1) O documento descreve as propriedades e fórmulas de Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.).
2) Uma P.A. é uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a uma constante. Uma P.G. é uma sequência onde cada termo é igual ao anterior multiplicado por uma constante.
3) São fornecidas fórmulas para calcular o termo geral, a razão e a soma dos termos de P.A.s e P.G.
O documento descreve os conceitos de potenciação e divisão de números decimais. [1] Potenciação de números decimais é definida da mesma forma que para números naturais, calculando o produto do número por si mesmo um número n de vezes. [2] Divisão de números decimais pode resultar em quocientes decimais e é realizada igualando o número de casas decimais dos dividendos e divisores. [3] Dízimas periódicas ocorrem quando a divisão tem resto que se repete infinitamente.
O documento apresenta exercícios de resolução de equações do segundo grau do tipo completo e incompleto. As questões estão divididas em cinco partes, cobrindo diferentes tipos de equações de segundo grau, como equações do tipo ax2 + bx + c = 0, equações racionais e fatoradas. Ao todo são apresentados 55 exercícios para serem resolvidos e entregues na segunda-feira para avaliação, valendo 3 pontos extras.
Esta aula aborda expressões algébricas, definindo monômios e polinômios e apresentando situações para calcular valores numéricos de expressões e operações entre monômios, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta exercícios sobre trigonometria no triângulo retângulo e no triângulo qualquer, incluindo definições de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis e aplicações destes conceitos na resolução de problemas.
2) São fornecidos exercícios para cálculo de lados e ângulos de triângulos retângulos e quaisquer, utilizando fórmulas trigonométricas e propriedades.
3) Inclui também exercícios sobre paralelogramos, trap
Este documento fornece uma lista de exercícios sobre o Teorema de Tales, incluindo exemplos resolvidos e exercícios propostos para o leitor. O Teorema de Tales estabelece que quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os segmentos correspondentes são proporcionais. A lista apresenta vários problemas geométricos envolvendo razões e proporções para serem resolvidos usando este teorema.
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEIDCriativa Niterói
Nas semanas de 21/02 a 25/02 e de 28/02 a 04/03, os alunos aprenderam sobre operações com conjuntos numéricos fundamentais como união, interseção, diferença e complementar. Eles também estudaram representações de números reais na reta numérica e diferentes tipos de intervalos numéricos.
Este documento contém 51 exercícios sobre o teorema de Tales e semelhança de triângulos. Os exercícios envolvem calcular medidas desconhecidas em figuras geométricas usando o fato de que retas paralelas cortadas por uma transversal formam segmentos proporcionais, e que triângulos semelhantes tem lados proporcionais. Muitos exercícios pedem para determinar medidas ou propriedades geométricas como perímetros e áreas usando razões de semelhança entre triângulos.
O documento descreve os conceitos de potenciação e divisão de números decimais. [1] Potenciação de números decimais é definida da mesma forma que para números naturais, calculando o produto do número por si mesmo um número n de vezes. [2] Divisão de números decimais pode resultar em quocientes decimais e é realizada igualando o número de casas decimais dos dividendos e divisores. [3] Dízimas periódicas ocorrem quando a divisão tem resto que se repete infinitamente.
O documento apresenta exercícios de resolução de equações do segundo grau do tipo completo e incompleto. As questões estão divididas em cinco partes, cobrindo diferentes tipos de equações de segundo grau, como equações do tipo ax2 + bx + c = 0, equações racionais e fatoradas. Ao todo são apresentados 55 exercícios para serem resolvidos e entregues na segunda-feira para avaliação, valendo 3 pontos extras.
Esta aula aborda expressões algébricas, definindo monômios e polinômios e apresentando situações para calcular valores numéricos de expressões e operações entre monômios, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta exercícios sobre trigonometria no triângulo retângulo e no triângulo qualquer, incluindo definições de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis e aplicações destes conceitos na resolução de problemas.
2) São fornecidos exercícios para cálculo de lados e ângulos de triângulos retângulos e quaisquer, utilizando fórmulas trigonométricas e propriedades.
3) Inclui também exercícios sobre paralelogramos, trap
Este documento fornece uma lista de exercícios sobre o Teorema de Tales, incluindo exemplos resolvidos e exercícios propostos para o leitor. O Teorema de Tales estabelece que quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os segmentos correspondentes são proporcionais. A lista apresenta vários problemas geométricos envolvendo razões e proporções para serem resolvidos usando este teorema.
