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JACIR J. VENTURI  
álgebra vetorial 
e 
geometria analítica 
9.ª edição 
(atualizada) 
Este livro se encontra integralmente no site: 
www.geometriaanalitica.com.br 
com acesso gratuito. 
jacirventuri@geometriaanalitica.com.br
© Copyright by Jacir J. Venturi 
FICHA CATALOGRÁFICA 
Catalogação na fonte: Biblioteca Central  UFPR 
VENTURI, Jacir J., 1949 - 
Álgebra Vetorial e Geometria Analítica / Jacir J. Venturi  
- 9.ª ed. - Curitiba 
242 p.: il. 
Inclui Bibliografia. 
ISBN 85.85132-48-5 
1. Álgebra Vetorial. 2. Geometria Analítica. 
 I. Título. CDD 512.5 
CDU 514.124 
ISBN 85-85 132-48-5 
REF. 072 
Composição/Desenhos:     Herica Yamamoto 
Capa/Projeto Gráfico:         Beatriz Susana 
Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado 
   grafica@unificado.com
Dedico às pessoas 
que procuram 
o melhor no outro 
e ao outro 
também oferecem 
o melhor de si. 
Jacir J. Venturi
20 
20 
25 
25 
26 
27 
29 
29 
30 
35 
36 
36 
37 
39 
39 
41 
44 
51 
52 
53 
53 
57 
60 
Índice 
CAPÍTULO1 
NOÇÕESPRELIMINARES 
01. 
02. 
Elementos primitivos .................................................................... 
Pontoeretaimpróprios ................................................................ 
CAPÍTULO2 
RELAÇÕESSEGMENTÁRIAS NOESPAÇOUNIDIMENSIONAL 
01. 
02. 
03. 
04. 
05. 
06. 
07. 
Retaorientada............................................................................. 
Medidaalgébricadeum segmento............................................... 
Razãosimplesdetrêspontos ....................................................... 
Divisãoáurea............................................................................... 
Abscissasnareta......................................................................... 
Distânciaentredois pontos.......................................................... 
Razãosimplesdetrêspontos ....................................................... 
CAPÍTULO3 
SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOBIDIMENSIONAL 
01. 
02. 
03. 
04. 
05. 
06. 
07. 
08. 
Sistemacartesianoortogonal ....................................................... 
Sistemacartesianooblíquo.......................................................... 
Paresordenados: operaçõeseigualdade.................................... 
Distânciaentredois pontos.......................................................... 
Pontoquedivideum segmentonumarazãodada........................ 
Baricentrodeum triângulo........................................................... 
Sistemapolar ............................................................................... 
Passagemdosistemapolar paraosistema 
cartesianoortogonal ..................................................................... 
CAPÍTULO4 
SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOTRIDIMENSIONAL 
01. 
02. 
03. 
04. 
05. 
06. 
Sistemacartesianoortogonal ....................................................... 
Distânciaentredois pontos.......................................................... 
Pontoquedivideum segmentonumarazãodada........................ 
Baricentrodotriângulo................................................................. 
Sistemacilíndrico......................................................................... 
Sistemaesférico...........................................................................
CAPÍTULO5 
VETORES 
01. 
02. 
03. 
04. 
05. 
06. 
07. 
08. 
09. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Sinopse histórica .......................................................................... 
Grandezas escalaresevetoriais.................................................... 
Definições, etimologiaenotações .................................................. 
Paralelismodevetores.................................................................. 
Multiplicaçãodeumvetor por um escalar ...................................... 
Coplanaridadedevetores .............................................................. 
Adiçãodevetores.......................................................................... 
Subtraçãodevetores ..................................................................... 
Combinaçãolinear devetores ........................................................ 
Expressãocartesianadeum vetor ................................................. 
Condiçãodeparalelismodedois vetores....................................... 
Condiçãodecoplanaridadedevetores.......................................... 
Combinaçãolinear dequatrovetores ............................................. 
Ângulodedoisvetores................................................................... 
Multiplicaçãointernaouescalar ..................................................... 
Expressãocartesianadoprodutoescalar ...................................... 
Multiplicaçãovetorial ouexterna.................................................... 
Áreadeumparalelogramoedeum triângulo................................ 
Multiplicaçãomista........................................................................ 
Duplamultiplicaçãovetorial ........................................................... 
CAPÍTULO6 
VETORES:APLICAÇÕESGEOMÉTRICASCLÁSSICAS 
01. 
02. 
03. 
04. 
05. 
06. 
07. 
08. 
09. 
Projeçãodeum vetor sobreum outrovetor .................................. 
Projeçãodeum pontosobreum plano......................................... 
Distânciadepontoaplano............................................................. 
Distânciadeum pontoareta........................................................ 
Distânciaentreduas retas............................................................. 
Áreadeumtriângulo...................................................................... 
Áreadaprojeçãoortogonal deum triângulosobreum plano......... 
Áreadaprojeçãonãoortogonal 
deum triângulosobreum plano................................................... 
Co-senos diretoresdeumvetor ..................................................... 
CAPÍTULO7 
OPLANONOE 
01. 
02. 
3 
Equaçãodoplano........................................................................... 
Pertinênciadepontoaplano.......................................................... 
64 
64 
64 
67 
68 
70 
70 
72 
77 
77 
79 
84 
87 
89 
90 
97 
104 
111 
115 
121 
128 
132 
135 
137 
139 
142 
144 
145 
148 
157 
160
03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados ....................... 
04. Equação segmentária do plano ..................................................... 
05. Equação do plano que passa por um ponto e 
ortogonal a um vetor ..................................................................... 
06. Casos particulares da equação geral do plano .............................. 
07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos ................................ 
08. Equação do feixe de dois planos ................................................... 
09. Distância de um P a um plano a................................................... O 
10. Equação dos planos bissetores .................................................... 
11. Ângulo de dois planos ................................................................... 
A RETA NO E3 
01. Equações da reta .......................................................................... 
02. Posições relativas de duas retas ................................................... 
03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas ............ 
04. Condição de coplanaridade de duas retas .................................... 
05. lnterseção de reta e plano ............................................................. 
06. lnterseção de duas retas ............................................................... 
07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano .......... 
08. Distância de um ponto a uma reta ................................................. 
09. Distância entre duas retas reversas .............................................. 
10. Ângulo de duas retas .................................................................... 
11. Ângulo de uma reta com um plano ................................................. 
................................................................ 
CAPÍTULO 8 
APÊNDICE - RECRe ANDO i 
160 
162 
164 
166 
171 
176 
179 
182 
183 
187 
198 
199 
202 
205 
206 
210 
216 
218 
220 
221 
224
O 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA P R E F Á C I O 
O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma 
premissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano da 
faculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara e 
didática quanto possível. Por vezes, preferiu-se a apresentação 
intuitivaaosrefinamentosteóricos. 
Contém421 exercícios (comseus subitens) emordem 
crescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto, 
resolveremos diversos exercícios emaula, deixandoos demaisa 
cargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no texto 
exercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicação 
imediata da teoria) para uma maior valorização da aula, 
enlevando a interação aluno-professor. O aluno deve ter em 
mente que à resolução dos exercícios deve preceder um bom 
conhecimentodateoria. 
Um grande número de ilustrações facilita o 
entendimento do texto e é imprescindível quando se almeja a 
formação de uma visão espacial na Geometria Analítica 
Tridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplica-bilidade 
prática e sugestões para a resolução de exercícios, no 
intuitodemotivar o alunonaquiloqueestáestudando. 
Os quatros primeiros capítulos integram o programa da 
Geometria Analítica na UFPR e foram abordados de maneira 
concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da 
disciplina: reta, plano, cônicas, superfícies, etc. 
Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores. Há inúmeros 
caminhos para a resolução de problemas geométricos através 
da Álgebra, porém o tratamento vetorial é o mais indicado pela 
sua elegância e simplicidade, além de ser assaz importante a 
outras disciplinas. A umbomrendimento escolar emGeometria 
Analítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitável 
conhecimentodos capítulos5e6. 
Há que se tomar público que, face à nossa formação 
acadêmica e relacionamento profissional, o presente trabalho 
recebeu preponderante influência do livro Geometria Analítica e 
Vetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamos a todos 
os alunos que aspiram a umaprofundamento e a ummaior rigor 
noassunto. 
Ademais, cumprimos o elementar dever de gratidão 
pelo desprendimento comque os professores Florinda Miyaòka, 
Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabe e Ivo
Jacir. J. Venturi 
J. Riegler sedispuseramaler o manuscritoeapresentar sugestões. 
O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e 
amigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaram 
uma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatro 
lustros. 
Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. 
Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util-mente 
o nosso tempo. "Acensura que nos for feita - se faz oportuno 
Souza Pinto - há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter 
consciênciadenossaboavontadeemacertar."
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Prezado Universitário: "Tinha 12 anos quando assisti à demons-tração 
de umteorema de geometria e senti 
uma espécie de vertigem. Parecia que 
estava descobrindo um mundo de infinita 
harmonia. Não sabia, então, que acabava 
de descobrir o universoplatônico, comsua 
ordemperfeita, comseus objetos eternos e 
incorruptíveis, de uma beleza perfeita e 
alheia a todos os vícios que eu acreditava 
sofrer. Assim, apesar deminhavocaçãoser 
a de escrever ou pintar, fui atraído durante 
muitos anos por aquela realidade fantás-tica." 
Neste excerto de entrevista, de 1987, o renomado escritor 
argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à 
Geometria e, por extensão, à Matemática "um mundo de infinita 
harmonia". Este é o sentimento que nós, professores, devemos transmitir 
aosalunosdeboavontade. 
A didática, de um lado, cobra do professor a sensibilidade para 
perceber o nível da classe e, a partir daí, iniciar o seu trabalho; que o 
professor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de 
"quadro-negro, giz e salivação"; que induza o seu discípulo a apreciar a 
Matemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente, 
utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister que o aluno 
perceba o seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmica e 
participativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aula e ouvir a 
explicação do professor. É impossível aprender a jogar tênis apenas 
assistindo de camarote. Assim também com a Matemática: é necessário 
treino, exercícioseefetivaparticipaçãopessoal. 
A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a 
formação do raciocínio. E para a maioria das atividades profissionais (que 
exigem o nível secundário ou universitário) é o raciocínio a principal 
ferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que não a utilizam, 
reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera 
racional damenteedacoerênciadopensamento. 
Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática 
ocorreanível doEnsinoFundamental. A essenível, tal comoumaestrutura 
geológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se 
estratificam. Disso resulta, como maior legado, o entendimento e a
Jacir. J. Venturi 
motivação pela disciplina no Ensino Médio. Este embasamento representa 
a para umbomrendimento na Faculdade. Isto posto, 
a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser 
transpostos na interação aluno-professor. A nós, professores, importa a 
sensibilidade à percepção de tais dificuldades bemcomo a disposição de 
retornar aos níveis anteriores sempre que necessário. É frustrante 
observar que em certos cursos - em especial noturnos - o índice de 
desistência atinge 50% até ou logo após a primeira avaliação. Se 
consciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novel a 
busca junto aos livros, professores e colegas. Atirar pedras no passado, 
pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns 
professores do Ensino Fundamental ou Médio, não leva a nada. "O 
importante - afirma Jean Paul Sartre - não é o que fizeram de nós, mas o 
quefazemosdoquefizeramdenós". 
Ao ingressar na Universidade, o calouro sente-se perplexo e 
desamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entre 
o Ensino Médio e a Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremas e 
abstrações aqui e quase nada lá. Cobra-se autodidatismo e raciocínio na 
faculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médio 
preponderantemente à base de memorizações e expedientes similares. 
Tal procedimento - argumenta Valmir Chagas - “desenvolve uma estranha 
metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de 
estudo". É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos 
cursinhosaoEnsinoMédio. 
Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do 
sistema educacional brasileiro. Não é só: faz-se mister uma postura crítica 
e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se tal 
situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o 
próprio Brasil, a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de 
aceitar as coisascomoestãoecomosempreforam. 
É papel precípuo da Universidade, e lhe cabe a iniciativa, 
promover física e socialmente a comunidade. Esta geralmente não tem 
consciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê-los. 
O Autor 
conditio sine qua non
Foi extraordinária o incremento dado à Geometria Plana e 
·Pitágoras (560 - 500 a.C.) 
·Euclides (c. 325 - c. 265 a.C.) 
·Arquimedes (287 - 212 a.C.) 
·Apolônio de Perga (262 - 190 a.C.) 
Com estes ecléticos sábios, a Matemática deixa seu carácter 
meramente intuitivo e empírico (egípcios e babilônios) e se assume como 
disciplina racional, dedutiva e lógica, a partir da criação de definições, 
axiomas, postulados e teoremas. 
Pitágoras fundou no sul da Itália, na Ilha de Crotona, a Escola 
Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira universidade do 
mundo". Foi uma entidade parcialmente secreta, envolta em lendas, com 
centenas de alunos. Estudavam Matemática, Astronomia, Música e 
Religião. 
Embora se suspeite da autenticidade histórica, conta-se que 
Pitágoras tenha praticado uma hecatombe (sacrifício de cem bois), 
comemorando a demonstração do seu célebre teorema a2 = b2 + c2. 
Consta que uma grande celeuma instalou-se entre os discípulos 
de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 2 
. Utilizando a notação 
algébrica, a equação x2 = 2 não admitia solução numérica para os pitagó-ricos 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
S I N O P S E H I S T Ó R I C A 
Espacial pelos matemáticos helenísticos: 
pois estes só conheciam os números racionais. Dada a conotação 
mística dos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de 
Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o 
expulsaram da escola e o afogaram no mar. 
Euclides fundou a Escola de Matemática na renomada Biblioteca 
de Alexandria. Todos os grandes geômetras da antigüidade como Euclides, 
Arquimedes, Eratóstenes, Apolônio, Papus, Diofanto, Cláudio Ptolomeu, 
Teon de Alexandria, Hipátia, etc. se debruçaram sobre os vetustos e novéis 
pergaminhos e papiros da grande biblioteca. 
Asua destruição talvez tenha representado o maior crime contra o 
saber em toda a história da humanidade. 
Em 48 a.C., envolvendo-se na disputa entre a voluptuosa 
Cléopatra e seu irmão, o imperador Júlio César manda incendiar a 
esquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria. O fogo se propaga até 
as dependências da Biblioteca, queimando cerca de 500.000 rolos. 
Restaram aproximadamente 200.000 rolos. 
Em 640 d.C., o califa Omar mandou que fossem queimados todos 
os livros da Biblioteca sob o argumento que "ou os livros contêm o que está 
no Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lê-los". 
A mais conspícua obra de Euclides, Os Elementos (c. 300 a.C.) 
13 
Ö2
Jacir. J. Venturi 
constitui o mais notável compêndio de matemática de todos os tempos, 
commais de mil edições desde o advento da imprensa (a primeira versão 
impressade OsElementos 
apareceuemVenezaem1482). 
Tem sido - segundo George Simmons - 
por uma influência sobre a mente humana maior que qualquer 
. 
"considerado como res-ponsável 
outrolivro, comexceçãodaBíblia" 
A Biblioteca da Alexandria estava muito próxima do que se 
entende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do 
insigne Carl B. Boyer, ema "A Universidade de 
Alexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas de 
cultura superior. Parte dos professores provavelmente se notabilizou na 
pesquisa, outros eram melhores como administradores e outros ainda 
eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que 
possuímos, parece que Euclides definitivamente pertencia à última 
categoria. Nenhuma descoberta nova é atribuída a ele, mas era conhecido 
pelasuahabilidadeaoexpor. Essaéachavedosucessodesuamaior obra 
". 
História da Matemática. 
OsElementos 
A genialidade de Arquimedes 
como físico-matemático só é 
comparável com Isaac Newton, no século XVIII. Pelas concretas ou 
supostas obras de Engenharia, foi um precursor de Leonardo da Vinci 
. 
Suaproduçãoécompletamenteoriginal e muitovasta, incluindoGeometria 
PlanaeSólida, Astronomia, Aritmética, MecânicaeHidrostática. 
Nasceu na Sicília, na cidade grega de Siracusa. Quando jovem 
estudou emAlexandria, o templo do saber da época, comos discípulos de 
Euclides. 
Suas invenções engenhosas, suas máquinas decaráter utilitárioe 
bélico, o memorizaram através dos séculos por historiadores romanos, 
gregos, bizantinoseárabes. 
Arquimedes, no entanto, considerava seus engenhos mecânicos 
como fator episódico e que, de certa forma, tiravamadignidade da ciência 
pura. "Sua mentalidade não era a de um engenheiro, mas sim, a de um 
matemático." 
Alguns de seus feitos são clássicos e conhecidos, mas merecem 
ser relembrados: 
Por descrição de Vitrúvio, conhecemos a história da coroa da rei 
Herão. Este havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro puro. 
Uma vez pronta, o desconfiado rei Herão solicitou a Arquimedes que 
analisasseacoroaedirimisseadúvida: eraacoroadeouropurooufeitade 
umaamálgamacomprata? 
Quando tomava banho, Arquimedes, observou que, à medida que 
seu corpo mergulhava na banheira, a água transbordava. Foi o 
pararesolver o problema. 
insight 
Conta a historiador Vitrúvio que Arquimedes, eufórico, teria saído 
pelas ruas, completamente nu, gritando " , que significa 
. 
Eureka, eureka" 
"Achei, achei" 
Refeito do vexame, Arquimedes comprovou que houve fraude por
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
parte do ouvires. Destarte, tomou dois recipientes cheios de água  
e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente, um bloco de  
prata.  Como  ambos  os  blocos  continham  o  mesmo  peso  que  a  coroa,  
comprovou  a  fraude,  pois  constatou  que  os  blocos  deslocavam  
quantidades diferentes de água. 
Deste  fato  decorre  o  princípio  de  Arquimedes,  lei  básica  da  
Hidrostática:  Todo  corpo  mergulhado  num  fluido  recebe  um  impulso  de  
baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado. 
Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de  
asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes "era por vezes levado à  
força  para  banhar-se  ou  passar  óleo  no  corpo,  que  costumava  traçar  
figuras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo,  
estando em um estado de preocupação total e de possessão divina, no  
sentido mais verdadeiro, por seu amor e deleite pela ciência". 
Na  2.ª  Guerra  Púnica,  contra  a  poderosa  razia  do  exército  e  
marinha  romanos,  comandados  pelo  Cônsul  Marcelo,  a  sagacidade  de  
Arquimedes criou aparatos devastadores. 
Marcelo infligiu um cerco de 3 anos e em 212 a.C. a cidade de  
Siracusa rendeu-se. 
Adentrando-se  às  muralhas  de  Siracusa  as  hostes  romanas  
promoveram a pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado  
aproximou-se  de  um  encanecido  senhor  de  75  anos,  que  indiferente  à  
chacina, desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou:  "Não toque  
nos meus círculos". O soldado enraivecido transpassou-o com a espada.  
Foram as derradeiras palavras de Arquimedes.  
A maior  grandeza se manifesta na Matemática: 
Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um  
polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e,  
por muitos séculos, o mais acertado valor para p: 
3 10 
71 
3 10 
70 
   
Uma metodologia absolutamente precisa para se calcular o valor  
de p surgiu em 1671 como conseqüência da série de James Gregory. 
 
4 
1 1 
3 
1 
5 
1 
7 
      ... 
Por  essa  série,  o  francês  De  Lagny  em  1719  calculou  as  112  
primeiras  casas  decimais  de  p  e  em  1873  o  inglês W. Shanks  chegou  
manualmente  a  707  casas  (conta-se  que  teria  levado  5  anos  para  a  
execução dos cálculos). 
15
OBSERVAÇÃO:  
A  letra  p  é  a  inicial  da  palavra  grega  perijereia  que  significa  
periferia, circunferência. Sabemos que p = 3,1415926535 ... é um  
número irracional. 
Arquimedes deu o tiro de largada de uma longa maratona e, ao  
mesmo  tempo,  o  estudo  do  p  propiciou  notáveis  avanços  em  
diversos capítulos da matemática. 
A  fita  de  chegada  para  o  cálculo  de  p,  por  meio  de  polígonos  
inscritos e circunscritos em uma circunferência, se deu em 1605,  
quando o matemático holandês Ludolph van Ceulen calculou o p    
com 35 casas decimais (começou com um polígono de 15 lados e  
dobrou o número de lados 37 vezes). 
Arquimedes demonstrou que a área contida por um parábola (S ) e  p 
Jacir. J. Venturi 
uma reta transversal é 4/3 da área do triângulo (SD) com a mesmD 
a base e  
cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base. 
S 4 
p S   
3 
Em  seus  trabalhos  de  geometria  sólida  encontramos,  pela  
primeira  vez  as  fórmulas  corretas  para as áreas da superfície esférica  
(S = 4pR2), da calota esférica (2pRh) e para os volumes da esfera            e   
do fuso esférico               . 
 
 R3 
3 
 
  
2R3 
O ilustre siracusano tratou de forma exaustiva sobre o centro de  
gravidade de figuras sólidas e planas. 
Obteve a área de uma elipse (S = pab) e descreveu sólidos de  
revolução gerados por parábolas, elipses e hipérboles em torno de seus  
eixos (quádricas de revolução). 
Descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes  
(em  coordenadas  polares  têm  equação  r  =  kq)  e  pela  primeira  vez  
determina a tangente a uma curva que não seja o círculo. 
De forma inédita, Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de  
limites e cálculo diferencial. 
Apolônio de Perga parece ter-se  considerado um cordial rival de  
Arquimedes,  e  muito  pouco  se  sabe  de  sua  vida.  Supõe-se  ter  sido  
educado  em  Alexandria  e  por  algum  tempo  ter  ensinado  em  sua  
"Universidade".  Graças  ao  apoio  de  Lisímaco,  general  de  Alexandre,  
transferiu-se  para  Pérgamo  (donde  a  palavra  pergaminho),  onde  havia  
uma Biblioteca e uma "Universidade" só inferiores às de Alexandria. 
16 
 
