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OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1
FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA
MOCOCA – SP
ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA
COMPUTAÇÃO
Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
professor.otavio@yahoo.com.br
27 DE JANEIRO DE 2014
3. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Consideremos a seguinte situação:
O regulamento de um campeonato de basquete manda assinalar 2 pontos para cada
partida que o clube vence, e 1 ponto para cada partida que perde. Certo clube disputou 4
partidas e somou 7 pontos. Quantas partidas vence e quantas perdeu?
No quadro seguinte, vamos colocar todas as possibilidades do número de partidas
que o clube venceu e do número de partidas que perdeu, de acordo com os dados:
Número de
partidas que o
clube venceu:
Número de
partidas que o
clube perdeu:
Número de
partidas
disputadas
Soma dos pontos
0 4 0+4=4 0.2+4.1=4
1 3 1+3=4 1.2+3.1=5
2 2 2+2=4 2.2+2.1=6
3 1 3+1=4 3.2+1.1=7
4 0 4+0=4 4.2+1.0=8
Observando o quadro de possibilidades vemos que o clube venceu 3 partidas e perdeu 1 partida,
satisfazendo as duas condições apresentadas no problema:
 o clube disputou 4 partidas
 o clube somou 7 pontos
Vamos, porém, resolver esse problema utilizando equações do 1º grau com duas variáveis.
Representando por x o número de partidas que o clube ganhou e por y o número de partidas que o
clube perdeu, podemos traduzir as duas condições do problema pelas seguintes equações:
x+y=4 e 2x+1x=7
Notamos que são duas equações do 1º grau com duas variáveis ligadas pelo conectivo e (as duas
se referem ao mesmo fato).
Neste caso, dizemos que as duas equações formam um sistema de duas equações do 1º grau
com duas incógnitas, e indica-se:
x y 4
2x y 7
 
 



O par ordenado (3,1) que torna verdadeira as duas equações, ao mesmo tempo,. É determinado
solução do sistema:
Se substituirmos x por 3 e y por 1, chegamos à duas sentenças verdadeiras.
OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 2
Convém notar que, apesar de cada uma das equações terem infinitas soluções, o sistema de
equações
x y 4
2x y 7
 
 



, como todos outros sistemas de equações do 1º grau, tem uma única solução, que
neste caso é S={(3,1)}.
Resolução mental de um sistema de equações do 1º grau
Se dissermos: dois números somados resultam 25 e subtraídos resultam 1. Após pensarmos um
pouco concluímos que estes números são 13 e 12.
Este exemplo pode ser representado como um sistema
x y
x y 1
 
 



25
. E a solução seria (13,12).
Muitos outros sistemas podem ser resolvidos mentalmente.
Resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas
Vamos aprender agora a resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.
Entre os métodos de resolução, estudaremos o método da substituição, o método da adição e o
método da comparação, que são os três métodos clássicos e acessíveis para a 6ª Série. Mais em frente,
também estudaremos resolução gráfica de um sistema.
Método da substituição
Como exemplo, resolveremos os sistemas:
Exemplo 1:
Resolver o sistema
x y - I -
x y = 8 - II -
 




6
.
A notação U=IRxIR indica que xIR e yIR.
Para resolver um sistema pelo método da substituição, escolhemos uma das equações e isolamos,
no primeiro membro, uma das incógnitas. Vamos escolher a equação I e isolar a variável x:
x+y=6x=6-y.
Agora substituímos o x da equação II por 6-y.
x-y=8
(6-y)-y=8
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de y.
6-y-y=8
-y-y=8-6
-2y=2
2y=-2 y=-1
Substituindo y por -1 na equação x=6-y, encontramos o valor de x:
x=6-y
x=6-(-1)
x=6+1
x=7
Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(7,-1)}
OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 3
Exemplo 2
Resolver o sistema
2x y - I -
x = 11 - II -
 




