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Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou
outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema.
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com
duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:




Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos
para a sua solução.
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.

Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na
outra equação, veja como:




Dado o sistema                      , enumeramos as equações.




Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:

x + y = 20
x = 20 – y

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.

3x + 4 y = 72
3 (20 – y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72
-3y + 4y = 72 – 60
    y = 12

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação
x = 20 – y.
x = 20 – y
x = 20 – 12
x=8

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)

Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas
seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou
apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

Dado o sistema:
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a
primeira equação por – 3.




Agora, o sistema fica assim:




Adicionando as duas equações:

    - 3x – 3y = - 60
+   3x + 4y = 72
           y = 12

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o
valor de y encontrado:
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
x=8

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).

Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.



Exemplo 1

A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando
a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da
cidade A?

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor
desconhecido).

Cidade A = x
Cidade B = y

x = 3y
x + y = 200 000
Substituindo x = 3y

x + y = 200 000
3y + y = 200 000
4y = 200 000
y = 200 000/4
y = 50 000
x = 3y , substituindo y = 50 000

Temos
x = 3 * 50 000
x = 150 000

População da cidade A = 150 000 habitantes
População da cidade B = 50 000 habitantes



Exemplo 2

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$
140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

x notas de 20 reais y notas de 5 reais

Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140

x + y = 10
20x + 5y = 140

Aplicar método da substituição

Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y

Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 – y) + 5y = 140
200 – 20y + 5y = 140
- 15y = 140 – 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y=4
Substituindo y = 4
x = 10 – 4
x=6



Exemplo 3

Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um,
seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?

Pequenos: x
Grandes: y

x+y=8
x + 1 = 2y

Isolando x na 1ª equação

x+y=8
x=8-y

Substituindo o valor de x na 2ª equação
x + 1 = 2y
(8 – y) + 1 = 2y
8 – y + 1 = 2y
9 = 2y + y
9 = 3y
3y = 9
y = 9/3
y=3

Substituindo y = 3
x=8–3
x=5

Peixes pequenos: 5
Peixes grandes: 3

Exemplo 4

Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do
menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.

Maior: x
Menor: y
2x + 3y = 16
x + 5y = 1

Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 – 5y

Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 – 5y) + 3y = 16
2 – 10y + 3y = 16
- 7y = 16 – 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y=-2

Substituindo y = - 2
x = 1 – 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11

Os números são 11 e -2.

1º) método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma,
somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única
incógnita.

EXEMPLO:




1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x




2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

2º) método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação
do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.

EXEMPLO:




1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.




2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.




3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.

y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y=6–8
y = -2

4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

Sistema de equação( substituição )
No método da susbstituição vamos isolar um dos termos(letra) que no caso do exemplo acima
foi o X subtraimos y dos dois lados obtendo x = 50 - y donde substituiremos em x-y=10 obtendo
y = 20 .Dai substituimos na equação onde o x esta isolado resultando em X = 30



     Sistemas de Equações: Método da
     Comparação

Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na
determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em:
resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da
comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação
entre      elas.      Observe         a      resolução         dos      modelos        a       seguir:

Exemplo                                                                                                             1




Isolando                       x                na                     1ª                                     equação
x                          +                     y                              =                                   7
x                          =                     7                              –                                   y

Isolando                       x                na                     2ª                                     equação
x                     –                2y                     =                           –                         5
x                     =                –                     5                           +                         2y

Realizando                                       a                                                         comparação

x                                                   =                                                                x
7             –                y            =           –             5                            +                2y
–                 y                –            2y                =                           –5                    –7
–                     3y               =                 –                          12                           *(–1)
3y                                                  =                                                               12
y                                               =                                                                 12/3
y                                                   =                                                                4

Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4.

x                          =                    –                           5                                     +2y
x             =                –            5            +             2                               *            4
x                     =                –                     5                           +                          8
x                                                                    =                                                                   3

Solução                               do                           sistema:                                (3;                           4)


Exemplo 2




Isolando                              x                            na                           1ª                                  equação
x                             +                                    2y                                 =                                  40
x                             =                                    40                                 –                                  2y

Isolando                              y                            na                           2ª                                  equação
x                     –                              3y                           =                           –                          35
x                     =                              –                           35                           +                          3y

Realizando                                                         a                                                             comparação

x                                                                   =                                                                    x
–35               +                         3y                       =                     40                      –                    2y
3y               +                         2y                      =                       40                      +                    35
5y                                                                 =                                                                    75
y                                                                  =                                                                    15


Calculamos   o    valor               de   x        substituindo         y   =    15       em        qualquer          das        equações.

x                     =                               –                          35                           +                         3y
x            =                        –                    35                +                  3                      *                15
x                             =                                 –35                                   +                                 45
x                                                                =                                                                      10


Solução                           do                            sistema:                               (10;                             15)


Exemplo                                                                                                                                  3




Isolar                         y                                na                              1ª                                  equação
2x                             +                                    y                                  =                                  4
y                             =                                    4                                  –                                  2x


