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A UU AL
                                                                                    A L          A

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                                                                                     68
                  Sistemas do 1º grau


                                P    edro e José são amigos. Ao saírem do traba-
lho, passaram por uma livraria onde havia vários objetos em promoção. Pedro
                                                                                    Introdução
comprou 2 cadernos e 3 livros e pagou R$ 17,40, no total. José gastou R$ 11,20
na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.
     No dia seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre suas compras,
mas não se lembravam do preço unitário dos livros. Sabiam apenas que todos
os livros, assim como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.
     E agora... Será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou
caderno com as informações que temos?
     Acompanhe a aula e descubra...



    Em aulas anteriores, você viu que existem equações do 1º grau com duas          Nossa aula
incógnitas, como por exemplo:

    x+y=5          x-y=3         x + 2y = 8

   Você viu, também que as equações do 1º grau com duas variáveis
admitem infinitas soluções:

    x+y=5             e        x-y=3
      x     y                    x    y
      0     5                    0 -3
      1     4                    1 -2
      2     3                    2 -1
      3     2                    3    0
      4     1                    4    1
      5     0                    5    2
      ...   ...                  ... ...

    Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que o
par (4; 1), isto é, x = 4 e y = 1, é solução para as duas equações. Dessa forma,
podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistema de
equações do 1º grau que admitem uma solução comum.
A U L A       A Matemática utiliza o símbolo { para indicar que duas (ou mais) equações
          formam um sistema. Veja os exemplos:

68            x+y=5
              x-y=3
                                               x-y=4
                                               2x - y = 9

              3x - 2y = 5                      2x + y + z = 1
              2x + 5y = 1                      x - y - 3z = 4
                                               x=2
             Observação: Aqui, vamos estudar apenas os sistemas do 1º grau com duas
          equações de duas variáveis.


              Resolução de sistemas

              Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y ) que tornem
                                                                 x
          verdadeiras as equações que o formam.
              Por exemplo, o par (3; 2) é solução do sistema     x-y=1       ?
                                                                 x+y=5
              Para fazer verificação, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambas
          as equações:
                    x-y=1                    x+y=5
                    3-2=1                    3+2=5
                       1=1                       5=5
                  (verdadeiro)             (verdadeiro)
              Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras.

              O método da substituição

              Esse método de resolução de um sistema consiste em “tirar” o valor de uma
          incógnita e substituir esse valor na outra equação. Veja um exemplo:
                 x-y=1
                 x+y=5
              Escolhemos uma das equações e “tiramos” o valor de uma das incógnitas,
          ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim:
              x-y=1      ®   x=1+y
               Agora, temos o valor de x em função de y e podemos substituir esse va-
          lor na outra equação:
                  x+y=5
                 ß
              1+y+y=5
                1 + 2y = 5
                    2y = 5 - 1
                    2y = 4
                     y=2

              Como x = 1 + y ® x = 1 + 2 ® x = 3.
              Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema.
Qual é mesmo o preço do livro?                                              A U L A

    Releia o problema proposto na introdução deste capítulo e acompanhe sua
resolução.                                                                     68
    Uma etapa importante na solução de um problema é a tradução dos dados
em linguagem matemática. Para essa etapa, vamos usar as variáveis x e y em
vez de caderno e livro Organizamos os dados assim:
                  livro.

   Pedro: 3 livros + 2 cadernos = R$ 17,40 ® 3x + 2y = 17,40
   José: 2 livros + 1 caderno = R$ 11,20 ® 2x + y = 11,20

   Temos, assim, o sistema:

     3x + 2y = 17,40
     2x + y = 11,20

   Estabelecendo o valor de y em função de x na 2ª equação, temos:
   y = 11,20 - 2x

   Substituindo esse valor na 1ª equação:
   3x + 2 (11,20 - 2x) = 17,40

   Temos uma equação do 1º grau, com apenas uma incógnita. Resolvendo essa
equação:
   3x + 22,40 - 4x = 17,40
               - x = 17,40 - 22,40
               - x = -5
               -x= 5

   Como y = 11,20 - 2x ® y = 11,20 - 10 ® y = 1,20

   Portanto, cada livro custou R$ 5,00 e cada caderno, R$ 1,20
                                                          1,20.

   Verificação
   Pedro: 3 . 5 + 2 . 1,20 = 15 + 2,40 = 17,40
   José: 2 . 5 + 1,20 = 10 + 1,20 = 11,20


   O método da adição

    Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termos
das equações. Veja o exemplo:

     x-y=-4
     2x + y = 9

   Somando as equações:
   2x - y = - 4
   2x + y = 9 +
   3x     =5
        5
   x=
        3
A U L A      Veja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. Por
          que isso ocorreu? Pense!