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEIDCriativa Niterói
Nas semanas de 21/02 a 25/02 e de 28/02 a 04/03, os alunos aprenderam sobre operações com conjuntos numéricos fundamentais como união, interseção, diferença e complementar. Eles também estudaram representações de números reais na reta numérica e diferentes tipos de intervalos numéricos.
Este documento contém 51 exercícios sobre o teorema de Tales e semelhança de triângulos. Os exercícios envolvem calcular medidas desconhecidas em figuras geométricas usando o fato de que retas paralelas cortadas por uma transversal formam segmentos proporcionais, e que triângulos semelhantes tem lados proporcionais. Muitos exercícios pedem para determinar medidas ou propriedades geométricas como perímetros e áreas usando razões de semelhança entre triângulos.
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...Waldir Montenegro
1) O documento contém 16 questões de matemática sobre trigonometria no triângulo retângulo. 2) As questões envolvem cálculos de medidas de lados, alturas e comprimentos utilizando fórmulas trigonométricas e informações dadas nos enunciados. 3) O aluno deve responder às questões calculando as medidas solicitadas.
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre equações exponenciais para a disciplina de Física no Colégio Estadual Constantino Fernandes. A lista contém 3 casos com vários exercícios cada um envolvendo equações exponenciais para serem resolvidos.
1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre equações de 1o grau.
2) Os exercícios incluem identificar incógnitas, graus, coeficientes e raízes de equações, além de resolver equações e verificar se números são raízes.
3) Há também um desafio sobre dimensões de um terreno retangular e comprimento de muro a ser construído.
1) O documento é uma lista de exercícios sobre radicais com 17 problemas que envolvem operações com radicais, propriedades, simplificação, racionalização e aplicações geométricas.
2) Os exercícios cobrem tópicos como extrair raiz, simplificar radicais, operações algébricas com radicais, produtos notáveis, racionalização e cálculo de áreas e perímetros de figuras geométricas.
3) A lista foi preparada pela professora Uyara e é uma boa atividade para treinar o con
Este documento fornece exemplos e explicações sobre operações com números decimais, incluindo multiplicação, divisão e conversão de unidades. Ele apresenta problemas para serem resolvidos passo a passo e explica como dividir números decimais corretamente.
Um radiano é definido como o ângulo central que tem o mesmo arco que o raio da circunferência. Para converter entre graus e radianos, usa-se a fórmula que 1 grau equivale a π/180 radianos e 1 radiano equivale a 180/π graus. Exemplos mostram como converter ângulos específicos entre as duas unidades.
Este documento contém um protocolo de avaliação de matemática com 21 questões para um aluno específico. Ele lista o nome do aluno, professor, escola e as questões de 1 a 21 divididas em 6 páginas.
(1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre o teorema de Tales, incluindo cálculos de proporções para determinar valores de x e y.
(2) Dois terrenos têm frente total para uma avenida de 90m. Usando proporção, determina-se que um terreno tem 36m e o outro 56m de frente.
(3) Usando o teorema de Tales, determinam-se as distâncias entre cruzamentos de estradas: x=4km, y=1km, z=12km.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
1. O documento contém 13 exercícios sobre o plano cartesiano. Os exercícios envolvem identificar coordenadas de pontos, traçar gráficos e localizar pontos em mapas.
2. Muitos exercícios pedem para associar pontos em um mapa ou gráfico a suas respectivas coordenadas cartesiana ou vice-versa.
3. Os exercícios abordam tópicos como localização de cidades, pontos de parada de ônibus, vértices de triângulos e retângulos no plano
O documento apresenta vários teoremas e propriedades relacionados a circunferências e suas cordas, tangentes e secantes. Inclui o Teorema das Cordas, Teorema das Secantes, Teorema da Tangente e propriedades sobre retas tangentes e quadriláteros circunscritíveis. Recomenda exercícios relacionados ao Capítulo 08 sobre esses conceitos.
O documento apresenta as fórmulas para calcular a área e o volume de várias figuras geométricas planas e sólidas. Inclui as fórmulas e exemplos numéricos para calcular a área do retângulo, quadrado, triângulo, paralelograma, trapézio, losango e círculo. Também apresenta as fórmulas e exemplos para calcular o volume do cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro.
O documento apresenta uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas ordenadas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes permitem expressar situações envolvendo múltiplas variáveis de forma concisa. Em seguida, descreve operações básicas com matrizes e conceitos como matriz quadrada, identidade e nula.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Os exercícios envolvem calcular potências com diferentes bases e expoentes, simplificar expressões usando propriedades de potenciação, e transformar expressões em radiciais.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
Este documento apresenta os principais produtos notáveis em Matemática I ministrado pelo professor Marcelo Silva no IFRN em junho de 2013, cobrindo o quadrado da soma e diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença, o cubo da soma e da diferença.
