + c = 0 by = - ax – c y =- a x - c b b m =- a bOnde: q =- c bEquação segmentária da reta Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e ( p, 0). y Q(0, q) P(p,0) O xVamos escrever a equação da reta r: x y 1 0 q 1 =0 qx + py – pq qx + py = pq p 0 1Dividindo essa equação por pq, obtenhamos a equação segmentária da reta: x+ y = 1 p qPasso 2) Resolver as seguintes situações problemas:
  8. 8. 1. Sendo R(q) = q2 – 7q = 8 a função da receita de uma empresa de brinquedos, encontrealgebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos vendidos.Qualserá a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassar 1000 unidades? R(q) = q2 – 7q – 8 R (q) = 2q – 7 – 0 R (q) = 2q – 7R (1000) = (1000)2 – 7 . 1000 - 8R (1000) = 1000.000 – 7000 – 8R (1000) = 992.992 A receita será mais que 992.992,00 quando a quantidade de brinquedos vendidosultrapassar 1000 unidades.2. Uma industria tem seu custo total representado pela função C (q) = q2 – 6q + 8, onde qrepresenta a quantidade de tijolos produzidas e C (q) o custo total em reais, para obtermos aequação do custo marginal, devemos obter a derivada dessa função. Dessa forma:a) Encontrar algebricamente, a função derivada do custo marginal.C(q) = q2 – 6q + 8C(q) = 2q – 6 + 0C(q) = 2q – 6b) Determinar a equação da reta tangente à curva de C(q) = q2 – 6q + 8 no ponto q = 1,construindo seu gráfico.Anotar todo o processo de resolução e os resultados obtidos.Y – yo = m (x – x0)Y – 0 = - 4 (x- 1) Ponto (1,0) de tangênciaY = - 4x + 4 Para esboçar o gráfico, temos os pontos (1,0) e para encontrar o outro pontoatribuímos x = 0, assim:y = - 4 . 0 + 4 = (0,4)m = C’ (x)
  9. 9. m = 2q – 6 + 0m = 2q – 6q=1 m= 2 .1 – 6m=2–6m=-4Passo 3) Pesquisar nos sites abaixo, ou em outras referencias bibliográficas, conteúdosreferentes a derivadas e ampliar seu entendimento de questões que vão além da pratica dastécnicas e regras de derivação.Produzir um texto com 2 exemplos.• Derivadas. A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da tangentetrigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x),no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dafunção no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:y’ ,dy/dx ou f’(x). A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dado por:df (x0) = f’(x0) = lim f(x) – f(x0) = lim f(x0 + h) –f(x0)dx x->x0 x – x0 h -> 0 hAlgumas derivadas básicas Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são constantes.*Derivada de uma constante; d(c) = 0 dx*Derivada da potência; d(xx) = n . xx – 1 Portanto: d(x) = 1 dx
  10. 10. *Soma / Subtração; d(u +v) =du +dv dx dx dx*Produtos por uma constante; d(cu) = cdu dx dx*Derivada do produto; d(uv) = u dv+ v du dx dx dx*Derivada da divisão; vdu - u dv du = dx dx dx v v2*Potência de uma função; d (un) = n . un – 1 du dx dx*Derivada de uma função composta; d(u0v) = dvdu0v dx dxdx
  11. 11. BIBLIOGRAFIA• www.matematicaaplicada/derivada.com.br• www.wiki.equaçãodareta.wikipedia.com.br

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