68            Para obter o valor de y , devemos substituir o valor de x , encontrado em uma
          das equações:
                                        5                               5
              x-y=-4            ®         -y=-4      ®     -y = - 4 -
                                        3                               3
                     -12 - 5                   -17                17
              -y =                  ®    -y=          ®     y=
                        3                       3                  3

                                              5 ; 17ö
              A solução do sistema é o par .æ
                                            è3 3 ø

              Verificação
                                    5 17                    -12
              x-y=-4            ®     -   =-4         ®           = - 4 (verdadeiro)
                                    3   3                     3


                                         5 17       10 17                       27
              2x + y = 9 ® 2 ·             +   =9 ®    +   =9               ®      = 9 (verdadeiro)
                                         3   3       3   3                       3


              Usando um artifício de cálculo

              Vamos resolver o sistema abaixo pelo método da adição:

                  3x + 2y = 4
                  2x + 3y = 1

              Se somarmos as equações do jeito que estão, não conseguiremos anular um
          dos termos. Por isso, vamos usar um artifício de cálculo:

              l    primeiro, multiplicamos a 1ª equação por +2;
              l    depois, multiplicamos a 2ª equação por -3.

              O sistema sofrerá a seguinte transformação:

                                         ´ 2
                  3x + 2y = 4            ®               6x + 4y = 8

                                         ´-3
                  2x + 3y = 1            ®               -6x - 9y = - 3

              Agora, podemos somar o sistema:

              - 6x + 4y = 8
              - 6x - 9y = - 3 +
                   - 5y = 5     ®              y=-1
Para obter o valor de x devemos substituir o valor de y em uma das equações:
                          x,                                                       A U L A

    2x + 3y = 1
    2x + 3 (- 1) = 1                                                               68
    2x - 3 = 1
    2x = 4 ® x = 2

    Portanto, a solução do sistema é o par: (2; -1).

    Verificação

    3x + 2y = 4 ® 3 · 2 + 2 · (-1) = 4 ® 6 - 2 = 4     (verdadeiro).
    2x + 3y = 1 ® 2 · 2 + 3 · (-1) = 1 ® 4 - 3 = 1     (verdadeiro).

    Observação: Você deve ter percebido que o artifício de cálculo, usado para
resolver esse sistema, permitiu que a variável x desaparecesse. Isso ocorreu
porque a variável x , nas duas equações, ficou com coeficientes simétricos.


Exercício 1                                                                        Exercícios
   Resolva o sistema por substituição:

    3x + 5y = 20
    2x + y = 11

Exercício 2
   Resolva os sistemas por adição:

    a)   x + y = 10               b)   5x - 2y = 1
         x-y=-6                        7x + 2y = 11

Exercício 3
   Resolva os sistemas:

    a)   x-y=-3
         x + 2y = 3

    b)   4x + y = 3
         2x - 2y = - 1

Exercício 4
   Verifique se o par (1; 2) é solução para o sistema:    10x - 2y = 6
                                                          x + 5y = 11

Exercício 5
   Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação:

    Um armário custa o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00.

Exercício 6
   Resolva o sistema do Exercício 5.

