Análise combinatória

Análise Combinatória
• Problemas análise combinatória são problemas de
contagem.
 Princípio Fundamental da Contagem – PFC
(ou Princípio Multiplicativo)

SE

um acontecimento ocorre em n etapas
diferentes, e se cada etapa i ocorrer de ki
maneiras diferentes
ENTÃO o número total T de maneiras de ocorrer o
acontecimento é dado por:
Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com

• T = k1.k2.k3. ... ki ....kn ; i=1,2,3,...,n
• Exemplo: Placa Detran 3 Letras / 4 algarismos
• Alfabeto 26 letras s ; Algarismos 0..9 são 10
• T = 26.26.26.10.10.10.10 = 175.760.000 combinações
s
(Podem ocorrer repetição de algarismos: Por exemplo:
Placa KKK-7777)

Exercício: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos
esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:

N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas
fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis


Fatorial

• Seja n um número positivo pertencente ao conjunto
dos números Naturais (n  N), então n! (lê-se “ene
fatorial”) é igual a:
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...1

5! = 5.4.3.2.1 = 120
Propriedades: 0! = 1 e 1!=1

 Permutação Simples
• Formado por n elementos distintos (s ) que são
agrupados e diferem um dos outros pela ordem de
seus elementos. (Os conjuntos obtidos são chamados
de Anagramas)
• Calculado por Pn = n! = n.(n-1).(n-2)...2.1, n N


Exemplo: 3 elementos {A, B, C}
P3 = 3! = 3.2.1 = 6 combinações
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA => 6 Anagramas
Quantos números com 5 algarismos distintos
podemos formar c/ 1, 2, 3, 4, 5 : P5 = 5! = 120
Quantos são os anagramas da palavra “Cola”
=> A palavra possui 4 letras diferentes, logo o número
de anagramas é dados por P4 = 4! = 24

O número de anagramas da palavra ESTUDAR que
começam e terminam com vogal:
Vamos analisar os casos:
E_ _ _ _ _ U
U_ _ _ _ _ E

A_ _ _ _ _ E

E_ _ _ _ _ A

A_ _ _ _ _ U

U_ _ _ _ _ A

Cada um resulta em P5 = 5! Anagramas, logo no total
teremos 6.5! = 6.120 = 720 anagramas s
(Total de anagramas de ESTUDAR P7 = 7! = 5.040)

 Permutação com elementos repetidos
• Se entre os n elementos de um conjunto existem a
elementos repetidos, b elementos repetidos e assim
sucessivamente, então o número total de
permutações é dado por:
• Calculado por

a ,b ,...

Pn

n!

a!b!...


• Anagrama de MATEMATICA
a= 2

• n = 10 letras
2 , 3, 2

P10

2x M

b=3

3x A

c=2

2x T

10!
10.9.8.7.6.5.4.3!


 151.200
2!.3!.2!
2!.3!.2!


• Exemplo:

Quantos números de cinco algarismos podemos escrever
com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas ?
•Solução: Caso de permutação com repetição
n1 2 , n 2  2

P5

5!
5.4.3.2!


 30
2!.2!
2!.2!

•O número de combinações possíveis será 30.


 Permutações circulares
• O número de permutações circulares de n elementos
é dado por:
• Calculado por

P  (n 1)!
,


Arranjos Simples
• Dado um conjunto de n elementos, chama-se arranjo
simples de k elementos, a todo agrupamento de k
elementos distintos numa certa ordem.
•Atenção: Não há repetição de elementos; a ordem dos
elementos é considerada (A ORDEM É IMPORTANTE).

Calcula-se o número de arranjo simples:

(arranjo de n

elementos tomados k a k)

An ,k

n!

(n  k )!


• A Permutação Simples é um caso especial de Arranjo
Simples quando o número de elementos tomados k =
n (tamanho do conjunto)

n!
n! n!
An ,n 
   n!
(n  n)! 0! 1
 An ,n  Pn  n!
• Problemas de Arranjos Simples também poderão ser
resolvidos pelo Princípio Fundamental da Contagem.
Você poderá optar por aquele processo que achar
mais conveniente.

