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Breve aula sobre progressões Aritiméticas.

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  1. 1. SequênciasSequênciasouousucessõessucessõesProf. Newton
  2. 2. Uma sequência ,ou sucessão , é umUma sequência ,ou sucessão , é umconjunto de objetos de qualquer naturezaconjunto de objetos de qualquer naturezaorganizados ou escritos numa ordem bemorganizados ou escritos numa ordem bemdefinida.definida.Por exemplo, a sequência formada pelosPor exemplo, a sequência formada pelosnúmeros ímpares:números ímpares:(1;3;5;7;9;....)(1;3;5;7;9;....)Ou a sequência formada pelos dia daOu a sequência formada pelos dia dasemana:semana:(domingo; segunda-feira, terça-feira, quarta-(domingo; segunda-feira, terça-feira, quarta-feira,quinta-feira, sexta-feira, sábado)feira,quinta-feira, sexta-feira, sábado)
  3. 3. Uma sequência pode ser classificadaUma sequência pode ser classificadacomocomo finitafinita..Por exemplo, podemos falar na sequênciaPor exemplo, podemos falar na sequênciados meses do ano:dos meses do ano:(Janeiro, fevereiro,março..., dezembro)(Janeiro, fevereiro,março..., dezembro)EE infinita,,Por exemplo a sequência dos númerosPor exemplo a sequência dos númerospares escritos em ordem crescente:pares escritos em ordem crescente:(2,4,6,8,10,12....)(2,4,6,8,10,12....)
  4. 4. Para representar uma sequência,Para representar uma sequência,escrevemos seus elementos, ou termos ,escrevemos seus elementos, ou termos ,entre parênteses. Por exemplo, paraentre parênteses. Por exemplo, pararepresentar a sequência dos númerosrepresentar a sequência dos númerospares, fazemos assim:pares, fazemos assim:(2,4,6,8,10,12,14,...)(2,4,6,8,10,12,14,...)
  5. 5. É importante destacar que , ao contrárioÉ importante destacar que , ao contráriodo que ocorre num conjunto, qualquerdo que ocorre num conjunto, qualqueralteração na ordem dos elementos de umaalteração na ordem dos elementos de umasequência altera a própria sequência.sequência altera a própria sequência.Por exemplo:Por exemplo:{2,4,6,8}={4,2,8,6}{2,4,6,8}={4,2,8,6}MasMas(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)
  6. 6. Uma sequência genérica pode serUma sequência genérica pode serrepresentada por:representada por:(a; a; a; a;...;a;...)(a; a; a; a;...;a;...)1 2 3 4 n1 2 3 4 nNoteNote que os índices associados à letraque os índices associados à letra aaindicam as posições dos termos naindicam as posições dos termos nasequencia, isto é,sequencia, isto é,
  7. 7. a -a - representa o 1° termorepresenta o 1° termo11aa -- representa o 2° termorepresenta o 2° termo22......a -a - representa o n-ésimo termorepresenta o n-ésimo termonn
  8. 8. Por exemplo, na sequênciaPor exemplo, na sequência(1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...)aa = 1,= 1, a =a = 4,4, aa == 9, a9, a = 16 e assim por= 16 e assim por1 2 3 41 2 3 4diante.diante.
  9. 9. Três termos consecutivos de umaTrês termos consecutivos de umasequência qualquer podem sersequência qualquer podem serrepresentados porrepresentados pora ; a ; aa ; a ; an-1n-1 nn n+1n+1Dizemos também que:Dizemos também que:aa é o antecessor deé o antecessor de aan-1n-1 nnaa é o sucessor deé o sucessor de aan+1n+1 nn
  10. 10. Assim, na sequênciaAssim, na sequência(1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...)9 é o9 é o antecessorantecessor de 16 e 25 é ode 16 e 25 é o sucessorsucessorde 16.de 16.Determinação de uma sucessão:Determinação de uma sucessão:As sucessões são dadas, em sua maioria,As sucessões são dadas, em sua maioria,por meio de uma regra chamadapor meio de uma regra chamada lei delei deformaçãoformação e que nos permite calculare que nos permite calcularqualquer termo da sucessão.qualquer termo da sucessão.
