Trigonometria

ElementosdeMatemática
Trigonometria do Triângulo Retângulo
Roteiro no.5 - Atividades didáticas de 2007
Versão compilada no dia 9 de Maio de 2007.
Departamento de Matemática - UEL
Prof. Ulysses Sodré
E-mail: ulysses@matematica.uel.br
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais utilizados em nossas
aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um
roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir
qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros
citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em
português, há pouco material de dom´ınio público, mas em inglês existem
diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que
o leitor fa¸ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘No princ´ıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o
Verbo era Deus. Ele estava no princ´ıpio com Deus. Todas as coisas foram
feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele
estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e
as trevas não prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo
foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio para o que
era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam,
aos que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de
Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da
vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre
nós, cheio de gra¸ca e de verdade...’ A B´ıblia Sagrada, João 1:1-5,10-14
Resumo dos principais
conceitos da trigonometria
aplicados à Topografia

CAPÍTULO 1
Trigonometria do triângulo retângulo
1.1 Trigonometria e aplica¸cões
Tratamos aqui sobre alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no
triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental.
Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado
no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplica¸cões práticas. Desde a anti-
güidade já se usava da trigonometria para obter distâncias imposs´ıveis de serem
calculadas por métodos comuns. Algumas aplica¸cões da trigonometria são:
1. Determina¸cão da altura de um certo prédio.
Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007

1.2. TRIÂNGULO RETÂNGULO 2
2. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo
muito simples.
3. Seria imposs´ıvel se medir a distância da Terra à Lua, porém com a
trigonometria se torna simples.
4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma
ponte, o trabalho dele é facilitado com o uso de recursos trigonométricos.
5. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma mon-
tanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é poss´ıvel calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
1.2 Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede
noventa graus, da´ı o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 1800
, então os outros dois ângulos
medirão 900
.
Observa¸cão: Se a soma de dois ângulos mede 900
, estes ângulos são denom-
inados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo
possui dois ângulos complementares.
Ver mais detalhes em triângulos
1.3 Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes
são dados de acordo com a posi¸cão em rela¸cão ao ângulo reto. O lado oposto
ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes
a ele) são os catetos.
Termo Origem da palavra
Cateto Cathetós: (perpendicular)
Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo)

1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS 3
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes nota¸cões:
Letra Nome do lado Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa A = Ângulo reto A = 900
b Cateto B = Ângulo agudo B < 900
c Cateto C = Ângulo agudo C < 900
Ver mais detalhes em ângulos
1.4 Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posi¸cão em rela¸cão
ao ângulo sob análise. Se estamos usando o ângulo C, então o lado oposto,
indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo
C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar o uso de conceitos matemáticos
no nosso cotidiano.
Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo
retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

1.5. PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 4
1.5 Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos
agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa
(lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremi-
dade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo
que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem
3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos.
A outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura
relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular
à base.
1.6 A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informa¸cões da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB,
indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a proje¸cão ortogonal do cateto c
sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a proje¸cão ortogonal do cateto b
sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

1.7. PROJEÇ ÕES DE SEGMENTOS 5
1.7 Proje¸cões de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre proje¸cão. Já mostramos, no in´ıcio
deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma
sombra que é a proje¸cão obl´ıqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é poss´ıvel
obter as proje¸cões destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situa¸cões apre-
sentadas, as proje¸cões dos segmentos AB são indicadas por A B , sendo que
no último caso A = B é um ponto.
1.8 Proje¸cões no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as proje¸cões dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = proje¸cão de c sobre a hipotenusa.
2. n = proje¸cão de b sobre a hipotenusa.
3. a = m + n.
4. h = média geométrica entre m e n.
Ver mais detalhes em média geométrica

1.9. RELAÇ ÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 6
1.9 Rela¸cões Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, decomporemos o triângulo retângulo ABC
em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo
A será decomposto na soma dos ângulos CAD = B e DAB = C.
Os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a
b
=
b
n
=
c
h
a
c
=
b
h
=
c
m
b
c
=
n
h
=
h
m
logo:
a
c
=
c
m
equivale a ac2
= a.m
a
b
=
b
n
equivale a ab2
= a.n
a
c
=
b
h
equivale a aa.h = b.c
h
m
=
n
h
equivale a ah2
= m.n