 
4  
 
3
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Apolônio,  e  não  Euclides,  mereceu  dos  antigos  o  epíteto  de  o  
Grande Geômetra e isto pode nos parecer inaceitável. A verdade é que não  
se pode questionar o mérito de ambos. Euclides tornou-se sinônimo de  
Geometria por sua amplamente conhecida obra Os Elementos, enquanto  
a maior parte das obras de Apolônio desapareceram. 
O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de  
Alexandria  (século  IV  d.C.),  que  fez  uma  breve  descrição  de  sua  
monumental produção matemática. Infere-se que os tratados de Apolônio  
continham uma Matemática bastante avançada e inclusive muito do que  
conhecemos hoje como Geometria  Analítica. 
Para gáudio de todos, porém, o tratado As Cônicas, sobre seções  
cônicas, suplantou todas as obras existentes na antigüidade. O tratado As  
Cônicas é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram. 
É inegável a influência de Apolônio sobre Isaac Newton, Ptolomeu  
(tabelas  trigonométricas,  sistemas  de  latitude  e  longitude),  Kepler  ("os  
planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol ocupando  
um de seus focos"), Galileu ("a trajetória de um projétil é uma parábola"). 
Sabemos  que  a  Geometria  Analítica  faz  uma  simbiose  da  
Geometria  com  a  Álgebra.  Face  o  exposto,  concluímos  que  os  gregos  
promoveram um extraordinário incremento à Geometria. No entanto, como  
não dispunham de uma notação algébrica adequada, a Matemática grega  
teve o seu ocaso com Apolônio. 
A Álgebra, podemos afirmar de forma concisa, possui uma dupla  
paternidade: Diofanto e Al-Khowarizmi. 
Diofanto de Alexandria viveu no século III d.C., e sua principal  
obra foi Aritmética, tratado que originalmente era composto de 13 livros,  
dos  quais  só  os  6  primeiros  se  preservaram.  O  principal  mérito  da  
Aritmética é a utilização de notações, ou seja, de uma linguagem mais  
sincopada, mais simbólica para a Matemática. 
Por  seu  turno,  Al-Khowarizmi  viveu  por  volta  de  800  d.C.  na  
cidade de Bagdá, que emerge como uma nova Alexandria. Sua principal  
obra Al-Jabr deixou marcas indeléveis em toda a Europa. Al-Jabr recebeu  
a forma latinizada Algebrae (Álgebra). 
Em árabe Al-Jabr significa, numa tradução mais livre, deslocação  
e parece "referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado  
da equação". 
Os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tiveram notável receptividade   
na  Europa  através  da  obra  de Al-Khowarizmi.  Daí  serem  denominados  
algarismos arábicos, mas que a bem da verdade são de origem hindu. 
Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da Álgebra  
em toda a Europa, Pierre de Fermat concluiu em 1629 o manuscrito Ad  
locos  planos  et  solidos  isagoge  (Introdução  aos  lugares  planos  e  
sólidos).  Para  a  maioria  dos  historiadores,  tal  manuscrito  representa  o  
marco zero da Geometria Analítica. 
É curioso observar que Fermat não era um matemático. Estudou e  
17
Jacir. J. Venturi 
DireitoemToulouse, naFrança, e aí exerceuocargodeadvogadoeconse-lheiro 
do parlamento. Fermat tinha a Matemática como um" " e mes-mo 
assim foi considerado por Pascal 
o maior do seu tempo. Dedicou-se 
aos pensadores clássicos e à Matemática grega e segundo , 
aobra deApolôniofoiumadas obrasfavoritas deFermat. 
Coube a (1601-1665) a descoberta das 
equações da reta e da circunferência, e as equações mais simples da 
elipse, da parábola e da hipérbole. Aplicou a transformação equivalente à 
atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau à sua forma 
mais simples. É cristalina em Fermat a percepção de uma Geometria 
Analítica a três dimensões: " 
". 
É oportuno observar que a usual denominação 
( é a forma latinizada de Descartes) é anacrônica 
historicamente, pois sua obra não contém eixos perpendiculares, eixos 
oblíquos, nem tampouco a equação de uma reta. Por mérito, o sistema 
cartesianodeveriadenominar-se . 
No entanto, (que para sempre será lembrado como 
grande filósofo) superou Fermat pela utilização de uma notação algébrica 
maisprática. 
Muito deve a Geometria Analítica tridimensional a 
(1707-1783). Euler nasceu na Basiléia, Suíça, e recebeu uma 
educaçãobastante eclética. 
Extremamente profícuo, insuperável em produção matemática, 
Euler escrevia uma média de 800 páginas por ano. Em plena atividade 
intelectual, morreu aos 76 anos, sendo que os últimos 17 anos passou em 
total cegueira (conseqüência de catarata). Mesmo assim continuou 
ditandoaos seusfilhos(eram13). 
A partir de meados do século XIX, desenvolveu-se o conceito de 
Espaçode4, 5... n dimensões. 
Em 1854 o jovem matemático alemão 
desenvolveu a idéia de uma Geometria Quadridimensional. 
, em1915, mostrou que o nosso universo embora pareça E , é na 
verdade E . Ele dava o primeiro passo para se perceber a variedade 
espaço-temporal do universo. Cada um dos pontos do universo é 
determinadopor 3 coordenadas (espaciais) que especificamsuaposiçãoe 
umaquarta(temporal) quedeterminaotempo. 
Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande 
desenvolvimento à Geometria Plana e Espacial, mas não dispunham de 
umanotaçãoalgébricaousimbologiaadequadas. 
Até o século XVI, toda a expressão matemática se fazia de uma 
formaexcessivamente" ". 
Por exemplo, em 1591, para representar a equação 
quadrática5A +9A-5=0, escreviaem bom latim: 
hobby 
mas se o problema proposto envolve três 
incógnitas, deve-se achar, para satisfazer a equação, não apenas um 
pontoouumacurva,mas todaumasuperfície 
Cartesius 
verbal ouretórica 
Carl B. Boyer 
AsCônicas 
Pierre de Fermat 
sistema 
cartesiano 
sistemafermatiano 
Descartes 
Leonhard 
Euler 
Bernhard Riemann 
Albert 
Einstein 
Viète 
3 
4 
2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 5 inAquad. et 9 inAplanuminus 5 aequatur 0. 
“Na maior parte da ciências, assevera Herman Hankel 
(1839- 
1873), matemático alemão, uma geração põe abaixo o que a outra 
construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na 
Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga 
estrutura”. 
rainha e a 
serva de todas as ciências 
"Ummundo de infinita harmonia" 
Deus eternamentegeometriza - 
(5emAquadradoe 
9em A plano menos 5 é igual a zero). 
Como na formação de uma estrutura geológica, as descobertas 
matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos. 
Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e simem 
contínua evolução. As formulações inicialmente tênues e difusas percor-rem 
um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol-vimento. 
Apropriadamente, já se definiu a Matemática como a " 
". E o apanágio de sua majestade é o rigor, a 
lógica, a harmoniaesualinguagemprecisa, universal e sincopada. 
Após este epítome histórico, adentremos entusiasticamente ao 
mundo maravilhoso da Geometria. , nas 
palavras dopoeta. 
-QuefazDeus, perguntaodiscípulo. 
- respondesabiamente Platão 
.
Jacir. J. Venturi 
C A P Í T U L O 
Noções preliminares 
1.ELEMENTOSPRIMITIVOS 
A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os 
pontos, as retaseosplanos. 
PONTOS: letras latinas maiúsculas. 
Ex.: A,B,C... P,Q... 
RETAS: letras latinas minúsculas. 
Ex.: a, b, c ... r, s, t ... 
PLANOS: letras gregas minúsculas. 
Ex.: , , ... … 
2.PONTOERETAIMPRÓPRIOS 
Se duas retas r e s são 
paralelas entre si, então elas têm a 
mesma direção ou mesmo ponto 
impróprio. O ponto impróprio da reta s 
pode ser imaginado como o ponto no 
infinito de s e é o mesmo para todas as 
retasquesãoparalelasas; seráindicadoporP . 
Se dois planos e são 
paralelos, então têm a mesma 
jacência ou a mesma reta imprópria. 
A reta imprópria de pode ser 
imaginada como a reta no infinito 
desse plano e é a mesma para todos 
os planos paralelosa ; será indicada 
porr . 
Notação: 
a) Pontoimpróprio 
b) Retaimprópria 
a b g p 
a b 
a 
a 
¥ 
¥ 
r 
s
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA O PROFESSOR ARREPENDIDO 
OBSERVAÇÃO: 
Chama-se ponto próprio ao ponto na sua acepção usual. Assim, 
duas retas concorrentes têm em comum um ponto (próprio). 
Analogamente, dois planos concorrentes se interceptamsegundo 
umareta(própria). 
Cada reta própria tem um único ponto impróprio. Em cada plano 
existe uma única reta imprópria. A reta imprópria é constituída 
exclusivamente de pontos impróprios. Duas retas impróprias têm 
em comum um único ponto impróprio. Todos os pontos e retas 
impróprios doespaçopertencemaumúnicoplanoimpróprio. 
Histórias pitorescas sempre têm um pouco de 
fantasia, principalmente, quando se reportam a homens bem-sucedidos. 
Conta-se que na Universidade de Harvard havia um 
professor de Matemáticaextremamenterigoroso. 
Na última avaliaçãodo ano, elaborouumaprova muito 
difícil e lançou umdesafio a seus alunos: "se umde vocês tirar 
nota 10 nesta prova, peço demissão da Universidade e serei 
seuassessor". 
Era seu aluno um 
fedelhode17anos, noentanto, 
brilhante nessa disciplina, con-siderada 
a "rainha e serva de 
todas as ciências". Obtevenota 
9,5. 
Até hoje, o nosso caro 
professor lamenta ter sido tão 
exigente. Perdeu a oportunida-de 
de setornar umdos homens 
mais ricos do Planeta. Em 
tempo: o aluno se chamava Bill 
Gates. 
História de uso corrente. 
Texto do autor. 
z 
x 
y
O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO 
Foi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428  
a.C.).  Aprisionado  em  Atenas  por  suas  idéias  muito  
avançadas  para  a  época,  afirmara  que  o  Sol  não  era  uma  
divindade, mas uma grande pedra incandescente, maior que o  
Peloponeso (península do sul da Grécia) e que a Lua não tinha  
luz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor de  
Péricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais,  
exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos:  
Sócrates, Platão, Aristóteles. 
Problema  da  Quadratura  do  Círculo:  dado  um  
círculo,  construir  um  quadrado  de  mesma  área.  Como  os  
gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam  
a  Geometria,  propunham  solução  apenas  com  régua  (sem  
escala)  e  compasso.  No  século  XIX,  demonstrou-se  que  
nestas condições este problema é irresolúvel. 
A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da  
Álgebra: 
S  =  S 
pR2 = l2 . Admitindo por ex. R = 3 
p(3)2 = l 2 
Jacir. J. Venturi 
= 
  3   ou    5,31 
  R  
R 
22
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA PROBLEMA DA DUPLICAÇÃO DO CUBO 
OU PROBLEMA DELIANO 
Durante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso, 
conta uma lenda que em 429 a.C. uma peste dizimou um 
quarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles. 
Diz-se que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de 
Apolo, em Delos, para inquirir como a peste poderia ser 
eliminada. 
O oráculo respondeu que o 
altar cúbico de Apolo 
.Os atenienses celeremente dobraram 
deveria ser duplicado 
as medidasdasarestas docubo. 
1 m 2 m 
A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o 
erro? 
Em vez de dobrar, os atenienses octoplicaram o 
volumedoaltar. 
Pois: 
paraa=1 ß 
V =1 3 
=1 
cubo 
paraa=2 ß 
V =2 3 
=8 
cubo 
A complexidade do problema deve-se ao fato de que 
os gregos procuravam uma solução geométrica. E mais um 
complicador: comrégua(semescala) e compasso. 
Ainda no século lV a.C., o geômetra grego 
Menaecmus (que juntamente com Platão foi professor de 
Alexandre, o Grande) resolveu o problema com o traçado de 
uma parábola e de uma hipérbole. Hodiernamente, tal solução 
é facilmente compreensível através da Geometria Analítica: 
Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interseção 
daparábolax 2 
=2y comahipérbolexy=1. A soluçãoé x = 3 2 
. 
Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seus 
compatriotas: não se valeu de régua (semescala) e compasso
Jacir. J. Venturi 
apenas! 
A solução deste problema é trivial com os recursos da  
Álgebra: procura-se a aresta (a) de um cubo, cujo volume seja  
o dobro do volume de um cubo de a = 1 (V  = a3): cubo 
= 2 X 
a = ? 1 m 
a3 = 2 x 13 
a  3 2  1,26 
OBSERVAÇÃO: 
Em  1837,  o  francês  Pierre  L.  Wantzel  demonstrou  
que o problema deliano não admite solução com uso  
de régua e compasso apenas. Com somente 23 anos,  
Wantzel, engenheiro da prestigiosa Ecole Polytech- 
nique, pôs fim às discussões de quase dois milênios.  
Em seu excelente Livro O Romance das Equações  
Algébricas  (ed.  Makron  Books),  Gilberto  G.  Garbi  
descreve que "esta limitação de apenas dois instru- 
mentos espelhava o conceito de elegância com que  
os gregos tratavam das questões geométricas e, tam- 
bém, a ação tipicamente helênica que eles nutriam  
pelos  desafios  intelectuais,  independentemente  de  
qualquer utilidade prática".  
(do autor) 
24
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA C A P Í T U L O 
Relações segmentárias 
no espaço unidimensional 
Omatemáticoeastrônomoalemão,Möbius(1790-1868) foi quem 
adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas e 
volumes. 
Uma reta é orientada, se esta-belecermos 
nela umsentido de percurso 
como positivo; o sentido contrário é 
negativo. O sentido positivo é indicado 
por uma seta. Umreta orientada também 
échamadadeeixo. 
Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. A 
medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real, 
positivo se sua orientação for concordante comosentido positivo da reta e 
é um número real negativo, em caso contrário. O número real que é a 
medida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo se 
associaumaunidadedecomprimentou. 
Exemplo: 
AB=+4u (ondeAéorigemeBextremidade) 
BA= - 4u (ondeBéorigemeAextremidade) 
Os segmentos orientados e têmrespectivamente medidas 
algébricasiguaisa4e-4. 
Então:AB+BA=0 ou 
AB 
AB 
AB BA 
AB=-BA 
1.RETAORIENTADA 
2.MEDIDAALGÉBRICADEUM SEGMENTO 
A B r 
u 
(reta) 
(reta orientada)
Jacir. J. Venturi 
Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razão 
AP 
BP 
simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, queésimbolizado 
por (ABP). 
OBSERVAÇÃO: 
Se (ABP) = k, diremos que P divide o segmentoAB na razão k. 
A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo ao 
segmentofinito . Seinterno, a razãoseránegativa. 
A 
(ABP)= + 
(ABP) 
Assim: 
Assim: 
AB 
A P B r 
(ABP)= – 
A C B r 
(ABC) AC = - 
3 
3 
1 
= = 
BC 
- 
OpontoCdivideosegmento AB 
narazãosimples iguala - 3. 
P Q A r 
3 
(PQA) = PA = 6 
= 
2 
QA 
AP 
BP 
= 
B P r 
3.RAZÃOSIMPLESDE3PONTOS 
a) Definição 
b) Sinal 
c) Exemplos 
1) 
2) 
OpontoAdivideosegmento PQ 
narazãosimplesiguala 3.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
d) Casos particulares 
1. Se P º A, a razão simples é nula. 
P º A B r 
(ABP)  AP  0 
 
2. Se P º M (ponto médio), a razão simples é igual a  -1. 
A P B 
M 
r 
(ABP) AP AP 
  
4. DIVISÃO ÁUREA 
 a) Definição  
Um ponto P divide um segmento AB em média e extrema razão se: 
AP2 = AB . PB 
A  P  B 
x a – x 
a 
0 
BP 
BP 
1 
AP 
BP 
 
  
AP2 = AB . PB 
Diz-se também que AP é o segmento áureo de AB. 
OBSERVAÇÃO: 
Não prescindindo do rigor matemático, deve-se apresentar uma  
2 segunda relação para o segmento áureo: PB  = AB . AP. 
b) Cálculo 
Dado o segmento AB = a, calcular o seu segmento áureo AP = x. 
27
Jacir. J. Venturi 
AP 2 
=AB . PB 
x 2 
=a(a - x) 
ou 
x 2 +ax -a 2 
=0 
Resolvendoaequaçãodo2.º grauparaaincógnitax: 
- ± 
= 
x a 5 a 
2 
Em problemasgeométricos, adota-seasoluçãopositiva: 
- + 
= 
x a 5a = 
c) Epítomehistórico 
0,618 a 
2 
Na história da humanidade, o assunto em epígrafe sempre 
mereceu a atenção de matemáticos, artistas, arquitetos, etc., pois 
fornece as medidas de um 
retângulo na proporção mais 
estética. Para tanto, basta 
prefixar a base a 
e calcular a 
sua altura h = 0,618 a. É o 
retângulo áureo 
a 
Le Corbusier 
Johannes Kepler 
sectio divina 
a geometria temdois tesouros. Um é o 
h = 0,618 a 
teoremadePitágoras, e o outroéadivisãoáurea”. 
Heródoto 
. Este é 
encontrado no frontispício do 
Paternon de Atenas (5.º sé-culo 
a.C.), na pirâmide de 
Quéops, na pintura de Leo-nardo 
da Vinci, em grandes 
catedrais da Idade Média e hodiernamente emprojetos do renomado 
arquiteto francês . Também a sábia natureza, como se 
observa em plantas, animais e em medidas do corpo humano. Rece-beu 
o epíteto de (secção divina) e 
(1571-1630) não se conteve: “ 
O historiador grego relata que os sacerdotes 
egípcios lhe haviam dito que as dimensões da pirâmides de Giseh 
haviam sido escolhidas de maneira que metade do comprimento da 
baseeaalturadafacetriangular formassemadivisãoáurea.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA O pentagrama estrelado ao lado 
figurado representou a insígnia dos pita-góricos, 
o símbolo da saúde para os gre-gos 
e aparece hoje freqüentemente em 
bandeiras, cartazes, etc. 
Observeque: 
A 
B 
D 
E 
C 
AB 
AC 
= AD = AE 
= ED 
= 0,618 
® divisão áurea 
AC 
AD 
AE 
O r 
5. ABSCISSASNARETA 
O ponto O (origem) divide o eixo r em duas semi-retas, onde a 
semi-reta positiva é indicada pela seta. É negativa a outra semi-reta. Ao 
eixosefixaaprioriumaunidadedecomprimento. 
Chama-se abscissa 
x de umpontoP de uma reta orientada r, à 
1 1 
medida do segmento orientado e finito OP , da origem a esse ponto, 
1 
antecedida do sinal de (+) ou (-) conforme o ponto pertença à semi-reta 
positiva ou negativa. Há uma correspondência bijetiva entre os números 
reaiseospontos deumareta. 
B O A r 
–2 3 
Exemplo: 
x =3 x 
=-2 
A B 
Abscissa em latim significa corte , incisão 
. Deve-se provavel-mente 
ao fato de que a representação da abscissa na reta se faz 
atravésdeum pequenocorte. 
6. DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS 
SejamospontosP e P , cujas abscissassãorespectivamentex e x . 
1 2 1 2 
OBSERVAÇÃO:
Jacir. J. Venturi 
O P1 P2 r 
Então: 
OP + PP =OP 
P P =OP -OP 
1 1 2 2 
1 2 2 1 
x1 x2 
Exemplo: 
Dadasasabscissasx =5ex = - 3, calcular ABeBA. 
A B 
Resolução: 
AB=x -x = - 3 - 5 = - 8 
BA=x -x =5-(- 3) = 8 
B A 
A B 
Sejamos pontos P ,P ePde uma reta orientada r, comabscissas 
x ,x exrespectivamente. 
1 2 
Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmentoP P 
numacertarazãok. 
Então: 
k=(P P P) 
k = k= 
1 2 
1 2 
1 2 
PP = x - x 1 2 2 1 
7.RAZÃOSIMPLESDE3PONTOSPORSUASABSCISSAS 
O P1 P2 P r 
x1 x2 x = ? 
P 
P 
1 
2 
P 
P 
- 
- 
x x 
x x 
1 
2
Isolando o x: 
 
 
 1 2 
Caso particular: se k = - 1 tem-se: 
 
 1 2 
Onde x é a abscissa do ponto médio de P P . 1 2   
Exemplo: 
Achar a abscissa  do ponto P que divide o segmento AB  na razão 2.  
Dados x  = 3 e x  = 7. A B 
Resolução: 
Figura: 
 A B 
Portanto (ABP) = 11 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
x x kx 
1 k 
x x x 
2 
x x kx 
k 
 
 
  
 
 
