1) O documento apresenta a correção de uma prova final de matemática do 9o ano, com 18 questões resolvidas. 2) A maioria das questões envolvem cálculos matemáticos como álgebra, geometria e estatística. 3) Algumas questões pedem a identificação de afirmações verdadeiras ou falsas sobre figuras geométricas.

1. Correção da Prova Final de Matemática 9.º Ano
 Caderno 1
(Nota: nas secções assinaladas com ∗ é de esperar o uso da máquina calculadora, sendo que todos os outros
cálculos poderão ser resolvidos de forma autónoma tendo em conta o nível de escolaridade em causa).
1. O intervalo de números reais correspondente à representação dada é [−√250, 3[.
Como √250 ≈ 15,81 ∗, o menor número inteiro pertencente ao intervalo é −15 e, por outro lado, o maior
número inteiro é 2.
2.
2.1. Opção A – Falso, porque a reta 𝐴𝐵 está contida no plano 𝐴𝐵𝐹;
Opção B – Verdadeiro, porque a reta 𝐷𝐹 é perpendicular às retas 𝐸𝐹 e 𝐹𝐵, ambas contidas no plano 𝐴𝐵𝐹;
Opção C – Falso, porque a reta 𝐴𝐶 é concorrente com o plano 𝐴𝐵𝐹, mas não é perpendicular;
Opção D – Falso, porque a reta 𝐶𝐷 é paralela ao plano 𝐴𝐵𝐹.
Opção correta: B.
2.2. Pelo Teorema de Pitágoras tem-se 𝐴𝐵̅̅̅̅2
+ 𝐵𝐶̅̅̅̅2
= 𝐴𝐶̅̅̅̅2
⇔ 62
+ 0,722
= 𝐴𝐶̅̅̅̅2
⇔ 𝐴𝐶̅̅̅̅ = ±√36,5184 e,
como 𝐴𝐶̅̅̅̅ > 0, resulta 𝐴𝐶̅̅̅̅ ≈ 6,04 𝑚 ∗.
3. O conjunto de dados, ordenado por ordem crescente, é
153 159 175 179 184 194 204 210 214 223
Trata-se de um número par de dados, logo a mediana desse conjunto de dados é a média dos números centrais,
184 e 194, ou seja,
184 + 194
2
= 189
Opção correta: C.
4. Comece-se por notar que o número 79 000 000 (79 milhões) é representado, em notação científica, por
7,9 × 107
e, portanto, o valor pedido é (7,9 × 107) × 0,46 = (7,9 × 0,46) × 107
= 3,634 × 107
𝑘𝑔 ∗.
5. Os números que são representados por dízimas infinitas não periódicas são exatamente os números irracionais.
Dos quatro números expostos, os das opções B e D não são, evidentemente, irracionais (estão representados sob
a forma de fração). Agora, o número √64
3
(opção C) é igual a 4 que é um número inteiro. Assim, o único número
irracional é o da opção A.
Opção correta: A.
6. Seja 𝑑 a distância procurada. Tem-se 𝑑 = 𝐴𝐶̅̅̅̅ + 2,8 𝑚, tendo em conta que 𝐴𝐶 ⊥ 𝑠.
Usando fórmulas da trigonometria, vem
sin42° =
𝐴𝐶̅̅̅̅
18
⇔ 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 18 sin42° ≈ 12,044 ∗
Portanto, 𝑑 = 12,044 + 2,8 = 14,8 𝑚.
7. A altura do contentor atual é igual à soma da altura do cilindro com o raio da base do mesmo (que coincide com
o raio da semiesfera do topo). Assim, sendo ℎ essa altura, tem-se ℎ = 7,6 + 2,4 = 10 𝑑𝑚.
Por outro lado, o volume do mesmo contentor, 𝑉𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙, é dado por
𝑉𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 2,42
𝜋 × 7,6 +
2𝜋
3
× 2,43
= 166,47 𝑑𝑚3
∗
Ora, o futuro contentor, com a forma de um prisma reto de bases quadradas, terá a mesma altura e o mesmo
volume em relação ao atual contentor e, sendo 𝑙 a medida da aresta da base do futuro contentor, tem-se
166,47 = 𝑙2
× 10 ⇔ 𝑙 = ±√16,647, donde 𝑙 ≈ 4,1 𝑑𝑚 ∗.