O documento apresenta as regras de arredondamento de números segundo a Resolução no 886/66 da Fundação IBGE. São descritas as condições para arredondar números para cima ou para baixo dependendo do algarismo que precede os números após a casa decimal a ser desconsiderada. Exemplos ilustram como aplicar corretamente as regras de arredondamento.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
O documento discute conceitos básicos de radiciação, incluindo a relação com potenciação, nomenclatura, propriedades, cálculos envolvendo raízes de números grandes ou com índices diferentes, indicação de raízes sem usar o radical, radicais semelhantes, operações com radicais e racionalização.
Grandezas diretamente e inversamente proporcionaisHomailson Lopes
(EF09MA08) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
O documento apresenta noções sobre progressões aritméticas, definindo-as como sequências de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão. A fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é dada como an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. Propriedades como a média aritmética entre termos consecutivos e a soma de termos equidistantes dos extremos também são apresentadas.
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...Waldir Montenegro
1) O documento contém 16 questões de matemática sobre trigonometria no triângulo retângulo. 2) As questões envolvem cálculos de medidas de lados, alturas e comprimentos utilizando fórmulas trigonométricas e informações dadas nos enunciados. 3) O aluno deve responder às questões calculando as medidas solicitadas.
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre equações exponenciais para a disciplina de Física no Colégio Estadual Constantino Fernandes. A lista contém 3 casos com vários exercícios cada um envolvendo equações exponenciais para serem resolvidos.
1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre equações de 1o grau.
2) Os exercícios incluem identificar incógnitas, graus, coeficientes e raízes de equações, além de resolver equações e verificar se números são raízes.
3) Há também um desafio sobre dimensões de um terreno retangular e comprimento de muro a ser construído.
1) O documento é uma lista de exercícios sobre radicais com 17 problemas que envolvem operações com radicais, propriedades, simplificação, racionalização e aplicações geométricas.
2) Os exercícios cobrem tópicos como extrair raiz, simplificar radicais, operações algébricas com radicais, produtos notáveis, racionalização e cálculo de áreas e perímetros de figuras geométricas.
3) A lista foi preparada pela professora Uyara e é uma boa atividade para treinar o con
Este documento fornece exemplos e explicações sobre operações com números decimais, incluindo multiplicação, divisão e conversão de unidades. Ele apresenta problemas para serem resolvidos passo a passo e explica como dividir números decimais corretamente.
Um radiano é definido como o ângulo central que tem o mesmo arco que o raio da circunferência. Para converter entre graus e radianos, usa-se a fórmula que 1 grau equivale a π/180 radianos e 1 radiano equivale a 180/π graus. Exemplos mostram como converter ângulos específicos entre as duas unidades.
Este documento contém um protocolo de avaliação de matemática com 21 questões para um aluno específico. Ele lista o nome do aluno, professor, escola e as questões de 1 a 21 divididas em 6 páginas.
(1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre o teorema de Tales, incluindo cálculos de proporções para determinar valores de x e y.
(2) Dois terrenos têm frente total para uma avenida de 90m. Usando proporção, determina-se que um terreno tem 36m e o outro 56m de frente.
(3) Usando o teorema de Tales, determinam-se as distâncias entre cruzamentos de estradas: x=4km, y=1km, z=12km.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
1. O documento contém 13 exercícios sobre o plano cartesiano. Os exercícios envolvem identificar coordenadas de pontos, traçar gráficos e localizar pontos em mapas.
2. Muitos exercícios pedem para associar pontos em um mapa ou gráfico a suas respectivas coordenadas cartesiana ou vice-versa.
3. Os exercícios abordam tópicos como localização de cidades, pontos de parada de ônibus, vértices de triângulos e retângulos no plano
O documento apresenta vários teoremas e propriedades relacionados a circunferências e suas cordas, tangentes e secantes. Inclui o Teorema das Cordas, Teorema das Secantes, Teorema da Tangente e propriedades sobre retas tangentes e quadriláteros circunscritíveis. Recomenda exercícios relacionados ao Capítulo 08 sobre esses conceitos.
O documento apresenta as fórmulas para calcular a área e o volume de várias figuras geométricas planas e sólidas. Inclui as fórmulas e exemplos numéricos para calcular a área do retângulo, quadrado, triângulo, paralelograma, trapézio, losango e círculo. Também apresenta as fórmulas e exemplos para calcular o volume do cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro.