• Exemplo: Quantos números de três algarismos
distintos podemos formar com os elementos do
conjunto {1, 2, 3 ,4, 5} ?
A5,3

• ou:

5!
5! 5.4.3.2!

 
 60
(5  3)! 2!
2!

T  5.4.3  60 pelo Princípio Fundamental
da Contagem

Portanto, poderemos formar 60 números com três
algarismos distintos.

• Exemplo:


Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam
sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras
diferentes que eles podem sentar-se em uma mesma fila de modo que
as moças fiquem todas juntas é igual a:
• Solução: São 5 lugares e as moças ficam sempre juntas (A ORDEM É
IMPORTANTE)

•1 caso: M M H H H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6)
•2 caso: H M M H H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6)
•3 caso: H H M M H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6)
•4 caso: H H H M M : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6)
•Devemos lembrar agora que são 2 mulheres, então elas poderão
revezar de lado (2 opções = A2,2 = 2! = 2).
• Logo o número de combinações será: 4x6x2 = 48 maneiras s de sentar.

• Exemplo: O número de maneiras diferentes que três rapazes e duas
moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as
moças fiquem todas juntas é igual a:
•Solução: São 5 lugares e SOMENTE as moças ficam sempre juntas
• Temos somente os seguintes casos:
•1 caso: H M M H H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes
•2 caso: H H M M H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes
•Devemos lembrar agora que são 2 mulheres, então elas poderão
revezar de lado (2 opções).
• Logo o número de combinações será: 2x6x2 = 24 maneiras s de sentar.


• Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 6 sem os repetir,
quantos números compreendidos entre 100 e 1.000
poderemos formar ?
• Os números serão de 3 algarismos
• Não pode haver repetição => a ordem é importante (ARRANJO SIMPLES)
• Núm. Iniciados por 1: 1_ _ => A4,2 = 12
• Núm. Iniciados por 2: 2_ _ => A4,2 = 12
• Núm. Iniciados por 5: 5 _ _=> A4,2 = 12
• Núm. Iniciados por 6: 6 _ _=> A4,2 = 12
• O NÚMERO TOTAL É 4.12 = 48
•RESOLVENDO PELO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM:
T = 4.4.3 = 48
 Na 1ª opção temos 4 opções (não pode ser zero), na 2ª opção temos 4 opções (3 + 1
do zero), 3ª opção temos 3 /(2 + 1 doContato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
Aulas de Matemática / Física Química – zero).

• Exemplo:

Quantos números entre 30.000 e 65.000 distintos com os
algarismos {2, 3, 4, 6, 7} podemos formar ?
•Solução: A ORDEM É IMPORTANTE => ARRANJO SIMPLES
•Para resolvermos o problema fica mais fácil separar dos números em duas faixas: de
30.000 a 60.000 e de 60.000 a 65.000 porque não é possível impor uma restrição para o
segundo dígito sem incorrer com a perda de combinações de números {6, 7} no 2º
dígito.

•Primeiro iremos resolver pelo PFC e depois pela fórmula de Arranjo
Simples:
•Temos 5 algarismos que devem ser distintos entre 30.000 e 60.000
•Se não tivéssemos a condição do intervalo teríamos a seguinte
condição:

•1º algarismo: 5 opções (temos 5 opções de números)
•2º algarismo: 4
•3º algarismo: 3
•4º algarismo: 2
•5º algarismo: 1
• Contudo para obedecer à condição de estar entre 30.000-60.000 os
números possíveis para o 1º algarismo são {3, 4}, ou seja, 2 opções.
Então para a faixa de 30.000-60.000 podemos formar T1=2x4x3x2x1=48;
• Para a faixa 60.000-65.000, aplicando o mesmo princípio, ficaríamos:


•1º algarismo: 5 opções
•2º algarismo: 4
•3º algarismo: 3
•4º algarismo: 2
•5º algarismo: 1
• Contudo para obedecer à condição de estar entre 60.000-65.000 o
único número possível para o 1º algarismo é {6}, portanto 1 opção. O
segundo algarismo somente pode comportar {2, 3, 4}, portanto 3
opções. Logo para a faixa de 60.000-65.000 podemos formar
T2=1x3x3x2x1=18;
• Por fim, ficamos com um total de T1 + T2 = 48 + 18 = 66 formas
diferentes.

