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A = {x | x é impar e menor do que 10} = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {0, 5, 10, 15, 20, ...} ...
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conjuntos usam-se os chamados di...
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Operações de Conjuntos

•A  B

•AB
A

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A

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•AB

•AB

A
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que todo elemento de A seja também de B. Dizemos que A
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o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B.
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de A que não pertencem a B.
A - B = {x| xA e xB}

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• Número de elementos da reunião entre conjuntos: Seja
n(A) e n(B) números de elementos do conjunto A e B,
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 Números Primos: Exemplo:
 O número 23 é primo ?
 23 2 = 11 resto 1
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 23 5 = ...
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 Quantidade de divisores de um número:
Exemplo: Número de divisores de 100 e 60 ?
100 = 22.52  (2+1)...
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 Máximo Divisor Comum (MDC): O M.D.C de dois
números, indicado por mdc(a,b), é o maior elemento do
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Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, ...}

Conjunto dos Inteiros

Z* = {.., -3, -2, -1, 1, 2,
3, ...}

Con...
Conjuntos Numéricos
Z+* = {1, 2, 3, ...}

Conjunto Z positivos – {0}

Q= {p/q | p  Z, q 
Z, q  0 }

Conjunto dos Racion...
Conjuntos Numéricos
Exemplos:
1,3 = 13/10

0,243 = 243/1000

3,17 = 317/100

0,222... = 2/9

1,444... = 13/9
1,444... = 1 ...
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I

Conjunto dos Irracionais

Exemplos:
 = 3,1415926...

= 1,414213...

e = 2,1782818....

= 1,73205.....
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Reais

N

Z

Q

I

R

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Conjuntos Numéricos
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Números Romanos
 Alguns valores inteiros são representados por letras romanas específicas:
Símbolo