1 
3 2 
1 2 
(7) 11 
O  A  B  P  r 
3  7  11 
Exercícios 
"Que nenhum desconhecedor da geometria entre aqui." 
(Inscrição no frontispício da Academia de Platão) 
 O ponto P divide o segmento P P  numa certa razão k.   Cal- 1 2  
cular k, conhecendo-se  respectivamente  os  pontos pelas suas abscissas  
x = 3,  x  = 6  e  x  = - 2 1 2 
Resp.:  
 Dados (ABP) = 5,  x  = 2,  x  = 5, calcular  x . P B A 
k   3 
Resp.: 17 
01. 
02. 
  5 
31
Jacir. J. Venturi 
03. 
04. 
05. 
06. 
07. 
Obter a abscissadopontoP, tal quePA .PB=PC.PD. 
3 
2 
Considere O, A, B, C pontos colineares, onde O representa a 
origem. CalculeaabscissaxdopontoCnaigualdade: 
24 
5 
Achar a distância QPtais que (ABP)= e (ABQ)= sen-dox 
=2 e x =8 
Sendox =3 e x =8, calcular as abscissas dos pontosP eP 
quedividem em 3 partes iguais. 
14 
3 
Achar as abscissas dos pontos que dividem em 4 partes 
iguais. 
Dados:x = - 2, x =0, x =3, x =5 
Resp.: 
AB+2CA+OB-3BC=3 
Dados:x =2 e x =5 
Resp.: 
Resp.: 8 
Resp.: 
Dadosx = -3 e x =6 
Resp.: 
A B C D 
A B 
P Q 
A B 
A B 1 2 
AB 
PQ 
"Gigantes são os mestres nos ombros 
dos quais eu me elevei." 
ISAAC NEWTON (1642 - 1727), físico, astrônomo e matemático inglês. 
19 
3 
e 
- 
3 
4 
3 
2 
15 
4 
, , 
- 1 
2 
1 
2
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
FERMAT PROMOVE O MAIOR DESAFIO DA MATEMÁTICA 
Jurista  e  magistrado  por  profissão,  
Pierre  de  Fermat  (1601-1665),  dedicava  à  
Matemática  apenas  suas  horas  de  lazer  e,  
mesmo assim, foi considerado por Pascal o  
maior matemático de seu tempo. 
Coube  a  Fermat  a  entronização  de  
eixos  perpendiculares,  a  descoberta  das  
equações  da  reta  e  da  circunferência,  e  as  
equações mais simples de elipses, parábolas  
e hipérboles. Por mérito, as  
coordenadas  cartesianas  
deviam  denominar-se  
coordenadas fermatianas.  
Cartesius  é  a  for- 
ma latinizada de Descartes  
(René). Foi mais filósofo que  
matemático e em sua obra  
Discours  de  la  Méthode  
(3.º apêndice, La Géométrie),  
publicada em 1637, se limitou  
a  apresentar  as  idéias  
fundamentais  sobre  a  
resolução  de  problemas  
P = (x, y) 
0  x 
geométricos com utilização da Álgebra. Porém, é curioso obser- 
var que o sistema hoje denominado cartesiano não tem amparo  
histórico, pois sua obra nada contém sobre eixos perpendicula- 
res, coordenadas de um ponto e nem mesmo a equação de uma  
reta. No entanto, Descartes "mantém um lugar seguro na suces- 
são canônica dos altos sacerdotes do pensamento, em virtude da  
têmpera racional de sua mente e sua sucessão na unidade do  
conhecimento. Ele fez soar o gongo e a civilização ocidental tem  
vibrado desde então com o espírito cartesiano de ceticismo e de  
indagação que ele tornou de aceitação comum entre pessoas  
educadas" (George Simmons). Segundo ainda este proeminente  
autor,  La  Géométrie  "foi  pouco  lida  então  e  menos  lida  hoje, 
e bem  merecidamente". 
E não há como resistir à tentação de expor um tópico  
lendário da Matemática: o Último Teorema de Fermat. Em  
1637,  estudando  um  exemplar  da  Aritmética  de  Diofanto  
(séc. lll d.C.), Fermat deparou-se com o teorema: A equação  
xn + yn =  zn não admite solução para x, y,  z  inteiros e  
positivos,  quando  o  expoente  n  for  inteiro,  positivo  e  
maior que 2.  
33 
y 
Coordenadas cartesianas 
ou fermatianas? 
Pierre de Fermat
Jacir. J. Venturi 
No  livro  de  Diofanto,  Fermat  anotou:  "encontrei  uma  
demonstração verdadeiramente admirável para este teorema,  
mas  a  margem  é  muito  pequena  para  desenvolvê-la". 
Naturalmente, há quem duvide que ele tenha dito a  
verdade. Porém, além de íntegro, moralmente idôneo, hábil  
na  teoria  dos  números,  lembramos  que  Fermat  jamais  
cometeu um engano ou disparate matemático. 
Gerações inteiras de matemáticos têm maldito a falta  
de espaço daquela margem. Por mais de três séculos, pratica- 
mente todos os grandes expoentes da Matemática (entre eles  
Euler e Gauss) debruçaram-se sobre o assunto. Com o advento  
dos computadores foram testados milhões de algarismos com  
diferentes valores para x, y, z e n e a igualdade xn + yn = zn não  
se  verificou. Assim  empiricamente  se  comprova  que  Fermat  
tenha razão.  Mas e a demonstração? Que tal um projeto para  
as suas próximas férias e alcançar a imortalidade?! Além disso,  
um  renomado  empresário  e  matemático  alemão  –  Paul  
Wolfskehl – na noite que decidira suicidar-se em sua biblioteca,  
depara com o Último Teorema de Fermat, e muda de idéia. Em  
seu testamento, deixou em 1906 a quantia de 100.000 marcos  
para quem o demonstrasse.  
Em  1993,  Andrew  Wiles,  matemático  da  
Universidade de Princeton (EUA), após 30 anos de fascínio,  
interrupções  e  paciente  obstinação,  apresentou  a  sua  
demonstração em 140 páginas. A notícia ocupou espaço nos  
noticiários do mundo inteiro. Bom demais para ser verdadeiro:  
matemáticos encontram um erro. Mais uma vítima do Enigma  
de Fermat? Em 1996, Wiles reapresenta a demonstração e  
sobre a  qual não há qualquer contestação. 
Cumpre  esclarecer  que  Wiles  utilizou  conceitos  
avançadíssimos,  com  os  quais  Fermat  nem  poderia  ter  
sonhado. Assim chega o fim uma história épica na busca do  
Santo Graal da Matemática. 
Propiciando notáveis avanços em vários ramos da  
matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos  
está admiravelmente descrita no livro “O Último Teorema de  
Fermat”, do autor inglês Simon Singh, com 300 páginas. 
E  o  que  pensa  a  comunidade  dos  matemáticos  a  
respeito de Fermat? A maioria admite que ele escreveu com  
convicção que “a margem do livro era muito pequena”, porém  
sua demonstração possuía erros. 
Jocoso é o nova-iorquino anônimo que grafitou numa  
estação de metrô: 
xn + yn = zn     
Descobri uma demonstração admirável para este  
teorema... porém, o trem está chegando! 
Que pena! 
(Do autor) 
34
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA C A P Í T U L O 
Sistemas de coordenadas 
no espaço bidimensional 
1. SISTEMACARTESIANOORTOGONAL 
ì 
ï ï 
í 
ï ï 
î 
14243 
y 
Py 
y 
O 
P 
Px 
x x 
Um sistema de eixos orto-gonais 
no plano é constituído de duas 
retas orientadas x e y, perpendiculares 
entre si e de mesma origem O. A reta 
orientada x é denominada eixo x ou eixo 
das abscissas; a reta orientada y é 
denominada eixo y ou eixo das or-denadas; 
os eixos x e y são os eixos 
coordenados e dividem o plano em 4 
partes ouquadrantes. 
Por um ponto qualquer do 
plano traçam-se perpendiculares sobre 
cada umdos eixos, determinando neles 
ospontosP e P , detal sortequex=OP e y=OP . 
x y x y 
Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um par 
ordenado de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas 
ou também chamadas coordenadas retan-gulares: 
coordenadas cartesianas 
ondexé dePeya deP. 
Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no 
plano umúnico ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entre 
ospontos doplanoeos pares denúmeros reais. 
a)O = (0, 0) origemdosistemacartesiano. 
b)P =(x, o) projeção ortogonal de P sobre o eixo 
dasabscissas. 
c)P =(0, y) projeção ortogonal de P sobre o eixo 
dasordenadas. 
x 
y 
abscissa ordenada 
Particularidades 
®® 
® 
P = (x, y)
Jacir. J. Venturi 
2. SISTEMACARTESIANOOBLÍQUO 
O sistema cartesiano será 
denominado oblíquo se o ângulo 
entre os eixos x e y não for de 90º. 
Propositalmente, emrespeito à sim-plicidade 
olvidamos o estudo em 
eixos oblíquos. Tais sistemas mono-tonizam 
a exposição e dificultam 
sobremaneira a dedução e memori-zaçãodefórmulas. 
y 
Py 
y 
3.PARESORDENADOS:OPERAÇÕESEIGUALDADE 
a) Adição 
(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) 
1 1 2 2 1 2 1 2 
Exemplo: 
(2, 5) + (1, - 3) = (3, 2) 
b) Multiplicaçãoporum númeroreal k 
Exemplo: 
3(5, 1) = (15, 3) 
k (x , y ) = (kx , ky ) 
1 1 1 1 
c) Igualdadededoisparesordenados 
(x , y ) = (x , y) x =x e y = y 
1 1 2 2 1 2 1 2 
Exemplo: 
(x 1, y + 3) = (1, 7) 
Donde: x 1 =1 x=2 
y+3=7 y=4 
- 
Û 
- 
- ® 
® 
- 
14243 
O 
P 
Px 
x x
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 4. DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS 
Dados dois pontosP =(x , y ) e 
1 1 1 
P =(x , y ), deseja-secalcular a 
2 2 2 
distância d entre P e P . Apli-cando 
1 2 
o teorema de Pitágoras 
ao triângulo retângulo P AP , 
1 2 
tem-se: 
d 2 =(x - x ) 2 +(y - y ) 
2 ou 
2 1 2 1 
y 
y2 
y1 
P2 
A 
d 
x – x 2 1 
P1 
y – y 2 1 
O x1 x2 x 
= - 2 
+ - 2 
d (x x ) (y y ) 2 1 
2 1 
Exercícios 
"O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença." 
Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho. 
Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas 
01. 
P + A = 
cartesianas dePem . 
Resp.:P=(0, 7) 
2 B 
O segmento AB 
tem comprimento de 4 unidades. Conhe-cendo- 
- 
02. 
seopontoA=( 2, 1), achar a abscissadeB, cujaordenadaé1. 
Resp.: -6e2 
Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo 
- - 
03. 
eqüiláterodevérticesA=(3, 3),B=( 3, 3)eC= . 
(-3 3, 3 3) 
Resp.: 
- 
9 6 
Dados os pontosA=(2, y), B =( 8, 4) e C = (5, 3), determinar y 
04. 
paraqueABCsejaum triânguloretângulocomânguloretonovérticeA. 
Resp.: y = - 2 ou y = 9
Jacir. J. Venturi 
05. 
06. 
07. 
08. 
09. 
10. 
11. 
EncontreopontoP=(x, y) eqüidistantedos pontosP =(0, - 5), 
P =(- 1, 2) eP =(6, 3). 
ö 
æ ± ± 
= 
, a 3a 
C a 3a 
Um triângulo eqüilátero tem vértices A= (x, y), B= (3, 1) e 
C=(- 1, - 1). Calcular o vérticeA. 
1 
2 3 
Resp.:P=(3, - 1) 
Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, 
sabendoqueéeqüidistantedos pontosA=(1, )eB=(2, ). 
Resp.:P=(1, 0) 
Dois vértices opostos de umquadradosãoos pontos (1, 2) e 
( 5, 6). Determineaáreadoquadrado. 
Resp.: 26 
SejamM = (2, - 1),M = (1, - 2) eM = (- 1, 3) os pontos médios 
dosladosdeum triângulo. Achar os vérticesdessetriângulo. 
Resp.: (4, - 6), (- 2, 2), (0, 4) 
Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar as 
coordenadasdovérticeC, sabendo-sequeotriânguloABCéeqüilátero. 
Resp.: 
Resp.: ou 
Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de 
vérticesA=(5, - 6),B=(1, 2)eC=(3, - 4). 
Resp.: (11, 2 ) (circuncentro) 
- 
1 2 3 
3 2 
÷ ÷ 
ø 
ç ç 
è 
2 
2 
3 1+ , 3 – 2 ) ) 
3 1– , 3 2 ) )
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 5.PONTOQUEDIVIDEUMSEGMENTONUMARAZÃODADA 
y 
Seja o segmento de extremidades P = (x , y ) e P = (x , y ). O 
pontoP=(x, y) divideosegmento PP numarazãodadak. 
Então: 
k (P P P) P 1 
P 
Introduzindo as coordenadas de 
P ,P eP 
1 2 
+ 
x x1 x2 
M 
+ 
y y1 y2 
M 
6. BARICENTRODEUM TRIÂNGULO 
e 
Isolando-sexey: 
e 
Casoparticular 
Se k = -1, então o ponto coincide com o do 
segmentoP P . Dondeseinfereas fórmulas: 
e 
Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força 
paraselevantar o sistemaemequilíbrio. 
Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pela 
intersecçãodas medianas. 
1 1 1 2 2 2 
1 2 
1 2 
P ponto médio 
a) Definição 
y2 
y 
y1 
P 
P1 
P2 
x1 x x2 x 
k x x 
x x 
= 
- 
- 
1 
2 
k y y 
y y 
= 
- 
- 
1 
2 
x x kx 
k 
= 
- 
- 
1 2 
1 
y y ky 
k 
= 
- 
- 
1 2 
1 
P P 
2 
1 2 = = 
2 
= 
2 
=
y 2 
AM 
3 
1 
AM 
3 
+ + 
3 
+ + 
- 
2 
= yA yB yC 
G 3 
A A B B C C 
(AMG) AG 
Então : AG 
Exercícios 
Jacir. J. Venturi 
b) Cálculo 
DadootriângulodevérticesA=(x ,y ),B=(x ,y )eC=(x ,y ). 
Obaricentro G divide a mediana AM 
numa razão facilmente determiná-vel: 
Introduzindoas abscissas : 
- 
- 
Mas: 
Substituindo-se 2 em 1 tem-se: 
- 2 
3 
2 
Analogamenteparaaordenadadobaricentroobtém-se: 
A 
G 
B M C 
ou x x x 
G 
= A M 
x x 
x x 
G A 
G M 
= -2 1 
x x x 
M 
= B C 
2 
x x x x 
G 
= A B C 
"Quando morreres, 
só levarás contigo aquilo que tiveres dado." 
Saadi (1184-1291), poeta persa. 
Determinar as coordenadas dos pontosP eP que dividem o 
segmentoA=(3, - 1)eB=(0, 8) em 3 partes iguais. 
1 2 
Resp.:P =(2, 2) eP =(1, 5) 
1 2 
01. 
2 
MG 
2 
1 
MG 
= - 
= - 
- 
= =
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
02. 
B = (4, 5) deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com- 
primento quintuplique? 
03. 
04. 
  Até  que  ponto  da  reta  o  segmento de extremos A = (1, - 1) e  
05.  
Resp.: P = (16, 29) 
  O  baricentro  de um  triângulo  ABC  é  o  ponto  G = (4, 0)  e  
M = (2, 3) o ponto médio de BC . Achar as coordenadas do vértice A. 
Resp.: A= (8, - 6) 
  Num  triângulo  ABC,  são  dados  os   vértices   A  = (- 4, 10)  e 
B = (8, -1). Determinar o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situados  
respectivamente sobre os eixos y e x. 
Resp.: G = (0, 3) e C = (- 4, 0) 
Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que  
é dividido em três partes iguais pelos pontos P  = (- 1, 3) e P  = (1, 5). 1 2 
Resp.: A = (- 3, 1) e B = (3, 7) 
7. SISTEMA POLAR 
No plano, a importância do sistema polar só é suplantada pelo  
sistema  cartesiano.  É  utilizado,  entre  outras  disciplinas,  em  Cálculo  
Diferencial e Integral, onde o sistema polar apresenta próceras vantagens.  
Mais especificamente, na representação de certas curvas e em problemas  
relativos  a  lugares  geométricos.  Na  prática  também  empregado  na  
navegação, aviação, etc.  
O  sistema  polar  é  carac- 
terizado no espaço bidimensional  
por  uma  reta  orientada  p  e  um  
ponto O pertencente a tal reta. 
O 
P 
p 
r 
q 
p ® eixo polar do sistema 
O® pólo do sistema 
41
Jacir. J. Venturi 
O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas 
b) Convenção 
+ 
r q 
distânciapolar ouraiovetor 
argumento anomalia ângulopolar 
O p 
- 
polares: 
P = ( , ) 
onde: 
=OP( 0) é a deP. 
(0º <2 ) é o , ou deP. 
Reciprocamente, dado um par ordenado de números reais, é 
possível localizar no plano umúnico ponto, do qual aqueles números são 
ascoordenadas polares. 
Oargumento será considerado positivo 
se sua orientação for a 
do sentido anti-horário e se no 
sentido horário. O raio vetor é 
quando assinalado no lado terminal de 
e quando no seu prolonga-mento. 
OBSERVAÇÃO: 
Tenha-se presente que o argumento admite múltiplas 
determinações: 
2k + . 
Na prática, utiliza-se o em que o raio 
das circunferências concêntricas aumentamde1em1cm, e os ângulos de 
15º em 15º. Compensa-se a ausência do papel quadriculado polar com 
réguamilimetradaetransferidor. 
Exemplos: 
Representar ospontosem coordenadas polares: 
A=(5, 30º) 
B=(4,150º) 
C=(7, - 30º) 
D=(4, - 120º) 
negativo 
positivo 
negativo 
c) Representaçãográficadepontos 
papel quadriculado polar 
r r³ 
q £q p 
q 
r 
q 
q 
p q
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 180º 
180º O 
d) Gráficodeumaequaçãoem coordenadaspolares 
150º 
165º 
120º 
135º 
105º 
90º 
75º 
60º 
45º 
30º 
15º 
O 1 2 p 
1 
q 
OBSERVAÇÃO: 
É lícito admitir-se a distância 
polar afetada do sinal de menos. 
Como = f( ) haverá uma 
correspondente alteração para 
. É fácil anuir na figura ao lado, 
que os pontos C e D por 
exemplo, podem se apresentar 
com outras coordenadas po-lares. 
Assim: 
C=(7,330º) ouC=(- 7,150º) 
D=(4,240º) ouD=(- 4,60º) 
A representação gráfica de uma equação em coordenadas 
polares se obtém arbitrando-se valores para a variável independente e 
calculando-seoscorrespondentesvalorespara . 
Exemplo: 
Construir o gráficode =1+cos . 
r q 
q 
q 
r 
r q 
TABELA DE VALORES 
150º 
210º 
240º 
270º 
300º 
330º 
0º 
30º 
60º 
90º 
120º 
-30º 
30º 
B 
A 
P 
D C
Jacir. J. Venturi 
um polar; ou de um polar para o cartesiano. 
y 
Py 
y 
OBSERVAÇÃO: 
A  curva  da  página  anterior  denominada  cardióide  apresenta  
simetria em relação ao eixo polar p, pois cos q é igual a cos (- q). 
8. PASSAGEM DO SISTEMA POLAR  
PARA O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 
Por vezes, é oportuno passar de um referencial cartesiano para  
P 
O x       P                            x º p x 
y 
x 
Exercícios 
r 
q 
Fazendo o eixo polar p coincidir com o  
eixo  cartesiano  x  e  O  concomitan- 
temente  pólo  e  origem  dos  dois  
sistemas. 
Portanto: 
P = (x, y) ® coordenadas cartesianas 
P = (r, q) ® coordenadas polares 
Do triângulo retângulo OP P obtém-se as relações: x 
1) r2 = x2 + y2 
2) x  = r cos q 
3) y  = r sen q 
4) tg q =  
OBSERVAÇÃO: 
Além dos dois sistemas mencionados, há outros menos usuais,  
quais  sejam:  sistema  bipolar,  sistema  pólo-diretriz,  sistema  de  
coordenadas baricêntricas, etc.  
"É bom ter dinheiro e as coisas que o dinheiro pode comprar. Mas é  
bom também verificar de vez em quando se não estamos perdendo  
as coisas que o dinheiro não pode comprar." 
 George Horace Lorimer 
44
A = (-3, 3 3) 
- 
(3 3, 3) 
- 
æ p 
çè 
ö 
÷ø 
æ p 
çè 
6 
6, 
1 1 2 = ÷ø 
r æ + q 
r 
6, 2 
çè 
= 
ö 
÷ø 
3 
ö 
sen 2 5 
2 
( 3 ,-1) 
(- 3,-1) 
ö 
÷ø 
ö 
÷ø 
æ p 
= - 
P 2, 
çè 
6 
æ p 
= 
Q 2, 7 
çè 
6 
r q 
r q - 
ö 
÷ø 
æ p 
= - 
çè 
3 
A 2, 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 01. 
02. 
03. 
04. 
Passar dosistemacartesianoparaosistemapolar: 
a) Resp.: 
b)B= Resp.: 
- r r- q 
c)x +y 3x=0 Resp.: ( 3cos )=0 
r r q 
d) (x +y ) =3(x y ) Resp.: =3 cos2 
e)x +y +xy=5 Resp.: 
f) x +y =0 Resp.: 
a) Resp.: 
b) Resp.: 
2 
q + 
q 
sen cos 
c) =k sen2 Resp.: (x +y ) =2k xy 
d) cos 2 =2 Resp.: (x y ) =2(x + y ) 
Resp.: 
Resp.: 
2 2 
2 2 2 2 2 4 2 
2 2 
2 2 2 22 2 
2 2 2 2 2 2 2 
- 
2 
Passar dosistemapolar paraosistemacartesiano. 
Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de 
emrelaçãoaoeixopolar. 
ö 
÷ø 
æ p 
çè 
3 
2, 
ldemparaopontoBdecoordenadascartesianas(4, 3). 
ö 
÷ø 
æ 
çè 
5, arc cos 4 
5
Jacir. J. Venturi 
2 
r £q£p 
O P 
y 
x 
(semi-circunferência de 
raio igual a 2) 
r 2 2 
q 
2 22 2 2 2 
Tal curva do 4.º grau, descoberta por 
Jacques Bernoulli, é denominada 
Lemniscata (do grego lemnisko que 
significaornato, laçodefita), 
Série B 
05. 
r q 
r 
= k 
q 
ö 
÷ø 
Resp.: (x +y ) = a (x y ) 
æ 
arc tg y 
ö 
2k æ arc tg = 
y 
çè 
2 2 
æ 
x2 y2 a 
+ = x 
Resp.: 
06. 
07. 
Representar =2e0 
Transformar a equação =a cos2 , do sistema polar para o 
sistemacartesiano. 
Passar dosistemapolar paraosistemacartesiano: 
a) =k Resp.:x +y =k 
2 2 2 
(espiral deArquimedes) 
b) Resp.:x +y = 
(espiral hiperbólica) 
c) log =k Resp.: 
(espiral logarítmica) 
- 
r q 
OBSERVAÇÃO: 
a 
2 
x 
÷ø 
arc tg y ö 
çè 
2 
2 
x 
k 
÷ø 
çè
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA O OBSERVAÇÃO: 
Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivos 
gráficos: 
p 
O 
p 
a) espiral de Arquimedes 
b) espiral hiperbólica 
c) espiral logarítmica 
O 
p 
Aespiral logarítmica é aplicada emMecânica dos Solos, por ser a 
forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço 
terroso. 
Deduzir a fórmula da distância entre os pontosP =( , ) e 
P =( , ),em coordenadaspolares. 
Resp.: 
SUGESTÃO: 
2 2 - 2 
2 
2 
1 2 2 1 = r + r - 2r r cos(q - q ) 
d =(x x ) +(y y ) 
Substitua: 
x = cos ,x= cos ,y = sen ,y= sen 
1 1 1 
2 2 2 
2 1 2 1 
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 
r q 
r q 
- 
r q r q r q r q 
08. 
d2 
1 
2
Jacir. J. Venturi 
09.Construir o gráfico de r = 3 + sen q. 
Resp.: 
210º 330º 
240º 270º 300º 
150º 
180º 
120º 
90º 
60º 
45º 
30º 
p 
3 
4 
3 
O 
"Deus não dá fardos pesados para ombros fracos." 
Adágio popular
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
BIBLIOTECA DE ALEXANDRIA 
A destruição da Biblioteca de Alexandria, no Egito, às  
margens do Mar Mediterrâneo, talvez tenha representado o  
maior crime contra o saber em toda a história da humanidade. 
Em  48  a.C.,  envolvendo-se  na  disputa  entre  a  
voluptuosa  Cleópatra  e  seu  irmão,  o  imperador  Júlio  César  
manda  incendiar  a  esquadra  egípcia  ancorada  no  porto  de  
Alexandria.  O  fogo  se  propaga  até  as  dependências  da  
Biblioteca,  queimando  cerca  de  500  mil  rolos.  Restaram  
aproximadamente 200 mil. 
Depois  que  o  imperador  Teodósio  baixou  decreto  
proibindo  as  religiões  pagãs,  o  Bispo Teófilo  –  Patriarca  da  
cidade, de 385 a 412 d.C. – determinou a queima de todas as  
seções que contrariavam a doutrina cristã. 
Em  640  d.C.,  o  califa  Omar  ordenou  que  fossem  
destruídos  pelo  fogo  todos  os  livros  da  Biblioteca  sob  o  
argumento de que "ou os livros contêm o que está no Alcorão e  
são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lê-los". 
Todos  os  grandes  geômetras  da  Antigüidade  se  
debruçaram sobre os seus vetustos pergaminhos e papiros.  
Euclides (c.325 - c. 265 a.C.) fundou a Escola de Matemática  
na renomada Biblioteca.  
Fazia parte de seu acervo a mais conspícua obra de  
Euclides, Os Elementos, que constitui um dos mais notáveis  
compêndios de Matemática de todos os tempos, com mais de  
mil edições desde o advento da imprensa (a primeira versão  
impressa apareceu em Veneza, em 1482). Segundo George  
Simmons, "a obra tem sido considerada responsável por uma  
influência sobre a mente humana maior que qualquer outro  
livro, com exceção da Bíblia ".  
A já citada Biblioteca estava muito próxima do que se  
entende  hoje  por  Universidade.  E  se  faz  apropriado  o  
depoimento  do  insigne  Carl  B.  Boyer,  em  A  História  da  
Matemática: "A Universidade de Alexandria evidentemente não  
diferia muito de instituições modernas de cultura superior. Parte  
dos  professores  provavelmente  se  notabilizou  na  pesquisa,  
outros  eram  melhores  como  administradores  e  outros  ainda  
eram conhecidos pela capacidade de ensinar. Pelos relatos que  
possuímos,  parece  que  Euclides  definitivamente  pertencia  à  
última categoria. Nenhuma nova descoberta lhe é atribuída, mas  
era conhecido por sua habilidade de expor. Essa é a chave do  
sucesso de sua maior obra, 'Os Elementos' ". 
Pela  trigonometria,  um  outro  diretor  da  Biblioteca,  
Eratóstones  (276  -  194  a.C.),  comprovou  a  esfericidade  da  
Terra e mediu com precisão e engenhosidade o perímetro de  
sua circunferência.  
49
Num dos rolos de papiro, encontrou a informação de  
que na cidade de Siena (hoje Assuã), ao sul de Alexandria, ao  
meio-dia do solstício de verão (o dia mais longo do ano, 21 de  
junho, no hemisfério norte) colunas verticais não projetavam  
qualquer sombra; ou seja, o Sol se situava a prumo. Entretanto,  
o nosso conspícuo geômetra observou que no mesmo dia de  
solstício,  as  colunas  verticais  da  cidade  de  Alexandria  
projetavam uma sombra perfeitamente mensurável.  
Aguardou  o  dia  21  de  junho  do  ano  seguinte  e  
determinou  que  se  instalasse  uma  grande  estaca  em  
Alexandria e que se escavasse um poço profundo em Siena.  
Ao  meio-dia,  enquanto  o  Sol  iluminava  as  
profundezas do poço de Siena (fazia ângulo de 90º com a  
superfície  da  Terra),  em  Alexandria,  Eratóstenes  mediu  o  
ângulo  q  =  7º12',  ou  seja:  1/50  dos  360º  de  uma  circun- 
ferência. 
Raios de Sol 
Estaca 
Superfície da Terra 
Portanto,  o  comprimento  do  meridiano  terrestre  
deveria ser 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena.  
Por  tais  cálculos,  conjecturou  que  o  perímetro  da  
Terra seria de 46.250 km. Hoje sabemos que é de 40.076 km.  
Aproximação notável, considerando-se a época da medição. 
Precedeu  a  experiência  um  feito  digno  de  nota:  
Alexandria  e  Siena  situavam-se  a  grande,  porém,  
desconhecida  distância.  Para  medi-la,  Eratóstenes  
determinou que uma equipe de instrutores com seus camelos  
e  escravos  a  pé  seguissem  em  linha  reta,  percorrendo  
desertos, aclives, declives e tendo que, inclusive, atravessar  
o rio Nilo. Distância mensurada: 5.000 estádios ou cerca de  
925 km. Ademais, as cidades de Alexandria e Siena não estão  
sobre  o  mesmo  meridiano  como  supunha  Eratóstenes,  
havendo uma diferença de quase 3 º. 
(Do autor) 
Jacir. J. Venturi 
50 
Poço 
m 925 k 
 Siena 
q 
Alexandria
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA C A P Í T U L O 
Sistemas de coordenadas 
no espaço tridimensional 
1. SISTEMACARTESIANOORTOGONAL 
Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas 
variáveis. Na espacial, três variáveis. Nesta se exigirá maior esforço de 
visualização das figuras. O conjunto de pontos do espaço tridimensional 
seráindicadopor E 3 
. 
Sejamx, y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares 
entre si e concorrentes no ponto O. Destarte o triedro (Ox, Oy, Oz) é 
triretângulo. 
Principais elementos : 
- pontoO ® 
origemdosistemacartesiano. 
- retas orientadas ® 
eixos cartesianos. 
- planos xy, xz, yz ® 
planos cartesianos. 
z 
P2 
PZ P3 
P 
z 
O y 
x 
Px P1 
Py 
x 
y 
Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planos 
coordenados e juntamente com estes individualiza-se um paralelepípedo 
retângulo, cujasfaces interceptamos eixosxemP,yemP ezemP . 
x y Z 
Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de 
números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas
Jacir. J. Venturi 
cartesianas ortogonais : 
P=(x, y, z) 
onde: 
x=OP 
abscissa 
x 
y=OP 
ordenada 
y 
z=OP 
cota 
z 
Osistema cartesiano emestudo estabelece uma correspondência 
bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais. Os planos 
coordenados dividem o espaço em 8 regiões, denominadas oitantes ou 
octantes. 
Particularidades 
a)O=(0, 0, 0) origemdosistemacartesiano. 
b)P = (x, y, 0),P = (x, 0, z),P =(0, y, z) representamas projeções 
1 2 3 
ortogonais dopontoPsobreos planoscoordenados xy, xzeyz. 
c)P =(x, 0, 0),P = (0, y, 0),P =(0, 0, z) representamas projeções 
x y z 
ortogonais dopontoPsobreos eixos coordenadosx, y e z. 
d) Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um 
sistemadecoordenadas oblíquas. 
São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar. 
comas triplas (x , y , z ) e (x ,y , z ), bemcomoacondiçãodeigualdadede2 
1 1 1 2 2 2 
triplas(item3, docapítulo3). 
Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo o 
estudo de espaços a 4 ou mais dimensões. Einstein, em sua Teoria da 
Relatividade apóia-se em um espaço de 4 dimensões. E toda a nossa 
estrutura mental, fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensões 
sofre uma vigorosa transformação. Por exemplo, num espaço de 4 
dimensões (não representável geometricamente), a intersecção de dois 
planos podeser umúnicoponto.Ouainda, é factível a retiradadeumobjeto 
(ou um ponto) do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas 
paredes. 
Dados dois pontosP = (x , y , z ) eP = (x , y , z ), a distância d 
1 1 1 1 2 2 2 2 
® 
® 
® 
® 
2. DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
entre os pontos P  e P  é dada pela fórmula: 1 2 
  2 
  2 
  2 
d (x2 x1) (y 2 y 1 
) (z 2 z 1 
) 
Para  a  demonstração,  considere  d  a  diagonal  de  um  
paralelepípedo de vértices opostos P  e P . Ou mais facilmente, veremos  1 2 
no capítulo 5 (multiplicação escalar de 2 vetores). 
d 
P2 z  – z 2 1 
x  – x 2 1 
y  – y 2 1 
P1 
z 
O 
y 
x 
3. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA. 
A  demonstração  é  análoga  ao  espaço  bidimensional.  A  
determinação das coordenadas do ponto P = (x, y, z) que divide o segmento  
P  = (x , y , z ) e P  = (x , y , z ) numa certa razão k, se faz pelas fórmulas: 1 1 1 1 2 2 2 2 
           