1.10. FUNÇ ÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS 7
Existem também outras rela¸cões do triângulo inicial ABC. Como a = m+n,
somando c2
com b2
, obtemos:
c2
+ b2
= a.m + a.n = a.(m + n) = a.a = a2
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a2
= b2
+ c2
Esta é uma das várias demonstra¸cões do Teorema de Pitágoras.
1.10 Fun¸cões trigonométricas básicas
As Fun¸cões trigonométricas básicas são rela¸cões entre as medidas dos lados do
triângulo retângulo e seus ângulos. As três fun¸cões básicas mais importantes
da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. Indicamos o ângulo pela letra
x, o cateto oposto ao ângulo x por CO, o cateto adjacente ao ângulo x por
CA, a hipotenusa do triângulo por H e m(Z) a medida do segmento Z.
Fun¸cão Nota¸cão Defini¸cão
seno sin(x)
m(CO)
m(H)
cosseno cos(x)
m(CA)
m(H)
tangente tan(x)
m(CO)
m(CA)
Tomando um triângulo retângulo ABC, tal que m(H) = 1, o seno do ângulo
x sob análise é a medida do cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu
cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão
entre o seno e o cosseno desse ângulo.
sin(x) =
m(CO)
H
=
m(CO)
1
cos(x) =
m(CA)
H
=
m(CA)
1
tan(x) =
m(CO)
m(CA)
=
sin(x)
cos(x)
Rela¸cão fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a
rela¸cão:
cos2
(x) + sin2
(x) = 1

CAPÍTULO 1
Elementos gerais sobre Trigonometria
1.1 O papel da trigonometria
Trigonometria é uma palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos
(ângulos) e metron (medir). Da´ı vem seu significado mais amplo: Medida dos
Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as
medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacess´ıveis,
como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas
ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso
na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos f´ısicos, Eletricidade,
Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
1.2 Ponto móvel sobre uma curva
Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre
esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto
fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a
curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

1.3. ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA 2
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A
pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por conven¸cão,
o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como
sentido positivo.
1.3 Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele
descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade
do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco
orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso
for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orienta¸cão dos arcos formados por dois pontos A
e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B
as suas extremidades.
1.4 Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por compara¸cão com um outro
arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um
arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número
de vezes que o arco u cabe no arco AB.

1.5. O NÚMERO PI 3
Na figura seguinte, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u.
Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por
m(u), temos m(AB) = 5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer sentido, sendo
que a medida algébrica de um arco AB desta circunferência é o comprimento
deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B é anti-
horário, e negativo se o sentido é horário.
1.5 O número pi
Em toda circunferência, a razão entre o per´ımetro e o diâmetro é uma con-
stante denotada pela letra grega π, que é um número irracional, isto é, que não
pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproxima¸cão
para o número π é dada por:
π = 3, 1415926535897932384626433832795...
Mais informa¸cões sobre pi, podem ser obtidas na página Áreas de regiões
circulares: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm
1.6 Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas
existem outras medidas utilizadas por técnicos como o grau e o grado. Este
último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco cujo comprimento é o mesmo que o raio da
circunferência que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade tem
comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad.

1.7. ARCOS DE UMA VOLTA 4
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da
circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circun-
ferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de compri-
mento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, tomamos:
m(AB) =
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
= 12/8 = 1, 5 rad
1.7 Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a
medida do arco é igual a C = 2πr, então:
m(AB) =
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
=
2πr
r
= 2π
A medida em radianos de um arco de uma volta completa é 2π rad, isto é,
2π rad = 360 graus.
Temos as seguintes situa¸cões usuais:
90 graus 180 graus 270 graus 360 graus
100 grados 200 grados 300 grados 400 grados
π/2 rad π rad 3π/2 rad 2π rad
Observa¸cão: 0 graus = 0 grado = 0 radianos.