Valor

I

1

V

5

X
...
Números Romanos

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  1. 1. Conjuntos • Conjunto: A noção de conjunto é a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de coleção, agrupamento, classe, etc. Cada unidade de um conjunto recebe o nome de elemento (Um conjunto é representado por letras maiúsculas A, B, C, etc.). • Elemento: Os objetos que constituem determinado conjunto são chamados de elementos do conjunto (Os elementos são representados por letras minúsculas a, b, c, etc.). Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  2. 2. Conjuntos • Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se x  A. SE x não pertence ao conjunto A, escrevemos x  A. A •1 •2 •3 •4 Se x = 3, então x  A • A = {1, 2, 3, 4} e x=3  x  A Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  3. 3. Conjuntos • Representação dos conjuntos • Por enumeração: Podemos representar um conjunto enumerando seus elementos Exemplo: O conjunto dos números pares positivos menores do que 10: {2, 4, 6, 8} • Por propriedade: Quando todos os elementos de um conjunto A, e somente eles, satisfazem a uma certa propriedade, podemos descrever o conjunto A especificando essa propriedade. Para isso, usamos o símbolo | (lê-se: “tal que”) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  4. 4. Conjuntos •Por propriedade: Exemplos: A = {x | x é impar e menor do que 10} = {1, 3, 5, 7, 9} B = {0, 5, 10, 15, 20, ...} = {xN | x é múltiplo de 5} = {xN | x = 5.i , i=0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} M = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {x N | 2 < x < 9} Lembrete: x > 1 equivale a valores maiores do que 1, não incluindo o número 1 {2, 3, 4, 5, ...} ; x  1 equivale a valores maiores do que 1, incluindo o número 1 {1, 2, 3, 4, 5, ... }; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  5. 5. Conjuntos • Representação dos conjuntos •Por diagrama: Para a visualização geométrica dos conjuntos usam-se os chamados diagramas de Venn. O diagrama de Venn do conjunto A = {1, 2, 3, 4} é mostrado abaixo: A •1 •2 •3 •4 (Diagrama de Venn) • Conjunto Vazio: É o conjunto que não possui elemento algum. É representado por . Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  6. 6. Conjuntos Operações de Conjuntos •A  B •AB A B A B •AB •AB A A B B AB Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  7. 7. Conjuntos • Sunconjunto: Se A e B são dois conjuntos, pode ocorrer que todo elemento de A seja também de B. Dizemos que A é subconjunto de B, ou que A é parte de B ou, ainda, que A está contido em B. Indicamos por AB. •A  B = {x| x  A  xB} Exemplo: A = {0, 2, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, 2, 4, 8} Temos: AB, C  B, AC, CA  Todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A  AA  O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: A  A Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  8. 8. Conjuntos • Intersecção: Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua intersecção é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. A  B = {x| xA e xB} • Exemplos: A = {a, b, c} e B = {b, c, d}  A  B = {b, c} a A b c d B C = {1, 3, 5} e D = {2, 4, 6}  C  D =  E = {1, 5, 10, 15} e W = {5, 15, 25, 35}  E  W = {5, 15} Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  9. 9. Conjuntos •União: Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua união é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. AB = {x| xA ou xB} •Exemplos: A = {a, b, c} e B = {b, c, d}  A  B = {a, b, c, d} a A b c b c d B C = {1, 3, 5} e D = {2, 4, 6}  C  D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {1, 5} e W = {15, 25}  E  W = {1, 5, 15, 25} Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  10. 10. Conjuntos • Diferença: A diferença A – B é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. A - B = {x| xA e xB} • Exemplos: A = {a, b, c, d} e B = {a, b}  A - B = {c, d} C = {a, b, c, d} e D = {a, b, e}  C - D = {c, d} F = {a, b, c, d} e J = {e, f}  F - J = {a, b, c, d} B a b c d C A d c a b F e D d a c b e f J Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  11. 11. Conjuntos • Número de elementos da reunião entre conjuntos: Seja n(A) e n(B) números de elementos do conjunto A e B, respectivamente. Temos a seguinte propriedade válida para todo conjunto A e B: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) • Exemplo: A = {a, b, c}  n(A) = 3 B = {b, c, d, e}  n(B) = 4 A  B = {b, c}  n(A  B ) = 2 A  B = {a, b, c, d, e}  n(A  B) = 5 a A b c d e n(A) + n(B) – n(AB) = 3 + 4 – 2 = 5 = n(AB) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com B
  12. 12. Conjuntos Exercício: Se o conjunto A tem 30 elementos, o conjunto B tem 50 elementos e há 10 elementos que pertencem a A e B simultaneamente, quantos elementos pertencem: a) Somente a A (e não a B) ? b) Somente a B (e não a A) ? c) Quantos elementos possuem os dois conjuntos juntos ? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  13. 13. Conjuntos Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  14. 14. Conjuntos Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  15. 15. Conjuntos Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  16. 16. Conjuntos Numéricos N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Conjunto dos Naturais N* = {1, 2, 3, 4, ...} Conjunto N – {0} Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  17. 17. Conjuntos Numéricos  Par: Um número é par quando dividido por 2 apresenta resto zero (ou resulta em um número inteiro) 16  2 = 8 (resto 0)  Ímpar: Um número é ímpar quando dividido por 2 apresenta resto diferente de zero (ou resulta em um número não inteiro) 15  2 = 7 (resto 1) (=7,5)  Divisíveis por 2: todo número par é divisível por 2 12, 18 e 20 são pares  são divisíveis por 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  18. 18. Conjuntos Numéricos  Divisíveis por 3: todo número que a soma dos valores absolutos dos algarismos é um número divisível por 3 174 = 1+7+4 = 12, que é divisível por 3 171 = 1+7+1 = 9, que é divisível por 3  Divisíveis por 4: todo número em que os últimos 2 algarismos forem divisíveis por 4 ou terminarem em 00 100 é divisível por 4, porque termina em 00 712 é divisível por 4, porque 12 é divisível por 4  Divisíveis por 5: todo número terminado em 5 ou 0 175 é divisível por 5, porque termina com 5 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  19. 