Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução

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Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.

Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução

  1. 1. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano1. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto deintersecção.(a) ( ) ( ) ( ) ( )Sendo ⃗ ( ) o vetor diretor da reta e ⃗ ( ) o vetor diretor da reta ,verificaremos se ⃗ e são L.D. ou L.I..⃗ não pode ser escrito como múltiplo escalar de , portanto são L.I., ou seja, nãoparalelos.Para encontrar o ponto de intersecção deve-se igualar as coordenadas. (I) (II) (III)Isolando de (III) e substituindo em (II): ( )Substituindo em (III):Substituindo e em (I), para testar a validade dos parâmetros:Logo, e é a solução do sistema.Substituindo na equação da reta s, obtemos o ponto de intersecção ( ).(b)O vetor diretor de r é ( )e⃗ ( ) o vetor diretor de s.Observa-se que ⃗ , então ⃗ e são paralelos e r e s são paralelas.(c) (I) (II) (III)O vetor diretor de r é ( ) e da reta s é ⃗ ( ). Como não é possívelescrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas.Substituindo na reta s, temos:Substituindo em (I) e (II): 1
  2. 2. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoFoi encontrado um único valor para , então o ponto de intersecção é composto por , e . Portanto, ( ).(d)O vetor diretor de r é ( ) e ⃗ ( ) o vetor diretor de s. Como não épossível escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas.Pela equação da reta r, temos que:Pela equação da reta s, temos que:Substituindo a coordenada z:Inserindo os valores encontrados nas equações da reta, obtemos:Não foi encontrado um valor único para z, portanto, não existe ponto de intersecçãoentre as retas. Como elas são não-paralelas, elas são reversas.2. A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidasrespectivamente, em ( ) ( ) e ( ) ( ). Sendo ( ), determine A e B. s B R M C A r 2
  3. 3. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoi) Parte 1: para encontrar o ponto BIgualando as coordenadas de r e s:Substituindo na primeira equação: ( )Então:Então ( )ii) Parte 2: para encontrar o ponto A ( ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅̅̅̅⃗⃗⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )Então ⃗⃗⃗⃗⃗ . /Logo:̅̅̅̅ ̅̅̅̅; igualando-se as coordenadas tem-se:Resolvendo o sistema encontra-seSubstituindo na equação da reta s obtém-se o ponto M. ( )Como M é ponto médio de ( ) e ( ) temos as seguintesrelações:Das equações acima: , e , portanto ( ). 3
  4. 4. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano3. Estude a posição relativa das retas r e s:(a) ( ) ( ) ������Inicialmente, escreveremos s na forma paramétrica:Substituindo na segunda equação:Admitindo que : ������Temos as seguintes informações: ( ) ( ) ( )( ).Verificaremos se ( ) são L.D.: , logo são L.D. e as retas s e r são paralelas. – Substituindo ( ) em s: Igualdades não verificadas, portanto e r e s são paralelas distintas.(b) ������ ������Escrevendo r na forma paramétrica: Da segunda equação temos , substituindo na primeira: Admitindo , ������Escrevendo s na forma paramétrica: Da segunda equação temos , substituindo na primeira: ( ) Se então ( ) Admitindo , 4
  5. 5. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ������ Agora conseguimos extrair as seguintes informações: ( ) ( ) ( ) ( ). não é múltiplo escalar de , portanto ( ) são L.I e r e s não são paralelas. ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ [⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Então r e s são concorrentes.(c) ( ) ( )Informações: ( ) ( ) ( ) ( )( )⃗⃗⃗⃗⃗ ( )[⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Logo, r e s são reversas.(d) ������Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:Da primeira equação obtemos:Substituindo na segundaSubstituindo em ( )Admitindo ������Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) 5
  6. 6. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano( ) – Substituindo as coordenadas de S na equação de rA igualdade se verifica, portanto e r e s são paralelas e coincidentes.(e) ( ) ( ) ( ) ( )Informações: ( ) ( ) ( ) ( )( )⃗⃗⃗⃗⃗ ( )[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗Logo, r e s são concorrentes.(f)Informações: ( ) ( ) ( ) ( )( )⃗⃗⃗⃗⃗ ( )[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗Logo, r e s são concorrentes.(g) ������Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:Da segunda equação obtemos: 6
  7. 7. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoSubstituindo na primeiraSubstituindo em ( )Admitindo ������Informações: ( ) ( ) ( ) . / ( )( )⃗⃗⃗⃗⃗ ( )[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗Logo, r e s são reversas.(h) ( ) ( )Informações: ( ) ( ) ( ) ( )( )⃗⃗⃗⃗⃗ ( )[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗Logo, r e s são reversas. 7
  8. 8. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano4. Sejam ( ) ( )e ( ) ( ). Estude, segundovalores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equaçãogeral do plano determinado por elas.Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) * +Logo, r e s nunca serão paralelas.⃗⃗⃗⃗⃗ ( )[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]Logo, see seCom temos ( ) ( ).Seja ( ) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação domesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] . [⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ( ) ( ) ( ) ( )5. Mostre que as retas r e s determinam um plano e obtenha a equação geral de .(a)Informações: ( ) . / ( ) ( ) ( ) 8