12
3y
sendo U=IRxIR.
Isolamos o valor de y na equação I: 2x+y=12y=12-2x
Substituindo y por 12-2x na equação II encontramos o valor de x
x+3y=11
x+3(12-2x)=11
x+36-6x=11
x-6x=11-36
-5x=-25
5x=25
x=5
Substituindo x por 5 em y=12-2x, temos
y=12-2.5
y=12-10
y=2
Logo S={(5,2)}
Método da Comparação
Vamos resolver um sistema pelo método da comparação em U=IRxIR.
Exemplo
x y - I -
x y = 6 - II -
 




14
Isolamos o valor de x na equação I:
x+y=14x=14-y III
Isolamos o valor de x na equação II:
x-y=6x=6+y IV
Como os primeiros membros das equações III e IV são iguais, pela propriedade transitiva da
igualdade, podemos afirmar que os segundos membros são iguais, ou seja:
6+y=14-y
y+y=14-6
2y=20
y=10
Substituindo y por 10 na equação x=14-y:
x=14-10
x=4
Logo S={(4,10)}
OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 4
Método da Adição
Vamos resolver os seguintes sistemas pelo método da adição, sendo U=IRxIR.
Exemplo 1
Resolver o sistema:
x y 11
x y 5
 
 



Adicionamos membro a membro as equações:
x y 11
x y 5
2x = 16
x = 8
 
 



Substituindo x por 8 na equação x+y=11:
x+y=11
8+y=11
y=11-8
y=3
Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(8,3)}
Exemplo 2
Resolver o sistema
2x -1 - I -
2x 3y 1 - II -
 
 



5y
Os coeficientes de x são iguais.
Multiplicamos uma das equações por -1 (vamos multiplicar a equação II)
2x -1
- 2x -1
2y = -2
y = -1
 
 



5y
3y
Substituindo y por -1 na equação I:
2x+5y=-1
2x+5(-1)=-1
2x-5=-1
2x=-1+5
2x=4
x=2
Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(2,-1)}
Soma
Soma
OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 5
Exemplo 3
Resolver o sistema
5x y 4 - I -
2x y 1 - II -
 
 



2
.
Vamos multiplicar a equação II por 2:
5x + 2y = 4
2x - y = 1 .(2)
5x 2y 4
4x 2y 2
9x = 6
x =
2
3






 
 
Substituindo x por 2/3 na equação I encontramos y=1/3
Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(2/3,1/3)}
Exemplo 4
Resolver o sistema
2x 4 - I -
3x 4y 1 - II -
  
 



5y
.
Multiplicando a equação I por -3 e a equação II por 2, temos:
2x + 5y = -4 .(-4)
3x + 4y = 1 .(2)
- 6x 15y 12
6x 8y 2
- 7y = 14
y = -2






 
 
Substituindo y por -2 na equação I, temos x=3
Logo, V={(3,-2)}
Soma
Soma
OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 6
Discussão de Sistemas de Equações do 1º grau
Sistemas impossíveis
Ao resolvermos por exemplo, o sistema de equações
x y
3x 3y = 2
 




1
, pelo método da adição,
chegamos à expressão 0x+0y=-1. Como 0x=0 e 0y=0, temos que 0+0=-1 e 0=-1, encontramos uma
expressão falsa.
Toda vez que isto acontece, chamamos de sistema impossível, e solução é S=, ou seja, nenhum
par de números satisfaz a equação.
Se tentarmos resolvê-lo pelo método da substituição ou comparação, chegaremos sempre em uma
equação impossível da forma 0x=c ou 0y=c, sendo c0.
Sistemas indeterminados
Ao resolvermos por exemplo, o sistema
2x y
4x 2y = 2
 




1
, por adição, chegamos à identidade 0x=0. O
mesmo aconteceria usando o método da substituição ou comparação.
Como uma identidade tem infinitas soluções, os sistemas indeterminados também tem.
Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas
Vamos aprender a resolver graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas
incógnitas. A resolução gráfica permite entender melhor a classificação que demos aos sistemas.
1º Caso - Sistema determinado. - Um sistema determinado de duas equações do 1º grau
possui uma única solução. Os gráficos de um sistema determinados são do tipo do exemplo abaixo:
O gráfico do sistema
x y
x y = 3
 