O documento apresenta uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas ordenadas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes permitem expressar situações envolvendo múltiplas variáveis de forma concisa. Em seguida, descreve operações básicas com matrizes e conceitos como matriz quadrada, identidade e nula.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Os exercícios envolvem calcular potências com diferentes bases e expoentes, simplificar expressões usando propriedades de potenciação, e transformar expressões em radiciais.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
Este documento apresenta os principais produtos notáveis em Matemática I ministrado pelo professor Marcelo Silva no IFRN em junho de 2013, cobrindo o quadrado da soma e diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença, o cubo da soma e da diferença.
O documento apresenta as regras de arredondamento de números segundo a Resolução no 886/66 da Fundação IBGE. São descritas as condições para arredondar números para cima ou para baixo dependendo do algarismo que precede os números após a casa decimal a ser desconsiderada. Exemplos ilustram como aplicar corretamente as regras de arredondamento.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
O documento discute conceitos básicos de radiciação, incluindo a relação com potenciação, nomenclatura, propriedades, cálculos envolvendo raízes de números grandes ou com índices diferentes, indicação de raízes sem usar o radical, radicais semelhantes, operações com radicais e racionalização.
Grandezas diretamente e inversamente proporcionaisHomailson Lopes
(EF09MA08) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
O documento apresenta noções sobre progressões aritméticas, definindo-as como sequências de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão. A fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é dada como an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. Propriedades como a média aritmética entre termos consecutivos e a soma de termos equidistantes dos extremos também são apresentadas.
O documento descreve um procedimento para gerar triângulos pitagóricos a partir de números naturais pares ou quadrados perfeitos. Ele explica como construir sequências de números quadrados perfeitos e suas diferenças para derivar equações cujas soluções inteiras fornecem os lados de triângulos pitagóricos. Exemplos ilustram como aplicar o método para números específicos.
1) O documento apresenta exemplos e fórmulas de progressões aritméticas e geométricas, incluindo a definição de termos, razão e soma.
2) São resolvidos seis exercícios que envolvem o cálculo de termos, razões e somas de PAs e PGs.
3) As soluções utilizam fórmulas como a do termo geral, soma de termos e equações do segundo grau para determinar valores pedidos nos exercícios.
O documento apresenta as resoluções de um gabarito de prova com 5 questões sobre matemática. A primeira questão trata da soma de termos de progressões geométricas infinitas. A segunda questão pede para obter a fração geratriz de números decimais periódicos. A terceira questão calcula a soma dos termos de uma sequência infinita. A quarta questão calcula o terceiro termo de uma progressão geométrica infinita. A quinta questão resolve uma equação para encontrar o valor de x.
O documento explica o que é uma progressão geométrica, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Ele fornece exemplos de progressões geométricas crescentes, decrescentes e alternadas, e discute como utilizar a fórmula an=a1*qn-1 para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.
O documento define e explica o conceito de progressão aritmética (PA), onde a diferença entre os termos consecutivos é constante. Apresenta a notação para PA e propriedades como o termo geral e a soma dos termos de uma PA finita. Explica como calcular o termo geral, interpolar termos e a soma total de uma PA.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos sobre progressões aritméticas.
2) As questões abordam cálculos envolvendo os termos gerais de PAs, razão, soma dos termos e posição de elementos nas sequências.
3) Também são tratados sistemas de equações para determinar valores desconhecidos a partir de propriedades das progressões aritméticas.
Teoria do números - Classificações especiaisRomulo Garcia
1) O documento discute vários conceitos da teoria dos números como números perfeitos, números amigos, números primos pseudoprimos e funções como a função de Euler.
2) Inclui definições, teoremas e exemplos sobre esses conceitos.
3) Aborda também problemas e exercícios relacionados à teoria dos números para teste dos conceitos discutidos.
As progressões aritmética e geométrica têm o primeiro termo igual a 4. O terceiro termo das duas progressões coincide e é positivo. O segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. O terceiro termo das progressões é 16.
O documento descreve o conceito de sequências numéricas e progressão aritmética (P.A.). As principais informações são: (1) Uma sequência numérica é uma ordem pré-estabelecida de números; (2) Uma P.A. é uma sequência onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão; (3) A fórmula do termo geral de uma P.A. é an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
1) Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão.
2) Existem diferentes tipos de progressões geométricas: crescentes, decrescentes, constantes e alternadas.
3) A fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão geométrica é an = a1 * qn-1, onde a1 é o primeiro termo e q é a razão.