Isolar                            y                             na                              2ª                                  equação
3x                     +                               y                          =                            –                          3
y                     =                               –                          3                            –                          3x

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Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas

  • 1. Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. Esses dois métodos são: Substituição e Adição. Método da substituição Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: Dado o sistema , enumeramos as equações. Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: x + y = 20 x = 20 – y Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 3x + 4 y = 72 3 (20 – y) + 4y = 72 60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 – 60 y = 12 Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação x = 20 – y. x = 20 – y x = 20 – 12 x=8 Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) Método da adição Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. Dado o sistema:
  • 2. Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. Agora, o sistema fica assim: Adicionando as duas equações: - 3x – 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12 Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: x + y = 20 x + 12 = 20 x = 20 – 12 x=8 Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo. Exemplo 1 A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido). Cidade A = x Cidade B = y x = 3y x + y = 200 000
  • 3. Substituindo x = 3y x + y = 200 000 3y + y = 200 000 4y = 200 000 y = 200 000/4 y = 50 000 x = 3y , substituindo y = 50 000 Temos x = 3 * 50 000 x = 150 000 População da cidade A = 150 000 habitantes População da cidade B = 50 000 habitantes Exemplo 2 Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? x notas de 20 reais y notas de 5 reais Equação do número de notas: x + y = 10 Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140 x + y = 10 20x + 5y = 140 Aplicar método da substituição Isolando x na 1ª equação x + y = 10 x = 10 - y Substituindo o valor de x na 2ª equação 20x + 5y = 140 20(10 – y) + 5y = 140 200 – 20y + 5y = 140 - 15y = 140 – 200 - 15y = - 60 (multiplicar por -1) 15y = 60 y = 60/15 y=4
  • 4. Substituindo y = 4 x = 10 – 4 x=6 Exemplo 3 Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? Pequenos: x Grandes: y x+y=8 x + 1 = 2y Isolando x na 1ª equação x+y=8 x=8-y Substituindo o valor de x na 2ª equação x + 1 = 2y (8 – y) + 1 = 2y 8 – y + 1 = 2y 9 = 2y + y 9 = 3y 3y = 9 y = 9/3 y=3 Substituindo y = 3 x=8–3 x=5 Peixes pequenos: 5 Peixes grandes: 3 Exemplo 4 Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. Maior: x Menor: y
  • 5. 2x + 3y = 16 x + 5y = 1 Isolando x na 2ª equação x + 5y = 1 x = 1 – 5y Substituindo o valor de x na 1ª equação 2(1 – 5y) + 3y = 16 2 – 10y + 3y = 16 - 7y = 16 – 2 - 7y = 14 (multiplica por -1) 7y = - 14 y = -14/7 y=-2 Substituindo y = - 2 x = 1 – 5 (-2) x = 1 + 10 x = 11 Os números são 11 e -2. 1º) método da adição Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita. EXEMPLO: 1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x 2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
  • 6. 3º passo: dar a solução do sistema. S = { (4, -2) } 2º) método da substituição Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. EXEMPLO: 1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação. 2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x. 3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y. y = 6 – 2x y = 6 – 2.4 y=6–8 y = -2 4º passo: dar a solução do sistema. S = { (4, -2) } Sistema de equação( substituição )
  • 7. No método da susbstituição vamos isolar um dos termos(letra) que no caso do exemplo acima foi o X subtraimos y dos dois lados obtendo x = 50 - y donde substituiremos em x-y=10 obtendo y = 20 .Dai substituimos na equação onde o x esta isolado resultando em X = 30 Sistemas de Equações: Método da Comparação Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em: resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir: Exemplo 1 Isolando x na 1ª equação x + y = 7 x = 7 – y Isolando x na 2ª equação x – 2y = – 5 x = – 5 + 2y Realizando a comparação x = x 7 – y = – 5 + 2y – y – 2y = –5 –7 – 3y = – 12 *(–1) 3y = 12 y = 12/3 y = 4 Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4. x = – 5 +2y x = – 5 + 2 * 4 x = – 5 + 8
  • 8. x = 3 Solução do sistema: (3; 4) Exemplo 2 Isolando x na 1ª equação x + 2y = 40 x = 40 – 2y Isolando y na 2ª equação x – 3y = – 35 x = – 35 + 3y Realizando a comparação x = x –35 + 3y = 40 – 2y 3y + 2y = 40 + 35 5y = 75 y = 15 Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações. x = – 35 + 3y x = – 35 + 3 * 15 x = –35 + 45 x = 10 Solução do sistema: (10; 15) Exemplo 3 Isolar y na 1ª equação 2x + y = 4 y = 4 – 2x Isolar y na 2ª equação 3x + y = – 3 y = – 3 – 3x Realizando a comparação y = y 4 – 2x = – 3 – 3x –2x + 3x = –3 – 4 x = –7 Calculando y através de x = – 7
  • 9. y = – 3 – 3x y = –3 – 3 * (–7) y = –3 + 21 y = 18