x x kx 
 
 z z kz 
 
 y y ky 
 1 2 
1 k 
 1 2 
1 k 
 
 
 1 2 
1 k 
Para k = -1, tem-se as coordenadas do ponto médio de P  P 1 2. 
4. BARICENTRO DO TRIÂNGULO 
Também  aqui  a  dedução  é  análoga  ao  plano.  Consideremos  o  
triângulo de vértices A = (x , y , z ), B = (x , y , z ) e C = (x , y , z ). O  A A A B B B C C C 
baricentro G é obtido pelas fórmulas : 
53
Jacir. J. Venturi 
x 
+ + 
x x x 
= A B C 
G 3 
y 
+ + 
y y y 
= A B C 
G 3 
z 
+ + 
z z z 
= A B C 
G 3 
Exercícios 
"Existe umparalelismo fiel entre o progresso social e a 
atividade matemática; os países socialmente atrasados são 
aqueles emque a atividade matemática é nula ou quase nula." 
3 - 
3 2 
01. 
A=( , 0, 1),B=( , 0, 1),C=(0,2 , 2) e D=(0, 0, 4). 
02. 
SUGESTÃO: 
03. 
04. 
SUGESTÃO: 
(JACQUES CHAPELLON) 
Calcular a somadas arestas dotetraedroregular devértices 
Provar queos pontosA=(2, 0, 1), B = (3, 1, 5), C = (4, 2, 9) são 
colineares. 
AC AB BC 
Achar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontos 
A=(1, 1, 3)eB=(2, 2, 1). 
Verificar seos pontos 
sãovértices dealgumtriânguloretângulo. 
Resp.: 
Bastar verificar qued =d +d 
Resp.: 
Calcule 2 , 2 , 2 
eobserveque 
= + (Pitágoras). 
- 
ö 
0, 1 
æ - , 0 
A = (2, 1, 2), B = (1, 2, -1) eC= (-1, 0,- 1) 
AB BC AC 
AC AB BC 
2 2 2 
12 3 
ABC é triângulo re-tângulo 
com o ângu-lo 
reto emB. 
Resp.: 
÷ø 
çè 
3
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 05. 
06. 
07. 
08. 
09. 
10. 
Nafigura, achar ascoordenadas dos pontosA, B,CeP. 
- - 
Provar queotriânguloA=(1, 2, 0), B = (4, 0, 1) e C = (2, 1, 2) 
éeqüilátero. 
Resp.: A=(2, 4, 0) 
B=(2, 0, 3) 
C=(0, 4, 3) 
P=(2, 4, 3) 
Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento 
narazão2. DadosA=(2, 5, 1)eB=(3, 0, 2). 
- - 
Resp.:P=(4, 5, 3) 
No sistema cartesiano ortogonal, determinar as distâncias do 
pontoP=(1, 4, 2) aoseixoscoordenados x, y e z. 
Resp.: 
Achar os pontos doplano xz cujadistânciaao ponto 
é2eaopontoB=(2, 0, 1) é 3 (Barsotti). 
Resp.: 
ö 
æ 
, 0, 2 
2 
ö 
æ 
, 0, 2 
P' 2 
Numtriângulo ABC são conhecidos os vértices B = (2, 1, 3) e 
C=(0, 5, 4) e tambémobaricentroG=(1, 2, 3). Calcular o vérticeA. 
Resp. : A = (1 , 0, 2) 
AB 
- - 
- - 
A=(1, 1, 0) 
z 
3 
O 
B 
P 
2 A 
4 y 
x 
C 
2 5, 5, 17 
e 
÷ ÷ 
ø 
ç ç 
è 
- 
- 
= 1 
2 
P 2 
÷ ÷ 
ø 
ç ç 
è 
- 
- 
= 1 
2 
2
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Os pontos A, B, M são colineares e M é o ponto médio de . 
Sabendo-se que A = (1, 3, 5) e M = (0, 1, 2), achar as coordenadas carte-sianas 
dopontoB. 
AB 
Resp.:B=( 1, 1, 1) 
Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o 
baricentro G=(2, 2, 3) e os pontos médios de dois lados, M = (1, 2, 4) e 
M =(2, 3, 3). 
Resp.: (2, 0, 3), (0, 4, 5), 
(4, 2, 1) 
Achar o volume da pirâmide de base OABCePovértice supe-rior. 
Resp.: 12u.v. 
Abaseéum quadrado, cujoladoé2. 
AalturahéacotadopontoP, ouseja, h = 9. 
= 1 
3 
( ) 
Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de 
extremidades A = (1, 1, 2) e B = (4, 5, 6) para que se triplique o seu 
comprimentonosentidodeAparaB? 
Resp. : (10, 17, 14) 
OpontoPpertence ao eixo z e eqüidista dos pontos A = (2, 3, 0) 
eB=(0, 1, 2). Encontrar P. 
Resp.: P=(0, 0, 2) 
Dados dois vérticesA=(9, 5, 12)eB=(6, 1, 19) deum parale-logramo 
ABCD e P = (4, 1, 7) o ponto de intersecção de suas diagonais, 
determinar os vérticesCeD. 
Resp.: 
- 
- 
- 
- 
- 
- - 
1 
2 
DadosO=(0, 0, 0),A=(2, 0, 0),B=(2, 2, 0),C=(0, 2, 0)eP=(1, 1, 9). 
SUGESTÃO: 
C= (-1, 3, 2) eD= (2, -3, -5) 
Jacir. J. Venturi 
V S h OABC
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA SUGESTÃO 
Asdiagonais deum paralelogramo 
sebissecamem seu ponto médio. 
5. SISTEMACILÍNDRICO 
No espaço tridimensional o sistema cartesiano reina quase 
soberanamente. Em alguns tópicos da engenharia e em cursos de 
licenciatura, dois outros sistemas tambémsão usuais: o sistema cilíndrico 
eosistemaesférico. 
a 
a) Considere emumplano umsistema polar, cujopóloéOecujo 
eixo polar é p; alémdisso, considere umeixo z de origemOeortogonal ao 
plano . Dado um ponto qualquer P do espaço E , faz-se a seguinte 
construção, ilustrada na figura abaixo: P é projetado ortogonalmente sobre 
oplano esobreoeixoz;P' eP sãoas respectivasprojeções. 
z 
P P z 
z 
O 
P’ 
r 
q 
a p 
Assim, ficam determinados três números , e z que são suas 
coordenadascilíndricas: 
onde: 
=OP'( 0) é a deP. 
(0º <2 ) é o deP. 
a 
a 
r q 
r q 
r r³ 
q £q p 
3 
z 
P=( , , z) 
distânciapolar ouraiovetor 
argumento, anomaliaouângulopolar
Jacir. J. Venturi 
z=OP éacotadeP. 
z 
Reciprocamente, dado um terno ordenado de números reais, 
pode-se localizar umponto no espaço, do qual os números dados são as 
coordenadas cilíndricas; portanto, háumacorrespondênciabijetoraentreo 
conjunto dos pontos do espaço e o conjunto de ternos ordenados de 
números reaisquesãoascoordenadas cilíndricas. 
OBSERVAÇÃO: 
A denominação - cilíndrica - provém de na figura se admitir um 
cilindrodebasecircular, cujoraioéaconstante noplano , e cuja 
geratrizéPP', quegiraemtornodez. 
b) 
Considera-se os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida 
Passagemdo sistema cilíndrico para o sistema cartesiano 
com o eixo das abscissas, o pólo coincida com a origem e o eixo z seja 
comumparaosdois sistemas. 
y 
y 
x 
O 
a 
q 
r 
Py 
Px P’ 
x º p 
P 
z 
Pz 
Então: 
P=(x, y, z)em coordenadas cartesianas 
P=( , , z)em coordenadas cilíndricas 
Observe-sequezécoordenadahomônimaparaosdoissistemas. 
OtriânguloretânguloOP P' doplano , estabeleceasfórmulas: 
x 
r a 
r q 
a 
ortogonal.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 1) r 
2 =x 2 +y 
2 
2)x = r cos 
q 
3)y = r sen 
q 
4) tg q 
= 
O 
x q r 
P y P’ x 
y 
x 
Exercícios 
"Como pode a Matemática, sendo produto do pensamento 
humano, independente da experiência, se adaptar tão 
admiravelmente aos objetos da realidade?" 
ALBERT EINSTEIN (1879-1955) físico alemão. 
Naturalizou-se cidadão norte-americano em 1940. 
Passar dosistemacartesianoparaosistemacilíndrico. 
ö 
, 1 
2 
= æ- , 2 
a) Resp.: 
b)B=(0, 1, 3) Resp.: 
æ p 
= , 2 
A 2 
ç ç 
è 
, 3 
2 
4 
ö 
æ p 
= , 3 
- r r q 
c) (x 2 +y 2 ) 2 =z 2 (x 2 y 2 ) Resp.: 4 =z 2 2 
cos2 
ö 
÷ ÷ 
ø 
Efetuar a passagemdosistemacilíndricoparaosistemacarte-siano. 
ö 
A 6, 2 
æ - 
a) Resp.: 
p 
b)B=(1,330º, ) Resp.: 
r q 
æ 
= - , p 
c) sen2 =2z Resp.: xy=z 
2 2 2 
01. 
02. 
A = (-3, 3 3, - 2) 
÷ø 
çè 
2 
A 1 
÷ø 
çè 
2 
B 1, 
÷ø 
çè 
p 
= , 2 
3 
ö 
÷ ÷ 
ø 
ç ç 
è 
, 1 
2 
2 
B 3
Jacir. J. Venturi 
6. SISTEMAESFÉRICO 
SejaO(pólo) umponto do espaço E pelo qual passa uma reta 
orientada z (eixo polar). O plano é passante por z. P umponto do espaço 
q r 
a 
b 
O 
P 
z 
Ø 
ø 
S 
Plano meridiano 
de Greenwich 
P 
N 
q 
a 
Plano equatorial 
tridimensional. O semi-plano de bordo z 
contémP. 
Dado o ponto P, ficamdeterminados os 
três números , e ø, que são suas 
coordenadasesféricas: 
P = (r, q, ø) 
= OP, a 
deP; 
a deP é a medida do ân-guloqueoeixozformacomOP; 
ø a deP é a 
medida do ângulo que o plano forma com 
osemi-plano . 
Reciprocamente, dado um terno ordenado de números reais, é 
possível localizar no espaço umúnico ponto do qual os números do terno 
sãoascoordenadas esféricas. 
Para que a umpontocorresponda umúnico terno de coordenadas 
esféricas, costuma-sefazer as seguintes restrições : 
0 
0 
0 ø<2 
Na figura ao lado, tem-se uma aplicação 
notável do sistema esférico: as coordena-das 
geográficas deumpontoP.Oânguloøé 
a longitude de Pe a sua colatitude. Re-corde- 
se da geografia que colatitude é o 
complemento da latitude, esta representada 
nafigurapeloângulo . 
OBSERVAÇÃO: 
Adenominação provêmdo fa-todeseimaginar 
umasuperfícieesférica 
que contémP, de centro emOecujo raio 
éaconstante . 
a) 
distância polar ou raio vetor 
colatitude 
longitude ou azimute 
esférica 
3 
a 
b 
r q 
r 
q - 
- 
a 
b 
r³ 
£q£p 
£ p 
q 
a 
r
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA b) Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano 
ortogonal 
a 
Faz-se coincidir o plano com o plano xz. O ponto P tem 
projeções sobreos eixos cartesianos ortogonais emP,P e P . 
OpontoP' é a projeçãodePsobreoplanocartesianoxy. 
x 
z 
Emrelaçãoaosdois sistemas, tem-se : 
P=(x, y, z) coordenadascartesianasdeP. 
P=( , , ø) coordenadasesféricas deP. 
Por construção, observe-se que P P = OP'. Do triângulo retângulo 
z= cos 
OP P, obtém-se: 
PP= sen 
e 
® 
rq ® 
r q 
r q 
x y z 
z 
z 
z 
x 
a Px 
O 
Ø 
P’ 
b 
y 
y Py 
q r 
z 
Pz 
P 
Pz P 
z 
q 
r 
O
OtriânguloretânguloOP P' fornece: 
* x=OP' cosø 
masOP' =PP= sen 
x= sen cosø 
* y=OP senø ou 
x 
' 
y= sen senø 
2 2 2 2 2 2 2 
Exercícios 
Jacir. J. Venturi 
x 
O 
Ø 
P y P’ x 
= y 
x 
Grandesobrasnãonascemapenasdegrandesidéias. 
A = (2 2, 90º , 315º ) 
ö 
æ - 
= 
, 5 2 
2 
B 5 
22 2 
A = (9, - 3 3, 6) 
* tg ø 
Cálculode 
Dos doistriângulos retângulos emdestaque : 
OP 2 =x 2 +y 2 = P P 
2 
e 
=PP +z ou =x +y +z 
Passar dosistemacartesianoparaosistemaesférico: 
a)A=(2, 2, 0) Resp.: 
b) Resp.:B=(5, 135°, 45°) 
c) 5x 5y =8z Resp.:5 sen cos2ø=8cos 
ö 
æ p 
a) Resp.: 
z 
z 
z 
r q 
r q 
r q 
r 
r r 
- 
- r q q 
' 
Transformar o sistemaesféricoemsistemacartesianoortogo-nal: 
01. 
02. 
÷ ÷ 
ø 
ç ç 
è 
2 
, 5 
2 
÷ø 
çè 
- 
p 
= 
6 
, 
3 
A 12,
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA p p 
b) = 
æ ö 
Resp.:B=(0, - 5, 0) 
, 3 
2 
c)ø=45° Resp.: y = x 
Multipliqueambosos membrospelatangente. 
d) q 
=30º Resp.: 3(x +y ) = z 
Multipliqueambosos membrospeloco-seno. 
e) r - 3 rq cos =0 Resp. :x +y +z - 
3z=0 
Dadas as coordenadas esféricas de , 
obtê-lasem coordenadascilíndricas. 
Resp. : P = (2, 30°, 2 ) 
Sist. esférico sist. cart. sist. cilíndrico 
Dosistemacilíndrico, passar paraosistemaesférico: 
Resp. : 
SUGESTÃO: 
SUGESTÃO: 
SUGESTÃO: 
- 
® ® 
2 2 2 
2 2 2 2 
03. 
04. 
P = (2 2, 45º, - 30º ) 
ö 
æ p 
= , 2 
æ p 
= 
A 2 10, arc cos 10 
O RATO PLANEJADOR 
A 6, 3 
, 3 
Dois ratos passeavam despreocupadamente. O primeiro 
rato vangloriava-se do seu doutoramento em planejamento nos 
EUA. Fazendo tocaia, um gato saltou e pôs a pata em cima do 
segundorato. Este, aterrorizado, suplicouaoratoplanejador: 
Oquevocêfazaí parado?Ajude-me! 
Estouplanejando! 
Planejandooquê?Socorro! 
Jásei: vireum pitbull! 
Mas como? 
Bem... euplanejo, vocêtemqueexecutar! 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
÷ø 
çè 
2 
B 5, 
÷ø 
çè 
4 
ö 
÷ ÷ 
ø 
ç ç 
è 
4 
10
Jacir. J. Venturi 
C A P Í T U L O 
Vetores 
1. SINOPSEHISTÓRICA 
A história da matemática raramente apresenta eventos 
bombásticos. As formulações inicialmente tênues e difusas percorremum 
espinhosotrajetoatéatingir a magnitudedeseudesenvolvimento. 
Oconceito de vetor surgiu na Mecânica comoengenheiro flamen-go 
Simon Stevin - o "Arquimedes holandês". Em1586 apresentou emsua 
, o problema da composição de forças e enunciou 
Estática e Hidrostática 
uma regra empírica para se achar a soma de 2 forças aplicadas num 
mesmoponto. Tal regra, a conhecemos hojecomoregradoparalelogramo. 
Os vetores aparecem considerados como "linhas dirigidas" na 
obra Ensaio Sobre a Representação da Direção 
publicada em1797 por 
Gaspar Wessel, matemáticodinamarquês. 
A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX comos 
trabalhos do irlandês WilliamHamilton (notavelmente precoce: aos 5 anos 
lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico 
norte-americanoJosiahGibbs. 
2.GRANDEZASESCALARESEVETORIAIS 
Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número 
real, acompanhado pela unidade correspondente. Por exemplo: 5 kg de 
massa, 10m 2 
de área, 12 cmde largura. Tais grandezas são chamadas de 
. Outras grandezas necessitamalémdonúmeroreal, tambémde 
escalares 
uma direção e de umsentido. Exemplificando: a velocidade, a aceleração, 
o momento, o peso, o campo magnético, etc. Sãoasgrandezas . 
3. DEFINIÇÕES, ETIMOLOGIAENOTAÇÕES 
vetoriais 
a) Vetor 
DEF. 1: Vetor é umatriplaconstituídadeumadireção, umsentidoe 
um númeronãonegativo. 
b) Vetor 
DEF. 2: Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de 
mesmadireção, de mesmo sentidoede mesmo comprimento.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA c) Imagemgeométricaourepresentantedeum vetor 
imagem geométrica 
representante 
vetor imagem geométrica do veto 
abusus non tollit usum 
d) Etimologiadapalavravetor 
Vetor 
transportado, levado 
e) Notaçõesde vetor 
I. 
II. 
III. 
Na figura ao lado tem-se um 
conjunto de segmentos orientados de 
umúnico vetor. O segmento orientado é 
um conjunto de pontos, ao passo que 
vetor é um conjunto de segmentos 
orientados. Cada segmento orientado 
é, a rigor, a ou o 
deum vetor. 
A figura apresenta quatro segmen-tos 
orientados ou então quatro imagens 
geométricasdeum mesmovetor. 
Como abuso de linguagem, em-prega- 
se a palavra em vez de r. De 
acordo com a locução latina (o abuso não tolhe o 
uso) também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como 
imagemgeométricadovetor. 
Provém do verbo latino vehere 
: transportar, 
levar. é o particípio passado de , signifi-cando 
. Apesar de primitiva e até 
bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "trans-portado" 
atéB. 
Umaletralatinaminúsculaencimadaporumaseta. 
Exemplos: a, b,c…u, v,w... 
Umaletralatinaminúsculasobrelinhada. 
Exemplos: , , … , , ... 
Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre-sentantedovetor. 
Exemplo: 
AsomadopontoAcomovetor v éopontoB. 
vehere 
a bc u v w 
A 
B 
® ® ® ® ® 
®
Jacir. J. Venturi 
origem extremidade 
algébricas e é devida ao matemático alemão H. Grassmann (1809-1877). 
Tambémbastanteusual a notação v=AB 
z 
4 
O 
x 
1 
® 
ondeAéa eBéa dovetor. 
Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações 
IV.Umaternaordenadadenúmerosreais: v=(x ,y ,z ) 
5 y 
P 
B 
®v 
A 
®v 
A + v = B 
ou 
v = B - A 
® 
® 
® 
® 
® 
® 
OBSERVAÇÃO: 
® 
1 1 1 
® 
f) Módulo (| |) 
® 
Exemplo: 
v=(1, 5, 4) 
Nafigura v=(P - 
O) 
Comoabusodenotação 
tem-seainda 
v=(P - 
O)=P 
Usualmente, quandojáestiver fixadoosistemadecoordenadas, o 
representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a 
origemdosistema. 
v 
Éonúmeronãonegativoqueindicaocomprimentodovetor. 
Exemplo: 
Então | v |=4 
g) Vetor nulo ( ) 
0 
É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo iguala zero 
. O 
vetor nulotemcoordenadas (0, 0, 0) e suarepresentaçãográficaéaorigem 
dosistemadecoordenadas.
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
h) Vetor unitário 
É o vetor de módulo igual a 1. 
Exemplo: 
® 
v  
1 
i) Versor 
O  versor  de  um  vetor  v  não  nulo,  é  o  vetor  unitário  que  tem  a  
mesma direção e o mesmo sentido de  v . 
Exemplos: 
1.  
  
® 
w  
vers v ®  
 v 
2.  
   
vers 
O vetor unitário coincide com o seu próprio versor. 
j) Vetor oposto 
Dado um vetor AB o seu oposto é o vetor  BA e se indica por - AB.  
®  
® | v | 
Então: | v | = 1 
®  
então vers v  v 
® 
w  
vers 
® 
v  
®  
® 
v  
®  ®  
O vetor oposto de um vetor v é representado por - v.  
® 
v  
® 
–v  
®  
®  
3 
®  
então vers w  w 
4 
  