  11. 11. Exemplos:Exemplos:Escrever a sucessão em queEscrever a sucessão em que a = 2.na = 2.n eennnn ЄЄ {1,2,3,4}{1,2,3,4}Solução:Solução:aa= 2.1= 2.1 =2;=2;aa= 2.2=4;= 2.2=4;aa== 2.3=6;2.3=6;aa= 2.4= 8= 2.4= 81 2 3 41 2 3 4A sucessão procurada é:A sucessão procurada é:( 2;4;6;8)( 2;4;6;8)
  12. 12. Progressões aritméticas:Progressões aritméticas:Chama-se progressão aritmética (P.A)Chama-se progressão aritmética (P.A)toda sequência numérica em que cadatoda sequência numérica em que cadatermo, a partir do segundo, é igual à somatermo, a partir do segundo, é igual à somade seu antecessor com um númerode seu antecessor com um númeroconstante r.constante r.a = a + r (n ≥ 2)a = a + r (n ≥ 2)n n-1n n-1A constante r é a razão da P.AA constante r é a razão da P.A
  13. 13. Vejamos estes exemplos:Vejamos estes exemplos:a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4+4 +4 +4 +4+4 +4 +4 +4b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3-3 -3 -3 -3-3 -3 -3 -3c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0
  14. 14. Observações!!!!Observações!!!!Uma P.A. pode ser definida como umaUma P.A. pode ser definida como umasequência em que a diferença entre cadasequência em que a diferença entre cadatermo e seu antecessor é constante. Istotermo e seu antecessor é constante. Istoé,é,a = a + r a – a = r (n ≥ 2)a = a + r a – a = r (n ≥ 2)n n-1 n n-1n n-1 n n-1
  15. 15. Por exemplo, na p.aPor exemplo, na p.a(2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7(2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7tem-se:tem-se:aa -- aa = 9 - 2= 9 - 2 aa –– aa = 7= 72 1 2 12 1 2 1aa -- aa = 16 - 9= 16 - 9 aa –– aa = 7= 73 2 3 23 2 3 2aa -- aa = 23 -19= 23 -19 aa –– aa = 7= 74 3 4 34 3 4 3
  16. 16. Uma p.a de razão r é dita:Uma p.a de razão r é dita:Crescente , se r › 0Crescente , se r › 0ex.:ex.: (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...)(2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...)p.a de razão 4p.a de razão 4Decrescente, se r‹0Decrescente, se r‹0ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...)ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...)p.a de razão -3p.a de razão -3Constante, se r=0Constante, se r=0ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)
  17. 17. Termo geral de uma P.ATermo geral de uma P.AO termo geral de uma p.a é dado pelaO termo geral de uma p.a é dado pelafórmula:fórmula:a = a + (n-1) . ra = a + (n-1) . rn 1n 1Sua tradução para a linguagem comum é aSua tradução para a linguagem comum é aseguinte:seguinte:““ Para obter o enésimo termo de uma p.a,Para obter o enésimo termo de uma p.a,basta somar n-1 vezes à razão aobasta somar n-1 vezes à razão aoprimeiro termo. “primeiro termo. “
  18. 18. Por exemplo, para determinar o 10° termoPor exemplo, para determinar o 10° termode uma p.a basta somar 9 vezes a razãode uma p.a basta somar 9 vezes a razãoao 1° termo. Logo, na p.a,ao 1° termo. Logo, na p.a,(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3Temos:Temos:aa == a + 9r aa + 9r a == 1 + 9. 31 + 9. 3 .: a.: a=28=2810 1 1010 1 101010Da mesma forma que ,Da mesma forma que ,aa == a +50r aa +50r a = 1 + 50.3 .:= 1 + 50.3 .: aa= 151= 15151 1 5151 1 515151
  19. 19. Termos equidistantes de umaTermos equidistantes de umaP.AP.ANuma sequência finita o primeiro e oNuma sequência finita o primeiro e oúltimo termo são chamados extremos.Porúltimo termo são chamados extremos.Porexemplo,1 e 15 são os extremos da p.a,exemplo,1 e 15 são os extremos da p.a,(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)Dizemos que dois termos são de umaDizemos que dois termos são de umasequência são equidistantes dossequência são equidistantes dosextremos se o número de termos queextremos se o número de termos queantecede um é igual ao número de termosantecede um é igual ao número de termosque sucedem o outro.que sucedem o outro.
