Sistemas de Equações Lineares            20ª aula
Em que situações devemos    resolver um sistema de           equaçõesResolver sistemas de equações é necessário em qualque...
ExemplosCircuitos Elétricos:Descobrir as correntes.I1 − I2 + I3 = 04I1 + I2    =8    I2 + 4I3 = 16
ExemplosBalanceamento de equações químicas                wNH3 + x O2  yN2 + zH2O                          w = 2y       ...
Exemplos• Distribuição de temperatura numa placa“A temperatura em cada ponto interior P de uma placa metálica é     aproxi...
O que é uma equação linear? Equação com certo número de variáveis onde cada termo não   pode ter grau diferente de 1. Exem...
Sistemas de EquaçõesLineares• Conjunto de equações lineares.Exemplos: x+y–z=7                 x + y – 3z + w = 0         x...
Solução de Um sistemaA maioria PENSA que SABE e que é FÁCIL resolver um sistema                           de equações lin...
Tipos de soluçãoUma solução.Exemplo:x+y–z=72x – 4y + z = 0x+y=3S={      (   8 1           , ,−4          3 3      ) }, ou...
Tipos de soluçãoInfinitas soluções:Exemplo:x + y – 3z + w = 0x – y + z + 2w = 52x – y – z – w = 3 Possui infinitas soluç...
Tipos de soluçãoNenhuma soluçãoExemplo:x+y–z=72x – 4y + z = 0x+y–z=3                             Absurdo!             Não...
Classificação de um sistema emrelação ao número de soluções:                    Determinado        Existe uma             ...
Sistemas de duas equações e duas incógnitas e sua interpretação geométricaSistemas 2x2 são fáceis de resolver, seja qual ...
Interpretação GeométricaCada equação linear de duas variáveis é a equação de uma reta:2x+y=3         ⇒     y = − 2x + 3 ...
Interpretação GeométricaGráficos:                        2x+y=3  2x+ y = 3  x – 2y = 4                                   ...
Posição Relativa entre RetasVimos um exemplo que as retas possuem um ponto de intersecção , associado ao conjunto solução...
Posição Relativa entre RetasExemplo: 6x – 3y = 1 2x – y = 3                                 6x-3y=1Sistema Impossível.Como...
Posição Relativa entre RetasExemplo: 2x + 2y = 8 x+y=4                                2x+2y=8Infinitas soluções.São duas m...
ExercíciosResolva os sistemas abaixo e determine a posição relativa entre as  retas relacionadas:(a) r: 3x + 4y = - 7 e s...
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Matemática III Aula 20 2012

  1. 1. Sistemas de Equações Lineares 20ª aula
  2. 2. Em que situações devemos resolver um sistema de equaçõesResolver sistemas de equações é necessário em qualquer estudo onde se pesquise a interação de variáveis em determinado fenômeno ou experimento.
  3. 3. ExemplosCircuitos Elétricos:Descobrir as correntes.I1 − I2 + I3 = 04I1 + I2 =8 I2 + 4I3 = 16
  4. 4. ExemplosBalanceamento de equações químicas wNH3 + x O2  yN2 + zH2O w = 2y 3w = 2z 2x = z
  5. 5. Exemplos• Distribuição de temperatura numa placa“A temperatura em cada ponto interior P de uma placa metálica é aproximadamente a média aritmética das temperaturas nos pontos adjacentes a P.” 4t1 – t2 = 250 − t1 + 4t2 – t3 = 50 − t2 + 4t3 = 200
  6. 6. O que é uma equação linear? Equação com certo número de variáveis onde cada termo não pode ter grau diferente de 1. Exemplo: 3x + πy – 6z + w = √ 2  3xy + 5z = 7  Produto de duas variáveis de grau 1 tem grau 2.  1 x −3y+z =10  Equivale x -1 , o grau não é 1
  7. 7. Sistemas de EquaçõesLineares• Conjunto de equações lineares.Exemplos: x+y–z=7 x + y – 3z + w = 0 x – 2y + z = 82x – 4y + z = 0 x – y + z + 2w = 5 3x + y – z = 1x+y=3 2x – y – z – w = 3 x+y+z=2 x – y – 3z = 133 equações 3 equações 4 equações3 incógnitas 4 incógnitas 3 incógnitas
  8. 8. Solução de Um sistemaA maioria PENSA que SABE e que é FÁCIL resolver um sistema de equações lineares.Resolva o seguinte sistema o mais rápido que puder: x + 2 y + 3z = 1 2x + y + z = 2 3x − y + 2z = 1 S= {( 6 5 , ,− 7 7 3 7 )}
  9. 9. Tipos de soluçãoUma solução.Exemplo:x+y–z=72x – 4y + z = 0x+y=3S={ ( 8 1 , ,−4 3 3 ) }, ou seja, x = 8/3, y = 1/3 e z = − 4.
  10. 10. Tipos de soluçãoInfinitas soluções:Exemplo:x + y – 3z + w = 0x – y + z + 2w = 52x – y – z – w = 3 Possui infinitas soluções, pois neste caso o sistema possui mais incógnitas do que equações. Algumas quádruplas que verificam o sistema: (13, 15, 9, -1) e (1, -2, 0, 1).
  11. 11. Tipos de soluçãoNenhuma soluçãoExemplo:x+y–z=72x – 4y + z = 0x+y–z=3 Absurdo! Não existe trio x, y e z que satisfaça essas equações ao mesmo tempo.
  12. 12. Classificação de um sistema emrelação ao número de soluções: Determinado Existe uma única solução. Sistema SPD Possível e ... Indeterminado Existe infinitas SPI soluções. Sistema Não existe Impossível solução. SI
  13. 13. Sistemas de duas equações e duas incógnitas e sua interpretação geométricaSistemas 2x2 são fáceis de resolver, seja qual for o método.Exemplo:Resolva, em lR: 2x+ y = 3 x – 2y = 4S={(2,−1)}
  14. 14. Interpretação GeométricaCada equação linear de duas variáveis é a equação de uma reta:2x+y=3 ⇒ y = − 2x + 3 (forma da função afim)coef. angular a = − 2 coef. linear : b = 3x – 2y = 4 ⇒ x y= −2 2coef. angular coef. linear: b = − 2 1 a= 2
  15. 15. Interpretação GeométricaGráficos: 2x+y=3 2x+ y = 3 x – 2y = 4 x-2y=4S={(2,-1)} PA solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas é o ponto de intersecção de duas retas representadas por essas equações.
  16. 16. Posição Relativa entre RetasVimos um exemplo que as retas possuem um ponto de intersecção , associado ao conjunto solução do sistema: UMA ÙNICA SOLUÇÃO.Chamamos essa posição de: RETAS CONCORRENTES.
  17. 17. Posição Relativa entre RetasExemplo: 6x – 3y = 1 2x – y = 3 6x-3y=1Sistema Impossível.Como são as retas associadas às equações? 2x-y=3Não possuindo intersecção , as retassão: PARALELAS.
  18. 18. Posição Relativa entre RetasExemplo: 2x + 2y = 8 x+y=4 2x+2y=8Infinitas soluções.São duas maneiras diferentes deapresentar a mesma equação. x+y=4Nessa situação dizemos que as retassão COINCIDENTES.
  19. 19. ExercíciosResolva os sistemas abaixo e determine a posição relativa entre as retas relacionadas:(a) r: 3x + 4y = - 7 e s: x + y = -1(b) t: 5x – 10y = 7 e r: x – 2y = 6(c) v: 2x + 4y = 14 e u: x + 2y = 7 (d) s: 2x – 3y = 11 e v : 6x – 4y = 3.

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