GEOMETRIA PLANA
Introdução
Você vai iniciar, agora, o estudo de uma das ciências mais belas
criadas pelo homem: a Geometria. Nascida da necessidade de
medir terras, encontra-se hoje presente, em todos os momentos
do nosso dia-a-dia, nos tamanhos e formas dos objetos que nos
cercam
Na Geometria admitimos a existência de três elementos intuitivos,
isto é, sem definição: ponto, reta e plano. A partir desses três
elementos são construídas todas as demais figuras geométricas. A
bem da verdade, esses três elementos existem apenas em nossa
imaginação. Tentaremos criar algumas imagens concretas para
representar o ponto, a reta e o plano, com a finalidade de ajudar
um pouco nossa intuição
Um pingo d’água, a cabeça de um alfinete, um grão de areia, a
marca deixada por um lápis num papel são concretizações
aproximadas da idéia de ponto; são aproximadas, pois o ponto
geométrico não tem “tamanho”, isto é, não tem dimensão.
Pense, agora, num barbante bem esticado: a figura obtida
assemelha-se a um “pedaço” de reta; “pedaço”, pois a reta
tem que ser entendida como infinitamente “comprida” em ambos
os sentidos. Da mesma forma, você pode visualizar um plano
imaginando uma folha de papel bem esticada:

NOÇÕES PRIMITIVAS
• As noções primitivas são aceitas sem definição.
• Adotaremos sem definir as noções de ponto, reta e
plano.
• PONTO
• A . ou B .
• Obs: As noções (conceitos, termos, entes) geométricos
• são estabelecidas por meio de definição.
RETA
PLANO
r

POSTULADOS OU AXIOMAS OU PROPOSIÇÕES
PRIMITIVAS
• São proposições aceitas sem demonstração.
EXEMPLO
Por um ponto passam infinitas retas.

• POSTULADO DA EXISTÊNCIA
• Numa reta, bem como fora dela, há infinitos
pontos,
A є r , B є r , C є r
D r, E r, F r, G r∉ ∉ ∉ ∉

• Num plano , bem como fora dele, há infinitos
pontos.
A Є α, B Є α, C Є α
D α, E α∉ ∉

• POSTULADO DA DETERMINAÇÃO
• Dois pontos distintos determinam uma única reta
que passa
• por eles.
• r = AB
obs .expressão duas retas
coincidentes é equivalente
a uma única reta.

• Três pontos não colineares determinam um
único plano que passa por eles.
• α = (A, B, C)

POSTULADO DA INCLUSÃO
• Se uma reta tem dois pontos distintos num
plano, então areta está contida nesse mesmo
plano.

É ESSENCIAL SABER QUE:
• Pontos coplanares são pontos que pertencem a um
• mesmo plano.
• Pontos colineares são pontos que pertencem a uma
• mesma reta.
• Figura é qualquer conjunto de pontos.
• Figura plana é uma figura que tem todos os seus
pontos num mesmo plano.
• Figura espacial é uma figura em que nem todos os
• seus pontos estão em um mesmo plano.
• Uma figura é convexa quando dois de seus pontos
definem sempre um segmento inteiramente contido nela

Notações gráficas
• Pontos coplanares

Pontos colineares

Figura plana

Figura espacial

Figura convexa

Figura não convexa (côncava)

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE
DUAS RETAS NO PLANO.
• CONCORRENTES

PARALELAS
Obs: A expressão duas retas coincidentes
é equivalente
a uma única reta.