CAPÍTULO 2
O c´ırculo trigonométrico
2.1 C´ırculo Trigonométrico
Seja uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema
cartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A será tomado como a
origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo consid-
erado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os
seus pontos interiores, é denominada c´ırculo trigonométrico.
Em livros de l´ıngua inglesa, a palavra c´ırculo se refere à curva envolvente da
região circular enquanto circunferência de c´ırculo é a medida desta curva. No
Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o c´ırculo trigonométrico em quatro quadrantes
que são enumerados como segue:

2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 7
Quadrante abscissa ordenada α
Primeiro positiva positiva 0o
< α < 90o
Segundo negativa positiva 90o
< α < 180o
Terceiro negativa negativa 180o
< α < 270o
Quarto positiva negativa 270o
< α < 360o
Os quadrantes são usados para localizar pontos e caracterizar ângulos para uso
em trigonometria. Por conven¸cão, os pontos sobre os eixos não pertencem a
qualquer um dos quadrantes.
2.2 Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidas
são maiores do que 360o
. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto
A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M,
ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor
ou igual a 360o
ou ser maior do que 360o
. Se esta medida for menor ou igual
a 360o
, dizemos que este arco está em sua primeira determina¸cão.
Assim, o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes
em um certo sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores
do que 360o
ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos
mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o
ponto M.

2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 8
Se AM é um arco cuja primeira determina¸cão mede m, então um ponto móvel
que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo
do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica
será a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas:
m, m + 2π, m + 4π, m + 6π, ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de
arcos negativos de medidas algébricas:
m − 2π, m − 4π, m − 6π, ...
e assim temos uma cole¸cão infinita de arcos com extremidade no ponto M.
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determina¸cão posi-
tiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:
m(AM) = m + 2kπ
onde k é um número inteiro, isto é, k ∈ Z = {..., −2, −3, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Fam´ılia de arcos: Uma fam´ılia de arcos {AM} é o conjunto de todos os
arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.
Exemplo 4. Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade
em M, com a primeira determina¸cão positiva medindo
2π
3
, então os arcos
desta fam´ılia {AM}, medem:
Determina¸cões positivas (sentido anti-horário)
k = 0 m(AM) = 2π
3
k = 1 m(AM) = 2π
3 + 2π = 8π
3
k = 2 m(AM) = 2π
3 + 4π = 14π
3
k = 3 m(AM) = 2π
3 + 6π = 20π
3
... ...
k = n m(AM) = 2π
3 + 2nπ = (2 + 6n)π
3

2.3. ARCOS CÔNGRUOS E ÂNGULOS 9
Determina¸cões negativas (sentido horário)
k = −1 m(AM) = 2π
3 − 2π = −4π
3
k = −2 m(AM) = 2π
3 − 4π = −6π
3
k = −3 m(AM) = 2π
3 − 6π = −16π
3
k = −4 m(AM) = 2π
3 − 8π = −22π
3
... ...
k = −n m(AM) = 2π
3 − 2nπ = (2 − 6n)π
3
2.3 Arcos côngruos e Ângulos
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferen¸ca de suas medidas é
um múltiplo de 2π.
Exemplo 5. Arcos de uma mesma fam´ılia são côngruos.
Ângulos: As no¸cões de orienta¸cão e medida algébrica de arcos podem ser
estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência
trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas
OA e OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um
positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco
AM e outro negativo (sentido horário) com medida b = a−2π correspondente
ao arco AM.
Também existem ângulos com mais de uma volta e as mesmas no¸cões apre-
sentadas para arcos se aplicam a ângulos.