Exemplo: 
4. PARALELISMO DE VETORES 
a) Definição 
Dois  vetores  u  ®         ®  
e  v  de  mesma  direção  são  ditos  paralelos.  lpso  
facto,  suas  imagens  geométricas  podem  ser  representadas  sobre  uma  
mesma reta. 
67
Jacir. J. Venturi 
Os vetores u e v são paralelos e podem ser representados 
®v 
®u 
®u 
®v 
OBSERVAÇÃO: 
u v No entanto, as retas r e s são 
Os vetores e são 
paralelos ou colineares. 
paralelas e jamais colineares. 
®v 
®u 
A 
B 
r 
s 
b) Vetoresequiversosecontraversos 
contraversos 
®v 
®u 
equiversos 
®v 
®u 
Exemplo: 
® ® 
colinearmente: 
Face o exposto até aqui, podemos associar ao conceito de vetor a 
idéiadetranslação. Tal idéia, comoésabido, nãosetransferepara 
retas paralelas, uma vez que estas possuem posições fixas e 
determinadas. 
Exemplo: 
Dois vetores paralelos são se de mesmo sentido. Se 
desentidoscontrários, são . 
Exemplo: 
u e v são equiversos u e v são contraversos ® ® 
5.MULTIPLICAÇÃODEUMVETORPORUM ESCALAR 
a) Definição 
k 
® ® 
Seja umescalar e v umvetor. O produto do vetor v pelo número 
k 
® 
real érepresentadopor kv. Então, se:
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA I. 
lI. 
k>0 
Os vetoresvekvsãoequiversos. 
Exemplos: 
u(dado) 
1 
k<0 
Osvetoresvekvsãocontraversos. 
Exemplo: 
b) Casosparticulares: 
0( v )= 0 . 
® ® 
kv=0 k = 0 ou v = 0 . 
( 1) v = v onde v éoopostode v . 
c) Propriedades 
Nas expressões abaixo, m e n são escalares quaisquer e v e 
wsãovetoresarbitrários: 
I. Propriedade associativaem relação aos escalares. 
m(nv) = n(mv) = (mn) v 
II. Propriedadedistributiva em relaçãoàadiçãodeescalares. 
(m+n) v= mv+nv 
III. Propriedadedistributivaemrelaçãoàadiçãodevetores. 
m(v+w)=mv+mw 
lV. Sev =(x ,y ,z ), então: 
mv =m(x ,y ,z ) = (mx ,my ,mz ) 
Þ 
- - - 
1 1 1 
1 1 1 1 1 1 
®u 
2 
® 
® 
u (dado) 
® 
– 2u 
® ® 
® ® 
® ® 
® ® 
® ® ® ® 
® 
® ® ® 
® ® ® 
® ® 
® 
®
Jacir. J. Venturi 
6.COPLANARIDADEDEVETORES 
Os vetores u, v e w são coplanares se tiverem imagens geomé-tricas 
paralelas ao mesmo plano. Cumpre enfatizar: dois vetores são 
sempre coplanares, enquanto que três vetores podem ou não ser 
coplanares. 
Exemplos: 
® ® 
u, v e w são coplanares 
Convenção: 
a 
® ® 
u, v e w não são coplanares 
O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor; é coplanar a qualquer 
conjuntodevetores coplanares. 
b 
®w 
®v 
®u 
a 
®w 
®v 
®u 
7. ADIÇÃODEVETORES 
a) Definição 
Dados dois vetores u e ® v, para se obter a soma ® u + ® 
v, fixamos um 
® ® 
ponto qualquer A do plano u e v e consideramos os pontos B = A + u 
eC=B+® v, conformeafigura; nessascondições, u+® 
v =(C-A). 
Denotandopor diferençadepontos: 
u+v=(B-A) + (C-B) = (C-A) 
Donde AC é o vetor resultante, obtido 
daadiçãodeucomv. 
C 
®u 
A B 
®v 
® 
Geometricamente, a soma de n vetores (sendo n um número 
inteiro positivo qualquer) é feita considerando imagens geométricas dos
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem 
dovetor seguinte; o vetor somaéovetor quefechaapoligonal. 
Exemplos: 
Dados u,v e w,obter graficamenteasoma: 
Dados a) u + w = ? 
®w 
b) v + w = ? c) u + v + w = ? 
Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a 
®v 
poligonal, tendo por origem, a origemdo primeiro vetor e por extremidade, 
aextremidadedoúltimovetor. 
b) Sobaformadetriplas: 
Dados osvetores 
u=(x ,y ,z ) e v=(x ,y ,z ), entãou+ v=(x +x ,y +y ,z +z ). 
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 
c) Propriedades 
I. Comutativa: 
u+v=v+u 
Demonstração: Considereas imagens geométricas dos vetores u 
evrepresentadosnafigura. 
®u 
®w 
®u 
® ® 
u + w 
®w 
®v 
®u 
®w 
®v 
® ® 
v + w 
D C 
®v 
A B 
®v 
®u 
®u 
® 
® ® ® 
® ® ® ® 
® ® 
® 
1.º membro: 
® u + ® 
v = (B - A) + (C - B) = (C - A) 
2.º membro: 
v + u = (D - A) + (C - D) = (C - A) 
donde u + v = v + u (cqd) 
® 
® ®
Jacir. J. Venturi 
A Conseqüência 
Regra do paralelogramo: 
OBSERVAÇÃO: 
B 
C 
D 
®w 
®v 
®u 
® 8.SUBTRAÇÃODEVETORES 
a) Definição 
Dados osvetores u e v, definimosadiferença u -v por: 
® ® 
® ® 
u - v = u + (- v). 
A diagonal do paralelogramo cons-truídosobreas 
imagens geométricas de u e v representaasoma u + v . 
Sabe-se que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas. 
Para a "regra do paralelogramo" construído sobre as imagens 
geométricas de u e v demesmaorigemA, adota-seadiagonal que 
contémopontoA. 
A"regradoparalelogramo" é muitousual nacomposiçãodeforças 
em Mecânica. 
( u + v )+ w=u+(v+w) 
Demonstração : Sejamu,v ewvetoresdados. 
1.º membro: 
( u + v ) = (B-A) + (C-B) = (C-A) 
(u+v)+w=(C-A) + (D-C) = (D-A) 
2.º membro: 
(v+w)=(C-B) + (D-C) = (D-B) 
u+(v+w)=(B-A) + (D-B) = (D-A) 
Então: 
(u+v)+w=u+(v+w) (qed) 
u+0=u 
Dado um vetor u, existe um único vetor 
indicadopor - u, tal que : 
u+(- u ) = 0 
Ovetor ( - u ) é o vetor opostodeu. 
u+v=u+w v=w 
II. Associativa: 
III. Elementoneutro: 
lV. Elemento oposto: 
V. Lei docacelamento: 
Þ 
® ® ® ® 
® ® 
® ® 
® ® 
® 
® ® 
® ® 
® ® ® 
® 
® ® ® ® 
® ® 
®
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Denotandopor diferençadepontos : 
1.º caso: 
u - v = (B-A) - (C-A) = (B-C) 
2.º caso: 
v - u = (C-A) - (B-A) = (C-B) 
C 
A B 
C 
®u 
® ® 
v – u 
Graficamente, a diferença de dois vetores u e v é obtida fazendo-se 
®v 
com que u e v tenham a mesma origem. A diferença de vetores não é 
comutativa: u -v ¹ 
v - u. 
b) Exemplos 
1) Dados osvetores u,v e w obter graficamente: 
®v 
® ® 
u – v 
®u 
A B 
Dados a) u + w = ? b) u - w = ? 
c) v + w = ? d) v - w = ? e) 
®w 
®w ®u 
®v 
®w 
®v 
®u 
®w 
®v 
®w 
®u 
1 - = 
1 ® ® 
v – 2u 
2 
®v 
1 
2 
® 
2u 
® ® 
® 
® 
® 
® ® 
® ® 
® ® ® v 2u ? 
2
Jacir. J. Venturi 
2) Num paralelogramo construído sobre dois vetores u e v, as 
diagonais são as imagens geométricas do vetor soma u + v e do vetor 
diferença u - v. 
Exercícios 
®v 
®v 
®u 
®u 
® ® 
u + v 
® ® 
u – v 
“Quemquer fazer alguma coisa encontra ummeio. 
Quemnão quer fazer nada, encontra uma desculpa." 
Aforisma árabe 
Determinar a origem A do segmento que representa o vetor 
u=(2, 3, -1), sendosuaextremidadeopontoB=(0, 4, 2). 
Resp.:A=(-2, 1, 3) 
Nafiguraabaixoovetors=a+b+c+déigual a: 
Resp.: s = 0 
Representados os vetores u e v na figura, achar graficamente 
ovetor x tal queu+v+x=0. 
Resp.: 
01. 
02. 
03. 
®a 
®b 
®c 
®d 
®v 
®u 
®v 
® ® 
u + v 
®u 
®x 
® ® ® 
(onde x = – (u + v)) 
® 
® 
® 
® ® ® ® ® 
® ® 
® 
® ® ® ®
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 04. 
H G 
E F 
05. 
06. 
Nos cubosabaixo, representar a somados vetoresindicados. 
a) b) 
H G 
D C 
Resp.: a) (G-A) 
b) (E-A) 
D C 
No tetraedro e no paralelepípedo retângulo, achar a soma dos 
vetoresrepresentados por suasimagensgeométricas. 
D 
a) b) 
G 
E 
O C 
Resp.: a) (D-A) 
b) (E-O) 
C 
D 
Nohexágonoregular, obter: 
a) (B-A) + (E-F) + (F - A) 
b) (D-A) - (E-A) + (E-B) 
Resp.: a) (D-A) 
b) (D-B) 
A B 
A B 
F 
E 
A B 
A B 
F 
A 
B C 
D 
F E
Jacir. J. Venturi 
07. 
a) 
b) 
® ® ®  
® ® ®  
a) 2u - v + 4w 
b)3(u + v) -2(2v - w) 
08. 
a) 
B) 
®  
a) A + v 
b) 2A - 3B - v®  
09. 
10. 
11. 
12. 
13. 
Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar: 
Resp. : a) (0, 11, 13) 
b) (1, 9, 7) 
Conhecidos A= (1, 3, 0), B = (5, 5, 2) e v = (1, 3, -2) calcular: 
Resp.: a) (2, 6, -2) 
b) (-14, -12, - 4) 
Sendo A= (2, 0, 1), B = (0, 3, -2), C = (1, 2, 0), determinar 
D = (x, y, z ) tal que BD = AB + CB. 
Resp. : D = (-3, 7, -7 ) 
Calcular o vetor oposto de AB sendo A= (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3). 
Resp. : BA= (1 , 5, -1) 
® ® ®  
Conhecendo-se u = (1 , 2, 0 ), v = (0, 1, 3) e w = (-1, 3, 1) calcu-lar 
® ® ®  
os escalares m, n e p em mu + nv + pw = (0, 0, 14). 
Resp.: m = -1, n = 5, p = -1 
® ® ®  
Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. 
Sendo u = (1, 2, 0) e v = (3, 0, 3), então w é igual a: 
Resp.: (-2, 2, -3) 
Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e 
v = (-3, 2, 5). 
® 
w 
® 
v 
®u 
®  
® ® ® ®  
® ® ®  
Resp.: x = (1, 0, -5) ®  
®  
® ® ® ® ®  
76
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 14. 
AP = 2 
ö 
P 5 
= æ , 3, 0 
® ® ® 
9.COMBINAÇÃOLINEARDEVETORES 
Considere os vetores u , u , u , …u e os escalares k , k , k , … k . 
1 2 3 n 1 2 3 n 
u , u , u , … u 1 2 3 n 
Diz-se que v é combinaçãolinear 
de quando escritos sob a 
formade: 
10.EXPRESSÃOCARTESIANADEUM VETOR 
Seja x, y e z um sistema carte-siano 
ortogonal. Convencionou-se 
a) 
representar por i, j e k, nesta ordem, 
os versores dos eixos cartesianos 
ortogonais x, y e z. 
Então: 
i = (1, 0, 0) 
j = (0, 1, 0) 
k=(0, 0, 1) 
z 
® 
Epeladefiniçãodeversor, quepossuem módulounitário, tem-se: 
| i | = | j | = | k | = 1 
15. 
CalcularPtal que . 
DadosA=(-1, -1, 0)eB=(3, 5, 0). 
Resp.: 
Sabendo-sequeu e v sãoperpendiculares tais que | u | =5 e 
| v | = 12, calcular | u + v | e | u - v |. 
Resp.: 13e13 
AB 
3 
®k 
j ® 
®i 
y 
x 
O 
v = k u + k u + k u + … k u 1 1 2 2 3 3 n n 
® ® ® ® ® 
® ® 
® 
® 
® ® 
® 
® ® 
÷ø 
çè 
3
Jacir. J. Venturi 
x 
3 
Os versores i, j e k constituemuma base ortonormal deE por ser 
formadadevetoresunitáriosemutuamenteortogonais. 
Considere-se umpontoP=(x, y, z ) do espaço tridimensional e i, 
y 
b) 
z 
z 
Pz 
x 
Px 
O 
y 
P 
Py 
®v 
j e k os versores dos eixos carte-sianos 
ortogonais x, y e z. O vetor 
- 
v =(P O) tem origem em O e 
extremidade em P e pode ser ex-presso 
combinação linear 
z 
- 
expressão cartesiana 
x y 
® ® ® ® 
coordenadas componentes 
OBSERVAÇÃO: 
c) Exemplos 
® ® 
® 
Doparalelepípedoretânguloobtém-se: 
A B 
C 
D 
G 
E 
O 
F 
4 
3 
2 
z 
y 
x 
OBSERVAÇÃO: 
® 
® 
® 
® ® ® 
® 
® 
® ® ® 
(P x 
- O) = x i 
(P y 
- O) = y j 
(P z 
- O) = zk tem-se 
® ® 
® ® ® ® 
® 
como 
de i, je k. Do paralelepípedo re-presentado 
na figura ao lado ob-tém- 
se: 
(P-O) = (P -O) + (P -O)+(P -O) 
como 
(P O)= v = x i + y j + zk 
denominada do vetor (P - O), onde x, y e z são as 
x i , y j e zk as do citado vetor. O vetor v re-presenta 
a diagonal do paralelepípedo reto, cujas arestas são os vetores 
coordenadas x i , yj e zk. 
Emparticular o vetor (P - O) pode ter imagemgeométrica numdos 
planos cartesianos. Por exemplo, se (P - O) estiver no plano xy, a 
3.ª coordenadaénula: (P-O) = x i+ yj. 
® 
(A - O) = 2 i 
(C - O) = 4 ® 
j 
(G - O) = 3k 
® 
® ® 
(B - O) = 2i+ 4j 
(D - O) = 2i ® + 3k 
® 
® (F - O) = 4j + 3k 
® 
(E - O) = 2i ® + 4j ® 
+ 3k®
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Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