  9. 9. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano( )Então r e s formam um plano.Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação domesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] . [⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ( ) ( )(b)Informações: ( ) ( ) ( ) ( )( ) – Substituindo as coordenadas de S na equação de rIgualdade não verificada, portanto e r e s são paralelas e distintas.Como são L.D., não podem determinar um plano. Então o plano serádeterminado por ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação domesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] . [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ( ) ( ) ( ) ( )6. Estude a posição relativa da reta r e do plano π e, quando forem transversais, obtenhao ponto de intersecção P.(a) 9
  10. 10. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ( ) ( )Informações: ( ) ( )⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π ⃗ ⃗Substituindo as coordenadas de r em π: ( )Substituindo na equação de r, obtemos o ponto de intersecção: ( ) ( ) ( )(b) ( ) ( ) ( )Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ), ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ – Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica: (I) (II) (III)Das equações (II) e (III), e .Substituindo em (I): (sentença matemática falsa)Logo, e r em π são paralelos e r não está contida em .(c)������ ( ) ( ) ( )Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:Da primeira equação obtemos: 10
  11. 11. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoSubstituindo na segundaSubstituindo emAdmitindo ������Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ), ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ – Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica: (I) (II) (III)Substituindo (I) e (III) em (II):Como a igualdade é verificada, então e r e π são paralelos e r está contida em π.(d)������Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:Da primeira equação obtemos:Substituindo na primeira ( )Substituindo emAdmitindo 11
  12. 12. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ������Informações: ( ) ( )⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π ⃗ ⃗Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π:A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.(e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗Igualando as coordenadas de r às de π: (I) (II) (III)Isolando de (II) e substituindo em (III) obtém-se o sistemaSomando as duas equações obtém-seSubstituindo o parâmetro encontrado na equação da reta r, encontra-se o ponto deintersecção P ( ) 12
  13. 13. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano(f)Informações: ( ) ( )⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π ⃗ ⃗Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π: ( ) ( ) ( )A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.7. Calcule m para que r seja paralela a π: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )Para que r seja paralela ao plano π, os vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ devem ser coplanares, ou seja,linearmente dependentes., ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | |8. Sejam ( ) ( ) . Usando em cada caso ainformação dada, obtenha condições sobre m e n.Informações: ( ) ⃗ ( ) ( )(a) r e π são paralelos;Para que r e π sejam paralelos, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja ⃗ 13
  14. 14. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoe R não deve pertencer ao plano π, ou seja, √Logo, r e π são paralelos se, e somente se, √(b) r e π são transversais;Para que r seja transversal a π, basta que e ⃗ não sejam ortogonais, portanto,(c) r está contida em π;Para que r esteja contida em π, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja ⃗e R deve pertencer ao plano π, ou seja, √Logo, r está contida em π se, e somente se, √ .9. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2.(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2.Verificaremos se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + é LD ou LI. A verificação também poderia ser feita noconjunto *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +.,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )Então, π1 e π2 são paralelos.( ) pertence também à ? – Substituindo as coordenadas na equação de . (I) (II) (III)Da equação (I) obtemos . Substituindo em (II) e (III) encontra-se .Foram encontrados valores reais que satisfazem as três equações, portanto ( ) e osplanos π1 e π2 são iguais.(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2.,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) 14