•Resolvendo por fórmula também devemos fazer a separação das duas
faixas:
• Na primeira faixa ficamos: A5,5 – 3.A4,4 {devido aos números 2, 6, 7}
que ficaram no 1º algarismo;
•Na segunda faixa ficamos: A4,4-A3,3 {devido o número 7 que pode
ocorrer no 2º dígito}
•No total ficamos com: A5,5 – 3.A4,4 + A4,4-A3,3 = 5! – 2.4! – 3! = 120 - 48 6 = 66

•Pelo PFC fica muito mais fácil resolver problemas de arranjo simples e
fazer os cálculos!

• Exemplo:

Sete modelos entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise vão
participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou
que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas de quatro
modelos. Além disso, a última da fila podem ser somente Ana, Beatriz,
Carla, Denise e a Denise não pode ocupar o primeiro lugar da fila.
Quantas combinações diferentes podemos formar de modo que as filas
fiquem todas distintas ?
•Solução: A ORDEM É IMPORTANTE => ARRANJO SIMPLES
•Neste exemplo devemos notar que em 3 casos teremos como restrição
o fim da fila podendo ser formado pela Ana, Beatriz e Carla e a 1ª não
sendo a Denise. No 4º caso teremos a Denise em último lugar e
nenhuma restrição para o 1º lugar.

•Pelo PFC temos:
• 1º lugar: 6 opções
• 2º lugar: 5
• 3º lugar: 4
•No 1º lugar devemos tirar 1 opção para evitar que a Denise a ocupe.
Portanto, Temos 5x5x4 = 100 combinações. Para 3 casos serão 300
combinações;
•No 4º caso teremos 6 opções e 3 lugares, então 6x5x4 = 120;
•Portanto, no total formaremos 420 filas diferentes.
•Por fórmula ficaremos com: 3x(A6,3 - A5,2)+A6,3 = 3x(120 - 20)+120 = 420.

 Arranjo com Repetição

• O número de arranjos com repetição de n
elementos k a k é dado por:
*
n,k

A

n

k


 Arranjo com Repetição
Uma placa de motocicleta contenha duas letras
distintas do alfabeto completo, seguida por três
dígitos. Quantas placas diferentes podem ser
impressas ?
*
10, 3

A26, 2 . A

26! 3
3

.10  26.25.10  650.000
24!

Pelo PFC: 26.25.10.10.10 = 650.000

 Combinação Simples
• É a combinação de n elementos distintos tomados k a k aos
subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos
entre os n elementos. São agrupamentos onde a ordem com
que os elementos comparecem não é considerada.

•Exemplo: Seja o conjunto formado por {a, b, c, d}
•O número de combinações tomados 2 a 2:
• {ab, ac, ad, bc, bd, cd}

•Exemplo: Seja o conjunto formado por {a, b, c, d}
•O número de combinações tomados 3 a 3:
• {abc, abd, acd, bcd}
• O número de combinações tomados 4 a 4:
• {abcd}
*

Repare que agora, se mudarmos a posição dos elementos em um
agrupamento não obteremos um novo agrupamento. Isto é a dupla ab é
igual à dupla ba. Ou seja, A ORDEM NÃO É IMPORTANTE!

• É calculado como:

Cn,k

 n
n!