2.4. ARCOS SIMÉTRICOS EM RELAÇ ÃO AO EIXO OX 10
2.4 Arcos simétricos em rela¸cão ao eixo OX
Sejam AM e AM arcos na circunferência trigonométrica, com A = (1, 0)
e os pontos M e M simétricos em rela¸cão ao eixo horizontal OX. Se a
medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM’ é dada por:
µ(AM ) = 2π − m.
Os arcos da fam´ılia {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em
M, têm medidas iguais a 2kπ + m, onde k é um número inteiro e os arcos da
fam´ılia {AM } têm medidas iguais a 2kπ − m, onde k é um número inteiro.
2.5 Arcos simétricos em rela¸cão ao eixo OY
Sejam AM e AM arcos na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M simétricos em rela¸cão ao eixo vertical OY . Se a medida do
arco AM for igual a m, então a medida do arco AM será dada pela expressão
µ(AM ) = π − m. Os arcos da fam´ılia {AM }, isto é, aqueles com origem
em A e extremidade em M , medem (2k + 1)π − m onde k ∈ Z.

2.6. ARCOS SIMÉTRICAS EM RELAÇ ÃO À ORIGEM 11
2.6 Arcos simétricas em rela¸cão à origem
Sejam arcos AM e AM na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M simétricos em rela¸cão à origem (0, 0).
Se o arco AM mede m, então µ(AM ) = π+m. Arcos genéricos com origem
em A e extremidade em M medem m(AM ) = (2k + 1)π + m.

CAPÍTULO 3
Seno, Cosseno e Tangente
3.1 Seno e cosseno
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A = (1, 0) e um
número real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferência,
cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica,
de centro em (0, 0) e raio unitário. Seja M = (x , y ) um ponto desta cir-
cunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco
AM que corresponde ao ângulo central a. A proje¸cão ortogonal do ponto M
sobre o eixo OX determina um ponto C = (x , 0) e a proje¸cão ortogonal do
ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y ).
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y do ponto M e é
definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado
por sen(AM) ou sen(a).

3.2. TANGENTE 13
Como temos várias determina¸cões para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y
Para simplificar os enunciados e defini¸cões seguintes, escreveremos sen(x) para
denotar o seno do arco de medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por
cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa
x do ponto M.
Existem várias determina¸cões para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x
3.2 Tangente
Seja t a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto A = (1, 0).
Esta reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e
pelo centro da circunferência tem interse¸cão com a reta tangente t no ponto
T = (1, t ). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco
AM correspondente ao ângulo a.

3.3. ÂNGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 14
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determina¸cões:
tan(AM) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(AT) = t
Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada ângulo
a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do
primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso especial é quando o ponto M está no eixo horizontal OX, pois
cos(0) = 1, sen(0) = 0, tan(0) = 0
Ampliaremos estas no¸cões para ângulos nos outros quadrantes
3.3 Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quad-
rante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao
intervalo
π
2
< a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno
está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste
ponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada posi-
tiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno
do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso especial é quando o ponto M está no eixo vertical OY e temos
que:
cos(
π
2
) = 0, sen(
π
2
) = 1
e a tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois
elas são paralelas.

3.4. ÂNGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE 15
3.4 Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M = (x, y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa
que o ângulo a ∈ [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) é simétrico ao ponto
M = (−x, −y) do primeiro quadrante, em rela¸cão à origem do sistema,
indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno
e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é
positiva.
Em particular, se a = π rad, temos que
cos(π) = −1, sen(π) = 0, tan(π) = 0
3.5 Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de ângulos no
quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Se o ângulo mede 3π/2, a tangente não está definida pois a reta OP não
intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a = 3π/2, temos:
cos(
3π
2
) = 0, sin(
3π
2
) = −1

3.6. SIMETRIA EM RELAÇ ÃO AO EIXO OX 16
3.6 Simetria em rela¸cão ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quad-
rante e M o simétrico de M em rela¸cão ao eixo OX, estes pontos M e M
possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao
arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’, então
sen(a) = −sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = −tan(b)
3.7 Simetria em rela¸cão ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante, e seja M simétrico a M em rela¸cão ao eixo OY , estes pontos M
e M possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao
arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM , então
sen(a) = sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = − tan(b)

3.8. SIMETRIA EM RELAÇ ÃO À ORIGEM 17
3.8 Simetria em rela¸cão à origem
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante e se M é o simétrico de M em rela¸cão à origem, estes pontos M
e M possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao
arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM , então
sen(a) = −sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = tan(b)
3.9 Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns ângulos que apare-
cem com freqüência em exerc´ıcios e aplica¸cões, sem necessidade de memo-
riza¸cão, é através de simples observa¸cão no c´ırculo trigonométrico.