RETA,SEMI - RETA E SEGMENTO
DE RETA
• Considerando dois pontos distintos A e B,
temos:
• A reta AB
• O segmento AB
• A semi-reta AB
• A semi-reta BA

SEGMENTOS CONSECUTIVOS
• Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente
• se, uma extremidade de um coincide com uma extremidade
• do outro

SEGMENTOS COLINEARES
• Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se,
• estão numa mesma reta.
• AB e CD são colineares (não são consecutivos)
• RS e ST são colineares (e consecutivos)
MN e NP são colineares (e consecutivos)

SEGMENTOS ADJACENTES
• Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se e
somente se, possuem em comum apenas uma extremidade(não
tem pontos internos comuns).
• RS e ST não são adjacentes
• RS ∩ ST = ST
MN e NP são adjacentesMN ∩ NP = {N}

EXERCÍCIOS
• 01. Assinale as proposições verdadeiras:
• (01) Por um ponto passam infinitas retas.
• (02) Por três pontos dados passam uma só reta.
• (04) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a
• um plano, então a reta está contida nesse plano.
• (08) Por dois pontos distintos passa uma reta.
• (16) Três pontos distintos são sempre colineares.
• (32) Duas retas distintas que têm um ponto comum são
• concorrentes.
• (64) Quatro pontos distintos são sempre coplanares.

• 02. Determine AB, sendo M ponto médio de AB:

ÂNGULOS
Definição
A Ô B
0 é o vértice do ângulo
0A e 0B são os lados
Figura geométrica formada por duas semi-retas de
mesma origem.

Bissetriz
• Semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
OM é a
bissetriz

OBSERVAÇÕES:
• 1) A distância de um ponto P a uma reta r é
dada pela medida do segmento da perpendicular
que vai de P à reta r.

• 2) Cada ponto da bissetriz de um ângulo está a igual
distância dos dois lados
“A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos
eqüidistantes dos dois lados do ângulo”.

ÂNGULOS CONSECUTIVOS
• Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo
vértice e um lado comum.
AÔB e BÔC
AÔB e AÔC
BÔC e AÔC

ÂNGULOS ADJACENTES
• Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e
não têm pontos internos comuns
AÔB e BÔC

Medidas Angulares
SISTEMA SEXAGESIMAL
O ângulo reto se divide em 90º (noventa graus),
cada grau em 60 (sessenta minutos) e cada minuto
em 60’’ ’ (sessenta segundos).
1 reto = 90º 1º = 60’ 1’= 60’’.

SISTEMA CIRCULAR
• A medida de um ângulo central é dada em radiano pela
razão entre o comprimento do arco e o raio.
Na figura acima, o ângulo α, em radiano, é dado por

• Quando o comprimento do arco é igual ao
raio temos um radiano
• . Tendo em vista que o comprimento da
circunferência é C = 2πR, então a
circunferência tem 2π rd.
• Se 2π rd corresponde a 360o, então:
• π rad corresponde a 180o
• Os problemas da conversão de medidas
de um sistema
• para outro serão tratados em
Trigonometria.

CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

ÂNGULOS REPLEMENTARES

ÂNGULOS OPOSTOS PELO
VÉRTICE

DUAS PARALELAS CORTADAS POR
UMA TRANSVERSAL

Ângulos de lados paralelos e ângulos
de lados perpendiculares
• São congruentes se ambos são agudos ou ambos obtusos.
• São suplementares se um é agudo e o outro obtuso.

EXERCÍCIOS
1.
Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios
5 u. c. e 3 u.c., respectivamente. Sendo s1 o comprimento
do arco AB e s2, o comprimento do arco A’B’, então o
valor de s2 – s1, em unidade de comprimento, é
aproximadamente
igual a:
01) 0,52
02) 1,05
03) 1,57
04) 3,14
05) 4,71

• 2. Calcule a medida do complemento e do
suplemento do ângulo que mede:
• a) 70º45’
• b) 85º50’’

• 03. O dobro do complemento de um
ângulo,aumentado de 40º é igual a terça
parte do suplemento do ângulo. Calcule
o suplemento do ângulo.