  20. 20. Então , na p.a do exemplo dado, temos:Então , na p.a do exemplo dado, temos:(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, 7Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, 7e 9 são equidistantes dos extremos.e 9 são equidistantes dos extremos.Propriedade:Propriedade:Numa p.a finita, a soma de quaisquer doistermos equidistantes dos extremos é iguala soma dos extremos.
  21. 21. Utilizando ainda o exemplo dado temos :Utilizando ainda o exemplo dado temos :(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)Onde:Onde:1 e 15 são os extremos, sua soma é dada1 e 15 são os extremos, sua soma é dadapor: 1+15= 16. A partir daí temos,por: 1+15= 16. A partir daí temos,3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termos3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termosequidistantes desta p.a.Sua soma é dadaequidistantes desta p.a.Sua soma é dadapor:por:3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.
  22. 22. Soma dos termos de uma p.a finitaSoma dos termos de uma p.a finitaA soma dos n primeiros termos de umaA soma dos n primeiros termos de umap.a finita é dada pela fórmula:p.a finita é dada pela fórmula:s = (a + a). ns = (a + a). nn 1 nn 1 n22Por exemplo:Por exemplo:Calcular a soma dos 15 primeiros termosCalcular a soma dos 15 primeiros termosde uma p.a onde,de uma p.a onde, aa = 12 e= 12 e rr= 3= 311
  23. 23. Solução:Solução:Antes de calcular a soma temos de acharAntes de calcular a soma temos de acharaa ..1515aa = 12 + 14.3 .:= 12 + 14.3 .: aa =56=5615 1515 15Daí a soma dos 15 termos da p.a éDaí a soma dos 15 termos da p.a és = (12 + 56) . 15 /2 .:= (12 + 56) . 15 /2 .: ss =510=5101515 1515
  24. 24. Exercícios:Exercícios:1-Determine o 21°, 73° e 139° termos da1-Determine o 21°, 73° e 139° termos dap.a (-17,-11;-5;...)p.a (-17,-11;-5;...)2-calcule o primeiro termo de uma p.a , nos2-calcule o primeiro termo de uma p.a , nosseguintes casos:seguintes casos:a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -4a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -434 8134 813-Quantos termos possui a seguinte p.a?3-Quantos termos possui a seguinte p.a?(-19;-15;...;205)(-19;-15;...;205)
  25. 25. PROGRESSÃOPROGRESSÃOARITMÉTICAARITMÉTICAPROFESSOR: Newton Lima
  26. 26. DEFINIÇÃODEFINIÇÃOPROGRESSÃOÉ uma sequência lógica de informações quepossuem um critério específico e uma ordemestabelecida para o surgimento de seusvalores. Uma progressão pode sercrescente ou decrescente!ARITMÉTICAIndica uma relação numérica que seráorientada sobre forma de soma. A aritméticaconsiste em realizar operações utilizando osistema de contagem na forma de adição.
  27. 27. PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICAÉ uma sequência numéricaÉ uma sequência numéricaorientada sobre forma de somaorientada sobre forma de somaonde, cada termo a partir doonde, cada termo a partir dosegundo, terá um mesmo valorsegundo, terá um mesmo valoracrescido em sua sequência, sendoacrescido em sua sequência, sendoeste valor o mesmo para todos oseste valor o mesmo para todos oselementos e chamado de razão.elementos e chamado de razão.
  28. 28. Observe o exemplo:Observe o exemplo:{ }24,21,18,15,12,9,6,3O primeiro elemento da sequência é chamado de a1an é o último termo de uma sequência numéricaO número de elementos de uma sequência numérica serárepresentado pela letra nA ordem de crescimento entre os elementos, ou razão, a partir dosegundo termo, sempre será a mesma e será representada pela letrarEntão, neste caso,a1 é 3Neste caso,an é 24Podemos observarque a seqüênciaacima possui 8números,ou seja, n = 8Observe que a cadanovo número nestaseqüência sempreé somado o valor 3o que nos mostraque a nossa razão(ordem decrescimento)será onúmero 3
  29. 29. Fórmula do termo geral de umaFórmula do termo geral de umaP.AP.A..( ) rnaan ⋅−+= 11Último termo de uma P.A. ou termo procuradoPrimeiro termo da P.A.Número de elementos da P.A.Razão da P.A.
