Progressões

342 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Progressões

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICALABORATÓRIO DE ENSINO - 2 Desenvolvido por: Cristiano De Angelis
  2. 2. 1 - INTRODUÇÃO• É comum, no nosso dia-a-dia, nos depararmos com situações nas quais precisamos rever o passado, trabalhar com o presente e prever o futuro.• No caso da Matemática, que é o nosso instrumento de trabalho neste momento, fazemos estas atividades por meio de cálculos.• Quem nunca calculou o quanto pagará em uma prestação?• E se ocorrerem aumentos progressivos?• Vejamos um exemplo:
  3. 3. 1) Pagamos uma prestação de R$ 500,00 mensais. Se a prestação aumenta 50 reais a cada mês, qual será o seu valor ao final de 2 anos?2) E se quiséssemos calcular o quanto pagamos no total, somando todos os meses?
  4. 4. • Estas duas perguntas, com certeza, tem uma solução viável até por meios práticos. Mas se a prestação fosse 501,23 e o aumento mensal 51,88? Iríamos fazer da mesma forma? Poderíamos ficar uma tarde somando e, ao final, existiria grande chances de ocorreu algum errinho.
  5. 5. • Questões como estas são comuns na nossa vida. E as provas, sobretudo os vestibulares, exploram estas questões, porém, de forma mais sofisticada.• Vejamos os casos:
  6. 6. • Em todas as questões, temos uma situação inicial:ACRESCENTANDO ALGUMA COISA, TEREMOS:ACRESCENTANDO NOVAMENTE ESSA MESMA COISA, TEREMOS:ACRESCENTANDO NOVAMENTE ESSA MESMA COISA, TEREMOS: E ASSIM SUCESSIVAMENTE.
  7. 7. • Mas e daí?
  8. 8. • Parece engraçado, mas este simples joginho provoca verdadeiros estragos.• Vejamos alguns:
  9. 9. • A nossa situação inicial ( ), chamamos de “primeira situação”, ou “situação 1”, ou “termo inicial”, ou , etc.• A fim de padronizar este nome, que tal chamarmos de a1!!!!• Ora, se a primeira é a1, qual será a segunda? Muito Bem, a2.• E assim por diante, a3, a4, a5, etc..., até o último. Como chamaremos o último termo?• “A último”, ou “an”.
  10. 10. • Vamos, agora, estabelecer relações: a1 a2 = a1 + 1 ACRÉSCIMO a3 = a1 + 2 ACRÉSCIMOS
  11. 11. • Então:• a2 = a1 + 1 acréscimo• a3 = a1 + 2 acréscimos• a4 = a1 + 3 Acréscimos• a10 = a1 + 9 acréscimos• a100 = a1 + 99 acréscimos• ...• an = a1 + (n-1) acréscimos
  12. 12. • Vamos chamar acréscimos de RAZÃO ACRESCIDA, ou simplesmente razão.• Abreviamos razão pela letra R.
  13. 13. Chegamos, então até a primeira fórmula importante desta aula• an = a1 + (n-1).r• de onde concluímos, também• an = a2 + (n-2).r• an = a3 + (n-3).r• ...• Chamaremos esta situação de Progressão Aritmética, ou simplesmente P. A, onde :• an = último termo da P.A• a1 = primeiro termo da P.A• n = nº de termos da P.A , indicado também pelo an.
  14. 14. • Uma outra consideração importante sobre p.a, ainda ~e que, em qualquer p.ª, é que , um número menos o seu antecessor, é igual ao antecessor menos o antecessor seguinte, e assim por diante, ou seja,• a6 - a5 = a5 - a4 = a4 - a3 = ... = r
  15. 15. • Como resolver os exercícios!!!!• a) São dados duas variáveis de uma p.ª e é pedida a outra, diretamente com a fórmula conhecida.• A1 - em uma p.ª sabemos que o primeiro termo é = 5 e a razão = 2. Calcule o 10º termo.• A2 - em uma p.ª sabemos que o 30º termo = 62 e a razão = 2, calcule o 1º termo.• A3 - em uma p.ª o primeiro termo = 2 e o 20º termo = 42. Qual o valor da razão:• b) São dados também duas variáveis, mas pedido outro termo. Nesse caso diviremos o exemplo em duas partes . Primeiro encontramos o a 1 e a razão. A seguir, encontraremos o termo, ou os termos pedidos, ou então, usando a outra versão da nossa fórmula, encontraremos diretamente o temo solicitado!!• B1 - em um p.ª o quinto termo = 10 e a razão = 2. Encontre o oitavo termo.• B2 - em uma p.ª o vigésimo termo é 60 e o décimo é 40. Encontre o primeiro termo.
  16. 16. • C) São dados a soma, subtração, divisão ou produto de dois termos (geralmente a soma) e nos é solicitado algum termo ou a razão da p.ª• c1) (unb-95) Em uma p.a, a soma do primeiro com o décimo termo é igual a 28 e a soma do quinto com o oitavo termo é igual a 22. Qual a razão desta p.a• d) Existe, também, muitas outras maneiras de exercícios. Por exemplo• d1) Inserindo 3 termos em uma p.ª ...• D2) sabendo que a-1, a+5, a+11 formam uma p.ª, calcule o valor de a.
  17. 17. PARTE 2 - SOMA DOS TERMOS • Voltemos a nossa p.ª a1 a2 a3 a4Como podemos encontrar uma fórmula para somarmos uma p.a.
  18. 18. Que tal formarmos uma figura geométrica! Base = a1 + an Base x altura = (a1 + an).n Altura = n
  19. 19. Como a nossa p.a é ametade da figura, entãotambém dividimos por dois, e chegamos a Sn = (a1 + an) . n 2
  20. 20. • Com estas duas fórmulas (do termo geral e da soma), mas os nosso conceitos básicos, resolvemos qualquer exercício sobre p.ª• Vejamos alguns exemplos de vestibular:
  21. 21. • (unicamp-sp) A soma dos dois primeiros termos de uma p.ª é igual a 13 e dos cinco primeiros é igual a 55. Determine o 31º termo• a) 95 b) 245 c) 105 d) 235 e) 253• (Fuvest-sp) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os 3 primeiros são 1 - a, -a, raiz 11-1. O quarto termo é:• a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
  22. 22. • (Fuvest-sp) A soma do 4º com o 8º termo de uma P.ª é 20. O 31º é o dobro do 16º. A P.ª é:• a) -5, -2, 1• b) 5, 6, 7• c) 0, 2, 4• d) 0, 3, 6• e) 1, 3, 5
  23. 23. • (Fuvest-sp) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distancia x. No segundo, o dobro do primeiro no terceiro o triplo do primeiro, e assim sucessivamente.• Ao final de 20 dias percorreu uma distancia de 6.300 km. A distancia do primeiro dia foi de:• a) 15 b) 30 c) 20 d) 25 e) 35
  24. 24. CONCLUSÃO• “Não é possível errarmos ou permitir que nossos alunos errem qualquer questão sobre p.a “ • Ricardo da Silva Gelak

×