 
(n  k )!k!  k 
 

•Exemplo:

C10, 2

10!
10! 10 .9.8! 10 .9




 45
(10  2)!2! 8!.2! 8!.2.1
2


n,
• Macete: C n , k  k números em cima dede
e k números embaixo
k

n  n 
 
k  n  k 

  

C10, 2

C10,8

kn

10.9

 45
2.1

10  10 
       C10, 2  45
8 2
   


• Exemplo: Em uma prova de 15 questões o aluno
deve resolver 10 questões. De quantas formas pode
escolher as 10 questões:
•Obs.: A ordem não é importante => Combinação
Simples
C15,10

n!
15!
15!



(n  k )! k! (15  10 )!10! 5! !
10

C15,10

15! 15.14.13.12.11.10!


 3.003
5! !
10
5.4.3.2.1.10!


• Exemplo: Quantas comissões formadas de 4
elementos cada uma podemos formar com 10 alunos
de uma classe ?
•Obs.: A ordem não é importante => Combinação Simples

C10, 4

10!
10! 10 .9.8.7.6!



 210
(10  4)!4! 6!4!
6!4.3.2.1

C10, 4

10.9.8.7

 210
4.3.2.1


• Exemplo:

Uma organização dispõe de 10 economistas e 6
administradores. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas
de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores ?

•Obs.: A ordem não é importante => Combinação Simples
Teremos que considerar as seguintes considerações:
 3 Adm. e 3 Econ. : C6,3 x C10,3 = 20. 120 = 2.400
 4 Adm. e 2 Econ. : C6,4 x C10,2 = 15. 45 = 675
 5 Adm. e 1 Econ. : C6,5 x C10,1 = 6.10 = 60
 6 Adm. e 0 Econ.: C6,6 x C10,0 = 1.1 = 1

 Logo o total de comissões que poderemos formar será então:
2.400 + 675 + 60 + 1 = 3.136 comissões

• Exemplo:

Em um grupo de dança participam dez meninos e dez
meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças que podem
ser formadas de modo que em cada um dos grupos participem três
meninos e duas meninas é dado por:
Solução: Observe que a não é dito como os meninos ou meninas serão
escolhidos, somente o número de cada. Neste caso, temos que a
ORDEM NÃO É IMPORTANTE!. Logo, é COMBINAÇÃO SIMPLES.
Devemos formar um grupo de 5 com 3 meninos e 2 meninas:
Logo: C10,3 x C10,2 =

10.9.8 10.9
.
 120.45  5.400
3.2.1 2.1



Resolva a equação C19,x = 3.C19,x-1
C19, x  3.C19, x 1

19!
19!
 3.
(19  x)! x!
[19  ( x  1)]! ( x  1)!
19!
19!
 3.
(19  x)! x!
[19  ( x  1)]! ( x  1)!

19!
19!
 3.
(19  x)! x.( x  1)!
(20  x).(19  x)! ( x  1)!

1
1
 3.
x
20  x

20  x  3x  4x  20 x  5



O valor de Cn,0 + Cn,1+ Cn,2 + ...+ Cn,n-1 com nN* :
 n   n   n  1
Relação de Stifel
 
 k   k  1   k  1
 

  
 

 n  n  n
 n   n
Triângulo
n
         ... 
 0  1  2
 n  1   n   2
  
de Pascal
     

  

Cn,0 + Cn,1+ Cn,2 + ...+ Cn,n-1 = 2n - 1

 Combinação Simples – Com REPETIÇÃO
• O número de combinações com repetição de n
elementos k a k é dado por:

C

*

n,k

 Cn k 1,k

 n  k  1 (n  k  1)!



 (n  1)!k!
k




 Combinação Simples – Com REPETIÇÃO
• Exercício: De quantas maneiras, uma oficina pode pintar 5
automóveis iguais, recebendo cada um, tinta de uma única
cor, se a oficina dispõe apenas de 3 cores e não quer misturálas ?
•Solução: Como são 5 automóveis iguais, a ordem que irão
pintar
eles
não
importa
(Combinação
Simples).
Necessariamente irá ocorrer repetição de cor, pois são 5
carros e apenas 3 cores:

C

*

3, 5

 C351,5  C7 ,5  C7 , 2

7.6

 21
2.1


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