01. O documento apresenta definições e propriedades de progressões aritméticas e geométricas, incluindo fórmulas para calcular termos gerais e somas.
02. São fornecidos exemplos e exercícios de fixação sobre progressões aritméticas e geométricas.
03. As questões abordam cálculos envolvendo termos, razões e somas de progressões aritméticas e geométricas.
Este documento apresenta 5 questões sobre progressão aritmética. A primeira questão pede para determinar o 20o elemento e a soma dos termos de uma PA dada. A segunda questão pede para calcular quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000. A terceira questão envolve o cálculo do valor da prestação de um financiamento ao longo de 20 anos. A quarta questão pede para calcular a distância percorrida por um ciclista em 6 horas baseado na progressão da velocidade ao longo do tempo.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada de razão. O documento explica a fórmula para P.A., dá exemplos e classifica P.A. em crescentes, decrescentes e constantes. Também fornece notações especiais e exercícios para aplicar os conceitos de P.A.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
1) O documento discute progressões geométricas, que são sequências onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão;
2) Apresenta exemplos de progressões crescentes, decrescentes e constantes;
3) Deriva a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão geométrica em termos do primeiro termo e da razão.
1) O documento apresenta um resumo sobre progressões aritméticas e geométricas, incluindo definições, fórmulas para o termo geral e propriedades.
2) Progressões aritméticas são sequências onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão constante. Progressões geométricas são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
3) Fórmulas para calcular qualquer termo são apresentadas usando o primeiro termo, a razão e a posição do termo desejado.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
O documento descreve os principais tecidos vegetais, incluindo meristemáticos (primários e secundários) e permanentes. Detalha as características, funções e exemplos dos tecidos de epiderme, periderme e outros tecidos de proteção nas plantas.
analise critica do desempenho e identificacao de causa raiz.pptxRonaldoAlves153492
O documento discute as ferramentas de análise crítica de desempenho e identificação de causas raiz, incluindo diagrama de Ishikawa, 5 porquês e brainstorming. Explica como estas técnicas podem ser usadas em conjunto para analisar problemas, identificar causas e definir ações corretivas e preventivas.
Este documento apresenta uma aula sobre os estados físicos da matéria. A aula discute o que são átomos e moléculas e como os arranjos destas partículas determinam os estados sólido, líquido e gasoso. Também explica como o aumento ou diminuição da temperatura e pressão podem causar mudanças de estado através da fusão e solidificação.
O documento discute a história da ciência e seu papel no ensino. Apresenta como o conhecimento científico evoluiu ao longo do tempo, de interpretações baseadas nos sentidos para modelos mais formais. Também destaca a importância de se compreender a evolução dos conceitos científicos para entender o conhecimento atual e desmistificar a ciência.
O documento discute três capítulos de um livro: 1) A psicanálise do realista e o complexo do pequeno lucro, 2) O obstáculo animista de atribuir vida a objetos inanimados, 3) O mito da digestão de preferir alimentos sólidos e a crença de assimilar o semelhante.
O documento discute os conceitos de espírito científico e obstáculos epistemológicos segundo Gaston Bachelard. Bachelard propõe que conhecimentos prévios consolidados podem ser obstáculos ao surgimento de novos conhecimentos. Ele descreve 12 tipos de obstáculos como experiências primeiras, conhecimentos gerais, uso de metáforas, visões unitárias e pragmáticas da natureza. O texto analisa esses conceitos para entender como o espírito científico se desenvolve através da superação de obstáculos
Este documento discute três metodologias ativas de aprendizagem: 1) Aprendizagem baseada em projetos, que vincula os objetivos curriculares a projetos desenvolvidos pelos estudantes; 2) Aprendizagem pela investigação, que promove a autonomia dos estudantes na produção de conhecimento por meio de pesquisas; 3) Gamificação, que usa elementos lúdicos como desafios e jogos para tornar o aprendizado mais atraente e interativo.
As regras de nomenclatura binomial de Lineu e formas de classificação biológi...RonaldoAlves153492
O documento discute a importância da classificação biológica de Lineu e a diversidade de organismos presentes em um cardápio, incluindo exemplos como arroz, feijão e cogumelos. A classificação binominal de Lineu permite identificar as espécies de forma precisa, resolvendo possíveis confusões. A sistemática filogenética é atualmente o sistema de classificação mais aceito, representando as relações evolutivas entre os grupos através de cladogramas.
O documento discute conceitos fundamentais sobre corrente elétrica, incluindo:
1) A diferença entre corrente contínua e alternada, e seus geradores respectivos.