  • 1. JACIR J. VENTURI álgebra vetorial e geometria analítica 9.ª edição (atualizada) Este livro se encontra integralmente no site: www.geometriaanalitica.com.br com acesso gratuito. jacirventuri@geometriaanalitica.com.br
  • 2. © Copyright by Jacir J. Venturi FICHA CATALOGRÁFICA Catalogação na fonte: Biblioteca Central UFPR VENTURI, Jacir J., 1949 - Álgebra Vetorial e Geometria Analítica / Jacir J. Venturi - 9.ª ed. - Curitiba 242 p.: il. Inclui Bibliografia. ISBN 85.85132-48-5 1. Álgebra Vetorial. 2. Geometria Analítica. I. Título. CDD 512.5 CDU 514.124 ISBN 85-85 132-48-5 REF. 072 Composição/Desenhos: Herica Yamamoto Capa/Projeto Gráfico: Beatriz Susana Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado grafica@unificado.com
  • 3. Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si. Jacir J. Venturi
  • 4.
  • 5. 20 20 25 25 26 27 29 29 30 35 36 36 37 39 39 41 44 51 52 53 53 57 60 Índice CAPÍTULO1 NOÇÕESPRELIMINARES 01. 02. Elementos primitivos .................................................................... Pontoeretaimpróprios ................................................................ CAPÍTULO2 RELAÇÕESSEGMENTÁRIAS NOESPAÇOUNIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. Retaorientada............................................................................. Medidaalgébricadeum segmento............................................... Razãosimplesdetrêspontos ....................................................... Divisãoáurea............................................................................... Abscissasnareta......................................................................... Distânciaentredois pontos.......................................................... Razãosimplesdetrêspontos ....................................................... CAPÍTULO3 SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOBIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. Sistemacartesianoortogonal ....................................................... Sistemacartesianooblíquo.......................................................... Paresordenados: operaçõeseigualdade.................................... Distânciaentredois pontos.......................................................... Pontoquedivideum segmentonumarazãodada........................ Baricentrodeum triângulo........................................................... Sistemapolar ............................................................................... Passagemdosistemapolar paraosistema cartesianoortogonal ..................................................................... CAPÍTULO4 SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOTRIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. Sistemacartesianoortogonal ....................................................... Distânciaentredois pontos.......................................................... Pontoquedivideum segmentonumarazãodada........................ Baricentrodotriângulo................................................................. Sistemacilíndrico......................................................................... Sistemaesférico...........................................................................
  • 6. CAPÍTULO5 VETORES 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Sinopse histórica .......................................................................... Grandezas escalaresevetoriais.................................................... Definições, etimologiaenotações .................................................. Paralelismodevetores.................................................................. Multiplicaçãodeumvetor por um escalar ...................................... Coplanaridadedevetores .............................................................. Adiçãodevetores.......................................................................... Subtraçãodevetores ..................................................................... Combinaçãolinear devetores ........................................................ Expressãocartesianadeum vetor ................................................. Condiçãodeparalelismodedois vetores....................................... Condiçãodecoplanaridadedevetores.......................................... Combinaçãolinear dequatrovetores ............................................. Ângulodedoisvetores................................................................... Multiplicaçãointernaouescalar ..................................................... Expressãocartesianadoprodutoescalar ...................................... Multiplicaçãovetorial ouexterna.................................................... Áreadeumparalelogramoedeum triângulo................................ Multiplicaçãomista........................................................................ Duplamultiplicaçãovetorial ........................................................... CAPÍTULO6 VETORES:APLICAÇÕESGEOMÉTRICASCLÁSSICAS 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. Projeçãodeum vetor sobreum outrovetor .................................. Projeçãodeum pontosobreum plano......................................... Distânciadepontoaplano............................................................. Distânciadeum pontoareta........................................................ Distânciaentreduas retas............................................................. Áreadeumtriângulo...................................................................... Áreadaprojeçãoortogonal deum triângulosobreum plano......... Áreadaprojeçãonãoortogonal deum triângulosobreum plano................................................... Co-senos diretoresdeumvetor ..................................................... CAPÍTULO7 OPLANONOE 01. 02. 3 Equaçãodoplano........................................................................... Pertinênciadepontoaplano.......................................................... 64 64 64 67 68 70 70 72 77 77 79 84 87 89 90 97 104 111 115 121 128 132 135 137 139 142 144 145 148 157 160
  • 7. 03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados ....................... 04. Equação segmentária do plano ..................................................... 05. Equação do plano que passa por um ponto e ortogonal a um vetor ..................................................................... 06. Casos particulares da equação geral do plano .............................. 07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos ................................ 08. Equação do feixe de dois planos ................................................... 09. Distância de um P a um plano a................................................... O 10. Equação dos planos bissetores .................................................... 11. Ângulo de dois planos ................................................................... A RETA NO E3 01. Equações da reta .......................................................................... 02. Posições relativas de duas retas ................................................... 03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas ............ 04. Condição de coplanaridade de duas retas .................................... 05. lnterseção de reta e plano ............................................................. 06. lnterseção de duas retas ............................................................... 07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano .......... 08. Distância de um ponto a uma reta ................................................. 09. Distância entre duas retas reversas .............................................. 10. Ângulo de duas retas .................................................................... 11. Ângulo de uma reta com um plano ................................................. ................................................................ CAPÍTULO 8 APÊNDICE - RECRe ANDO i 160 162 164 166 171 176 179 182 183 187 198 199 202 205 206 210 216 218 220 221 224
  • 8.
  • 9. O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA P R E F Á C I O O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano da faculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara e didática quanto possível. Por vezes, preferiu-se a apresentação intuitivaaosrefinamentosteóricos. Contém421 exercícios (comseus subitens) emordem crescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto, resolveremos diversos exercícios emaula, deixandoos demaisa cargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no texto exercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria) para uma maior valorização da aula, enlevando a interação aluno-professor. O aluno deve ter em mente que à resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimentodateoria. Um grande número de ilustrações facilita o entendimento do texto e é imprescindível quando se almeja a formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplica-bilidade prática e sugestões para a resolução de exercícios, no intuitodemotivar o alunonaquiloqueestáestudando. Os quatros primeiros capítulos integram o programa da Geometria Analítica na UFPR e foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina: reta, plano, cônicas, superfícies, etc. Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores. Há inúmeros caminhos para a resolução de problemas geométricos através da Álgebra, porém o tratamento vetorial é o mais indicado pela sua elegância e simplicidade, além de ser assaz importante a outras disciplinas. A umbomrendimento escolar emGeometria Analítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitável conhecimentodos capítulos5e6. Há que se tomar público que, face à nossa formação acadêmica e relacionamento profissional, o presente trabalho recebeu preponderante influência do livro Geometria Analítica e Vetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamos a todos os alunos que aspiram a umaprofundamento e a ummaior rigor noassunto. Ademais, cumprimos o elementar dever de gratidão pelo desprendimento comque os professores Florinda Miyaòka, Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabe e Ivo
  • 10. Jacir. J. Venturi J. Riegler sedispuseramaler o manuscritoeapresentar sugestões. O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatro lustros. Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util-mente o nosso tempo. "Acensura que nos for feita - se faz oportuno Souza Pinto - há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter consciênciadenossaboavontadeemacertar."
  • 11. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Prezado Universitário: "Tinha 12 anos quando assisti à demons-tração de umteorema de geometria e senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabava de descobrir o universoplatônico, comsua ordemperfeita, comseus objetos eternos e incorruptíveis, de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer. Assim, apesar deminhavocaçãoser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantás-tica." Neste excerto de entrevista, de 1987, o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à Geometria e, por extensão, à Matemática "um mundo de infinita harmonia". Este é o sentimento que nós, professores, devemos transmitir aosalunosdeboavontade. A didática, de um lado, cobra do professor a sensibilidade para perceber o nível da classe e, a partir daí, iniciar o seu trabalho; que o professor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de "quadro-negro, giz e salivação"; que induza o seu discípulo a apreciar a Matemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente, utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister que o aluno perceba o seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmica e participativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aula e ouvir a explicação do professor. É impossível aprender a jogar tênis apenas assistindo de camarote. Assim também com a Matemática: é necessário treino, exercícioseefetivaparticipaçãopessoal. A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a formação do raciocínio. E para a maioria das atividades profissionais (que exigem o nível secundário ou universitário) é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que não a utilizam, reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera racional damenteedacoerênciadopensamento. Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática ocorreanível doEnsinoFundamental. A essenível, tal comoumaestrutura geológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se estratificam. Disso resulta, como maior legado, o entendimento e a
  • 12. Jacir. J. Venturi motivação pela disciplina no Ensino Médio. Este embasamento representa a para umbomrendimento na Faculdade. Isto posto, a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser transpostos na interação aluno-professor. A nós, professores, importa a sensibilidade à percepção de tais dificuldades bemcomo a disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário. É frustrante observar que em certos cursos - em especial noturnos - o índice de desistência atinge 50% até ou logo após a primeira avaliação. Se consciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novel a busca junto aos livros, professores e colegas. Atirar pedras no passado, pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio, não leva a nada. "O importante - afirma Jean Paul Sartre - não é o que fizeram de nós, mas o quefazemosdoquefizeramdenós". Ao ingressar na Universidade, o calouro sente-se perplexo e desamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entre o Ensino Médio e a Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremas e abstrações aqui e quase nada lá. Cobra-se autodidatismo e raciocínio na faculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médio preponderantemente à base de memorizações e expedientes similares. Tal procedimento - argumenta Valmir Chagas - “desenvolve uma estranha metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de estudo". É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos cursinhosaoEnsinoMédio. Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro. Não é só: faz-se mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se tal situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o próprio Brasil, a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de aceitar as coisascomoestãoecomosempreforam. É papel precípuo da Universidade, e lhe cabe a iniciativa, promover física e socialmente a comunidade. Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê-los. O Autor conditio sine qua non
  • 13. Foi extraordinária o incremento dado à Geometria Plana e ·Pitágoras (560 - 500 a.C.) ·Euclides (c. 325 - c. 265 a.C.) ·Arquimedes (287 - 212 a.C.) ·Apolônio de Perga (262 - 190 a.C.) Com estes ecléticos sábios, a Matemática deixa seu carácter meramente intuitivo e empírico (egípcios e babilônios) e se assume como disciplina racional, dedutiva e lógica, a partir da criação de definições, axiomas, postulados e teoremas. Pitágoras fundou no sul da Itália, na Ilha de Crotona, a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira universidade do mundo". Foi uma entidade parcialmente secreta, envolta em lendas, com centenas de alunos. Estudavam Matemática, Astronomia, Música e Religião. Embora se suspeite da autenticidade histórica, conta-se que Pitágoras tenha praticado uma hecatombe (sacrifício de cem bois), comemorando a demonstração do seu célebre teorema a2 = b2 + c2. Consta que uma grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 2 . Utilizando a notação algébrica, a equação x2 = 2 não admitia solução numérica para os pitagó-ricos ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA S I N O P S E H I S T Ó R I C A Espacial pelos matemáticos helenísticos: pois estes só conheciam os números racionais. Dada a conotação mística dos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da escola e o afogaram no mar. Euclides fundou a Escola de Matemática na renomada Biblioteca de Alexandria. Todos os grandes geômetras da antigüidade como Euclides, Arquimedes, Eratóstenes, Apolônio, Papus, Diofanto, Cláudio Ptolomeu, Teon de Alexandria, Hipátia, etc. se debruçaram sobre os vetustos e novéis pergaminhos e papiros da grande biblioteca. Asua destruição talvez tenha representado o maior crime contra o saber em toda a história da humanidade. Em 48 a.C., envolvendo-se na disputa entre a voluptuosa Cléopatra e seu irmão, o imperador Júlio César manda incendiar a esquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria. O fogo se propaga até as dependências da Biblioteca, queimando cerca de 500.000 rolos. Restaram aproximadamente 200.000 rolos. Em 640 d.C., o califa Omar mandou que fossem queimados todos os livros da Biblioteca sob o argumento que "ou os livros contêm o que está no Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lê-los". A mais conspícua obra de Euclides, Os Elementos (c. 300 a.C.) 13 Ö2
  • 14. Jacir. J. Venturi constitui o mais notável compêndio de matemática de todos os tempos, commais de mil edições desde o advento da imprensa (a primeira versão impressade OsElementos apareceuemVenezaem1482). Tem sido - segundo George Simmons - por uma influência sobre a mente humana maior que qualquer . "considerado como res-ponsável outrolivro, comexceçãodaBíblia" A Biblioteca da Alexandria estava muito próxima do que se entende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B. Boyer, ema "A Universidade de Alexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas de cultura superior. Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que possuímos, parece que Euclides definitivamente pertencia à última categoria. Nenhuma descoberta nova é atribuída a ele, mas era conhecido pelasuahabilidadeaoexpor. Essaéachavedosucessodesuamaior obra ". História da Matemática. OsElementos A genialidade de Arquimedes como físico-matemático só é comparável com Isaac Newton, no século XVIII. Pelas concretas ou supostas obras de Engenharia, foi um precursor de Leonardo da Vinci . Suaproduçãoécompletamenteoriginal e muitovasta, incluindoGeometria PlanaeSólida, Astronomia, Aritmética, MecânicaeHidrostática. Nasceu na Sicília, na cidade grega de Siracusa. Quando jovem estudou emAlexandria, o templo do saber da época, comos discípulos de Euclides. Suas invenções engenhosas, suas máquinas decaráter utilitárioe bélico, o memorizaram através dos séculos por historiadores romanos, gregos, bizantinoseárabes. Arquimedes, no entanto, considerava seus engenhos mecânicos como fator episódico e que, de certa forma, tiravamadignidade da ciência pura. "Sua mentalidade não era a de um engenheiro, mas sim, a de um matemático." Alguns de seus feitos são clássicos e conhecidos, mas merecem ser relembrados: Por descrição de Vitrúvio, conhecemos a história da coroa da rei Herão. Este havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro puro. Uma vez pronta, o desconfiado rei Herão solicitou a Arquimedes que analisasseacoroaedirimisseadúvida: eraacoroadeouropurooufeitade umaamálgamacomprata? Quando tomava banho, Arquimedes, observou que, à medida que seu corpo mergulhava na banheira, a água transbordava. Foi o pararesolver o problema. insight Conta a historiador Vitrúvio que Arquimedes, eufórico, teria saído pelas ruas, completamente nu, gritando " , que significa . Eureka, eureka" "Achei, achei" Refeito do vexame, Arquimedes comprovou que houve fraude por
  • 15. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA parte do ouvires. Destarte, tomou dois recipientes cheios de água e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente, um bloco de prata. Como ambos os blocos continham o mesmo peso que a coroa, comprovou a fraude, pois constatou que os blocos deslocavam quantidades diferentes de água. Deste fato decorre o princípio de Arquimedes, lei básica da Hidrostática: Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado. Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes "era por vezes levado à força para banhar-se ou passar óleo no corpo, que costumava traçar figuras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo, estando em um estado de preocupação total e de possessão divina, no sentido mais verdadeiro, por seu amor e deleite pela ciência". Na 2.ª Guerra Púnica, contra a poderosa razia do exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores. Marcelo infligiu um cerco de 3 anos e em 212 a.C. a cidade de Siracusa rendeu-se. Adentrando-se às muralhas de Siracusa as hostes romanas promoveram a pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado aproximou-se de um encanecido senhor de 75 anos, que indiferente à chacina, desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou: "Não toque nos meus círculos". O soldado enraivecido transpassou-o com a espada. Foram as derradeiras palavras de Arquimedes. A maior grandeza se manifesta na Matemática: Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para p: 3 10 71 3 10 70    Uma metodologia absolutamente precisa para se calcular o valor de p surgiu em 1671 como conseqüência da série de James Gregory.  4 1 1 3 1 5 1 7      ... Por essa série, o francês De Lagny em 1719 calculou as 112 primeiras casas decimais de p e em 1873 o inglês W. Shanks chegou manualmente a 707 casas (conta-se que teria levado 5 anos para a execução dos cálculos). 15
  • 16. OBSERVAÇÃO: A letra p é a inicial da palavra grega perijereia que significa periferia, circunferência. Sabemos que p = 3,1415926535 ... é um número irracional. Arquimedes deu o tiro de largada de uma longa maratona e, ao mesmo tempo, o estudo do p propiciou notáveis avanços em diversos capítulos da matemática. A fita de chegada para o cálculo de p, por meio de polígonos inscritos e circunscritos em uma circunferência, se deu em 1605, quando o matemático holandês Ludolph van Ceulen calculou o p com 35 casas decimais (começou com um polígono de 15 lados e dobrou o número de lados 37 vezes). Arquimedes demonstrou que a área contida por um parábola (S ) e p Jacir. J. Venturi uma reta transversal é 4/3 da área do triângulo (SD) com a mesmD a base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base. S 4 p S   3 Em seus trabalhos de geometria sólida encontramos, pela primeira vez as fórmulas corretas para as áreas da superfície esférica (S = 4pR2), da calota esférica (2pRh) e para os volumes da esfera e do fuso esférico .   R3 3    2R3 O ilustre siracusano tratou de forma exaustiva sobre o centro de gravidade de figuras sólidas e planas. Obteve a área de uma elipse (S = pab) e descreveu sólidos de revolução gerados por parábolas, elipses e hipérboles em torno de seus eixos (quádricas de revolução). Descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares têm equação r = kq) e pela primeira vez determina a tangente a uma curva que não seja o círculo. De forma inédita, Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial. Apolônio de Perga parece ter-se considerado um cordial rival de Arquimedes, e muito pouco se sabe de sua vida. Supõe-se ter sido educado em Alexandria e por algum tempo ter ensinado em sua "Universidade". Graças ao apoio de Lisímaco, general de Alexandre, transferiu-se para Pérgamo (donde a palavra pergaminho), onde havia uma Biblioteca e uma "Universidade" só inferiores às de Alexandria. 16   4   3
  • 17. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Apolônio, e não Euclides, mereceu dos antigos o epíteto de o Grande Geômetra e isto pode nos parecer inaceitável. A verdade é que não se pode questionar o mérito de ambos. Euclides tornou-se sinônimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra Os Elementos, enquanto a maior parte das obras de Apolônio desapareceram. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (século IV d.C.), que fez uma breve descrição de sua monumental produção matemática. Infere-se que os tratados de Apolônio continham uma Matemática bastante avançada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geometria Analítica. Para gáudio de todos, porém, o tratado As Cônicas, sobre seções cônicas, suplantou todas as obras existentes na antigüidade. O tratado As Cônicas é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram. É inegável a influência de Apolônio sobre Isaac Newton, Ptolomeu (tabelas trigonométricas, sistemas de latitude e longitude), Kepler ("os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol ocupando um de seus focos"), Galileu ("a trajetória de um projétil é uma parábola"). Sabemos que a Geometria Analítica faz uma simbiose da Geometria com a Álgebra. Face o exposto, concluímos que os gregos promoveram um extraordinário incremento à Geometria. No entanto, como não dispunham de uma notação algébrica adequada, a Matemática grega teve o seu ocaso com Apolônio. A Álgebra, podemos afirmar de forma concisa, possui uma dupla paternidade: Diofanto e Al-Khowarizmi. Diofanto de Alexandria viveu no século III d.C., e sua principal obra foi Aritmética, tratado que originalmente era composto de 13 livros, dos quais só os 6 primeiros se preservaram. O principal mérito da Aritmética é a utilização de notações, ou seja, de uma linguagem mais sincopada, mais simbólica para a Matemática. Por seu turno, Al-Khowarizmi viveu por volta de 800 d.C. na cidade de Bagdá, que emerge como uma nova Alexandria. Sua principal obra Al-Jabr deixou marcas indeléveis em toda a Europa. Al-Jabr recebeu a forma latinizada Algebrae (Álgebra). Em árabe Al-Jabr significa, numa tradução mais livre, deslocação e parece "referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação". Os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tiveram notável receptividade na Europa através da obra de Al-Khowarizmi. Daí serem denominados algarismos arábicos, mas que a bem da verdade são de origem hindu. Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da Álgebra em toda a Europa, Pierre de Fermat concluiu em 1629 o manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos). Para a maioria dos historiadores, tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analítica. É curioso observar que Fermat não era um matemático. Estudou e 17
  • 18. Jacir. J. Venturi DireitoemToulouse, naFrança, e aí exerceuocargodeadvogadoeconse-lheiro do parlamento. Fermat tinha a Matemática como um" " e mes-mo assim foi considerado por Pascal o maior do seu tempo. Dedicou-se aos pensadores clássicos e à Matemática grega e segundo , aobra deApolôniofoiumadas obrasfavoritas deFermat. Coube a (1601-1665) a descoberta das equações da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Aplicou a transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau à sua forma mais simples. É cristalina em Fermat a percepção de uma Geometria Analítica a três dimensões: " ". É oportuno observar que a usual denominação ( é a forma latinizada de Descartes) é anacrônica historicamente, pois sua obra não contém eixos perpendiculares, eixos oblíquos, nem tampouco a equação de uma reta. Por mérito, o sistema cartesianodeveriadenominar-se . No entanto, (que para sempre será lembrado como grande filósofo) superou Fermat pela utilização de uma notação algébrica maisprática. Muito deve a Geometria Analítica tridimensional a (1707-1783). Euler nasceu na Basiléia, Suíça, e recebeu uma educaçãobastante eclética. Extremamente profícuo, insuperável em produção matemática, Euler escrevia uma média de 800 páginas por ano. Em plena atividade intelectual, morreu aos 76 anos, sendo que os últimos 17 anos passou em total cegueira (conseqüência de catarata). Mesmo assim continuou ditandoaos seusfilhos(eram13). A partir de meados do século XIX, desenvolveu-se o conceito de Espaçode4, 5... n dimensões. Em 1854 o jovem matemático alemão desenvolveu a idéia de uma Geometria Quadridimensional. , em1915, mostrou que o nosso universo embora pareça E , é na verdade E . Ele dava o primeiro passo para se perceber a variedade espaço-temporal do universo. Cada um dos pontos do universo é determinadopor 3 coordenadas (espaciais) que especificamsuaposiçãoe umaquarta(temporal) quedeterminaotempo. Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento à Geometria Plana e Espacial, mas não dispunham de umanotaçãoalgébricaousimbologiaadequadas. Até o século XVI, toda a expressão matemática se fazia de uma formaexcessivamente" ". Por exemplo, em 1591, para representar a equação quadrática5A +9A-5=0, escreviaem bom latim: hobby mas se o problema proposto envolve três incógnitas, deve-se achar, para satisfazer a equação, não apenas um pontoouumacurva,mas todaumasuperfície Cartesius verbal ouretórica Carl B. Boyer AsCônicas Pierre de Fermat sistema cartesiano sistemafermatiano Descartes Leonhard Euler Bernhard Riemann Albert Einstein Viète 3 4 2
  • 19. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 5 inAquad. et 9 inAplanuminus 5 aequatur 0. “Na maior parte da ciências, assevera Herman Hankel (1839- 1873), matemático alemão, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura”. rainha e a serva de todas as ciências "Ummundo de infinita harmonia" Deus eternamentegeometriza - (5emAquadradoe 9em A plano menos 5 é igual a zero). Como na formação de uma estrutura geológica, as descobertas matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos. Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e simem contínua evolução. As formulações inicialmente tênues e difusas percor-rem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol-vimento. Apropriadamente, já se definiu a Matemática como a " ". E o apanágio de sua majestade é o rigor, a lógica, a harmoniaesualinguagemprecisa, universal e sincopada. Após este epítome histórico, adentremos entusiasticamente ao mundo maravilhoso da Geometria. , nas palavras dopoeta. -QuefazDeus, perguntaodiscípulo. - respondesabiamente Platão .
