Progressão aritmética

Progressão Aritmética (P.A.)
• Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de
números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido
somando-se uma constante r (razão da P.A.) ao termo anterior.
Exemplos:
• A sequência 2, 4, 6, ... é uma P.A. de razão r=2 infinita (pois tem infinitos
termos)
• A sequência 5, 5, 5, ... é uma P.A. de razão r=0 infinita
• A sequência 6, 4, 2, 0, -2, ... é uma P.A. de razão r=-2 infinita
• A sequência 3, 5, 7, 9, 11 é uma P.A. de razão r=2 finita de 5 termos

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• Termo geral:
an  a1  ( n  1).r

an  am  ( n  m).r

an  an 1  r
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...
a5  a1  (n  1).r  1  (5  1). 3  13

a10  a5  (10  5).3  13  5.3  28
a3  7  a2  3  4  3

• Numa P.A., a partir do 2º termo, o termo central é a média
aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é:

an 1  an 1
an 
2
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...
a2  a4 4  10
a3 

7
2
2


• A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos
equidistantes:

a1  an  a1 k  an  k  2.ac
• ac é o termo central
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

a1  an  1  19  20  4  16  7  13  2.10


• A soma de n termos consecutivos de uma P.A. é dado por:
n.(a1  an )
Sn 
2

Que é a média aritmética entre os termos extremos (1º e último)
multiplicado pelos n termos da sequência.

•Exemplo: Seja a P.A. : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. A soma dos
termos desta sequência é:

n7
a1  5; a7  35

7.(5  35)
S7 
 7.20  140
2


•Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.A. em
que o termo geral da sequência é an=4n-3, n  N*.

n  10
a1  4.1  3  1
a10  4.10  3  37
7.(5  35)
S7 
 7.20  140
2

•Exemplo: Calcular a soma dos termos da P.A. finita (2, 5, 8, ...,
59):

a1  2
r  52  3
an  a1  (n  1).r  2  (n  1).3  59
2  (n  1).3  59  3n  1  59
3n  60  n  20


• A sequência 1, 3, 7, 13, 21, 31, ... é uma P.A. de 2ª ordem em que as
diferenças entre os termos consecutivos segue uma progressão
aritmética: 3-1=2, 7-3=4, 13-7=6, ...
• A P.A. formada da diferença é: 2, 4, 6, 8, 10, ... Com razão r=2. Isto
significa que o próximo termo da P.A. de 2ª ordem é 43 (=31+12);

• Podemos resolver este problema também através da fórmula:

a

( 2)
n

a

( 2)
1

S

(1)
n 1

Onde an(2) é o enésimo termo da P.A. de 2ª ordem, a1(2) é o 1º termo da P.A
de 2ª ordem e Sn-1(1) é a soma dos n-1 primeiros termos da P.A. de 1ª
ordem obtida pela diferença entre os termos consecutivos.

• Assim podemos obter o 7º termo (ou qualquer outro):

a

( 2)
n

( 2)
7

a

a

( 2)
1

S

(1)
n 1

(7  1).( a  a
 1
2
(1)
1

(1)
6

)

a6  a1  (6  1).2  2  5.2  12
( 2)
7

a

(7  1).(2  12)
6.14
 1
 1
 43
2
2

•Podemos definir P.A. de ordem 3, 4, 5, ..., n que são sequências
numéricas cuja diferença entre os termos formam uma P.A. de ordem 2, 3,
4, ..., n-1.

Uma P.A. possui seu 5º termo igual a 22 e o seu 15º termo igual
a 62. Encontre seu 100º termo.


O primeiro termo de uma progressão aritmética é igual a 200, e a
razão igual a -10. Encontre o valor do 20º termo.


Encontre a soma dos 50 primeiros números inteiros positivos
pares.


Encontre a soma de todos os números inteiros positivos, de 5 a
1555 inclusive, que são divisíveis por 5.


Encontre a soma definida pela seguinte expressão:
10

S   (2.n  1 / 2)
n 1


Quantos termos a P.A.: 9, 17, 25, … deve possuir para resultar em
uma soma de 636 ?


O primeiro termo de uma P.A. é 5, o último termo é 45 e a soma
é 400. Encontre o número de termos e a razão.


O primeiro e o último termo de uma P.A são 17 e 350
respectivamente. Se a razão é 9, quantos termos existem e qual
é a soma ?


Se a soma dos primeiros 7 termos de uma P.A. é 49 e, que a
soma dos 17 primeiros termos é 289, encontre a soma dos
primeiros n termos.


Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é 4n-n2, qual é o
1o Termo ? Qual é a soma dos dois primeiros termos ? Qual é o
segundo termo ? Encontre o 3o, 10o e o último termo.


Encontre a soma dos primeiros 40 inteiros positivos divisíveis por
6.


Um contrato de uma construção especifica uma penalidade pelo
atraso de entrega além de uma certa data como segue-se: $200
para o 1º dia, $250 para o 2º dia, $300 para o 3º dia, etc., e a
penalidade para cada dia sucessivo é $50 a mais do que o dia
precedente. Quanto o construtor terá de pagar de penalidade, se
ele atrasou o trabalho em 30 dias ?


Uma soma de $700 será usada para dar sete prêmios em
dinheiro para estudantes de uma escola por seu desempenho
geral acadêmico. Se cada prêmio é $20 a menos do que seu
precedente, encontre o valor de cada um dos prêmios.


Uma espiral é feita de semicírculos sucessivos, com centros
alternativamente em A e B, iniciando com o centro A, de raio 0,5
cm; 1 cm; 1,5 cm; 2 cm, .... Como mostrado na figura. Qual é o
comprimento total de tal espiral feita de treze semicírculos
consecutivos ?


200 registros são empilhados da seguinte maneira: 20 registros
na fileira de baixo, 19 na próxima fileira, 18 na próxima, e assim
por diante. Em quantas fileiras os 200 registros são colocados e
quantos registros estão no topo da fileira ?



RESPOSTA: A


RESPOSTA: D


RESPOSTA: C

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