  15. 15. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoEntão, π1 e π2 são transversais.(c)⃗⃗⃗⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal a π2. Observamosque um é múltiplo escalar do outro, logo, são paralelos. Então π1 e π2 são tambémparalelos.Fazendo na equação de π1 obtemos o ponto ( ), pertencente aoplano. Substituindo P na equação de π2, encontramos , então P não pertence à π2 eπ1 e π2 são paralelos e distintos.(d) ( ) ( ) ( )⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ( )e⃗ ( ) são vetores diretoresde π2.Se o vetor simultaneamente ortogonal a e⃗ ( ⃗ ) for paralelo à ⃗ , então os planossão paralelos. ⃗ ⃗ | | ( ) ⃗ e ⃗ são LI, portanto não são paralelos. Então π1 e π2 são transversais.10. Calcule m para que os planos ( ) ( ) ( ) sejam paralelos e distintos, nos casos: e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD. ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( )( ) ( ) ( ) ( )Obtemos o sistema (I) (II)Isolando de (I) e substituindo em (II),.A primeira solução não convém, pois tornaria o vetor ⃗ nulo, que não define planoalgum.Portanto, e são paralelos se . 15
  16. 16. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano(a)Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto e não existe tal que e sejam paralelos e distintos.(b)Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto e e são paralelos e distintos quando .11. Estude a posição relativa dos planos e ( ) ( ) ( ). e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD. ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Obtemos o sistema (I) (II) (III)Pela equação (III) encontramos . Substituindo em (I) e (II) encontramos,respectivamente, e . Logo, inexiste que atenda simultaneamente àstrês equações.Então, os planos e são sempre transversais.12. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é paralelo aoplano de equação .O plano que queremos a equação é paralelo à , então seu vetornormal é ⃗ ( ). Logo, a equação é da forma . Mas, ( )pertence ao plano. Substituindo os pontos na equação.A equação do plano é .13. Dados ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ), obtenha uma equação vetorial de .Para o cálculo da intersecção entre dois planos, devemos igualar suas coordenadas.[os parâmetros e da equação de foram substituídos, respectivamente, por epara serem diferentes de ] 16
  17. 17. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano (I) (II) (III)Da eq. (II):Substituindo em (I):Substituindo e em (III): ( ) ( )Substituindo os parâmetros acima na equação de , temos a reta com a seguinteequação paramétrica:Na forma vetorial: ( ) ( )14. Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano π eperpendicular à reta AB. São dados: , ( ),( ), ( ) ( ).⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) ) ( )Equação da reta ( ) ( )Vetor normal do plano π: ⃗ ( )Q é o ponto de intersecção entre r e s. É da forma ( ).P é o ponto de intersecção entre r e AB. É da forma ( ).⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à , vetor diretor de r, portanto ( ) ( ) ( ) ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )Mas, , então: 17
  18. 18. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoSubstituindo e em ( ):Cálculo do vetor diretor: ( ) ( ) ( ) ( )Cálculo do ponto : ( ) ( ) ( )Logo, . / ( ).15. Verifique se os planos e são perpendiculares.(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de . e são perpendiculares se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + for LI, ou seja ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +Os planos e não são perpendiculares.(b)Sendo ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao plano e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal aoplano e são perpendiculares se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ou seja, se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )Logo, e são perpendiculares.16. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é perpendicularaos planos e .Queremos a equação do plano , que é perpendicular à e . Logo, ⃗ , vetor normalde é simultaneamente ortogonal à ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de , e ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de . 18
  19. 19. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ( )Mas, ( ) , então:Logo, .17. Obtenha as equações da reta perpendicular comum às retas r e s:(a)Escrevendo ambas as equações na forma paramétrica: ������Para a reta s serão necessárias algumas manipulações. Somando o termo ( ) emtodas as partes da igualdade, temos:Encontramos então um sistema de equações planares: (I) (II)Subtraindo (II) de (I)Substituindo em (II) ( )Admitindo , um parâmetro real ������A reta que desejamos encontrar a equação é perpendicular comum à r e s, então , onde é vetor diretor da reta. ⃗ | | ⃗ ⃗ ( )Incompleta 19
  20. 20. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano(b) ( ) ( )Rescrevendo a equação de sInformações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cálculo do vetor diretor da reta ⃗ | | ⃗ ⃗ ( )A intersecção entre r e s é um ponto pertencente à reta que desejamos equacionar.Igualando as coordenadas:Resolvendo o sistema encontra-se e .Substituindo na equação de r, encontramos o ponto ( ).Então ( ) ( )18. Dadas as retas ( ) ( ) e ( ) ( ),obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ⃗( )A reta t é a intersecção de dois planos, e , sendo que: ⃗ ⃗ | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20
  21. 21. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e planoA equação da reta t na forma planar é ������ 21

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