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Números complexos

O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre números complexos, incluindo sua definição, representações, operações e propriedades. É definido que um número complexo é representado por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. As principais operações como adição, subtração, multiplicação e divisão são descritas utilizando esta representação algébrica.

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Números Complexos
 Definição: i 

1

 Representações: Algébrica:
Par ordenado:
Trigonométrica:
y

z  a  b.i
z  ( a, b )

z  z .(cos  i.sen )
z : módulo  z 

a2  b2

 : arg z argumento de z

•P(a,b)
cos 


x

a
z

sen  

b
z

 z  a  b.i  P(a, b)


 z  z .(cos  i.sen )  P( z , )

2
2
z  a b


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Números Complexos
z  a  b.i
 Conjugado: z  a  b.i
Exemplo: i = (0,1)
i2 = -1
(0,b) = b.i
(a,0) = a
z = 2 – 5.i
z = 2 + 5.i

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Números Complexos
 Operações:
• Adição:

(a  b.i)  (c  d .i)  (a  c)  (b  d ).i
(1  2.i)  (3  4.i)  4  6.i

• Subtração:

(a  b.i)  (c  d .i)  (a  c)  (b  d ).i
(5  3.i)  (3  4.i)  2  1.i

• Multiplicação:

(a  b.i).(c  d .i)  (ac  bd )  (bc  ad ).i
(1  i).(  2i)  3  i
1

• Divisão:

(a  b.i )
 (c  d .i )  0
(c  d .i )
(a  b.i ) (c  d .i ) (ac  bd )  (bc  ad ).i
.

(c  d .i ) (c  d .i )
c2  d 2



1  i 1  i 2.i
.

i
1 i 1 i
2

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Números Complexos
• Exponenciação:

in  ir

Para n  4, r é o resto da divisão de n por 4 !

• Potência de z : zn = (a+b.i)n  Desenvolver Binômio de Newton
 Operações – Forma trigonométrica:

• Multiplicação: z .z
1

• Divisão:

2

z  a  b.i  z  z .(cos  i.sen )

 z1 . z2 .cos( 1  2 )  i.sen( 12 )


z
z1
 1 .cos( 1   2 )  i.sen( 1 2 )

z2
z2

• Potenciação:

z n  z .cos(n. )  i.sen(n. ), n  Z
n

• O argumento das operações é
a 1ª determinação positiva ou
nula dos argumentos.

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Números Complexos
• Radiciação: zk é a raiz enésima de z
z  z  zk 
n
k

n

zz

1

n

z  z .(cos  i.sen )
zk  z

1

n

 2
 2


.cos( 
.k )  i.sen ( 
.k ), k  {0,1,2,..., n  1}
n
n
n
n



• Os argumentos estão em P.A. : a1 = /n e r = 2/n

Exemplo:

z  8.(cos60o  i.sen 60o )

Obter a raiz cúbica de z



60
360o
60o
360o
z  z k  8.cos(

.k )  i.sen (

.k ) 
3
3
3
3


o
o
o
o
z k  2. cos(20  120 .k )  i.sen ( 20  120 .k )
o

3

3




 P0
k  1  z  2.cos140  i.sen140  P1
k  2  z  2.cos 260  i.sen 260  P2
k  0  z0  2. cos 20  i.sen 20
o

o



o

o

1

o

o

2

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Números complexos

  • 1. Números Complexos  Definição: i  1  Representações: Algébrica: Par ordenado: Trigonométrica: y z  a  b.i z  ( a, b ) z  z .(cos  i.sen ) z : módulo  z  a2  b2  : arg z argumento de z •P(a,b) cos   x a z sen   b z  z  a  b.i  P(a, b)    z  z .(cos  i.sen )  P( z , )  2 2 z  a b  Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 2. Números Complexos z  a  b.i  Conjugado: z  a  b.i Exemplo: i = (0,1) i2 = -1 (0,b) = b.i (a,0) = a z = 2 – 5.i z = 2 + 5.i Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 3. Números Complexos  Operações: • Adição: (a  b.i)  (c  d .i)  (a  c)  (b  d ).i (1  2.i)  (3  4.i)  4  6.i • Subtração: (a  b.i)  (c  d .i)  (a  c)  (b  d ).i (5  3.i)  (3  4.i)  2  1.i • Multiplicação: (a  b.i).(c  d .i)  (ac  bd )  (bc  ad ).i (1  i).(  2i)  3  i 1 • Divisão: (a  b.i )  (c  d .i )  0 (c  d .i ) (a  b.i ) (c  d .i ) (ac  bd )  (bc  ad ).i .  (c  d .i ) (c  d .i ) c2  d 2  1  i 1  i 2.i .  i 1 i 1 i 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 4. Números Complexos • Exponenciação: in  ir Para n  4, r é o resto da divisão de n por 4 ! • Potência de z : zn = (a+b.i)n  Desenvolver Binômio de Newton  Operações – Forma trigonométrica: • Multiplicação: z .z 1 • Divisão: 2 z  a  b.i  z  z .(cos  i.sen )  z1 . z2 .cos( 1  2 )  i.sen( 12 )  z z1  1 .cos( 1   2 )  i.sen( 1 2 )  z2 z2 • Potenciação: z n  z .cos(n. )  i.sen(n. ), n  Z n • O argumento das operações é a 1ª determinação positiva ou nula dos argumentos. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 5. Números Complexos • Radiciação: zk é a raiz enésima de z z  z  zk  n k n zz 1 n z  z .(cos  i.sen ) zk  z 1 n  2  2   .cos(  .k )  i.sen (  .k ), k  {0,1,2,..., n  1} n n n n   • Os argumentos estão em P.A. : a1 = /n e r = 2/n Exemplo: z  8.(cos60o  i.sen 60o ) Obter a raiz cúbica de z   60 360o 60o 360o z  z k  8.cos(  .k )  i.sen (  .k )  3 3 3 3   o o o o z k  2. cos(20  120 .k )  i.sen ( 20  120 .k ) o 3 3    P0 k  1  z  2.cos140  i.sen140  P1 k  2  z  2.cos 260  i.sen 260  P2 k  0  z0  2. cos 20  i.sen 20 o o  o o 1 o o 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com