O documento apresenta notas de aula sobre limites de funções. A primeira seção define o que é um limite de função e apresenta exemplos de cálculo de limites, incluindo casos de indeterminação. A segunda seção apresenta 5 problemas de cálculo de limites para exercitar os conceitos, sugerindo métodos como o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini. Referências bibliográficas são fornecidas no final.

1. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo
Aula 0
Quadrado da soma ( )
Quadrado da diferença ( )
Cubo da soma ( )
Cubo da diferença ( )
Diferença de quadrados =( )( )
Diferença de cubos =( )( )
Soma de cubos =( )( )
Para começar verifique os resultados da tabela acima. Agora!
Vale relembrar os seguintes tópicos (Pesquise!):
 Decomposição de Polinômios em fatores do 1º grau;
 Divisão de polinômios: Método da Chave e Dispositivo Prático de Briot-Ruffini;
 Teorema do Resto: “Seja ( ). Um polinômio tal que . O resto da divisão
de ( ) por é igual a ( ), ou seja, ( ) .”
 Teorema de D’Alembert: “Um polinômio ( ) é divisível por se, e
somente se, é raiz de ( ).”
 Identidades trigonométricas;
 Potenciação e radiciação;
 Racionalização de denominadores e desracionalização de denominadores (ou
simplesmente: Fator racionalizante);
 Logaritmos (e logaritmo neperiano, cuja base é o número );
 E outros artifícios algébricos engenhosos que vierem a sua cabeça. (Serão
necessários!).
Sugestão de leitura
Livro: Pré-cálculo Autor: Paulo Boulos
(Ou o livro que você tiver em casa. Não perca muito tempo revisando. Você será
cobrado a rever ao passo que for resolvendo problemas. Paciência e atenção
serão seus melhores aliados).
17 de fevereiro de 2013. Prévia.

2. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo
Aula 1
(Noção intuitiva de limite)
O limite de uma função a uma variável x em relação a um ponto específico a é
igual ao número real L.
Em símbolos:
( )
(Lê-se: Limite da função f de x quando “x tende a a “é igual a L).
Importante. Quando estudamos o limite de uma função ( ) em relação a um
ponto a, estamos interessados no comportamento desta função quando x se
aproxima de a. Ou seja: o limite pode coincidir ou não com a imagem da função
naquele ponto. Vamos aos exemplos.
( )( )
Problema 1. Calcule .
Solução.
(Sugestão: Construa o gráfico e verá que a função não está definida no ponto , ou em
outras palavras: a função é descontínua neste ponto ou ainda a função dá um salto neste ponto.
O gráfico servirá para melhor compreensão do fato).
( )( ) ( )( )
(Indeterminação!)
(Logo, devemos excluir a possibilidade de indeterminação, pois neste ponto a função é
descontínua. Como fazer? Assim:)
( )( )
( ) .
Importante: “Se ( ) e ( ) são polinômios inteiros e ( ) ou ( ) ,
então, o limite da fração racional
( )
( )
é encontrado diretamente.
17 de fevereiro de 2013. Prévia.

3. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo
( )
Mas, se ( ) ( ) , então, recomenda-se simplificar a fração , em
( )
uma ou mais vezes pelo fator ”.
Problema 2. Calcule .
Solução.
(Indeterminação!)
Comentários: [Temos a divisão de polinômios : Seja ( ) e
( ) . Observamos que para , temos: ( ) e ( ) . Isto
significa que 1 é a raiz de ambos os polinômios f e g (pelo Teorema do Resto). E
também sabemos que ( ) e ( ) são divisíveis pelo fator do primeiro grau
( ), pelo Teorema de D’Alembert. “E agora, José?”
Realize a divisão dos polinômios (pode ser pelo Método da Chave ou pelo
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini).
Pelo Método da Chave
+x+1
0
( )( )
Daí, .
Ou pelo Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Raiz Coeficientes do polinômio completo:
1 1 0 0 -1
1 1 1 / 0 (Resto)
( )( )
Daí, .
Ou ainda usando a identidade da tabela da aula anterior. Observamos que
é a Diferença de Cubos, então: ( )( ). E então:
17 de fevereiro de 2013. Prévia.

4. Notas de Aula Prof. J. Eronildo de Melo
( )( )
.
Temos estes caminhos como exemplos. Escolha o que achar pertinente (ou outro
não listado aqui) e algebricamente aceitável. Bom trabalho!] Continuação:
( )( )
.
Problema 3. Calcule .
(Sugestão: Observe que é raiz de ambos os polinômios. Use o Dispositivo Prático de Briot-
Ruffini).
Resp.: .
( )
Problema 4. Calcule .
Resp.:
Problema 5. Calcule ( ).
Sugestão: Realize antes a subtração e depois o resolva)
Resp.: -1
Referências
Livro: Fundamentos de Matemática Elementar. Vol.: 8: Limites, derivadas e
Noções de Integral
Autor: G. Iezzi e outros
Livro: Problemas e exercícios de análise matemática
Autor: B. Demidovitch
17 de fevereiro de 2013. Prévia.