  • 20. Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Noções preliminares 1.ELEMENTOSPRIMITIVOS A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os pontos, as retaseosplanos. PONTOS: letras latinas maiúsculas. Ex.: A,B,C... P,Q... RETAS: letras latinas minúsculas. Ex.: a, b, c ... r, s, t ... PLANOS: letras gregas minúsculas. Ex.: , , ... … 2.PONTOERETAIMPRÓPRIOS Se duas retas r e s são paralelas entre si, então elas têm a mesma direção ou mesmo ponto impróprio. O ponto impróprio da reta s pode ser imaginado como o ponto no infinito de s e é o mesmo para todas as retasquesãoparalelasas; seráindicadoporP . Se dois planos e são paralelos, então têm a mesma jacência ou a mesma reta imprópria. A reta imprópria de pode ser imaginada como a reta no infinito desse plano e é a mesma para todos os planos paralelosa ; será indicada porr . Notação: a) Pontoimpróprio b) Retaimprópria a b g p a b a a ¥ ¥ r s
  • 21. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA O PROFESSOR ARREPENDIDO OBSERVAÇÃO: Chama-se ponto próprio ao ponto na sua acepção usual. Assim, duas retas concorrentes têm em comum um ponto (próprio). Analogamente, dois planos concorrentes se interceptamsegundo umareta(própria). Cada reta própria tem um único ponto impróprio. Em cada plano existe uma única reta imprópria. A reta imprópria é constituída exclusivamente de pontos impróprios. Duas retas impróprias têm em comum um único ponto impróprio. Todos os pontos e retas impróprios doespaçopertencemaumúnicoplanoimpróprio. Histórias pitorescas sempre têm um pouco de fantasia, principalmente, quando se reportam a homens bem-sucedidos. Conta-se que na Universidade de Harvard havia um professor de Matemáticaextremamenterigoroso. Na última avaliaçãodo ano, elaborouumaprova muito difícil e lançou umdesafio a seus alunos: "se umde vocês tirar nota 10 nesta prova, peço demissão da Universidade e serei seuassessor". Era seu aluno um fedelhode17anos, noentanto, brilhante nessa disciplina, con-siderada a "rainha e serva de todas as ciências". Obtevenota 9,5. Até hoje, o nosso caro professor lamenta ter sido tão exigente. Perdeu a oportunida-de de setornar umdos homens mais ricos do Planeta. Em tempo: o aluno se chamava Bill Gates. História de uso corrente. Texto do autor. z x y
  • 22. O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO Foi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428 a.C.). Aprisionado em Atenas por suas idéias muito avançadas para a época, afirmara que o Sol não era uma divindade, mas uma grande pedra incandescente, maior que o Peloponeso (península do sul da Grécia) e que a Lua não tinha luz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor de Péricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais, exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos: Sócrates, Platão, Aristóteles. Problema da Quadratura do Círculo: dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso. No século XIX, demonstrou-se que nestas condições este problema é irresolúvel. A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da Álgebra: S = S pR2 = l2 . Admitindo por ex. R = 3 p(3)2 = l 2 Jacir. J. Venturi =   3  ou   5,31   R  R 22
  • 23. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA PROBLEMA DA DUPLICAÇÃO DO CUBO OU PROBLEMA DELIANO Durante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso, conta uma lenda que em 429 a.C. uma peste dizimou um quarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles. Diz-se que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de Apolo, em Delos, para inquirir como a peste poderia ser eliminada. O oráculo respondeu que o altar cúbico de Apolo .Os atenienses celeremente dobraram deveria ser duplicado as medidasdasarestas docubo. 1 m 2 m A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o erro? Em vez de dobrar, os atenienses octoplicaram o volumedoaltar. Pois: paraa=1 ß V =1 3 =1 cubo paraa=2 ß V =2 3 =8 cubo A complexidade do problema deve-se ao fato de que os gregos procuravam uma solução geométrica. E mais um complicador: comrégua(semescala) e compasso. Ainda no século lV a.C., o geômetra grego Menaecmus (que juntamente com Platão foi professor de Alexandre, o Grande) resolveu o problema com o traçado de uma parábola e de uma hipérbole. Hodiernamente, tal solução é facilmente compreensível através da Geometria Analítica: Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interseção daparábolax 2 =2y comahipérbolexy=1. A soluçãoé x = 3 2 . Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seus compatriotas: não se valeu de régua (semescala) e compasso
  • 24. Jacir. J. Venturi apenas! A solução deste problema é trivial com os recursos da Álgebra: procura-se a aresta (a) de um cubo, cujo volume seja o dobro do volume de um cubo de a = 1 (V = a3): cubo = 2 X a = ? 1 m a3 = 2 x 13 a  3 2  1,26 OBSERVAÇÃO: Em 1837, o francês Pierre L. Wantzel demonstrou que o problema deliano não admite solução com uso de régua e compasso apenas. Com somente 23 anos, Wantzel, engenheiro da prestigiosa Ecole Polytech- nique, pôs fim às discussões de quase dois milênios. Em seu excelente Livro O Romance das Equações Algébricas (ed. Makron Books), Gilberto G. Garbi descreve que "esta limitação de apenas dois instru- mentos espelhava o conceito de elegância com que os gregos tratavam das questões geométricas e, tam- bém, a ação tipicamente helênica que eles nutriam pelos desafios intelectuais, independentemente de qualquer utilidade prática". (do autor) 24
  • 25. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA C A P Í T U L O Relações segmentárias no espaço unidimensional Omatemáticoeastrônomoalemão,Möbius(1790-1868) foi quem adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas e volumes. Uma reta é orientada, se esta-belecermos nela umsentido de percurso como positivo; o sentido contrário é negativo. O sentido positivo é indicado por uma seta. Umreta orientada também échamadadeeixo. Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. A medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real, positivo se sua orientação for concordante comosentido positivo da reta e é um número real negativo, em caso contrário. O número real que é a medida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo se associaumaunidadedecomprimentou. Exemplo: AB=+4u (ondeAéorigemeBextremidade) BA= - 4u (ondeBéorigemeAextremidade) Os segmentos orientados e têmrespectivamente medidas algébricasiguaisa4e-4. Então:AB+BA=0 ou AB AB AB BA AB=-BA 1.RETAORIENTADA 2.MEDIDAALGÉBRICADEUM SEGMENTO A B r u (reta) (reta orientada)
  • 26. Jacir. J. Venturi Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razão AP BP simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, queésimbolizado por (ABP). OBSERVAÇÃO: Se (ABP) = k, diremos que P divide o segmentoAB na razão k. A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo ao segmentofinito . Seinterno, a razãoseránegativa. A (ABP)= + (ABP) Assim: Assim: AB A P B r (ABP)= – A C B r (ABC) AC = - 3 3 1 = = BC - OpontoCdivideosegmento AB narazãosimples iguala - 3. P Q A r 3 (PQA) = PA = 6 = 2 QA AP BP = B P r 3.RAZÃOSIMPLESDE3PONTOS a) Definição b) Sinal c) Exemplos 1) 2) OpontoAdivideosegmento PQ narazãosimplesiguala 3.
  • 27. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA d) Casos particulares 1. Se P º A, a razão simples é nula. P º A B r (ABP)  AP  0  2. Se P º M (ponto médio), a razão simples é igual a -1. A P B M r (ABP) AP AP   4. DIVISÃO ÁUREA a) Definição Um ponto P divide um segmento AB em média e extrema razão se: AP2 = AB . PB A P B x a – x a 0 BP BP 1 AP BP    AP2 = AB . PB Diz-se também que AP é o segmento áureo de AB. OBSERVAÇÃO: Não prescindindo do rigor matemático, deve-se apresentar uma 2 segunda relação para o segmento áureo: PB = AB . AP. b) Cálculo Dado o segmento AB = a, calcular o seu segmento áureo AP = x. 27
  • 28. Jacir. J. Venturi AP 2 =AB . PB x 2 =a(a - x) ou x 2 +ax -a 2 =0 Resolvendoaequaçãodo2.º grauparaaincógnitax: - ± = x a 5 a 2 Em problemasgeométricos, adota-seasoluçãopositiva: - + = x a 5a = c) Epítomehistórico 0,618 a 2 Na história da humanidade, o assunto em epígrafe sempre mereceu a atenção de matemáticos, artistas, arquitetos, etc., pois fornece as medidas de um retângulo na proporção mais estética. Para tanto, basta prefixar a base a e calcular a sua altura h = 0,618 a. É o retângulo áureo a Le Corbusier Johannes Kepler sectio divina a geometria temdois tesouros. Um é o h = 0,618 a teoremadePitágoras, e o outroéadivisãoáurea”. Heródoto . Este é encontrado no frontispício do Paternon de Atenas (5.º sé-culo a.C.), na pirâmide de Quéops, na pintura de Leo-nardo da Vinci, em grandes catedrais da Idade Média e hodiernamente emprojetos do renomado arquiteto francês . Também a sábia natureza, como se observa em plantas, animais e em medidas do corpo humano. Rece-beu o epíteto de (secção divina) e (1571-1630) não se conteve: “ O historiador grego relata que os sacerdotes egípcios lhe haviam dito que as dimensões da pirâmides de Giseh haviam sido escolhidas de maneira que metade do comprimento da baseeaalturadafacetriangular formassemadivisãoáurea.
  • 29. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA O pentagrama estrelado ao lado figurado representou a insígnia dos pita-góricos, o símbolo da saúde para os gre-gos e aparece hoje freqüentemente em bandeiras, cartazes, etc. Observeque: A B D E C AB AC = AD = AE = ED = 0,618 ® divisão áurea AC AD AE O r 5. ABSCISSASNARETA O ponto O (origem) divide o eixo r em duas semi-retas, onde a semi-reta positiva é indicada pela seta. É negativa a outra semi-reta. Ao eixosefixaaprioriumaunidadedecomprimento. Chama-se abscissa x de umpontoP de uma reta orientada r, à 1 1 medida do segmento orientado e finito OP , da origem a esse ponto, 1 antecedida do sinal de (+) ou (-) conforme o ponto pertença à semi-reta positiva ou negativa. Há uma correspondência bijetiva entre os números reaiseospontos deumareta. B O A r –2 3 Exemplo: x =3 x =-2 A B Abscissa em latim significa corte , incisão . Deve-se provavel-mente ao fato de que a representação da abscissa na reta se faz atravésdeum pequenocorte. 6. DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS SejamospontosP e P , cujas abscissassãorespectivamentex e x . 1 2 1 2 OBSERVAÇÃO:
  • 30. Jacir. J. Venturi O P1 P2 r Então: OP + PP =OP P P =OP -OP 1 1 2 2 1 2 2 1 x1 x2 Exemplo: Dadasasabscissasx =5ex = - 3, calcular ABeBA. A B Resolução: AB=x -x = - 3 - 5 = - 8 BA=x -x =5-(- 3) = 8 B A A B Sejamos pontos P ,P ePde uma reta orientada r, comabscissas x ,x exrespectivamente. 1 2 Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmentoP P numacertarazãok. Então: k=(P P P) k = k= 1 2 1 2 1 2 PP = x - x 1 2 2 1 7.RAZÃOSIMPLESDE3PONTOSPORSUASABSCISSAS O P1 P2 P r x1 x2 x = ? P P 1 2 P P - - x x x x 1 2
  • 31. Isolando o x:    1 2 Caso particular: se k = - 1 tem-se:   1 2 Onde x é a abscissa do ponto médio de P P . 1 2 Exemplo: Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento AB na razão 2. Dados x = 3 e x = 7. A B Resolução: Figura:  A B Portanto (ABP) = 11 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA x x kx 1 k x x x 2 x x kx k       1 3 2 1 2 (7) 11 O A B P r 3 7 11 Exercícios "Que nenhum desconhecedor da geometria entre aqui." (Inscrição no frontispício da Academia de Platão) O ponto P divide o segmento P P numa certa razão k. Cal- 1 2 cular k, conhecendo-se respectivamente os pontos pelas suas abscissas x = 3, x = 6 e x = - 2 1 2 Resp.: Dados (ABP) = 5, x = 2, x = 5, calcular x . P B A k   3 Resp.: 17 01. 02. 5 31
  • 32. Jacir. J. Venturi 03. 04. 05. 06. 07. Obter a abscissadopontoP, tal quePA .PB=PC.PD. 3 2 Considere O, A, B, C pontos colineares, onde O representa a origem. CalculeaabscissaxdopontoCnaigualdade: 24 5 Achar a distância QPtais que (ABP)= e (ABQ)= sen-dox =2 e x =8 Sendox =3 e x =8, calcular as abscissas dos pontosP eP quedividem em 3 partes iguais. 14 3 Achar as abscissas dos pontos que dividem em 4 partes iguais. Dados:x = - 2, x =0, x =3, x =5 Resp.: AB+2CA+OB-3BC=3 Dados:x =2 e x =5 Resp.: Resp.: 8 Resp.: Dadosx = -3 e x =6 Resp.: A B C D A B P Q A B A B 1 2 AB PQ "Gigantes são os mestres nos ombros dos quais eu me elevei." ISAAC NEWTON (1642 - 1727), físico, astrônomo e matemático inglês. 19 3 e - 3 4 3 2 15 4 , , - 1 2 1 2
  • 33. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA FERMAT PROMOVE O MAIOR DESAFIO DA MATEMÁTICA Jurista e magistrado por profissão, Pierre de Fermat (1601-1665), dedicava à Matemática apenas suas horas de lazer e, mesmo assim, foi considerado por Pascal o maior matemático de seu tempo. Coube a Fermat a entronização de eixos perpendiculares, a descoberta das equações da reta e da circunferência, e as equações mais simples de elipses, parábolas e hipérboles. Por mérito, as coordenadas cartesianas deviam denominar-se coordenadas fermatianas. Cartesius é a for- ma latinizada de Descartes (René). Foi mais filósofo que matemático e em sua obra Discours de la Méthode (3.º apêndice, La Géométrie), publicada em 1637, se limitou a apresentar as idéias fundamentais sobre a resolução de problemas P = (x, y) 0 x geométricos com utilização da Álgebra. Porém, é curioso obser- var que o sistema hoje denominado cartesiano não tem amparo histórico, pois sua obra nada contém sobre eixos perpendicula- res, coordenadas de um ponto e nem mesmo a equação de uma reta. No entanto, Descartes "mantém um lugar seguro na suces- são canônica dos altos sacerdotes do pensamento, em virtude da têmpera racional de sua mente e sua sucessão na unidade do conhecimento. Ele fez soar o gongo e a civilização ocidental tem vibrado desde então com o espírito cartesiano de ceticismo e de indagação que ele tornou de aceitação comum entre pessoas educadas" (George Simmons). Segundo ainda este proeminente autor, La Géométrie "foi pouco lida então e menos lida hoje, e bem merecidamente". E não há como resistir à tentação de expor um tópico lendário da Matemática: o Último Teorema de Fermat. Em 1637, estudando um exemplar da Aritmética de Diofanto (séc. lll d.C.), Fermat deparou-se com o teorema: A equação xn + yn = zn não admite solução para x, y, z inteiros e positivos, quando o expoente n for inteiro, positivo e maior que 2. 33 y Coordenadas cartesianas ou fermatianas? Pierre de Fermat
  • 34. Jacir. J. Venturi No livro de Diofanto, Fermat anotou: "encontrei uma demonstração verdadeiramente admirável para este teorema, mas a margem é muito pequena para desenvolvê-la". Naturalmente, há quem duvide que ele tenha dito a verdade. Porém, além de íntegro, moralmente idôneo, hábil na teoria dos números, lembramos que Fermat jamais cometeu um engano ou disparate matemático. Gerações inteiras de matemáticos têm maldito a falta de espaço daquela margem. Por mais de três séculos, pratica- mente todos os grandes expoentes da Matemática (entre eles Euler e Gauss) debruçaram-se sobre o assunto. Com o advento dos computadores foram testados milhões de algarismos com diferentes valores para x, y, z e n e a igualdade xn + yn = zn não se verificou. Assim empiricamente se comprova que Fermat tenha razão. Mas e a demonstração? Que tal um projeto para as suas próximas férias e alcançar a imortalidade?! Além disso, um renomado empresário e matemático alemão – Paul Wolfskehl – na noite que decidira suicidar-se em sua biblioteca, depara com o Último Teorema de Fermat, e muda de idéia. Em seu testamento, deixou em 1906 a quantia de 100.000 marcos para quem o demonstrasse. Em 1993, Andrew Wiles, matemático da Universidade de Princeton (EUA), após 30 anos de fascínio, interrupções e paciente obstinação, apresentou a sua demonstração em 140 páginas. A notícia ocupou espaço nos noticiários do mundo inteiro. Bom demais para ser verdadeiro: matemáticos encontram um erro. Mais uma vítima do Enigma de Fermat? Em 1996, Wiles reapresenta a demonstração e sobre a qual não há qualquer contestação. Cumpre esclarecer que Wiles utilizou conceitos avançadíssimos, com os quais Fermat nem poderia ter sonhado. Assim chega o fim uma história épica na busca do Santo Graal da Matemática. Propiciando notáveis avanços em vários ramos da matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos está admiravelmente descrita no livro “O Último Teorema de Fermat”, do autor inglês Simon Singh, com 300 páginas. E o que pensa a comunidade dos matemáticos a respeito de Fermat? A maioria admite que ele escreveu com convicção que “a margem do livro era muito pequena”, porém sua demonstração possuía erros. Jocoso é o nova-iorquino anônimo que grafitou numa estação de metrô: xn + yn = zn Descobri uma demonstração admirável para este teorema... porém, o trem está chegando! Que pena! (Do autor) 34
  • 35. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional 1. SISTEMACARTESIANOORTOGONAL ì ï ï í ï ï î 14243 y Py y O P Px x x Um sistema de eixos orto-gonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de mesma origem O. A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das or-denadas; os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ouquadrantes. Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada umdos eixos, determinando neles ospontosP e P , detal sortequex=OP e y=OP . x y x y Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas ou também chamadas coordenadas retan-gulares: coordenadas cartesianas ondexé dePeya deP. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano umúnico ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entre ospontos doplanoeos pares denúmeros reais. a)O = (0, 0) origemdosistemacartesiano. b)P =(x, o) projeção ortogonal de P sobre o eixo dasabscissas. c)P =(0, y) projeção ortogonal de P sobre o eixo dasordenadas. x y abscissa ordenada Particularidades ®® ® P = (x, y)
  • 36. Jacir. J. Venturi 2. SISTEMACARTESIANOOBLÍQUO O sistema cartesiano será denominado oblíquo se o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º. Propositalmente, emrespeito à sim-plicidade olvidamos o estudo em eixos oblíquos. Tais sistemas mono-tonizam a exposição e dificultam sobremaneira a dedução e memori-zaçãodefórmulas. y Py y 3.PARESORDENADOS:OPERAÇÕESEIGUALDADE a) Adição (x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) 1 1 2 2 1 2 1 2 Exemplo: (2, 5) + (1, - 3) = (3, 2) b) Multiplicaçãoporum númeroreal k Exemplo: 3(5, 1) = (15, 3) k (x , y ) = (kx , ky ) 1 1 1 1 c) Igualdadededoisparesordenados (x , y ) = (x , y) x =x e y = y 1 1 2 2 1 2 1 2 Exemplo: (x 1, y + 3) = (1, 7) Donde: x 1 =1 x=2 y+3=7 y=4 - Û - - ® ® - 14243 O P Px x x
  • 37. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 4. DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS Dados dois pontosP =(x , y ) e 1 1 1 P =(x , y ), deseja-secalcular a 2 2 2 distância d entre P e P . Apli-cando 1 2 o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo P AP , 1 2 tem-se: d 2 =(x - x ) 2 +(y - y ) 2 ou 2 1 2 1 y y2 y1 P2 A d x – x 2 1 P1 y – y 2 1 O x1 x2 x = - 2 + - 2 d (x x ) (y y ) 2 1 2 1 Exercícios "O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença." Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho. Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas 01. P + A = cartesianas dePem . Resp.:P=(0, 7) 2 B O segmento AB tem comprimento de 4 unidades. Conhe-cendo- - 02. seopontoA=( 2, 1), achar a abscissadeB, cujaordenadaé1. Resp.: -6e2 Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo - - 03. eqüiláterodevérticesA=(3, 3),B=( 3, 3)eC= . (-3 3, 3 3) Resp.: - 9 6 Dados os pontosA=(2, y), B =( 8, 4) e C = (5, 3), determinar y 04. paraqueABCsejaum triânguloretângulocomânguloretonovérticeA. Resp.: y = - 2 ou y = 9
  • 38. Jacir. J. Venturi 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. EncontreopontoP=(x, y) eqüidistantedos pontosP =(0, - 5), P =(- 1, 2) eP =(6, 3). ö æ ± ± = , a 3a C a 3a Um triângulo eqüilátero tem vértices A= (x, y), B= (3, 1) e C=(- 1, - 1). Calcular o vérticeA. 1 2 3 Resp.:P=(3, - 1) Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendoqueéeqüidistantedos pontosA=(1, )eB=(2, ). Resp.:P=(1, 0) Dois vértices opostos de umquadradosãoos pontos (1, 2) e ( 5, 6). Determineaáreadoquadrado. Resp.: 26 SejamM = (2, - 1),M = (1, - 2) eM = (- 1, 3) os pontos médios dosladosdeum triângulo. Achar os vérticesdessetriângulo. Resp.: (4, - 6), (- 2, 2), (0, 4) Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar as coordenadasdovérticeC, sabendo-sequeotriânguloABCéeqüilátero. Resp.: Resp.: ou Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vérticesA=(5, - 6),B=(1, 2)eC=(3, - 4). Resp.: (11, 2 ) (circuncentro) - 1 2 3 3 2 ÷ ÷ ø ç ç è 2 2 3 1+ , 3 – 2 ) ) 3 1– , 3 2 ) )
  • 39. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 5.PONTOQUEDIVIDEUMSEGMENTONUMARAZÃODADA y Seja o segmento de extremidades P = (x , y ) e P = (x , y ). O pontoP=(x, y) divideosegmento PP numarazãodadak. Então: k (P P P) P 1 P Introduzindo as coordenadas de P ,P eP 1 2 + x x1 x2 M + y y1 y2 M 6. BARICENTRODEUM TRIÂNGULO e Isolando-sexey: e Casoparticular Se k = -1, então o ponto coincide com o do segmentoP P . Dondeseinfereas fórmulas: e Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força paraselevantar o sistemaemequilíbrio. Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pela intersecçãodas medianas. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 P ponto médio a) Definição y2 y y1 P P1 P2 x1 x x2 x k x x x x = - - 1 2 k y y y y = - - 1 2 x x kx k = - - 1 2 1 y y ky k = - - 1 2 1 P P 2 1 2 = = 2 = 2 =
  • 40. y 2 AM 3 1 AM 3 + + 3 + + - 2 = yA yB yC G 3 A A B B C C (AMG) AG Então : AG Exercícios Jacir. J. Venturi b) Cálculo DadootriângulodevérticesA=(x ,y ),B=(x ,y )eC=(x ,y ). Obaricentro G divide a mediana AM numa razão facilmente determiná-vel: Introduzindoas abscissas : - - Mas: Substituindo-se 2 em 1 tem-se: - 2 3 2 Analogamenteparaaordenadadobaricentroobtém-se: A G B M C ou x x x G = A M x x x x G A G M = -2 1 x x x M = B C 2 x x x x G = A B C "Quando morreres, só levarás contigo aquilo que tiveres dado." Saadi (1184-1291), poeta persa. Determinar as coordenadas dos pontosP eP que dividem o segmentoA=(3, - 1)eB=(0, 8) em 3 partes iguais. 1 2 Resp.:P =(2, 2) eP =(1, 5) 1 2 01. 2 MG 2 1 MG = - = - - = =
  • 41. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 02. B = (4, 5) deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com- primento quintuplique? 03. 04. Até que ponto da reta o segmento de extremos A = (1, - 1) e 05. Resp.: P = (16, 29) O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G = (4, 0) e M = (2, 3) o ponto médio de BC . Achar as coordenadas do vértice A. Resp.: A= (8, - 6) Num triângulo ABC, são dados os vértices A = (- 4, 10) e B = (8, -1). Determinar o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situados respectivamente sobre os eixos y e x. Resp.: G = (0, 3) e C = (- 4, 0) Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que é dividido em três partes iguais pelos pontos P = (- 1, 3) e P = (1, 5). 1 2 Resp.: A = (- 3, 1) e B = (3, 7) 7. SISTEMA POLAR No plano, a importância do sistema polar só é suplantada pelo sistema cartesiano. É utilizado, entre outras disciplinas, em Cálculo Diferencial e Integral, onde o sistema polar apresenta próceras vantagens. Mais especificamente, na representação de certas curvas e em problemas relativos a lugares geométricos. Na prática também empregado na navegação, aviação, etc. O sistema polar é carac- terizado no espaço bidimensional por uma reta orientada p e um ponto O pertencente a tal reta. O P p r q p ® eixo polar do sistema O® pólo do sistema 41
  • 42. Jacir. J. Venturi O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas b) Convenção + r q distânciapolar ouraiovetor argumento anomalia ângulopolar O p - polares: P = ( , ) onde: =OP( 0) é a deP. (0º <2 ) é o , ou deP. Reciprocamente, dado um par ordenado de números reais, é possível localizar no plano umúnico ponto, do qual aqueles números são ascoordenadas polares. Oargumento será considerado positivo se sua orientação for a do sentido anti-horário e se no sentido horário. O raio vetor é quando assinalado no lado terminal de e quando no seu prolonga-mento. OBSERVAÇÃO: Tenha-se presente que o argumento admite múltiplas determinações: 2k + . Na prática, utiliza-se o em que o raio das circunferências concêntricas aumentamde1em1cm, e os ângulos de 15º em 15º. Compensa-se a ausência do papel quadriculado polar com réguamilimetradaetransferidor. Exemplos: Representar ospontosem coordenadas polares: A=(5, 30º) B=(4,150º) C=(7, - 30º) D=(4, - 120º) negativo positivo negativo c) Representaçãográficadepontos papel quadriculado polar r r³ q £q p q r q q p q
  • 43. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 180º 180º O d) Gráficodeumaequaçãoem coordenadaspolares 150º 165º 120º 135º 105º 90º 75º 60º 45º 30º 15º O 1 2 p 1 q OBSERVAÇÃO: É lícito admitir-se a distância polar afetada do sinal de menos. Como = f( ) haverá uma correspondente alteração para . É fácil anuir na figura ao lado, que os pontos C e D por exemplo, podem se apresentar com outras coordenadas po-lares. Assim: C=(7,330º) ouC=(- 7,150º) D=(4,240º) ouD=(- 4,60º) A representação gráfica de uma equação em coordenadas polares se obtém arbitrando-se valores para a variável independente e calculando-seoscorrespondentesvalorespara . Exemplo: Construir o gráficode =1+cos . r q q q r r q TABELA DE VALORES 150º 210º 240º 270º 300º 330º 0º 30º 60º 90º 120º -30º 30º B A P D C
  • 44. Jacir. J. Venturi um polar; ou de um polar para o cartesiano. y Py y OBSERVAÇÃO: A curva da página anterior denominada cardióide apresenta simetria em relação ao eixo polar p, pois cos q é igual a cos (- q). 8. PASSAGEM DO SISTEMA POLAR PARA O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Por vezes, é oportuno passar de um referencial cartesiano para P O x P x º p x y x Exercícios r q Fazendo o eixo polar p coincidir com o eixo cartesiano x e O concomitan- temente pólo e origem dos dois sistemas. Portanto: P = (x, y) ® coordenadas cartesianas P = (r, q) ® coordenadas polares Do triângulo retângulo OP P obtém-se as relações: x 1) r2 = x2 + y2 2) x = r cos q 3) y = r sen q 4) tg q = OBSERVAÇÃO: Além dos dois sistemas mencionados, há outros menos usuais, quais sejam: sistema bipolar, sistema pólo-diretriz, sistema de coordenadas baricêntricas, etc. "É bom ter dinheiro e as coisas que o dinheiro pode comprar. Mas é bom também verificar de vez em quando se não estamos perdendo as coisas que o dinheiro não pode comprar." George Horace Lorimer 44
  • 45. A = (-3, 3 3) - (3 3, 3) - æ p çè ö ÷ø æ p çè 6 6, 1 1 2 = ÷ø r æ + q r 6, 2 çè = ö ÷ø 3 ö sen 2 5 2 ( 3 ,-1) (- 3,-1) ö ÷ø ö ÷ø æ p = - P 2, çè 6 æ p = Q 2, 7 çè 6 r q r q - ö ÷ø æ p = - çè 3 A 2, ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 01. 02. 03. 04. Passar dosistemacartesianoparaosistemapolar: a) Resp.: b)B= Resp.: - r r- q c)x +y 3x=0 Resp.: ( 3cos )=0 r r q d) (x +y ) =3(x y ) Resp.: =3 cos2 e)x +y +xy=5 Resp.: f) x +y =0 Resp.: a) Resp.: b) Resp.: 2 q + q sen cos c) =k sen2 Resp.: (x +y ) =2k xy d) cos 2 =2 Resp.: (x y ) =2(x + y ) Resp.: Resp.: 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 Passar dosistemapolar paraosistemacartesiano. Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de emrelaçãoaoeixopolar. ö ÷ø æ p çè 3 2, ldemparaopontoBdecoordenadascartesianas(4, 3). ö ÷ø æ çè 5, arc cos 4 5
  • 46. Jacir. J. Venturi 2 r £q£p O P y x (semi-circunferência de raio igual a 2) r 2 2 q 2 22 2 2 2 Tal curva do 4.º grau, descoberta por Jacques Bernoulli, é denominada Lemniscata (do grego lemnisko que significaornato, laçodefita), Série B 05. r q r = k q ö ÷ø Resp.: (x +y ) = a (x y ) æ arc tg y ö 2k æ arc tg = y çè 2 2 æ x2 y2 a + = x Resp.: 06. 07. Representar =2e0 Transformar a equação =a cos2 , do sistema polar para o sistemacartesiano. Passar dosistemapolar paraosistemacartesiano: a) =k Resp.:x +y =k 2 2 2 (espiral deArquimedes) b) Resp.:x +y = (espiral hiperbólica) c) log =k Resp.: (espiral logarítmica) - r q OBSERVAÇÃO: a 2 x ÷ø arc tg y ö çè 2 2 x k ÷ø çè
  • 47. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA O OBSERVAÇÃO: Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivos gráficos: p O p a) espiral de Arquimedes b) espiral hiperbólica c) espiral logarítmica O p Aespiral logarítmica é aplicada emMecânica dos Solos, por ser a forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço terroso. Deduzir a fórmula da distância entre os pontosP =( , ) e P =( , ),em coordenadaspolares. Resp.: SUGESTÃO: 2 2 - 2 2 2 1 2 2 1 = r + r - 2r r cos(q - q ) d =(x x ) +(y y ) Substitua: x = cos ,x= cos ,y = sen ,y= sen 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 r q r q - r q r q r q r q 08. d2 1 2
  • 48. Jacir. J. Venturi 09.Construir o gráfico de r = 3 + sen q. Resp.: 210º 330º 240º 270º 300º 150º 180º 120º 90º 60º 45º 30º p 3 4 3 O "Deus não dá fardos pesados para ombros fracos." Adágio popular