CAPÍTULO 2
Resolu¸cão de triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são: os lados, os ângulos e a área.
Resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendo
três dentre estes elementos podemos usar as rela¸cões métricas ou as rela¸cões
trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas
rela¸cões estão expostas na sequência.
2.1 Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura
com lados a, b e c, respectivamente tendo ângulos opostos A, B e C. O
quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado
é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita
ao triângulo, isto é:
a
sen(A)
=
b
sen(B)
=
c
sen(C)
= 2R

2.1. LEI DOS SENOS 8
Demonstra¸cão: Para simplificar as nota¸cões denotaremos o ângulo que corre-
sponde a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de
vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando es-
crevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente
com vértice em A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R.
Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo
BCA , de tal modo que o segmento BA seja um diâmetro da circunferência.
Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo,
obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A
são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência correspon-
dendo a um mesmo arco BC. Então:
sen(A ) = sen(A) =
a
2R
isto é,
a
sen(A)
= 2R

2.1. LEI DOS SENOS 9
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outros
quocientes
b
sen(B)
=
c
sen(C)
= 2R
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A são os ângulos que correspondem
aos vértices A e A , a rela¸cão entre eles é dada por A = π − A, pois são
ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares
BAC e BA C. Então
sen(π − A) =
a
2R
= sen(A)
isto é,
a
sen(A)
= 2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos os
outros quocientes
b
sen(B)
=
c
sen(C)
= 2R
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo,
é imediato que
sen(B) =
b
a
, sen(C) =
c
a
, sen(A) = sen(
π
2
) = 1

2.2. LEI DOS COSSENOS 10
Como, neste caso a = 2R, temos,
a
sen(A)
=
b
sen(B)
=
c
sen(C)
2.2 Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a
diferen¸ca entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e
o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado
por estes lados.
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)
b2
= a2
+ c2
− 2 a c cos(B)
c2
= a2
+ b2
− 2 a b cos(C)
Demonstra¸cão: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo
ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto
no vértice A, a rela¸cão
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)
Como cos(A) = cos(π/2) = 0, esta rela¸cão recai na rela¸cão de Pitágoras:
a2
= b2
+ c2
2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo
com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do

2.2. LEI DOS COSSENOS 11
triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o
Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a2
= h2
+ (c − x)2
= (h2
+ x2
) + c2
− 2cx (2.1)
No triângulo AHC, temos que b2
= h2
+ x2
e também cos(A) =
x
b
,
ou seja, x = b cos(A). Substituindo estes resultados na equa¸cão 2.1,
obtemos:
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)
3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o
ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja
o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo
relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de
Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a2
= h2
+ (c + x)2
= (h2
+ x2
) + c2
+ 2cx (2.2)
No triângulo AHC, obtemos a rela¸cão de Pitágoras b2
= h2
+ x2
e
também cos(D) =
x
b
= cos(π − A) = − cos(A), logo, x = −b cos(A).
Substituindo estes resultados na equa¸cão 2.2, obtemos:
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)

2.3. ÁREA DE UM TRIÂNGULO EM FUNÇ ÃO DOS LADOS 12
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
cos(A) =
b2
+ c2
− a2
2 b c
cos(B) =
a2
+ c2
− b2
2 a c
cos(C) =
a2
+ b2
− c2
2 a b
2.3 Área de um triângulo em fun¸cão dos lados
Existe uma fórmula para calcular a área de um triângulo conhecendo-se as
medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a
metade do per´ımetro do triângulo, isto é: 2p = a + b + c, então,
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
A demonstra¸cão da fórmula acima está em nosso link Fórmula de Heron:
http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm

CAPÍTULO 4
Fun¸cões trigonométricas circulares
Fun¸cões circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular
e são importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenômenos
naturais periódicos, como varia¸cões da temperatura terrestre, comportamentos
ondulatórios do som, pressão sangu´ınea no cora¸cão, n´ıveis de água em oceanos,
etc.
4.1 Fun¸cões reais
Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das defini¸cões
e propriedades que caracterizam a teoria de fun¸cões reais.
Fun¸cão: Uma fun¸cão de um conjunto não vazio A em um conjunto não vazio
B, denotada por f : A → B, é uma correspondência que associa a cada
elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o dom´ınio de f, o conjunto B é denominado
contradom´ınio de f. O elemento y ∈ B que corresponde ao elemento x ∈ A
de acordo com a lei f, é a imagem de x por f, indicado por y = f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de
A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma fun¸cão f é denominada fun¸cão real de variável real, se o dom´ınio e

4.2. FUNÇ ÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 17
contradom´ınio de f são subconjuntos do conjunto dos números reais.
Fun¸cão periódica: Uma fun¸cão real f, com dom´ınio em A subconjunto da
reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para
todo x ∈ A, vale
f(x + T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor
número T > 0, que satisfaz a esta condi¸cão é o per´ıodo fundamental.
Exemplo 1. A fun¸cão real definida por f(x) = x − [x], onde [x] é a parte
inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta fun¸cão é periódica
de per´ıodo fundamental T = 1.
Fun¸cão limitada: Uma fun¸cão f de dom´ınio A ⊂ R é limitada, se existe um
número real L > 0, tal que para todo x ∈ A, valem as desigualdades:
−L ≤ f(x) ≤ L
e esta última expressão é equivalente a |f(x)| ≤ L.
Exemplo 2. A fun¸cão real f(x) =
2x
1 + x2
é limitada pois
−1 ≤
x
1 + x2
≤ 1
4.2 Fun¸cões crescentes e decrescentes
Seja f uma fun¸cão definida em um intervalo I, sendo x, y ∈ I, com x < y.
Afirmamos que f é crescente, se f(x) < f(y) e que f é decrescente, se
f(x) > f(y).
Exemplo 3. A fun¸cão real f(x) = 2x + 1 é crescente enquanto que a fun¸cão
real f(x) = e−x
é decrescente.
4.3 Fun¸cões pares e ´ımpares
Fun¸cão par: Uma fun¸cão f é uma fun¸cão par, se para todo x do dom´ınio de
f tem-se que
f(−x) = f(x)

4.4. FUNÇ ÃO SENO 18
Fun¸cões pares são simétricas em rela¸cão ao eixo vertical OY .
Exemplo 4. A fun¸cão real definida por f(x) = x2
é par.
Fun¸cão´ımpar: Uma fun¸cão f é uma fun¸cão´ımpar, se para todo x do dom´ınio
de f tem-se que
f(−x) = −f(x)
Fun¸cões ´ımpares são simétricas em rela¸cão à origem (0, 0) do sistema de eixos
cartesiano.
Exemplo 5. A fun¸cão real definida por f(x) = x3
é ´ımpar.
4.4 Fun¸cão seno
Dado um ângulo de medida x, a fun¸cão seno associa a cada x ∈ R o seno
do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A fun¸cão é denotada por
f(x) = sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y 0
√
2/2 1
√
2/2 0 −
√
2/2 −1 −
√
2/2 0
Gráfico: Na figura, o segmento Oy que mede sen(x), é a proje¸cão do seg-
mento OM sobre o eixo OY .
Propriedades da fun¸cão seno
1. Dom´ınio: A fun¸cão seno está definida para todos os valores reais, sendo
assim Dom(sen) = R.