2) A definição de corrente elétrica como o movimento ordenado de portadores de carga.
3) Os conceitos de resistor, resistência elétrica e lei de Ohm.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
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Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
2. Progressão Aritmética (P.A.)
🠶São sequências numéricas em que cada termo, a partir do
segundo, é igual a soma do termo anterior com uma
constante r (Razão da P.A.). Ou seja, em todas as
progressões aritméticas, temos:
an = an-1 + r, com n ∈ 𝑁 e n ≥ 2.
Exemplo: A sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17) é uma P.A. de
razão r = 3, pois 5 = 2 + 3, 8 = 5 + 3, 11 = 8 + 3, 14 =
11 + 3 𝑒 17 = 14 + 3.
3. Razão da P.A.
🠶Em qualquer P
.A. de razão r, temos:
an = an-1 + r ↔ r = an – an-1.
Ou seja,
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... = an – an-1.
4. Classificação
🠶Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior (r > 0).
Ex.: (5, 9, 13, 17,...) é uma P.A. crescente de razão r = 4.
Quando todos os termos são iguais entre si
🠶Constante:
(r = 0).
Ex.: (8, 8, 8, 8, 8) é uma P.A. constante de razão r = 0.
Quando cada termo é menor que o anterior
🠶Decrescente:
(r < 0).
(8, 3, - 2, - 7,...) é uma P.A. decrescente de razão r = - 5.
5. Notações especiais
🠶P.A. de três termos:
(x – r, x, x + r) ou (x, x + r, x + 2r).
🠶P.A. de quatro termos:
(x, x + r, x + 2r, x + 3r).
🠶P.A. de cinco termos:
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) ou (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r).
6. Exemplo
🠶Em uma P
.A. de três termos, o primeiro termo é 5 e a soma
dos três termos é 36. Determine a P.A.
Solução: Podemos representar a P.A. por (5, 5 + r, 5 + 2r).
Como a soma dos três termos é 36, temos:
5 + 5 + 𝑟 + 5 + 2𝑟 = 36
15 + 3𝑟 = 36
3𝑟 = 36 − 15
3𝑟 = 21
𝑟 = 7.
Logo, a P.A. procurada é (5,12,19).
7. Propriedade
🠶Dada uma P.A. qualquer (a1, a2,...,an-1, an, an+1,...), temos:
𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 =
2
𝑎2 =
2 2 2
Ou seja, em toda P
.A., cada termo, a partir do segundo, é a
média aritmética entre o anterior e o posterior.
𝑎1 + 𝑎3 𝑎2 + 𝑎4 𝑎3 + 𝑎5
, 𝑎3 = , 𝑎4 = , …
8. Exemplo
🠶Sabendo que a sequência (x, x + 3, 2x + 1,...) é uma P.A.,
determine sua razão.
Solução:
𝑥 + 3 =
𝑥 + 2𝑥 + 1
2
𝑥 + 2𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 3
3𝑥 + 1 = 2𝑥 + 6
3𝑥 − 2𝑥 = 6 − 1
𝑥 = 5.
Desse modo, a P.A. é (5, 5+3, 2∙5 + 1) = (5, 8, 11). Assim, r
= 3.
9. Fórmula do termo geral da P.A.
🠶Dada uma P
.A. de razão r e ordem n, o termo 𝑎𝑛 é dado
pela seguinte expressão:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟
Exemplos:
1) 𝑎9 = 𝑎1 +
2) 𝑎6 = 𝑎1 +
9 − 1 ∙ 𝑟 ↔ 𝑎9 = 𝑎1 + 8𝑟;
6 − 1 ∙ 𝑟 ↔ 𝑎6 = 𝑎1 + 5𝑟.
10. Questão 1 (termo geral)
🠶Observe, na figura abaixo, a quantidade de mesas e o
número máximo de lugares disponíveis em cada
configuração:
Considere que
segundo o padrão apresentado. Então, qual o
a sequência de configurações continue,
número
máximo de lugares disponíveis em uma configuração com 75
mesas?
11. Solução:
🠶Observe que os números de cadeiras nas configurações
formam a P.A. (4, 6, 8, 10,...), com 𝑎1 = 4 𝑒 𝑟 = 2 .
Assim:
𝑎75 = 𝑎1 + 75 − 1 ∙ 2
𝑎75 = 4 + 74 ∙ 2
𝑎75 = 4 + 148
𝑎75 = 152.
Logo, o número máximo de cadeiras em uma configuração
com 75 mesas é 152.
12. Questão 2 (termo geral)
🠶(Ufrgs 2020) Considere o padrão de construção de triângulos
com palitos, representado nas figuras abaixo.