2.  Caderno 2
(Sendo impedido o uso da máquina calculadora nesta parte, assume-se que todos os resultados expostos sejam
obtidos com base nas ferramentas de cálculo que um aluno do nível de escolaridade em causa deverá deter).
8.
8.1. Seja 𝑃 a probabilidade pedida:
𝑃 =
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
=
1
5
8.2. O conjunto dos casos possíveis é
{
(𝐴𝑛𝑎, 𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜), (𝐴𝑛𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎), (𝐴𝑛𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐴𝑛𝑎, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑),
(𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑, 𝐸𝑙𝑠𝑎)
}
Assim, o conjunto de casos favoráveis é
{(𝐴𝑛𝑎, 𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜), (𝐴𝑛𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑, 𝐸𝑙𝑠𝑎)}
A probabilidade pedida é:
𝑃 =
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
=
6
10
=
3
5
9.
9.1. Por observação do gráfico, a distância é 2,5 𝑘𝑚.
9.2. Usando os pontos de coordenadas (0; 7,5) e (1,5; 0), o declive da reta que contém o gráfico é
𝑎 =
0 − 7,5
1,5 − 0
= −5
Assim, a reta é definida por 𝑑 = −5𝑡 + 7,5 (a ordenada na origem é evidente por observação do gráfico).
Opção correta: B.
10. (𝑥 − 3) 𝟐
− 𝑥2
= 𝑥2
− 6𝑥 + 9 − 𝑥2
= −6𝑥 + 9
Opção correta: D.
11.
2 + 𝑥
3
> 2(𝑥 − 1) ⇔
2 + 𝑥
3
> 2𝑥 − 2 ⇔ 2 + 𝑥 > 6𝑥 − 6 ⇔ 5𝑥 < 8 ⇔ 𝑥 <
8
5
𝐶. 𝑆. = ]−∞,
8
5
[
12.
10𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 =
−1 ± √1 − 4 × 10 × (−2)
20
⇔ 𝑥 =
−1 ± √81
20
⇔ 𝑥 =
−1 ± 9
20
⇔ 𝑥 = −
1
2
∨
𝑥 =
2
5
𝐶. 𝑆. = {−
1
2
,
2
5
}
13. A constante de proporcionalidade inversa, 𝑘, é 𝑘 = 10 × 9 = 90 = 15𝑎, donde resulta 𝑎 = 6.
14. O número de círculos do termo da sequência de ordem 𝑛 é dado por 5 + 4(𝑛 − 1).
Esta expressão é facilmente entendida através do seguinte esquema
1.º termo 2.º termo 3.º termo n.º termo
5 +4 ⟶1 9 +4 ⟶2 13 … +4 ⟶ 𝑛−1 5 + 4(𝑛 − 1)
Portanto, o problema resume-se a resolver a equação
5 + 4(𝑛 − 1) = 4021 ⇔ 4𝑛 − 4 = 4016 ⇔ 4𝑛 = 4020 ⇔ 𝑛 = 1005.
Logo, o termo de ordem 1005 tem 4021 círculos.

3. 15. {
𝑥 + 𝑦 = 51
𝑥 + 7 = 2(𝑦 − 4)
16. Tem-se
𝐶𝐵̂ 𝐷 =
𝐶𝐷̂
2
=
110°
2
= 55°
Ora, o triângulo [𝐶𝐵𝐷] é retângulo em 𝐶 ([𝐵𝐷] é um diâmetro da circunferência) e, portanto:
𝐶𝐷̂ 𝐵 = 90° − 55° = 35°. Portanto, a amplitude do ângulo pedido é 35 × 2 = 70°.
17. Opção correta: C.
18. Queremos obter 𝐴𝐵̅̅̅̅. Tem-se 𝐷Â𝐸 = 𝐶Â𝐵 (ângulos verticalmente opostos) e, dado que os triângulos são
retângulos, conclui-se que são semelhantes. Assim, podemos escrever
𝐴𝐷̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅̅̅
=
𝐷𝐸̅̅̅̅
𝐵𝐶̅̅̅̅
⇔
𝑎 − 𝐴𝐵̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅̅̅
=
2
4
⇔ 4𝑎 − 4𝐴𝐵̅̅̅̅ = 2𝐴𝐵̅̅̅̅ ⇔ 6𝐴𝐵̅̅̅̅ = 4𝑎 ⇔ 𝐴𝐵̅̅̅̅ =
2
3
𝑎