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Sistemas lineares

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Sistemas Lineares
Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a11
x1
+ a12
x2
+ a13
x3
+ ... + a1n
xn
= b1
em que a11
, a12
, a13
, ... , a1n
são números reais, que
recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x1
,
x2
,x3
, ... , xn
, são as incógnitas; e b1
é um número
real chamado termo independente (quando b=0, a
equação recebe o nome de linear homogênea).
Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,...,rn) é
solução da equação linear
a11
x1
+ a12
x2
+ a13
x3
+ ... + a1n
xn
= b1
se trocarmos cada xi
por ri
na equação e este fato
implicar que o membro da esquerda é
identicamente igual ao membro da direita, isto é:
a11
r1
+ a12
r2
+ a13
r3
+ ... + a1n
rn
= b1
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de
números reais ordenados (r1
, r2
, r3
,..., rn
) que é,
simultaneamente, solução de todas as equações do
sistema.
Sistema linear
Matrizes associadas a um
sistema linear
matriz incompleta: a matriz A
formada pelos coeficientes das
incógnitas do sistema
matriz completa: matriz B que se obtém
acrescentando à matriz incompleta uma
última coluna formada pelos termos
independentes das equações do
sistema.
Matrizes associadas a um
sistema linear

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Sistemas lineares

  • 2. Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 em que a11 , a12 , a13 , ... , a1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x1 , x2 ,x3 , ... , xn , são as incógnitas; e b1 é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
  • 3. Solução de uma equação linear Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,...,rn) é solução da equação linear a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é: a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + ... + a1n rn = b1
  • 4. Um conjunto de equações lineares da forma: é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1 , r2 , r3 ,..., rn ) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Sistema linear
  • 5. Matrizes associadas a um sistema linear matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema
  • 6. matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Matrizes associadas a um sistema linear
  • 7. Classificação de um sistema quanto ao número de soluções • SPD: sistema possível e determinado (solução única) • SPI: sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) • SI: sistema impossível (não tem solução)
  • 8. Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A ≠ 0, então o sistema é normal.
  • 9. Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dx i é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Regra de Cramer D D x ix i =
  • 10. Exemplo: A fim de encontrar a solução do sistema, calcule D, Dx1 ,Dx2 ,Dx3 . Regra de Cramer 10473 132 82 321 321 321 =+− =+−− =++ xxx xxx xxx
  • 11. Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) SPD b) SPI c) SI
  • 12. Discussão de um sistema linear a) possível e determinado, se D = det A≠ 0; caso em que a solução é única.
  • 13. b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn = 0, para n=2. Se n ≥3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Discussão de um sistema linear
  • 14. Exemplo: D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. Discussão de um sistema linear
  • 15. c) impossível, se D=0 e existe Dxi ≠ 0, 1 ≤ i ≤ n; caso em que o sistema não tem solução. Como D=0 e Dx ≠ 0, o sistema é impossível e não apresenta solução Discussão de um sistema linear
  • 16. Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.
  • 17. Sistemas Equivalentes Propriedades: a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
  • 18. Resolução de Sistemas Lineares por Escalonamento A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Para tanto, vamos usar as três Operações Elementares sobre linhas.
  • 19. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. • Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: Sistemas escalonados
  • 20. a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Sistemas escalonados
  • 21. Sistemas escalonados 3x + y + z = 20 2x - y - z = -15 -4x + y -5z = -41 Exemplo:
  • 22. Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos: A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. Sistemas homogêneos
  • 23. Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz: Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo Exemplo Tipo do Recipiente I II III A 4 3 2 B 5 2 3 C 2 2 3
  • 24. 4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 27 2 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 33 Exemplo Tipo do Recipiente I II III A 4 3 2 B 5 2 3 C 2 2 3