Na etapa n serão utilizados 245 palitos. Nessas condições, n é
igual a
a) 120 b) 121 c)122 d)123 e)124
13. Solução:
🠶Como podemos observar, os números de palitos nas etapas
formam a P.A. (3, 5, 7,...) com 𝑎1 = 3 𝑒 𝑟 = 2. De acordo
com o enunciado devemos encontrar o valor de n, sabendo
que 𝑎𝑛 = 245.Assim:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 ∙ 𝑟
245 = 3 + 𝑛 − 1 ∙ 2
245 − 3 = 2𝑛 − 2
242 + 2 = 2𝑛
2𝑛 = 244
𝑛 = 122.
Logo, a alternativa correta é a letra c).
14. Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
🠶Ilustração: Qual a soma de todos os números inteiros de 1
até 100?
Solução: temos que somar todos os números da P.A. (1, 2, 3,
4, ...,97, 98, 99, 100). Observem que:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
⋮
Assim, temos 50 pares de números cuja a soma de cada um
deles é igual a 101. Logo, o valor procurado é 101 ∙ 50 =
5050.
15. Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
🠶Para somar os n primeiros termos de uma P.A., podemos
utilizar a fórmula a seguir:
(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏) ∙ 𝒏
𝑺𝒏 =
𝟐
Onde
• 𝑎1 é o primeiro termo somado;
• 𝑎𝑛 é o último termo somado;
• 𝑛 é o número de termos somados.
16. Exemplo
🠶Qual a soma de todos os números pares positivos menores ou
iguais a 20?
Solução: Para resolver a soma pedida, basta somar os dez
termos da P.A. (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Utilizando a
fórmula da soma, temos:
(𝑎1 + 𝑎10) ∙ 10
𝑆10 =
𝑆10 =
2
(2 + 20) ∙ 10
2
𝑆10 = 22 ∙ 5
𝑆10 = 110
Logo, a soma desejada é 110.
17. Questão 1 (Soma dos termos)
🠶(G1 - ifpe 2019) No país Diasmelhores, um candidato à
Presidência da República foi convidado pela rádio
SOMALTO para, durante 20 semanas antes das eleições,
divulgar, semanalmente, suas propostas de governo. Ficou
estabelecido pela rádio que, na primeira semana, o candidato
teria 120 minutos disponíveis para fazer sua propaganda
eleitoral e que, a cada semana seguinte, teria 5 minutos a
menos que na semana anterior. No final das 20 semanas, o
candidato terá utilizado um total de
a) 2900 minutos
d) 6700 minutos
b) 1450 minutos c) 3350 minutos
e) 2400 minutos
18. Solução:
🠶 Para determinar a quantidade total de
minutos utilizado pelo candidato,
devemos somar o tempo utilizado em
todas as 20 semanas que é equivalente
a somar os 20 primeiros termos da
P.A. (120, 115, 110, 105, ...). Desse
modo, temos:
𝑆20
= (𝑎1+𝑎20)∙20
2
Como não sabemos o valor de 𝑎20 ,
precisamos encontrá-lo antes de resolver
a soma. Faremos isso com o auxílio da
fórmula do termo geral.
𝑎20 = 𝑎1 + 20 − 1 ∙ 𝑟
𝑎20 = 120 + 19 ∙ −5
𝑎20 = 120 − 95
𝑎20 = 25.
Encontrado o valor de 𝑎20 ,
voltaremos a fórmula da soma
para concluir a resolução.
𝑆20 =
(120 + 25) ∙ 20
2
𝑆20 = 145 ∙ 10
𝑆20 = 1450.
Logo, a alternativa correta é a
letra b).
19. Progressão Geométrica (P.G.)
🠶São sequências numéricas em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao produto do termo anterior com uma
constante q (Razão da P.G.). Ou seja, em todas as
progressões geométricas, temos:
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 ∙ 𝒒, com n ∈ 𝑁 e n ≥ 2.
Exemplo: A sequência (2, 4, 8, 16, 32, 64) é uma P.G. de
razão q = 2, pois 4 = 2 ∙ 2, 8 = 4 ∙ 2, 16 = 8 ∙ 2, 32 =
16 ∙ 2 𝑒 64 = 32 ∙ 2.
20. Razão da P.G.
🠶Em qualquer P
.G. de razão q, temos:
𝒂𝒏
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 ∙ 𝒒 ↔ 𝒒 =
𝒂𝒏−𝟏
Ou seja, 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝟒
𝒒 = = = = ⋯ =
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑
𝒂𝒏
𝒂𝒏−𝟏
21. Exemplo
🠶(PUC-RJ) Asequência (2,x,y,8) representa uma progressão
geométrica. O produto xy vale
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16.