19. Conjuntos Numéricos  Divisíveis por 6: todo número divisível por 2 e 3 simultaneamente 216 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e 3  Divisíveis por 7: Todo número que obedece o seguinte procedimento: Seja o número 1113. Retiramos o algarismo da unidade, duplicamos ele subtraímos do número restante. Repetimos isto até encontrar um número suficiente pequeno que possamos reconhecer, que é divisível por 7: 1113  111-6 = 105  105/7=15  1113 é divisível por 7 59325  5932-10=5922  592–4 = 588  58 – 16 = 42 / 7 = 6  59325 é divisível por 7 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  20. 20. Conjuntos Numéricos Divisíveis por 8: Quando terminado por 000 ou quando os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 1328 é divisível por 8, porque 328 é divisível por 8 3000 é divisível por 8, porque termina em 000  Divisíveis por 9: Quando a soma dos algarismos do número é divisível por 9 3243+2+4 = 9 que é divisível por 9 324 é divisível por 9  Divisíveis por 10: Quando termina em 0 170 é divisível por 10, porque termina em 0 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  21. 21. Conjuntos Numéricos  Divisíveis por 11: Seja um número formado por n algarismos  temos que se a soma dos algarismos nas posições ímpares menos a soma dos algarismos nas posições pares forem divisíveis por 11 o número também será divisível por 11; 39827  3+8+7-(9+2) = 18 – 11 = 7 Não é divisível por 11 12349  1+3+9-(2+4) = 13 – 6 = 7 Não é divisível por 11 90728  9+7+8-(0+2) = 25 – 3 = 22 É divisível por 11 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  22. 22. Conjuntos Numéricos Exercícios Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  23. 23. Conjuntos Numéricos  Seja D(a) o conjunto dos divisores de a; D(5) = {1, 5} D(8) = {1, 2, 4, 8} D(13) = {1, 13}  Números Primos: Número divisível pela unidade e por ele mesmo. Exemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...  Podemos reconhecê-los fazendo divisões pelos sucessivos primos 2, 3, 7,... até encontrar um quociente menor que o divisor e resto diferente de zero Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  24. 24. Conjuntos Numéricos  Números Primos: Exemplo:  O número 23 é primo ?  23 2 = 11 resto 1  23 3 = 7 resto 2  23 5 = 4 resto 3  Como o quociente é menor que o divisor e o resto diferente de zero, temos que o número é primo.  Quantidade de divisores de um número: Primeiro decompomos um número em fatores primos, e apresentamos na forma fatorada. Adicionamos 1 ao expoente de cada fator e multiplicamos cada expoente Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  25. 25. Conjuntos Numéricos  Quantidade de divisores de um número: Exemplo: Número de divisores de 100 e 60 ? 100 = 22.52  (2+1).(2+1) = 3.3 = 9 (O número 100 apresenta 9 divisores) 60 = 22.3.5  (2+1).(1+1).(1+1) = 3.2.2 = 12 (O número 60 apresenta 12 divisores) 99 = 32.11  (2+1).(1+1) = 3.2 = 6 (O número 99 apresenta 6 divisores) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  26. 26. Conjuntos Numéricos  Máximo Divisor Comum (MDC): O M.D.C de dois números, indicado por mdc(a,b), é o maior elemento do conjunto D(a)  D(b) (se os dois números estiverem fatorados em números primos, será o produto de fatores comuns elevado ao menor expoente)  Exemplo: mdc(20, 36) = mdc(22.5,22.32) = 22 = 4 mdc(8, 12) = mdc(23,22.3) = 22 = 4 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  27. 27. Conjuntos Numéricos  Mínimo Múltiplo Comum (MMC): o M.M.C de dois números, indicado por mmc(a,b), é o produto de fatores primos comuns e não comuns elevado ao maior expoente  Exemplo: mmc(20, 36) = mmc(22.5,22.32) = 22.5.32 = 180 mmc(8, 12) = mmc(23,22.3) = 23.3 = 24  Propriedades:  Se a e b são primos entre si  mdc(a,b) = 1  Se b é divisor de a então mdc(a,b) = b  mmc(a,b).mdc(a,b) = a.b Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  28. 28. Conjuntos Numéricos Exercícios Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  29. 29. Conjuntos Numéricos Exercícios Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  30. 30. Conjuntos Numéricos Exercícios Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  31. 31. Conjuntos Numéricos Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Conjunto dos Inteiros Z* = {.., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} Conjunto Z – {0} Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} Z- = {... -3, -2, -1} Conjunto Z positivos Conjunto Z negativos Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  32. 32. Conjuntos Numéricos Z+* = {1, 2, 3, ...} Conjunto Z positivos – {0} Q= {p/q | p  Z, q  Z, q  0 } Conjunto dos Racionais Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  33. 33. Conjuntos Numéricos Exemplos: 1,3 = 13/10 0,243 = 243/1000 3,17 = 317/100 0,222... = 2/9 1,444... = 13/9 1,444... = 1 + 0,444... 0,999... = 1 10 x 0,222... = 2,222... - 0,222... - 0,222... 10 x 0,444... = 4,444... - 0,444... - 0,444... 9 x 0,222... = 2 10 x 0,999... = 9,999... - 0,999... - 0,999... 9 x 0,999... = 9 9 x 0,444... = 4 0,222... = 2/9 1,444...=1+4/9= 9/9+4/9 =13/9 0,999... = 9/9 = 1 0,5 = 1/2 0,75 = 3/4 1,25 = 5/4 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  34. 34. Conjuntos Numéricos I Conjunto dos Irracionais Exemplos:  = 3,1415926... = 1,414213... e = 2,1782818.... = 1,73205... log(101) = 2,00432... = 1,6180339... Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  35. 35. Conjuntos Numéricos Conjunto dos Reais N Z Q I R Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  36. 36. Conjuntos Numéricos Exercícios Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  37. 37. Números Romanos  Alguns valores inteiros são representados por letras romanas específicas: Símbolo Valor I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Para representar outros números são utilizadas as seguintes regras: • Algarismos de menor ou igual valor à direita são somados ao algarismo de maior valor: XV = 10+5=15 • Algarismos de menor valor à esquerda são subtraídos do maior valor: IV = 5-1=4 • Qualquer algarismo não pode ser repetidos lado a lado por mais de 3 vezes: CCC = 300 e CD = 400 • 2013 = MMXIII = 1000+1000+10+3 • 2014 = MMXIV = 1000+1000+10+4 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  38. 38. Números Romanos Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com

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