4.4. FUNÇ ÃO SENO 19
2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸cão seno é
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
3. Periodicidade: A fun¸cão é periódica de per´ıodo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = ... = sen(x + 2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ)
Como para todo k ∈ Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, então
sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x)
A fun¸cão seno é periódica de per´ıodo fundamental T = 2π. Completamos
o gráfico da fun¸cão seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo
de medida 2π.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Seno positiva positiva negativa negativa
5. Monotonicidade
Seno crescente decrescente decrescente crescente
6. Limita¸cão: O gráfico de y = sen(x) está contido na faixa do plano
limitada pelas retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R,
temos:
−1 ≤ sen(x) ≤ 1
7. Simetria: A fun¸cão seno é ´ımpar, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
sen(−x) = −sen(x)

4.5. FUNÇ ÃO COSSENO 20
4.5 Fun¸cão cosseno
Dado um ângulo de medida x, a fun¸cão cosseno denotada por f(x) =
cos(x), é a rela¸cão que associa a cada x ∈ R o número real cos(x).
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y 1
√
2/2 0
√
2/2 −1 −
√
2/2 0
√
2/2 1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a proje¸cão do segmento
OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da fun¸cão cosseno
8. Dom´ınio: A fun¸cão cosseno está definida para todos os valores reais,
assim Dom(cos) = R.
9. Imagem: O conjunto imagem da fun¸cão cosseno é o intervalo
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
10. Periodicidade: A fun¸cão é periódica de per´ıodo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = ... = cos(x + 2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) − sen(x)sen(2kπ)
Para todo k ∈ Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo
cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) − sen(x)(0) = cos(x)
A fun¸cão cosseno é periódica de per´ıodo fundamental T = 2π.

4.6. FUNÇ ÃO TANGENTE 21
11. Sinal
Cosseno positiva negativa negativa positiva
12. Monotonicidade:
Cosseno decrescente decrescente crescente crescente
13. Limita¸cão: O gráfico de y = cos(x) está contido na faixa localizada
entre as retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos:
−1 ≤ cos(x) ≤ 1
14. Simetria: A fun¸cão cosseno é par, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
cos(−x) = cos(x)
4.6 Fun¸cão tangente
Como a tangente não tem sentido para arcos da forma (k + 1)
π
2
para cada
k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes
valores. Definimos a fun¸cão tangente como a rela¸cão que associa a este
x ∈ R, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) =
sen(x)
cos(x)
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y 0 1 Inexiste −1 0 1 Inexiste −1 0

4.6. FUNÇ ÃO TANGENTE 22
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x). Pelo gráfico, observamos que quando
a medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de −π/2, a fun¸cão tangente
está crescendo muito rápido, pois a reta que passa por OM tem coeficiente
angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interse¸cão
com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
1. Dom´ınio: Como cos(
π
2
+ kπ) = 0 para cada k ∈ Z, temos que
Dom(tan) = {x ∈ R : x =
π
2
+ kπ}
2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸cão tangente é o conjunto dos
números reais, assim I = R.
3. Periodicidade A fun¸cão tangente é periódica de per´ıodo π
Para todo x ∈ R, com x =
π
2
+ kπ, sendo k ∈ Z:
tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) = ... = tan(x + kπ)
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x + kπ) =
tan(x) + tan(kπ)
1 − tan(x) · tan(kπ)
=
tan(x) + 0
1 − tan(x).0
= tan(x)
A fun¸cão tangente é periódica de per´ıodo fundamental T = π.
Podemos completar o gráfico da fun¸cão tangente, repetindo os valores
da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
Tangente positiva negativa positiva negativa

4.7. FUNÇ ÃO COTANGENTE 23
5. Monotonicidade: A tangente é uma fun¸cão crescente, exceto nos pon-
tos x =
kπ
2
, sendo k ∈ Z, onde a fun¸cão não está definida.
6. Limita¸cão: A fun¸cão tangente não é limitada, pois quando o ângulo se
aproxima de (2k + 1)
π
2
, a fun¸cão cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A fun¸cão tangente é ´ımpar, pois para todo x ∈ R onde a
tangente está definida, tem-se que:
tan(−x) = − tan(x)
4.7 Fun¸cão cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamos
considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos
a fun¸cão cotangente como a rela¸cão que associa a cada x ∈ R, a cotangente
de x, denotada por:
f(x) = cot(x) =
cos(x)
sen(x)
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y Inexiste 1 0 −1 Inexiste 1 0 −1 Inexiste
Gráfico: O segmento Os mede cot(x).
O gráfico mostra que quando a medida do arco AM está próxima de π ou de
−π, podemos verificar que o gráfico da fun¸cão cotangente cresce muito rapi-
damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal
e a sua interse¸cão com a reta s vai se tornando muito distante.