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  • 1. A UU AL A L A 68 68 Sistemas do 1º grau P edro e José são amigos. Ao saírem do traba- lho, passaram por uma livraria onde havia vários objetos em promoção. Pedro Introdução comprou 2 cadernos e 3 livros e pagou R$ 17,40, no total. José gastou R$ 11,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. No dia seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre suas compras, mas não se lembravam do preço unitário dos livros. Sabiam apenas que todos os livros, assim como todos os cadernos, tinham o mesmo preço. E agora... Será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações que temos? Acompanhe a aula e descubra... Em aulas anteriores, você viu que existem equações do 1º grau com duas Nossa aula incógnitas, como por exemplo: x+y=5 x-y=3 x + 2y = 8 Você viu, também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções: x+y=5 e x-y=3 x y x y 0 5 0 -3 1 4 1 -2 2 3 2 -1 3 2 3 0 4 1 4 1 5 0 5 2 ... ... ... ... Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que o par (4; 1), isto é, x = 4 e y = 1, é solução para as duas equações. Dessa forma, podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistema de equações do 1º grau que admitem uma solução comum.
  • 2. A U L A A Matemática utiliza o símbolo { para indicar que duas (ou mais) equações formam um sistema. Veja os exemplos: 68 x+y=5 x-y=3 x-y=4 2x - y = 9 3x - 2y = 5 2x + y + z = 1 2x + 5y = 1 x - y - 3z = 4 x=2 Observação: Aqui, vamos estudar apenas os sistemas do 1º grau com duas equações de duas variáveis. Resolução de sistemas Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y ) que tornem x verdadeiras as equações que o formam. Por exemplo, o par (3; 2) é solução do sistema x-y=1 ? x+y=5 Para fazer verificação, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambas as equações: x-y=1 x+y=5 3-2=1 3+2=5 1=1 5=5 (verdadeiro) (verdadeiro) Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras. O método da substituição Esse método de resolução de um sistema consiste em “tirar” o valor de uma incógnita e substituir esse valor na outra equação. Veja um exemplo: x-y=1 x+y=5 Escolhemos uma das equações e “tiramos” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim: x-y=1 ® x=1+y Agora, temos o valor de x em função de y e podemos substituir esse va- lor na outra equação: x+y=5 ß 1+y+y=5 1 + 2y = 5 2y = 5 - 1 2y = 4 y=2 Como x = 1 + y ® x = 1 + 2 ® x = 3. Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema.
  • 3. Qual é mesmo o preço do livro? A U L A Releia o problema proposto na introdução deste capítulo e acompanhe sua resolução. 68 Uma etapa importante na solução de um problema é a tradução dos dados em linguagem matemática. Para essa etapa, vamos usar as variáveis x e y em vez de caderno e livro Organizamos os dados assim: livro. Pedro: 3 livros + 2 cadernos = R$ 17,40 ® 3x + 2y = 17,40 José: 2 livros + 1 caderno = R$ 11,20 ® 2x + y = 11,20 Temos, assim, o sistema: 3x + 2y = 17,40 2x + y = 11,20 Estabelecendo o valor de y em função de x na 2ª equação, temos: y = 11,20 - 2x Substituindo esse valor na 1ª equação: 3x + 2 (11,20 - 2x) = 17,40 Temos uma equação do 1º grau, com apenas uma incógnita. Resolvendo essa equação: 3x + 22,40 - 4x = 17,40 - x = 17,40 - 22,40 - x = -5 -x= 5 Como y = 11,20 - 2x ® y = 11,20 - 10 ® y = 1,20 Portanto, cada livro custou R$ 5,00 e cada caderno, R$ 1,20 1,20. Verificação Pedro: 3 . 5 + 2 . 1,20 = 15 + 2,40 = 17,40 José: 2 . 5 + 1,20 = 10 + 1,20 = 11,20 O método da adição Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termos das equações. Veja o exemplo: x-y=-4 2x + y = 9 Somando as equações: 2x - y = - 4 2x + y = 9 + 3x =5 5 x= 3
  • 4. A U L A Veja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. Por que isso ocorreu? Pense! 68 Para obter o valor de y , devemos substituir o valor de x , encontrado em uma das equações: 5 5 x-y=-4 ® -y=-4 ® -y = - 4 - 3 3 -12 - 5 -17 17 -y = ® -y= ® y= 3 3 3 5 ; 17ö A solução do sistema é o par .æ è3 3 ø Verificação 5 17 -12 x-y=-4 ® - =-4 ® = - 4 (verdadeiro) 3 3 3 5 17 10 17 27 2x + y = 9 ® 2 · + =9 ® + =9 ® = 9 (verdadeiro) 3 3 3 3 3 Usando um artifício de cálculo Vamos resolver o sistema abaixo pelo método da adição: 3x + 2y = 4 2x + 3y = 1 Se somarmos as equações do jeito que estão, não conseguiremos anular um dos termos. Por isso, vamos usar um artifício de cálculo: l primeiro, multiplicamos a 1ª equação por +2; l depois, multiplicamos a 2ª equação por -3. O sistema sofrerá a seguinte transformação: ´ 2 3x + 2y = 4 ® 6x + 4y = 8 ´-3 2x + 3y = 1 ® -6x - 9y = - 3 Agora, podemos somar o sistema: - 6x + 4y = 8 - 6x - 9y = - 3 + - 5y = 5 ® y=-1
  • 5. Para obter o valor de x devemos substituir o valor de y em uma das equações: x, A U L A 2x + 3y = 1 2x + 3 (- 1) = 1 68 2x - 3 = 1 2x = 4 ® x = 2 Portanto, a solução do sistema é o par: (2; -1). Verificação 3x + 2y = 4 ® 3 · 2 + 2 · (-1) = 4 ® 6 - 2 = 4 (verdadeiro). 2x + 3y = 1 ® 2 · 2 + 3 · (-1) = 1 ® 4 - 3 = 1 (verdadeiro). Observação: Você deve ter percebido que o artifício de cálculo, usado para resolver esse sistema, permitiu que a variável x desaparecesse. Isso ocorreu porque a variável x , nas duas equações, ficou com coeficientes simétricos. Exercício 1 Exercícios Resolva o sistema por substituição: 3x + 5y = 20 2x + y = 11 Exercício 2 Resolva os sistemas por adição: a) x + y = 10 b) 5x - 2y = 1 x-y=-6 7x + 2y = 11 Exercício 3 Resolva os sistemas: a) x-y=-3 x + 2y = 3 b) 4x + y = 3 2x - 2y = - 1 Exercício 4 Verifique se o par (1; 2) é solução para o sistema: 10x - 2y = 6 x + 5y = 11 Exercício 5 Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação: Um armário custa o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00. Exercício 6 Resolva o sistema do Exercício 5.