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OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS DIVISÃO DE P(x) POR (x – a): Teorema do Resto e Teorema de D’Alembert: O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o valor numérico do polinômio para x – a, ou seja, é a raiz do binômio. Quando este resultado é igual a zero dizemos que P(x) é divisível por (x – a)   Teorema de D’Alembert;  Exemplos: 1. Determine o resto das seguintes divisões de P(x) por D(x):
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS P(x)= x 3  + 2x 2  – 4x -5 por D(x) = x – 2; para achar o resto devemos calcular o valor de P(x) para x=2, pois 2 é a raiz de x – 2 (x – 2=0    x=2). P(2) = 2 3  + 2. 2 2  – 4 . 2 – 5   P(2) = 8 + 2. 4 – 4 – 5    P(2) = 8 + 8 – 4 – 5    P(2) = 7 então o resto R(x) = 7.  Agora é com você:
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS b) P(x) = 2x³ - x² + 4x - 6 por D(x) = x + 3; c) P(x) =  x³ - 3x² + 3x - 1 por D(x) = x - 1
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS DIVISÃO DE P(X) POR (x - a) . (x - b): Se P(x) for divisível por (x - a) e  por (x - b), com a≠b, então P(x) será divisível pelo Produto entre (x - a) . (x - b);  Exemplos: 1 . Mostre que P(x) x³ - 6x² +11x - 6  é divisível por (x-1) (x-2):  Basta verificar se o resto para x= 1 e para x=2 é zero, aplicando o teorema do resto;
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 2. Determine m e n para que P(x)= x³ + mx² + 11x + n seja divisível por (x-2)(x-3). Solução: P(2) = 2³ +m. 2² +11. 2 + n 8 + 4m +22 +n=0 4m+n=-30 P(3)= 3³ + m . 3² + 11. 3 +n 27 + 9m +33 +n=0 9m + n= - 60
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Resolvendo o sistema: 4m + n = -30 .(-1) 4m + n = -30 9m + n = -60  4.(-6) + n = -30 -24 + n = -30 -4m – n = 30 n = -30 +24 9m + n = -60 n = -6 5m = -30 m = -30/5 m= -6

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  • 1. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS DIVISÃO DE P(x) POR (x – a): Teorema do Resto e Teorema de D’Alembert: O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o valor numérico do polinômio para x – a, ou seja, é a raiz do binômio. Quando este resultado é igual a zero dizemos que P(x) é divisível por (x – a)  Teorema de D’Alembert; Exemplos: 1. Determine o resto das seguintes divisões de P(x) por D(x):
  • 2. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS P(x)= x 3 + 2x 2 – 4x -5 por D(x) = x – 2; para achar o resto devemos calcular o valor de P(x) para x=2, pois 2 é a raiz de x – 2 (x – 2=0  x=2). P(2) = 2 3 + 2. 2 2 – 4 . 2 – 5 P(2) = 8 + 2. 4 – 4 – 5 P(2) = 8 + 8 – 4 – 5 P(2) = 7 então o resto R(x) = 7. Agora é com você:
  • 3. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS b) P(x) = 2x³ - x² + 4x - 6 por D(x) = x + 3; c) P(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 por D(x) = x - 1
  • 4. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS DIVISÃO DE P(X) POR (x - a) . (x - b): Se P(x) for divisível por (x - a) e por (x - b), com a≠b, então P(x) será divisível pelo Produto entre (x - a) . (x - b); Exemplos: 1 . Mostre que P(x) x³ - 6x² +11x - 6 é divisível por (x-1) (x-2): Basta verificar se o resto para x= 1 e para x=2 é zero, aplicando o teorema do resto;
  • 5. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 2. Determine m e n para que P(x)= x³ + mx² + 11x + n seja divisível por (x-2)(x-3). Solução: P(2) = 2³ +m. 2² +11. 2 + n 8 + 4m +22 +n=0 4m+n=-30 P(3)= 3³ + m . 3² + 11. 3 +n 27 + 9m +33 +n=0 9m + n= - 60
  • 6. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Resolvendo o sistema: 4m + n = -30 .(-1) 4m + n = -30 9m + n = -60 4.(-6) + n = -30 -24 + n = -30 -4m – n = 30 n = -30 +24 9m + n = -60 n = -6 5m = -30 m = -30/5 m= -6