• 4.Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas
• A soma α + β é igual a:
• a) 200º
• b) 180º
• c) 170
• d) 150º
• e) 140º

TRIÂNGULO
• Elementos do triângulo
• Vértices: A, B e C
• Lados: AB, AC, e BC
• Ângulos Internos: α, β e γ
• Ângulos Externos: α’, β’, γ’

Relação entre as medidas dos lados
• Cada lado de um triângulo é maior do que
o módulo da
• diferença e menor do que a soma dos
outros dois.
• | b – c | < a < b + c
• Ex.: Se 3 e 8 são as medidas de dois
lados, o 3º lado é 5 < a < 11

Relação entre os ângulos
• SOMA DOS ÂNGULOS
• Em um triângulo qualquer:
• Si = A soma dos ângulos internos é 180º.
• Se = A soma dos três ângulos externos é 360º

ÂNGULO EXTERNO
• - Um ângulo externo e o interno consecutivos são
• suplementares. α’+ α = 180º e α + β + γ = 180º→ α’= β + γ
• Um ângulo externo vale a soma dos internos não adjacentes

Classificação dos triângulos
• Quanto aos lados:
• * Eqüilátero: três lados com medidas iguais.
• * Isósceles: dois lados com medidas iguais (havendo
um
• lado diferente, ele é considerado a “base” do triângulo).
• * Escaleno: não possui lados com medidas iguais.
• OBS: Todo triângulo eqüilátero é também triângulo
isósceles

γ

OBS.: O lado a é chamado
de base e o ângulo  é o ângulo
do vértice.

TRIÂNGULO ESCALENO
Em todo
triângulo, o
maior lado se
opõe ao maior
ângulo

Quanto aos ângulos
• TRIÂNGULO RETÂNGULO
• Possui um ângulo reto
A hipotenusa é o maior lado e o seu
quadrado é igual
à soma dos quadrados dos outros dois
(catetos).

TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO
Possui um ângulo obtuso
Atenção:
Se a é o maior lado do triângulo
obtusângulo, então:
a2
> b2
+ c2

TRIÂNGULO ACUTÂNGULO
Possui os três ângulos agudos
Atenção:
Se a é o maior lado de um triângulo
acutângulo então:
a2
< b² + c²

EXERCÍCIOS
• 1.Na figura, sabe-se que AC = BC e que AB =
AD = CD. A medida α é igual a
• a) 60º.
• b) 45º.
• c) 40º.
• d) 36º.
• e) 30º.
ά

• 2. Com base no estudo dos triângulos, é correto
• afirmar:
a) Se o triângulo é isósceles, então é eqüilátero.
b) É possível construir um triângulo com lados medindo
8u.c., 5u.c, e 18u.c.
c) É possível construir um triângulo com ângulos medindo
30º , 40ºe 50º.
d) Se um triângulo é retângulo e isósceles, então possui
um ângulo de 45º.
e) É possível construir um triângulo retângulo com lados
medindo 1u.c., 1u.c. e 2u.c.

• 3. O triângulo ABC representado na figura abaixo
é isósceles. Se BC = BD = DE = EA, a medida θ do ângulo assinalado,
em radianos, é:

Pontos notáveis de um triângulo:
• Altura do triângulo
• A altura de um triângulo é o segmento da perpendicular baixada de um
vértice à reta suporte do lado oposto.
• ATENÇÃO!
• 01. Para cada triângulo, podemos traçar três alturas: uma relativa
• a cada lado.
• 02. As três alturas de um triângulo concorrem em um único
• ponto chamado ortocentro.

Bissetriz interna
• A bissetriz interna é o segmento da bissetriz compreendido
• entre um vértice de um ângulo e o lado oposto.
• As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem
• em um ponto interior chamado incentro.
• ATENÇÃO!
Sendo os pontos de cada bissetriz
eqüidistante dos lados
de um ângulo, o Incentro é o único
ponto eqüidistante
dos três lados. Ele é o centro da
circunferência inscrita no
triângulo.