7
, ficaria assim:
 P(5,2)
OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 7
Observe que:
* As retas são concorrentes no ponto P.
* As coordenadas do ponto P determinam o par ordenado (5,2), que é a única solução do sistema.
* Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é determinado, ele é
representado no plano cartesiano por duas retas concorrentes.
2º. Caso - Sistemas Impossíveis - Um sistema impossível de duas equações do 1º grau possui
uma única solução. Os gráficos de um sistema determinado são do tipo do exemplo abaixo:
O gráfico do sistema
2x y
x 3y = 4
 




6 10
, ficaria assim:
r
s
Observe que:
* As retas são paralelas.
* Não existe par ordenado de números que seja solução do sistema.
* Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é impossível, ele é representado no
plano cartesiano por duas retas paralelas. No caso acima rs=.
3º Caso - Sistema indeterminado - Um sistema indeterminado de duas equações do 1º grau possui
infinitassoluções. Os gráficos de um sistema determinado são do tipo do exemplo abaixo:
O gráfico do sistema
2x y
x 3y = 4
 




6 8
, ficaria assim:
r s
OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 8
Observe que:
* As retas são coincidentes.
* Existem infinitos pontos que são soluções do sistema.
* Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é indeterminado, ele é
representado no plano cartesiano pela mesma reta.
Equacionamento de Problemas
Os sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas podem ser usados na solução de
problemas que envolvem duas grandezas.
Para isso é necessário montar as equações, resolver o sistema, verificar se a solução satisfaz a
condição do problema e dar a resposta.
Se você tiver 2 incógnitas, com 2 equações você resolve o problema (a menos que as incógnitas
levem a um Sistema Indeterminado). Se você tiver 3 incógnitas, precisará de 3 equações. Se você tiver N
incógnitas, precisará de N equações.
Equacionar um problema nem sempre é possível com 1 incógnita, e, a maior parte dos problemas
resulta um sistema. Nem sempre um sistema linear.
4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Resolvemos geralmente pelo método da substituição. Nem sempre o método da adição funciona.
Pode ter até 4 pares (x,y) na solução.
Deixaremos para os alunos tentarem resolvê-los! Desafio!