  30. 30. ExemploExemplo11::( ) rnaan ⋅−+= 11Determine o 70º elemento de uma P.A. onde o primeiro termoé 5 e a razão é 8O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partirdestas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmulado termo geral de uma P.A.O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partirdestas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmulado termo geral de uma P.A.DADOS:a1= 5n = 70r = 8an = ?Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,ou seja, o último termo desta P.A. que no caso é o 70º elemento.Agora basta substituir os valoresfornecidos na questão. Lembre-seque a resolução desta fórmulasegue os princípios de resoluçãode uma equação de 1º grau.( )5575525869581705=+=⋅+=⋅−+=nnnnaaaa
  31. 31. ExemploExemplo22::( ) rnaan ⋅−+= 11Determine o 1º elemento de uma P.A. que possui 120 númerosonde o último termo é 570 e a razão é 4Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão parasubstituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão parasubstituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.DADOS:an= 570n = 120r = 4a1 = ?Utilizamos a interrogação para indicar o valor de desejamos encontrar,ou seja, o primeiro termo desta P.A.( )476570411957041120570111+=⋅+=⋅−+=aaaNeste momento iremos lembrardo princípio de resolução deuma equação onde a letra deveficar isolada em um dos ladosda equação. Neste caso, onúmero +476 irá para o 1ºmembro (antes do sinal de igual) mas,para tanto, é necessário mudar osinal de positivo para negativo.570 – 476 =a194 = a1
  32. 32. IMPORTANTE:IMPORTANTE:Existem algumas questões que procuramidentificar a soma de todos os termos deuma P.A. Neste tipo de questão, iremoslevar em conta que esta P.A. representaum conjunto finito de elementos, ou seja,podemos definir o primeiro e o últimotermo desta seqüência.
  33. 33. Fórmula da soma dos termos de uma P.A.Fórmula da soma dos termos de uma P.A.( )21 naaS nn⋅+=Soma de todos os elementos de uma P.A. finitaPrimeiro termo da P.A.Último termo da uma P.A.Número de elementosDa P.A.
  34. 34. ExemploExemplo33::Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. ondeo primeiro elemento é 8 e o último 102Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão.Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos,logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de umaP.A. finitaNovamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão.Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos,logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de umaP.A. finitaDADOS:a1= 8an = 102n = 50Sn = ?( )21 naaS nn⋅+=( )2750255002501102501028==⋅=⋅+=nnnnSSSSUtilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,ou seja, a soma de todos os termos de uma P.A.
  35. 35. ExemploExemplo44::( ) rnaan ⋅−+= 11( )21 naaS nn⋅+=( )1161115337531385=+=⋅+=⋅−+=nnnnaaaaDetermine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A. ondea razão é 3 e o primeiro elemento 5.Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quersaber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo donosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do últimotermo desta P.A.?Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quersaber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo donosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do últimotermo desta P.A.?DADOS:a1= 5n = 38r = 3an = ?Sn = ?Neste tipo de problema, iremos utilizar duas fórmulas para chegar aoresultado desejado. Primeiro utilizamos a fórmula do termo geral deuma P.A. onde o valor de an será encontrado. Após isto, utilizaremosa fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita.( )2299245982381212381165==⋅=⋅+=nnnnSSSSO valor de an será substituídona fórmula da soma.
  36. 36. Um pouco de exercício!!!Um pouco de exercício!!!
  37. 37. Progressão AritméticaProgressão Aritmética• Determine o primeiro termo de uma PADetermine o primeiro termo de uma PAonde aonde a33 = 8 e r = -3= 8 e r = -3an = a1 + (n-1) x r8 = a1 + (3-1) x (-3)8 = a1 + 2 x (-3)8 = a1 + (-6)8 = a1 -6a1 = 8+6 14
  38. 38. Progressão AritméticaProgressão Aritmética• Determine a razão da PA(3, 9, 15,...)Determine a razão da PA(3, 9, 15,...)r = a2- a1a2=9a1=3Dados:r = 9 – 3r = 6

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