  • 49. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA BIBLIOTECA DE ALEXANDRIA A destruição da Biblioteca de Alexandria, no Egito, às margens do Mar Mediterrâneo, talvez tenha representado o maior crime contra o saber em toda a história da humanidade. Em 48 a.C., envolvendo-se na disputa entre a voluptuosa Cleópatra e seu irmão, o imperador Júlio César manda incendiar a esquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria. O fogo se propaga até as dependências da Biblioteca, queimando cerca de 500 mil rolos. Restaram aproximadamente 200 mil. Depois que o imperador Teodósio baixou decreto proibindo as religiões pagãs, o Bispo Teófilo – Patriarca da cidade, de 385 a 412 d.C. – determinou a queima de todas as seções que contrariavam a doutrina cristã. Em 640 d.C., o califa Omar ordenou que fossem destruídos pelo fogo todos os livros da Biblioteca sob o argumento de que "ou os livros contêm o que está no Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lê-los". Todos os grandes geômetras da Antigüidade se debruçaram sobre os seus vetustos pergaminhos e papiros. Euclides (c.325 - c. 265 a.C.) fundou a Escola de Matemática na renomada Biblioteca. Fazia parte de seu acervo a mais conspícua obra de Euclides, Os Elementos, que constitui um dos mais notáveis compêndios de Matemática de todos os tempos, com mais de mil edições desde o advento da imprensa (a primeira versão impressa apareceu em Veneza, em 1482). Segundo George Simmons, "a obra tem sido considerada responsável por uma influência sobre a mente humana maior que qualquer outro livro, com exceção da Bíblia ". A já citada Biblioteca estava muito próxima do que se entende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B. Boyer, em A História da Matemática: "A Universidade de Alexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas de cultura superior. Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela capacidade de ensinar. Pelos relatos que possuímos, parece que Euclides definitivamente pertencia à última categoria. Nenhuma nova descoberta lhe é atribuída, mas era conhecido por sua habilidade de expor. Essa é a chave do sucesso de sua maior obra, 'Os Elementos' ". Pela trigonometria, um outro diretor da Biblioteca, Eratóstones (276 - 194 a.C.), comprovou a esfericidade da Terra e mediu com precisão e engenhosidade o perímetro de sua circunferência. 49
  • 50. Num dos rolos de papiro, encontrou a informação de que na cidade de Siena (hoje Assuã), ao sul de Alexandria, ao meio-dia do solstício de verão (o dia mais longo do ano, 21 de junho, no hemisfério norte) colunas verticais não projetavam qualquer sombra; ou seja, o Sol se situava a prumo. Entretanto, o nosso conspícuo geômetra observou que no mesmo dia de solstício, as colunas verticais da cidade de Alexandria projetavam uma sombra perfeitamente mensurável. Aguardou o dia 21 de junho do ano seguinte e determinou que se instalasse uma grande estaca em Alexandria e que se escavasse um poço profundo em Siena. Ao meio-dia, enquanto o Sol iluminava as profundezas do poço de Siena (fazia ângulo de 90º com a superfície da Terra), em Alexandria, Eratóstenes mediu o ângulo q = 7º12', ou seja: 1/50 dos 360º de uma circun- ferência. Raios de Sol Estaca Superfície da Terra Portanto, o comprimento do meridiano terrestre deveria ser 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena. Por tais cálculos, conjecturou que o perímetro da Terra seria de 46.250 km. Hoje sabemos que é de 40.076 km. Aproximação notável, considerando-se a época da medição. Precedeu a experiência um feito digno de nota: Alexandria e Siena situavam-se a grande, porém, desconhecida distância. Para medi-la, Eratóstenes determinou que uma equipe de instrutores com seus camelos e escravos a pé seguissem em linha reta, percorrendo desertos, aclives, declives e tendo que, inclusive, atravessar o rio Nilo. Distância mensurada: 5.000 estádios ou cerca de 925 km. Ademais, as cidades de Alexandria e Siena não estão sobre o mesmo meridiano como supunha Eratóstenes, havendo uma diferença de quase 3 º. (Do autor) Jacir. J. Venturi 50 Poço m 925 k Siena q Alexandria
  • 51. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional 1. SISTEMACARTESIANOORTOGONAL Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas variáveis. Na espacial, três variáveis. Nesta se exigirá maior esforço de visualização das figuras. O conjunto de pontos do espaço tridimensional seráindicadopor E 3 . Sejamx, y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O. Destarte o triedro (Ox, Oy, Oz) é triretângulo. Principais elementos : - pontoO ® origemdosistemacartesiano. - retas orientadas ® eixos cartesianos. - planos xy, xz, yz ® planos cartesianos. z P2 PZ P3 P z O y x Px P1 Py x y Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados e juntamente com estes individualiza-se um paralelepípedo retângulo, cujasfaces interceptamos eixosxemP,yemP ezemP . x y Z Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas
  • 52. Jacir. J. Venturi cartesianas ortogonais : P=(x, y, z) onde: x=OP abscissa x y=OP ordenada y z=OP cota z Osistema cartesiano emestudo estabelece uma correspondência bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões, denominadas oitantes ou octantes. Particularidades a)O=(0, 0, 0) origemdosistemacartesiano. b)P = (x, y, 0),P = (x, 0, z),P =(0, y, z) representamas projeções 1 2 3 ortogonais dopontoPsobreos planoscoordenados xy, xzeyz. c)P =(x, 0, 0),P = (0, y, 0),P =(0, 0, z) representamas projeções x y z ortogonais dopontoPsobreos eixos coordenadosx, y e z. d) Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um sistemadecoordenadas oblíquas. São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar. comas triplas (x , y , z ) e (x ,y , z ), bemcomoacondiçãodeigualdadede2 1 1 1 2 2 2 triplas(item3, docapítulo3). Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo o estudo de espaços a 4 ou mais dimensões. Einstein, em sua Teoria da Relatividade apóia-se em um espaço de 4 dimensões. E toda a nossa estrutura mental, fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensões sofre uma vigorosa transformação. Por exemplo, num espaço de 4 dimensões (não representável geometricamente), a intersecção de dois planos podeser umúnicoponto.Ouainda, é factível a retiradadeumobjeto (ou um ponto) do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas paredes. Dados dois pontosP = (x , y , z ) eP = (x , y , z ), a distância d 1 1 1 1 2 2 2 2 ® ® ® ® 2. DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS
  • 53. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA entre os pontos P e P é dada pela fórmula: 1 2   2   2   2 d (x2 x1) (y 2 y 1 ) (z 2 z 1 ) Para a demonstração, considere d a diagonal de um paralelepípedo de vértices opostos P e P . Ou mais facilmente, veremos 1 2 no capítulo 5 (multiplicação escalar de 2 vetores). d P2 z – z 2 1 x – x 2 1 y – y 2 1 P1 z O y x 3. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA. A demonstração é análoga ao espaço bidimensional. A determinação das coordenadas do ponto P = (x, y, z) que divide o segmento P = (x , y , z ) e P = (x , y , z ) numa certa razão k, se faz pelas fórmulas: 1 1 1 1 2 2 2 2 x x kx   z z kz   y y ky  1 2 1 k  1 2 1 k    1 2 1 k Para k = -1, tem-se as coordenadas do ponto médio de P P 1 2. 4. BARICENTRO DO TRIÂNGULO Também aqui a dedução é análoga ao plano. Consideremos o triângulo de vértices A = (x , y , z ), B = (x , y , z ) e C = (x , y , z ). O A A A B B B C C C baricentro G é obtido pelas fórmulas : 53
  • 54. Jacir. J. Venturi x + + x x x = A B C G 3 y + + y y y = A B C G 3 z + + z z z = A B C G 3 Exercícios "Existe umparalelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles emque a atividade matemática é nula ou quase nula." 3 - 3 2 01. A=( , 0, 1),B=( , 0, 1),C=(0,2 , 2) e D=(0, 0, 4). 02. SUGESTÃO: 03. 04. SUGESTÃO: (JACQUES CHAPELLON) Calcular a somadas arestas dotetraedroregular devértices Provar queos pontosA=(2, 0, 1), B = (3, 1, 5), C = (4, 2, 9) são colineares. AC AB BC Achar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontos A=(1, 1, 3)eB=(2, 2, 1). Verificar seos pontos sãovértices dealgumtriânguloretângulo. Resp.: Bastar verificar qued =d +d Resp.: Calcule 2 , 2 , 2 eobserveque = + (Pitágoras). - ö 0, 1 æ - , 0 A = (2, 1, 2), B = (1, 2, -1) eC= (-1, 0,- 1) AB BC AC AC AB BC 2 2 2 12 3 ABC é triângulo re-tângulo com o ângu-lo reto emB. Resp.: ÷ø çè 3
  • 55. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 05. 06. 07. 08. 09. 10. Nafigura, achar ascoordenadas dos pontosA, B,CeP. - - Provar queotriânguloA=(1, 2, 0), B = (4, 0, 1) e C = (2, 1, 2) éeqüilátero. Resp.: A=(2, 4, 0) B=(2, 0, 3) C=(0, 4, 3) P=(2, 4, 3) Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento narazão2. DadosA=(2, 5, 1)eB=(3, 0, 2). - - Resp.:P=(4, 5, 3) No sistema cartesiano ortogonal, determinar as distâncias do pontoP=(1, 4, 2) aoseixoscoordenados x, y e z. Resp.: Achar os pontos doplano xz cujadistânciaao ponto é2eaopontoB=(2, 0, 1) é 3 (Barsotti). Resp.: ö æ , 0, 2 2 ö æ , 0, 2 P' 2 Numtriângulo ABC são conhecidos os vértices B = (2, 1, 3) e C=(0, 5, 4) e tambémobaricentroG=(1, 2, 3). Calcular o vérticeA. Resp. : A = (1 , 0, 2) AB - - - - A=(1, 1, 0) z 3 O B P 2 A 4 y x C 2 5, 5, 17 e ÷ ÷ ø ç ç è - - = 1 2 P 2 ÷ ÷ ø ç ç è - - = 1 2 2
  • 56. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Os pontos A, B, M são colineares e M é o ponto médio de . Sabendo-se que A = (1, 3, 5) e M = (0, 1, 2), achar as coordenadas carte-sianas dopontoB. AB Resp.:B=( 1, 1, 1) Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o baricentro G=(2, 2, 3) e os pontos médios de dois lados, M = (1, 2, 4) e M =(2, 3, 3). Resp.: (2, 0, 3), (0, 4, 5), (4, 2, 1) Achar o volume da pirâmide de base OABCePovértice supe-rior. Resp.: 12u.v. Abaseéum quadrado, cujoladoé2. AalturahéacotadopontoP, ouseja, h = 9. = 1 3 ( ) Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A = (1, 1, 2) e B = (4, 5, 6) para que se triplique o seu comprimentonosentidodeAparaB? Resp. : (10, 17, 14) OpontoPpertence ao eixo z e eqüidista dos pontos A = (2, 3, 0) eB=(0, 1, 2). Encontrar P. Resp.: P=(0, 0, 2) Dados dois vérticesA=(9, 5, 12)eB=(6, 1, 19) deum parale-logramo ABCD e P = (4, 1, 7) o ponto de intersecção de suas diagonais, determinar os vérticesCeD. Resp.: - - - - - - - 1 2 DadosO=(0, 0, 0),A=(2, 0, 0),B=(2, 2, 0),C=(0, 2, 0)eP=(1, 1, 9). SUGESTÃO: C= (-1, 3, 2) eD= (2, -3, -5) Jacir. J. Venturi V S h OABC
  • 57. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA SUGESTÃO Asdiagonais deum paralelogramo sebissecamem seu ponto médio. 5. SISTEMACILÍNDRICO No espaço tridimensional o sistema cartesiano reina quase soberanamente. Em alguns tópicos da engenharia e em cursos de licenciatura, dois outros sistemas tambémsão usuais: o sistema cilíndrico eosistemaesférico. a a) Considere emumplano umsistema polar, cujopóloéOecujo eixo polar é p; alémdisso, considere umeixo z de origemOeortogonal ao plano . Dado um ponto qualquer P do espaço E , faz-se a seguinte construção, ilustrada na figura abaixo: P é projetado ortogonalmente sobre oplano esobreoeixoz;P' eP sãoas respectivasprojeções. z P P z z O P’ r q a p Assim, ficam determinados três números , e z que são suas coordenadascilíndricas: onde: =OP'( 0) é a deP. (0º <2 ) é o deP. a a r q r q r r³ q £q p 3 z P=( , , z) distânciapolar ouraiovetor argumento, anomaliaouângulopolar
  • 58. Jacir. J. Venturi z=OP éacotadeP. z Reciprocamente, dado um terno ordenado de números reais, pode-se localizar umponto no espaço, do qual os números dados são as coordenadas cilíndricas; portanto, háumacorrespondênciabijetoraentreo conjunto dos pontos do espaço e o conjunto de ternos ordenados de números reaisquesãoascoordenadas cilíndricas. OBSERVAÇÃO: A denominação - cilíndrica - provém de na figura se admitir um cilindrodebasecircular, cujoraioéaconstante noplano , e cuja geratrizéPP', quegiraemtornodez. b) Considera-se os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida Passagemdo sistema cilíndrico para o sistema cartesiano com o eixo das abscissas, o pólo coincida com a origem e o eixo z seja comumparaosdois sistemas. y y x O a q r Py Px P’ x º p P z Pz Então: P=(x, y, z)em coordenadas cartesianas P=( , , z)em coordenadas cilíndricas Observe-sequezécoordenadahomônimaparaosdoissistemas. OtriânguloretânguloOP P' doplano , estabeleceasfórmulas: x r a r q a ortogonal.
  • 59. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 1) r 2 =x 2 +y 2 2)x = r cos q 3)y = r sen q 4) tg q = O x q r P y P’ x y x Exercícios "Como pode a Matemática, sendo produto do pensamento humano, independente da experiência, se adaptar tão admiravelmente aos objetos da realidade?" ALBERT EINSTEIN (1879-1955) físico alemão. Naturalizou-se cidadão norte-americano em 1940. Passar dosistemacartesianoparaosistemacilíndrico. ö , 1 2 = æ- , 2 a) Resp.: b)B=(0, 1, 3) Resp.: æ p = , 2 A 2 ç ç è , 3 2 4 ö æ p = , 3 - r r q c) (x 2 +y 2 ) 2 =z 2 (x 2 y 2 ) Resp.: 4 =z 2 2 cos2 ö ÷ ÷ ø Efetuar a passagemdosistemacilíndricoparaosistemacarte-siano. ö A 6, 2 æ - a) Resp.: p b)B=(1,330º, ) Resp.: r q æ = - , p c) sen2 =2z Resp.: xy=z 2 2 2 01. 02. A = (-3, 3 3, - 2) ÷ø çè 2 A 1 ÷ø çè 2 B 1, ÷ø çè p = , 2 3 ö ÷ ÷ ø ç ç è , 1 2 2 B 3
  • 60. Jacir. J. Venturi 6. SISTEMAESFÉRICO SejaO(pólo) umponto do espaço E pelo qual passa uma reta orientada z (eixo polar). O plano é passante por z. P umponto do espaço q r a b O P z Ø ø S Plano meridiano de Greenwich P N q a Plano equatorial tridimensional. O semi-plano de bordo z contémP. Dado o ponto P, ficamdeterminados os três números , e ø, que são suas coordenadasesféricas: P = (r, q, ø) = OP, a deP; a deP é a medida do ân-guloqueoeixozformacomOP; ø a deP é a medida do ângulo que o plano forma com osemi-plano . Reciprocamente, dado um terno ordenado de números reais, é possível localizar no espaço umúnico ponto do qual os números do terno sãoascoordenadas esféricas. Para que a umpontocorresponda umúnico terno de coordenadas esféricas, costuma-sefazer as seguintes restrições : 0 0 0 ø<2 Na figura ao lado, tem-se uma aplicação notável do sistema esférico: as coordena-das geográficas deumpontoP.Oânguloøé a longitude de Pe a sua colatitude. Re-corde- se da geografia que colatitude é o complemento da latitude, esta representada nafigurapeloângulo . OBSERVAÇÃO: Adenominação provêmdo fa-todeseimaginar umasuperfícieesférica que contémP, de centro emOecujo raio éaconstante . a) distância polar ou raio vetor colatitude longitude ou azimute esférica 3 a b r q r q - - a b r³ £q£p £ p q a r
  • 61. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA b) Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano ortogonal a Faz-se coincidir o plano com o plano xz. O ponto P tem projeções sobreos eixos cartesianos ortogonais emP,P e P . OpontoP' é a projeçãodePsobreoplanocartesianoxy. x z Emrelaçãoaosdois sistemas, tem-se : P=(x, y, z) coordenadascartesianasdeP. P=( , , ø) coordenadasesféricas deP. Por construção, observe-se que P P = OP'. Do triângulo retângulo z= cos OP P, obtém-se: PP= sen e ® rq ® r q r q x y z z z z x a Px O Ø P’ b y y Py q r z Pz P Pz P z q r O
  • 62. OtriânguloretânguloOP P' fornece: * x=OP' cosø masOP' =PP= sen x= sen cosø * y=OP senø ou x ' y= sen senø 2 2 2 2 2 2 2 Exercícios Jacir. J. Venturi x O Ø P y P’ x = y x Grandesobrasnãonascemapenasdegrandesidéias. A = (2 2, 90º , 315º ) ö æ - = , 5 2 2 B 5 22 2 A = (9, - 3 3, 6) * tg ø Cálculode Dos doistriângulos retângulos emdestaque : OP 2 =x 2 +y 2 = P P 2 e =PP +z ou =x +y +z Passar dosistemacartesianoparaosistemaesférico: a)A=(2, 2, 0) Resp.: b) Resp.:B=(5, 135°, 45°) c) 5x 5y =8z Resp.:5 sen cos2ø=8cos ö æ p a) Resp.: z z z r q r q r q r r r - - r q q ' Transformar o sistemaesféricoemsistemacartesianoortogo-nal: 01. 02. ÷ ÷ ø ç ç è 2 , 5 2 ÷ø çè - p = 6 , 3 A 12,
  • 63. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA p p b) = æ ö Resp.:B=(0, - 5, 0) , 3 2 c)ø=45° Resp.: y = x Multipliqueambosos membrospelatangente. d) q =30º Resp.: 3(x +y ) = z Multipliqueambosos membrospeloco-seno. e) r - 3 rq cos =0 Resp. :x +y +z - 3z=0 Dadas as coordenadas esféricas de , obtê-lasem coordenadascilíndricas. Resp. : P = (2, 30°, 2 ) Sist. esférico sist. cart. sist. cilíndrico Dosistemacilíndrico, passar paraosistemaesférico: Resp. : SUGESTÃO: SUGESTÃO: SUGESTÃO: - ® ® 2 2 2 2 2 2 2 03. 04. P = (2 2, 45º, - 30º ) ö æ p = , 2 æ p = A 2 10, arc cos 10 O RATO PLANEJADOR A 6, 3 , 3 Dois ratos passeavam despreocupadamente. O primeiro rato vangloriava-se do seu doutoramento em planejamento nos EUA. Fazendo tocaia, um gato saltou e pôs a pata em cima do segundorato. Este, aterrorizado, suplicouaoratoplanejador: Oquevocêfazaí parado?Ajude-me! Estouplanejando! Planejandooquê?Socorro! Jásei: vireum pitbull! Mas como? Bem... euplanejo, vocêtemqueexecutar! - - - - - - ÷ø çè 2 B 5, ÷ø çè 4 ö ÷ ÷ ø ç ç è 4 10
  • 64. Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Vetores 1. SINOPSEHISTÓRICA A história da matemática raramente apresenta eventos bombásticos. As formulações inicialmente tênues e difusas percorremum espinhosotrajetoatéatingir a magnitudedeseudesenvolvimento. Oconceito de vetor surgiu na Mecânica comoengenheiro flamen-go Simon Stevin - o "Arquimedes holandês". Em1586 apresentou emsua , o problema da composição de forças e enunciou Estática e Hidrostática uma regra empírica para se achar a soma de 2 forças aplicadas num mesmoponto. Tal regra, a conhecemos hojecomoregradoparalelogramo. Os vetores aparecem considerados como "linhas dirigidas" na obra Ensaio Sobre a Representação da Direção publicada em1797 por Gaspar Wessel, matemáticodinamarquês. A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX comos trabalhos do irlandês WilliamHamilton (notavelmente precoce: aos 5 anos lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americanoJosiahGibbs. 2.GRANDEZASESCALARESEVETORIAIS Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número real, acompanhado pela unidade correspondente. Por exemplo: 5 kg de massa, 10m 2 de área, 12 cmde largura. Tais grandezas são chamadas de . Outras grandezas necessitamalémdonúmeroreal, tambémde escalares uma direção e de umsentido. Exemplificando: a velocidade, a aceleração, o momento, o peso, o campo magnético, etc. Sãoasgrandezas . 3. DEFINIÇÕES, ETIMOLOGIAENOTAÇÕES vetoriais a) Vetor DEF. 1: Vetor é umatriplaconstituídadeumadireção, umsentidoe um númeronãonegativo. b) Vetor DEF. 2: Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesmadireção, de mesmo sentidoede mesmo comprimento.
  • 65. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA c) Imagemgeométricaourepresentantedeum vetor imagem geométrica representante vetor imagem geométrica do veto abusus non tollit usum d) Etimologiadapalavravetor Vetor transportado, levado e) Notaçõesde vetor I. II. III. Na figura ao lado tem-se um conjunto de segmentos orientados de umúnico vetor. O segmento orientado é um conjunto de pontos, ao passo que vetor é um conjunto de segmentos orientados. Cada segmento orientado é, a rigor, a ou o deum vetor. A figura apresenta quatro segmen-tos orientados ou então quatro imagens geométricasdeum mesmovetor. Como abuso de linguagem, em-prega- se a palavra em vez de r. De acordo com a locução latina (o abuso não tolhe o uso) também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como imagemgeométricadovetor. Provém do verbo latino vehere : transportar, levar. é o particípio passado de , signifi-cando . Apesar de primitiva e até bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "trans-portado" atéB. Umaletralatinaminúsculaencimadaporumaseta. Exemplos: a, b,c…u, v,w... Umaletralatinaminúsculasobrelinhada. Exemplos: , , … , , ... Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre-sentantedovetor. Exemplo: AsomadopontoAcomovetor v éopontoB. vehere a bc u v w A B ® ® ® ® ® ®
  • 66. Jacir. J. Venturi origem extremidade algébricas e é devida ao matemático alemão H. Grassmann (1809-1877). Tambémbastanteusual a notação v=AB z 4 O x 1 ® ondeAéa eBéa dovetor. Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações IV.Umaternaordenadadenúmerosreais: v=(x ,y ,z ) 5 y P B ®v A ®v A + v = B ou v = B - A ® ® ® ® ® ® OBSERVAÇÃO: ® 1 1 1 ® f) Módulo (| |) ® Exemplo: v=(1, 5, 4) Nafigura v=(P - O) Comoabusodenotação tem-seainda v=(P - O)=P Usualmente, quandojáestiver fixadoosistemadecoordenadas, o representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a origemdosistema. v Éonúmeronãonegativoqueindicaocomprimentodovetor. Exemplo: Então | v |=4 g) Vetor nulo ( ) 0 É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo iguala zero . O vetor nulotemcoordenadas (0, 0, 0) e suarepresentaçãográficaéaorigem dosistemadecoordenadas.
  • 67. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA h) Vetor unitário É o vetor de módulo igual a 1. Exemplo: ® v 1 i) Versor O versor de um vetor v não nulo, é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido de v . Exemplos: 1. ® w vers v ®  v 2. vers O vetor unitário coincide com o seu próprio versor. j) Vetor oposto Dado um vetor AB o seu oposto é o vetor BA e se indica por - AB. ® ® | v | Então: | v | = 1 ® então vers v  v ® w vers ® v ® ® v ® ® O vetor oposto de um vetor v é representado por - v. ® v ® –v ® ® 3 ® então vers w  w 4 Exemplo: 4. PARALELISMO DE VETORES a) Definição Dois vetores u ® ® e v de mesma direção são ditos paralelos. lpso facto, suas imagens geométricas podem ser representadas sobre uma mesma reta. 67
  • 68. Jacir. J. Venturi Os vetores u e v são paralelos e podem ser representados ®v ®u ®u ®v OBSERVAÇÃO: u v No entanto, as retas r e s são Os vetores e são paralelos ou colineares. paralelas e jamais colineares. ®v ®u A B r s b) Vetoresequiversosecontraversos contraversos ®v ®u equiversos ®v ®u Exemplo: ® ® colinearmente: Face o exposto até aqui, podemos associar ao conceito de vetor a idéiadetranslação. Tal idéia, comoésabido, nãosetransferepara retas paralelas, uma vez que estas possuem posições fixas e determinadas. Exemplo: Dois vetores paralelos são se de mesmo sentido. Se desentidoscontrários, são . Exemplo: u e v são equiversos u e v são contraversos ® ® 5.MULTIPLICAÇÃODEUMVETORPORUM ESCALAR a) Definição k ® ® Seja umescalar e v umvetor. O produto do vetor v pelo número k ® real érepresentadopor kv. Então, se:
  • 69. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA I. lI. k>0 Os vetoresvekvsãoequiversos. Exemplos: u(dado) 1 k<0 Osvetoresvekvsãocontraversos. Exemplo: b) Casosparticulares: 0( v )= 0 . ® ® kv=0 k = 0 ou v = 0 . ( 1) v = v onde v éoopostode v . c) Propriedades Nas expressões abaixo, m e n são escalares quaisquer e v e wsãovetoresarbitrários: I. Propriedade associativaem relação aos escalares. m(nv) = n(mv) = (mn) v II. Propriedadedistributiva em relaçãoàadiçãodeescalares. (m+n) v= mv+nv III. Propriedadedistributivaemrelaçãoàadiçãodevetores. m(v+w)=mv+mw lV. Sev =(x ,y ,z ), então: mv =m(x ,y ,z ) = (mx ,my ,mz ) Þ - - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ®u 2 ® ® u (dado) ® – 2u ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®
  • 70. Jacir. J. Venturi 6.COPLANARIDADEDEVETORES Os vetores u, v e w são coplanares se tiverem imagens geomé-tricas paralelas ao mesmo plano. Cumpre enfatizar: dois vetores são sempre coplanares, enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares. Exemplos: ® ® u, v e w são coplanares Convenção: a ® ® u, v e w não são coplanares O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor; é coplanar a qualquer conjuntodevetores coplanares. b ®w ®v ®u a ®w ®v ®u 7. ADIÇÃODEVETORES a) Definição Dados dois vetores u e ® v, para se obter a soma ® u + ® v, fixamos um ® ® ponto qualquer A do plano u e v e consideramos os pontos B = A + u eC=B+® v, conformeafigura; nessascondições, u+® v =(C-A). Denotandopor diferençadepontos: u+v=(B-A) + (C-B) = (C-A) Donde AC é o vetor resultante, obtido daadiçãodeucomv. C ®u A B ®v ® Geometricamente, a soma de n vetores (sendo n um número inteiro positivo qualquer) é feita considerando imagens geométricas dos
  • 71. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem dovetor seguinte; o vetor somaéovetor quefechaapoligonal. Exemplos: Dados u,v e w,obter graficamenteasoma: Dados a) u + w = ? ®w b) v + w = ? c) u + v + w = ? Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a ®v poligonal, tendo por origem, a origemdo primeiro vetor e por extremidade, aextremidadedoúltimovetor. b) Sobaformadetriplas: Dados osvetores u=(x ,y ,z ) e v=(x ,y ,z ), entãou+ v=(x +x ,y +y ,z +z ). 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 c) Propriedades I. Comutativa: u+v=v+u Demonstração: Considereas imagens geométricas dos vetores u evrepresentadosnafigura. ®u ®w ®u ® ® u + w ®w ®v ®u ®w ®v ® ® v + w D C ®v A B ®v ®u ®u ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® 1.º membro: ® u + ® v = (B - A) + (C - B) = (C - A) 2.º membro: v + u = (D - A) + (C - D) = (C - A) donde u + v = v + u (cqd) ® ® ®
  • 72. Jacir. J. Venturi A Conseqüência Regra do paralelogramo: OBSERVAÇÃO: B C D ®w ®v ®u ® 8.SUBTRAÇÃODEVETORES a) Definição Dados osvetores u e v, definimosadiferença u -v por: ® ® ® ® u - v = u + (- v). A diagonal do paralelogramo cons-truídosobreas imagens geométricas de u e v representaasoma u + v . Sabe-se que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas. Para a "regra do paralelogramo" construído sobre as imagens geométricas de u e v demesmaorigemA, adota-seadiagonal que contémopontoA. A"regradoparalelogramo" é muitousual nacomposiçãodeforças em Mecânica. ( u + v )+ w=u+(v+w) Demonstração : Sejamu,v ewvetoresdados. 1.º membro: ( u + v ) = (B-A) + (C-B) = (C-A) (u+v)+w=(C-A) + (D-C) = (D-A) 2.º membro: (v+w)=(C-B) + (D-C) = (D-B) u+(v+w)=(B-A) + (D-B) = (D-A) Então: (u+v)+w=u+(v+w) (qed) u+0=u Dado um vetor u, existe um único vetor indicadopor - u, tal que : u+(- u ) = 0 Ovetor ( - u ) é o vetor opostodeu. u+v=u+w v=w II. Associativa: III. Elementoneutro: lV. Elemento oposto: V. Lei docacelamento: Þ ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®
  • 73. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Denotandopor diferençadepontos : 1.º caso: u - v = (B-A) - (C-A) = (B-C) 2.º caso: v - u = (C-A) - (B-A) = (C-B) C A B C ®u ® ® v – u Graficamente, a diferença de dois vetores u e v é obtida fazendo-se ®v com que u e v tenham a mesma origem. A diferença de vetores não é comutativa: u -v ¹ v - u. b) Exemplos 1) Dados osvetores u,v e w obter graficamente: ®v ® ® u – v ®u A B Dados a) u + w = ? b) u - w = ? c) v + w = ? d) v - w = ? e) ®w ®w ®u ®v ®w ®v ®u ®w ®v ®w ®u 1 - = 1 ® ® v – 2u 2 ®v 1 2 ® 2u ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® v 2u ? 2
  • 74. Jacir. J. Venturi 2) Num paralelogramo construído sobre dois vetores u e v, as diagonais são as imagens geométricas do vetor soma u + v e do vetor diferença u - v. Exercícios ®v ®v ®u ®u ® ® u + v ® ® u – v “Quemquer fazer alguma coisa encontra ummeio. Quemnão quer fazer nada, encontra uma desculpa." Aforisma árabe Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u=(2, 3, -1), sendosuaextremidadeopontoB=(0, 4, 2). Resp.:A=(-2, 1, 3) Nafiguraabaixoovetors=a+b+c+déigual a: Resp.: s = 0 Representados os vetores u e v na figura, achar graficamente ovetor x tal queu+v+x=0. Resp.: 01. 02. 03. ®a ®b ®c ®d ®v ®u ®v ® ® u + v ®u ®x ® ® ® (onde x = – (u + v)) ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®
  • 75. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 04. H G E F 05. 06. Nos cubosabaixo, representar a somados vetoresindicados. a) b) H G D C Resp.: a) (G-A) b) (E-A) D C No tetraedro e no paralelepípedo retângulo, achar a soma dos vetoresrepresentados por suasimagensgeométricas. D a) b) G E O C Resp.: a) (D-A) b) (E-O) C D Nohexágonoregular, obter: a) (B-A) + (E-F) + (F - A) b) (D-A) - (E-A) + (E-B) Resp.: a) (D-A) b) (D-B) A B A B F E A B A B F A B C D F E
  • 76. Jacir. J. Venturi 07. a) b) ® ® ® ® ® ® a) 2u - v + 4w b)3(u + v) -2(2v - w) 08. a) B) ® a) A + v b) 2A - 3B - v® 09. 10. 11. 12. 13. Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar: Resp. : a) (0, 11, 13) b) (1, 9, 7) Conhecidos A= (1, 3, 0), B = (5, 5, 2) e v = (1, 3, -2) calcular: Resp.: a) (2, 6, -2) b) (-14, -12, - 4) Sendo A= (2, 0, 1), B = (0, 3, -2), C = (1, 2, 0), determinar D = (x, y, z ) tal que BD = AB + CB. Resp. : D = (-3, 7, -7 ) Calcular o vetor oposto de AB sendo A= (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3). Resp. : BA= (1 , 5, -1) ® ® ® Conhecendo-se u = (1 , 2, 0 ), v = (0, 1, 3) e w = (-1, 3, 1) calcu-lar ® ® ® os escalares m, n e p em mu + nv + pw = (0, 0, 14). Resp.: m = -1, n = 5, p = -1 ® ® ® Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo u = (1, 2, 0) e v = (3, 0, 3), então w é igual a: Resp.: (-2, 2, -3) Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e v = (-3, 2, 5). ® w ® v ®u ® ® ® ® ® ® ® ® Resp.: x = (1, 0, -5) ® ® ® ® ® ® ® 76
  • 77. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 14. AP = 2 ö P 5 = æ , 3, 0 ® ® ® 9.COMBINAÇÃOLINEARDEVETORES Considere os vetores u , u , u , …u e os escalares k , k , k , … k . 1 2 3 n 1 2 3 n u , u , u , … u 1 2 3 n Diz-se que v é combinaçãolinear de quando escritos sob a formade: 10.EXPRESSÃOCARTESIANADEUM VETOR Seja x, y e z um sistema carte-siano ortogonal. Convencionou-se a) representar por i, j e k, nesta ordem, os versores dos eixos cartesianos ortogonais x, y e z. Então: i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k=(0, 0, 1) z ® Epeladefiniçãodeversor, quepossuem módulounitário, tem-se: | i | = | j | = | k | = 1 15. CalcularPtal que . DadosA=(-1, -1, 0)eB=(3, 5, 0). Resp.: Sabendo-sequeu e v sãoperpendiculares tais que | u | =5 e | v | = 12, calcular | u + v | e | u - v |. Resp.: 13e13 AB 3 ®k j ® ®i y x O v = k u + k u + k u + … k u 1 1 2 2 3 3 n n ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ÷ø çè 3
  • 78. Jacir. J. Venturi x 3 Os versores i, j e k constituemuma base ortonormal deE por ser formadadevetoresunitáriosemutuamenteortogonais. Considere-se umpontoP=(x, y, z ) do espaço tridimensional e i, y b) z z Pz x Px O y P Py ®v j e k os versores dos eixos carte-sianos ortogonais x, y e z. O vetor - v =(P O) tem origem em O e extremidade em P e pode ser ex-presso combinação linear z - expressão cartesiana x y ® ® ® ® coordenadas componentes OBSERVAÇÃO: c) Exemplos ® ® ® Doparalelepípedoretânguloobtém-se: A B C D G E O F 4 3 2 z y x OBSERVAÇÃO: ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® (P x - O) = x i (P y - O) = y j (P z - O) = zk tem-se ® ® ® ® ® ® ® como de i, je k. Do paralelepípedo re-presentado na figura ao lado ob-tém- se: (P-O) = (P -O) + (P -O)+(P -O) como (P O)= v = x i + y j + zk denominada do vetor (P - O), onde x, y e z são as x i , y j e zk as do citado vetor. O vetor v re-presenta a diagonal do paralelepípedo reto, cujas arestas são os vetores coordenadas x i , yj e zk. Emparticular o vetor (P - O) pode ter imagemgeométrica numdos planos cartesianos. Por exemplo, se (P - O) estiver no plano xy, a 3.ª coordenadaénula: (P-O) = x i+ yj. ® (A - O) = 2 i (C - O) = 4 ® j (G - O) = 3k ® ® ® (B - O) = 2i+ 4j (D - O) = 2i ® + 3k ® ® (F - O) = 4j + 3k ® (E - O) = 2i ® + 4j ® + 3k®