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  • 1. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1 FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA MOCOCA – SP ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães professor.otavio@yahoo.com.br 27 DE JANEIRO DE 2014 3. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES Consideremos a seguinte situação: O regulamento de um campeonato de basquete manda assinalar 2 pontos para cada partida que o clube vence, e 1 ponto para cada partida que perde. Certo clube disputou 4 partidas e somou 7 pontos. Quantas partidas vence e quantas perdeu? No quadro seguinte, vamos colocar todas as possibilidades do número de partidas que o clube venceu e do número de partidas que perdeu, de acordo com os dados: Número de partidas que o clube venceu: Número de partidas que o clube perdeu: Número de partidas disputadas Soma dos pontos 0 4 0+4=4 0.2+4.1=4 1 3 1+3=4 1.2+3.1=5 2 2 2+2=4 2.2+2.1=6 3 1 3+1=4 3.2+1.1=7 4 0 4+0=4 4.2+1.0=8 Observando o quadro de possibilidades vemos que o clube venceu 3 partidas e perdeu 1 partida, satisfazendo as duas condições apresentadas no problema:  o clube disputou 4 partidas  o clube somou 7 pontos Vamos, porém, resolver esse problema utilizando equações do 1º grau com duas variáveis. Representando por x o número de partidas que o clube ganhou e por y o número de partidas que o clube perdeu, podemos traduzir as duas condições do problema pelas seguintes equações: x+y=4 e 2x+1x=7 Notamos que são duas equações do 1º grau com duas variáveis ligadas pelo conectivo e (as duas se referem ao mesmo fato). Neste caso, dizemos que as duas equações formam um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, e indica-se: x y 4 2x y 7        O par ordenado (3,1) que torna verdadeira as duas equações, ao mesmo tempo,. É determinado solução do sistema: Se substituirmos x por 3 e y por 1, chegamos à duas sentenças verdadeiras.
  • 2. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 2 Convém notar que, apesar de cada uma das equações terem infinitas soluções, o sistema de equações x y 4 2x y 7        , como todos outros sistemas de equações do 1º grau, tem uma única solução, que neste caso é S={(3,1)}. Resolução mental de um sistema de equações do 1º grau Se dissermos: dois números somados resultam 25 e subtraídos resultam 1. Após pensarmos um pouco concluímos que estes números são 13 e 12. Este exemplo pode ser representado como um sistema x y x y 1        25 . E a solução seria (13,12). Muitos outros sistemas podem ser resolvidos mentalmente. Resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas Vamos aprender agora a resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Entre os métodos de resolução, estudaremos o método da substituição, o método da adição e o método da comparação, que são os três métodos clássicos e acessíveis para a 6ª Série. Mais em frente, também estudaremos resolução gráfica de um sistema. Método da substituição Como exemplo, resolveremos os sistemas: Exemplo 1: Resolver o sistema x y - I - x y = 8 - II -       6 . A notação U=IRxIR indica que xIR e yIR. Para resolver um sistema pelo método da substituição, escolhemos uma das equações e isolamos, no primeiro membro, uma das incógnitas. Vamos escolher a equação I e isolar a variável x: x+y=6x=6-y. Agora substituímos o x da equação II por 6-y. x-y=8 (6-y)-y=8 Resolvendo essa equação, encontramos o valor de y. 6-y-y=8 -y-y=8-6 -2y=2 2y=-2 y=-1 Substituindo y por -1 na equação x=6-y, encontramos o valor de x: x=6-y x=6-(-1) x=6+1 x=7 Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(7,-1)}
  • 3. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 3 Exemplo 2 Resolver o sistema 2x y - I - x = 11 - II -       12 3y sendo U=IRxIR. Isolamos o valor de y na equação I: 2x+y=12y=12-2x Substituindo y por 12-2x na equação II encontramos o valor de x x+3y=11 x+3(12-2x)=11 x+36-6x=11 x-6x=11-36 -5x=-25 5x=25 x=5 Substituindo x por 5 em y=12-2x, temos y=12-2.5 y=12-10 y=2 Logo S={(5,2)} Método da Comparação Vamos resolver um sistema pelo método da comparação em U=IRxIR. Exemplo x y - I - x y = 6 - II -       14 Isolamos o valor de x na equação I: x+y=14x=14-y III Isolamos o valor de x na equação II: x-y=6x=6+y IV Como os primeiros membros das equações III e IV são iguais, pela propriedade transitiva da igualdade, podemos afirmar que os segundos membros são iguais, ou seja: 6+y=14-y y+y=14-6 2y=20 y=10 Substituindo y por 10 na equação x=14-y: x=14-10 x=4 Logo S={(4,10)}