Mediatriz
• Mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular, passando pelo
seu ponto médio.
• Cada ponto da Mediatriz, está a igual distância dos dois
• extremos do segmento. A mediatriz é o “lugar geométrico”
• dos pontos eqüidistantes dos extremos de um segmento.
• Teorema: As três mediatrizes de um triângulo concorrem
• em um ponto chamado circuncentro, que é o centro da
circunferência
• circunscrita. O circuncentro é o único ponto eqüidistante
• dos três vértices.

• No triângulo acutângulo, o circuncentro é um
ponto interior

• No triângulo obtusângulo, o circuncentro é um
ponto exterior.

• No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto
médio daHipotenusa.

• ATENÇÃO!
• No caso do triângulo retângulo, a hipotenusa coincide com o
diâmetro da circunferência circunscrita.
• Todo triângulo inscrito em um semi-círculo é retângulo

Mediana
• Mediana de um triângulo é o segmento compreendido
• entre cada vértice e o ponto médio ao lado oposto.
• As três medianas de um triângulo concorrem
• em um ponto interior chamado baricentro.

• O baricentro está localizado em cada mediana a
um terço da base e a dois terços do vértice
• .

ATENÇÃO!
• 01. No triângulo retângulo, a mediana relativa à
hipotenusa tem medida correspondendo à metade da
hipotenusa.
• Em conseqüência, os dois triângulos menores obtidos
são isósceles.

• 02. Em um triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz, a mediatriz e
a altura relativa à base coincidem
• AM é a bissetriz do ângulo A.
• AM é a altura relativa ao lado BC.
• AM é a mediana relativa ao lado BC.
• AM é a mediatriz relativa ao lado BC.

• 03. No triângulo eqüilátero, a bissetriz, a mediana, a
mediatriz e a altura são coincidentes.
• Portanto, o ortocentro, o incentro, o baricentro e o
circuncentro coincidem.

Casos de congruência
• As condições mínimas para que dois triângulos sejam
congruentes
• são: LLL – Os lados dos dois triângulos
respectivamente congruentes
•

• LAL – Os dois triângulos apresentam dois lados
e o ângulo
• formado por esses lados respectivamente
congruentes.

• ALA – Os dois triângulos apresentam um lado e os dois
• ângulos adjacentes respectivamente congruentes.

Teorema de Tales
• .

EXERCÍCIOS
• 01. (FBDC) Na figura dada, as retas, r,s e t são
paralelas.
• Então, x + y é igual a:
• a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

• 02. No triângulo ABC, o lado AC mede 32
cm e o lado BC, 36cm. Por um ponto M
situado sobre AC, a 10 cm dovértice C,
traçamos a paralela ao lado AB, a qual
divide BC em dois segmentos BN e CN.
• Determine a medida de CN.
• Matematica

Semelhança de triângulo
• Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os
três ângulos ordenadamente congruentes e os ladoshomólogos
proporcionais.

Teorema fundamental
• Se uma reta é paralela a um dos lados de
um triângulo e intercepta os outros dois
em pontos distintos, então o triânguloque
ela determina é semelhante ao primeiro

CASOS DE SEMELHANÇAS DE
TRIÂNGULO
• Os dois triângulos apresentam dois ângulos
respectivamente congruentes.

Os dois triângulos apresentam os
três lados proporcionais.

• Os dois triângulos apresentam dois lados
respectivamente
• proporcionais e o ângulo compreendido entre
esses lados respectivamente
• congruentes.

TEOREMA
• Ligando-se os pontos médios de dois lados de um
triângulo qualquer, o segmento obtido é paralelo ao
terceiro lado e com medida igual a sua metade.
• Como os dois triângulos obtidos são semelhantes,
conclui-se que:

Teorema das bissetrizes internas
• A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em
dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

EXERCÍCIOS
• 01. (FJA/2006) Considerando-se as informações contidas na figura
abaixo, pode-se concluir que o segmento CF mede:

• Na figura, está representada uma escada AB, de
• comprimento c, apoiada em um muro.
• Considerando-se essa informação, pode-se concluir que
• o valor de c é igual, em metros

• (UFBA 1ª fase)
• Considere a figura acima em que:
• • a distância entre as retas paralelas r e s é igual a
• 20 u.c. os segmentos AB e CD medem, respectivamente, 10 u.c. e
30 u.c.;P é o ponto de interseção dos segmentos AD e BC.
• Com base nesses dados, calcule a área do triângulo
• APB, em u.a.