4.7. FUNÇ ÃO COTANGENTE 24
Propriedades:
1. Dom´ınio: Como a fun¸cão seno se anula para arcos da forma kπ, onde
k ∈ Z, temos Dom(cot) = {x ∈ R : x = kπ}.
2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸cão cotangente é o conjunto dos
números reais, assim I = R.
3. Periodicidade A fun¸cão é periódica e seu per´ıodo é π. Para todo x ∈ R,
sendo x = kπ, onde k ∈ Z:
cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) = ... = cot(x + kπ)
A fun¸cão cotangente é periódica de per´ıodo fundamental 2π.
4. Sinal
Tangente positiva negativa positiva negativa
5. Monotonicidade: A cotangente é uma fun¸cão sempre decrescente, ex-
ceto nos pontos x = kπ, sendo k ∈ Z, onde a fun¸cão não está definida.
6. Limita¸cão: A fun¸cão cotangente não é limitada, pois quando o ângulo
se aproxima de kπ/2, a fun¸cão cresce (ou decresce) sem controle.

CAPÍTULO 5
Fun¸cões trigonométricas inversas
Uma fun¸cão f, de dom´ınio D possui inversa somente se f for bijetora, logo
nem todas as fun¸cões trigonométricas possuem inversas em seus dom´ınios de
defini¸cão, mas podemos tomar subconjuntos desses dom´ınios para gerar novas
fun¸cões que restritas a conjuntos menores possuem inversas.
Exemplo 6. A fun¸cão f(x) = cos(x) não é bijetora em seu dom´ınio de
defini¸cão que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y corres-
pondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar
x = 2kπ, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos
definir a inversa de f(x) = cos(x) em seu dom´ınio. Devemos então restringir
o dom´ınio a um subconjunto dos números reais onde a fun¸cão é bijetora.
Como as fun¸cões trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos
onde elas são bijetoras. É usual escolher como dom´ınio, intervalos onde o zero
é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a fun¸cão percorra todo seu
conjunto imagem.
5.1 Fun¸cão arco-seno
Consideremos a fun¸cão f(x) = sen(x), com dom´ınio no intervalo [−π/2, π/2]
e imagem no intervalo [−1, 1]. A fun¸cão inversa de f = sen, denominada arco

5.2. FUNÇ ÃO ARCO-COSSENO 30
cujo seno, definida por sen−1
: [−1, 1] → [−π/2, π/2] é denotada por
sen−1
(x) = arcsen(x)
Gráfico da fun¸cão arco-seno
5.2 Fun¸cão arco-cosseno
A fun¸cão f(x) = cos(x), com dom´ınio [0, π] e imagem [−1, 1], possui inversa,
denominada arco cujo cosseno e é definida por cos−1
: [−1, 1] → [0, π] e
denotada por
cos−1
(x) = arccos(x)
Gráfico da fun¸cão arco-cosseno:
5.3 Fun¸cão arco-tangente
A fun¸cão f(x) = tan(x), com dom´ınio (−π/2, π/2) e imagem em R, possui
uma inversa, denominada arco-tangente definida por tan−1
: R → (−π/2, π/2)
e denotada por
tan−1
(x) = arctan(x)

5.4. FUNÇ ÃO ARCO-COTANGENTE 31
Gráfico da fun¸cão arco-tangente:
5.4 Fun¸cão arco-cotangente
A fun¸cão f(x) = cot(x), com dom´ınio (0, π) e imagem em R, possui uma
inversa, denominada arco-cotangente definida por cot−1
: R → (0, π) e deno-
tada por
cot−1
(x) = arccot(x)
Gráfico da fun¸cão arco-cotangente:

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