1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Chama-se Progressão Aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula de
recorrência:
em que a e r são números reais dados.
Assim, uma P.A. é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do
anterior com uma constante r dada.
EXEMPLOS:
1) (1, 3, 5, 7, 9, …) em que a1 = 1 e r = 2
2) (0, -2, -4, -6, …) em que a1 = 0 e r = -2
3) (4, 4, 4, 4, 4, …) em que a1 = 4 e r = 0
4) (1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …) em que a1 = 1/2 e r = 1
5) (4, 11/3, 10/3, 3, 8/3, …) e que a1 = 4 e r = -1/3
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A.
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
CRESCENTES
São as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. É imediato que isso ocorre somente
se r > 0, pois:
an > an-1 ⇔ an – an-1 > 0 ⇔ r > 0
Exemplos: (1) e (4)

2. CONSTANTES
São as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver que isso só ocorre quando
r = 0, pois:
an = an-1 ⇔ an – an-1 = 0 ⇔ r = 0
Exemplo: (1)
DECRESCENTES
São as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. É fácil ver que isso só ocorre
quando r < 0, pois:
an < an-1 ⇔ an – an-1 < 0 ⇔ r < 0
Exemplos: (2) e (5)
NOTAÇÕES ESPECIAIS
Quando procuramos obter uma P. A. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a notação
seguinte:
PARA 3 TERMOS
(x, x + r, x + 2r)
ou
(x – r, x, x + r)
PARA 4 TERMOS
(x, x + r, x + 2r, x + 3r)
ou
(x – 3y, x - y, x + y, x + 3y)
em que y = r/2
PARA 5 TERMOS
(x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r)
ou
(x – 2r, x – r , x, x + r, x + 2r)

3. EXERCÍCIOS
1. Determine x de modo que a sequência abaixo seja uma P.A.
(x, 2x + 1, 5x + 7) x = - 5/2
2. Determine a de modo que a sequência seja uma P.A.
(a², (a + 1)², (a + 5)²) a = -23/6
3. Obtenha uma P.A. de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440. (5, 8,
11) e (11, 8, 5)
4. Obtenha uma P.A. crescente formada por três números inteiros e consecutivos de modo que
a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma. (-1, 0, 1), (0, 1, 2) e (1, 2, 3)
5. Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é 23/30.
(2, 6, 10) e (10, 6, 2)
6. Uma P.A. é formada por 3 termos com as seguintes propriedades:
• Seu produto é igual ao quadrado de sua soma;
• A soma dos dois primeiros é igual ao terceiro.
Obtenha a P.A. (6, 12, 18) e (0, 0, 0)
7. Obtenha 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3 e a soma de seus quadrados seja
11. (-1, 1, 3) e (3, 1, -1)
8. Obtenha uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto é 3465.
(5, 7, 9, 11) e (11, 9, 7, 5)
9. A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é -6, o produto do
primeiro deles pelo quarto é 54. Determine esses termos. (-9, -4, 1, 6)
10. Obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o dos
meios seja 77. (3, 7, 11, 15) e (-15, -11, -7, -3)
11. Obtenha 4 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados
é 166. (1, 4, 7, 10) e (10, 7, 4, 1)
12. Obtenha uma P.A. de 5 termos, sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é
3025. (-3, 1, 5, 9, 13) e (13, 9, 5, 1, -3)
13. Obtenha uma P.A. decrescente com 5 termos cuja soma é -10 e a soma dos quadrados é
60. (2, 0, -2, -4, -6)
14. Obtenha 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é
563/63. (1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5) e (9/5, 7/5, 1, 3/5, 1/5)
15. Ache 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 10 e a soma dos cubos dos dois
primeiros é igual à soma dos cubos dos dois últimos. (2, 2, 2, 2, 2)

4. 16. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x, x² - 5 e estão em P.A.,
nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo. 24
17. Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A.,
nessa ordem. Quanto mede o lado do quadrado?
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Na P.A. em que o primeiro termo é a1 e a razão é r, o n-ésimo termo é calculado por:
an = a1 + (n – 1). r
EXERCÍCIOS
18. Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5. a17 = 83
19. Obtenha o 12º, o 27º e o 100º termos da P.A. (2, 5, 8, 11, …). a12 = 35; a27 = 80;
a100 = 299
20. Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é -8 e o vigésimo é 30. r = 2
21. Obtenha a razão da P.A. em que a2 = 9 e a14 = 45. r = 3
22. Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23º termo é 86. a1 = -2
23. Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2º termo é 24 e a razão é 2? 20º termo
24. Obtenha a P.A. em que a10 = 7 e a12 = -8. (149/2, 67, 119/2, …)
25. Determine a P.A. em que o 6º termo é 7 e o 10º é 15. (-3, -1, 1, 3, …)
26. Qual é a P.A. em que o 1º termo é 20 e o 9º termo é 44? (20, 23, 26, 29, …)
27. Determine a P.A. em que se verificam as relações:
a12 + a21= 302 e a23 + a46 = 446 (89, 93, 97, …)
28. Quantos números ímpares há entre 14 e 192? 89 números
29. Qual é o primeiro termo negativo da P.A. (60, 53, 46, …)? a10 = -3
30. As progressões aritméticas 5, 8, 11, … e 3, 7, 11, … têm 100 termos cada uma. Determine
o número de termos iguais nas duas progressões. 25 termos
31. O primeiro termo a de uma progressão aritmética de razão 13 satisfaz 0 ≤ a ≤ 10. Se um

5. dos termos da progressão é 35, determine o valor de a. a = 9