Triângulo retângulo
• TRIÂNGULO RETÂNGULO ISÓSCELES
• Se um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é
• 45º, então os dois catetos possuem medidas iguais.

TRIÂNGULO RETÂNGULO COM
ÂNGULO DE 30º
• A altura AH divide o triângulo equilátero ABC em dois triângulos retângulos
que apresentam um ângulo de 30º.
• Observando o triângulo AHC, concluímos:
• Se o cateto se opõe a um ângulo de 30º, a sua medida é
• igual a metade da hipotenusa.

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
• O triângulo retângulo é a figura
geométrica mais freqüente nas
aplicações matemáticas
• . Por esta razão, faremos um
estudo mais detalhado
• desse tipo de triângulo.
• Se no triângulo retângulo
traçarmos a altura relativa à
• hipotenusa, obteremos 3
triângulos retângulos
semelhantes

• h é a altura relativa à hipotenusa.
• m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
• n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa

• Usando a proporcionalidade dos lados dos triângulos
semelhantes ΔABC, ΔHAC e ΔHBA, demonstra-se
que:

• Cada cateto é média geométrica entre a
hipotenusa e a projeção do cateto sobre ela.

• A altura é média geométrica entre os dois
segmentos
• que ela determina sobre a hipotenusa.
• h² = m.n

• O produto de um cateto pela altura é igual ao
produto da sua projeção pelo outro cateto
b.h = am e c.a =an

APLICAÇÕES DO TEOREMA DE
PITÁGORAS
• O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos
catetos.
• a2
= b2
+ c2

OBSERVAÇÃO:
• A área de um triângulo retângulo é dada pelo semi-produto dos dois
catetos
• .

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
• Sendo α a medida de um dos ângulos agudos de um
triângulo retângulo, temos:

Usando as razões trigonométricas acima,
temos:
QUADRADO

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

EXERCÍCIOS
• 01. (UNEB) Se, no triângulo ABC, representado na
• figura, a altura relativa à base AB mede 4u.c., então o
• lado AB mede, em u.c.,

• 02. (FRB) Um observador, ao nível do chão, avista a
• base da janela J1 segundo um ângulo α = 30º e a J2,
• segundo um ângulo β = 45º, como mostra a figura.
• Sendo a distância entre as bases das duas janelas igual
• a 3m, pode-se afirmar que a distância h, do chão à base
• de J1, mede, em metros,

Triângulo equilátero
• O Δ AHC é retângulo:

Circunferência inscrita

Circunferência circunscrita
• .

Triângulos quaisquer
• LEI DOS SENOS
• Os lados de um triângulo são
proporcionais aos senos
• dos ângulos opostos e a
constante de
proporcionalidade é o diâmetro
da circunferência circunscrita
ao triângulo
• Seja um triângulo qualquer
ABC, considere uma
circunferência
• circunscrita, sendo 0 o centro
dela e R o seu raio.

LEI DOS COSSENOS
• Em qualquer triângulo o
quadrado de um lado é igual à
• soma dos quadrados dos
outros dois lados menos duas
vezes o produto desses dois
lados pelo cosseno do ângulo
por eles formado
• Considere um triângulo qualquer
ABC:
• Seguindo a lei dos cossenos
• a2
= b2
+c2
- 2bc.cosÂ
• b 2
= a2
+ c2
- 2ac.cosB
• c2
= a2
+ b2
– 2ab.cosC