  • 4. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 4 Método da Adição Vamos resolver os seguintes sistemas pelo método da adição, sendo U=IRxIR. Exemplo 1 Resolver o sistema: x y 11 x y 5        Adicionamos membro a membro as equações: x y 11 x y 5 2x = 16 x = 8        Substituindo x por 8 na equação x+y=11: x+y=11 8+y=11 y=11-8 y=3 Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(8,3)} Exemplo 2 Resolver o sistema 2x -1 - I - 2x 3y 1 - II -        5y Os coeficientes de x são iguais. Multiplicamos uma das equações por -1 (vamos multiplicar a equação II) 2x -1 - 2x -1 2y = -2 y = -1        5y 3y Substituindo y por -1 na equação I: 2x+5y=-1 2x+5(-1)=-1 2x-5=-1 2x=-1+5 2x=4 x=2 Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(2,-1)} Soma Soma
  • 5. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 5 Exemplo 3 Resolver o sistema 5x y 4 - I - 2x y 1 - II -        2 . Vamos multiplicar a equação II por 2: 5x + 2y = 4 2x - y = 1 .(2) 5x 2y 4 4x 2y 2 9x = 6 x = 2 3           Substituindo x por 2/3 na equação I encontramos y=1/3 Logo, o conjunto verdade do sistema é V={(2/3,1/3)} Exemplo 4 Resolver o sistema 2x 4 - I - 3x 4y 1 - II -         5y . Multiplicando a equação I por -3 e a equação II por 2, temos: 2x + 5y = -4 .(-4) 3x + 4y = 1 .(2) - 6x 15y 12 6x 8y 2 - 7y = 14 y = -2           Substituindo y por -2 na equação I, temos x=3 Logo, V={(3,-2)} Soma Soma
  • 6. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 6 Discussão de Sistemas de Equações do 1º grau Sistemas impossíveis Ao resolvermos por exemplo, o sistema de equações x y 3x 3y = 2       1 , pelo método da adição, chegamos à expressão 0x+0y=-1. Como 0x=0 e 0y=0, temos que 0+0=-1 e 0=-1, encontramos uma expressão falsa. Toda vez que isto acontece, chamamos de sistema impossível, e solução é S=, ou seja, nenhum par de números satisfaz a equação. Se tentarmos resolvê-lo pelo método da substituição ou comparação, chegaremos sempre em uma equação impossível da forma 0x=c ou 0y=c, sendo c0. Sistemas indeterminados Ao resolvermos por exemplo, o sistema 2x y 4x 2y = 2       1 , por adição, chegamos à identidade 0x=0. O mesmo aconteceria usando o método da substituição ou comparação. Como uma identidade tem infinitas soluções, os sistemas indeterminados também tem. Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas Vamos aprender a resolver graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. A resolução gráfica permite entender melhor a classificação que demos aos sistemas. 1º Caso - Sistema determinado. - Um sistema determinado de duas equações do 1º grau possui uma única solução. Os gráficos de um sistema determinados são do tipo do exemplo abaixo: O gráfico do sistema x y x y = 3       7 , ficaria assim:  P(5,2)
  • 7. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 7 Observe que: * As retas são concorrentes no ponto P. * As coordenadas do ponto P determinam o par ordenado (5,2), que é a única solução do sistema. * Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é determinado, ele é representado no plano cartesiano por duas retas concorrentes. 2º. Caso - Sistemas Impossíveis - Um sistema impossível de duas equações do 1º grau possui uma única solução. Os gráficos de um sistema determinado são do tipo do exemplo abaixo: O gráfico do sistema 2x y x 3y = 4       6 10 , ficaria assim: r s Observe que: * As retas são paralelas. * Não existe par ordenado de números que seja solução do sistema. * Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é impossível, ele é representado no plano cartesiano por duas retas paralelas. No caso acima rs=. 3º Caso - Sistema indeterminado - Um sistema indeterminado de duas equações do 1º grau possui infinitassoluções. Os gráficos de um sistema determinado são do tipo do exemplo abaixo: O gráfico do sistema 2x y x 3y = 4       6 8 , ficaria assim: r s
  • 8. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 8 Observe que: * As retas são coincidentes. * Existem infinitos pontos que são soluções do sistema. * Se um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é indeterminado, ele é representado no plano cartesiano pela mesma reta. Equacionamento de Problemas Os sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas podem ser usados na solução de problemas que envolvem duas grandezas. Para isso é necessário montar as equações, resolver o sistema, verificar se a solução satisfaz a condição do problema e dar a resposta. Se você tiver 2 incógnitas, com 2 equações você resolve o problema (a menos que as incógnitas levem a um Sistema Indeterminado). Se você tiver 3 incógnitas, precisará de 3 equações. Se você tiver N incógnitas, precisará de N equações. Equacionar um problema nem sempre é possível com 1 incógnita, e, a maior parte dos problemas resulta um sistema. Nem sempre um sistema linear. 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Resolvemos geralmente pelo método da substituição. Nem sempre o método da adição funciona. Pode ter até 4 pares (x,y) na solução. Deixaremos para os alunos tentarem resolvê-los! Desafio!