2
Solução: Observem que 𝑞 = 𝑥
e 𝑞 = 8
, logo;
𝑥 8
2
=
𝑦
→𝑦𝑥𝑦 = 16.
22. Classificação
🠶Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior.
🠶Constante: Quando todos os termos são iguais entre si.
Quando todos os termos, a partir do segundo,
🠶Estacionária:
são nulos.
🠶Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior.
🠶Alternante: Quando cada termo tem sinal contrário ao do
anterior (q < 0).
25. Exemplo
🠶(PUC-RJ) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente
de altura.Aprimeira caixa tem 1m de altura, e cada caixa
seguinte tem o triplo da altura da anterior. A altura da
nossa pilha de caixas será
a) 121m b) 81m c) 32m d) 21m e) 15m.
Solução: Encontraremos a seguir a altura das 5 caixas:
Caixa 1 = 1m, Caixa 2 = 3m, Caixa 3 = 9m, Caixa 4 = 27m e
Caixa 5 = 81m.
Assim a altura da pilha é 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121m.
26. Propriedade
🠶Dada uma P.G. qualquer (a1, a2,...,an-1, an, an+1,...), temos:
(𝑎𝑛)² = 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑎𝑛+1
Ou seja,
(𝑎2)² = 𝑎1 ∙ 𝑎3, (𝑎3)² = 𝑎2 ∙ 𝑎4, (𝑎4)² = 𝑎3 ∙ 𝑎5, …
27. Exemplo
🠶Sabendo que a sequência (x, x + 2, 2x + 4,...) é uma P.G.
crescente, determine sua razão.
Solução: Aplicando a propriedade, temos:
𝑥 + 2 2 = 𝑥 ∙ 2𝑥 + 4
𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 2𝑥2 + 4𝑥 2
𝑥2 − 𝑥2 + 4𝑥 − 4𝑥 − 4 = 0
𝑥2 − 4 = 0
𝑥2 = 4
𝑥 = ± 4 → 𝑥 = ±2.
Desse modo, temos (2,4,8) ou (-2,0,0). Como a P.G. (2,4,8) é
a única crescente, a razão é q = 2.
28. Fórmula do termo geral da P.G.
🠶Dada uma P.G. 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛, ⋯ de razão q, temos:
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2
𝑎4= 𝑎1 ∙ 𝑞3
𝑎5= 𝑎1 ∙ 𝑞4
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛= 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1
29. Fórmula do termo geral da P.G.
🠶Dada uma P.G.de razão q e ordem n, o termo 𝑎𝑛 é dado
pela seguinte expressão:
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1
Onde
𝑎𝑛 é um termo qualquer da P.G.
n é a posição do termo 𝑎𝑛
𝑎1 é o primeiro termo da P.G.
q é a razão da P.G.
30. Exemplo
🠶Determine o sétimo termo da P.G. (5,10,20,...).
Solução: Na P
.G., temos que 𝑎1 = 5 𝑒 𝑞 = 2. Assim:
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1
𝑎7 = 𝑎1 ∙ 𝑞6
𝑎7 = 5 ∙ 26
𝑎7 = 5 ∙ 64
𝑎7 = 320.
31. Exemplo
🠶 AP
.G. 10, 2, 2
, … ,
2
5 625
possui quantos termos?
1
Solução: Observando a P.G., notamos que 𝑎 = 10 𝑒 𝑞 =
2
10 5
= 1
. Desse modo, para saber o
2
número de termos da P.G., devemos descobrir qual a posição do termo 𝑎𝑛 = 625. Utilizando
a fórmula do termo geral, temos:
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1
𝑛 −1
2
625
= 10 ∙
2 1
∙ =
1
5
1
5
𝑛 −1
625 10
1 1
5
𝑛 −1
3125
1
5
=
5
=
1
5
𝑛 −1
𝑛 − 1 = 5 → 𝑛 = 6.
Logo, a P
.G. possui 6 termos.
32. Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
🠶Para somar os n primeiros termos de uma P.G., podemos
utilizar a fórmula a seguir:
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 ∙ (𝒒𝒏 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
, 𝒄𝒐𝒎 𝒒 ≠ 𝟏.
Onde
• 𝑎1 é o primeiro termo somado;
• q é a razão da P.G.;
• 𝑛 é o número de termos somados.
33. Exemplo
🠶 Uma fábrica de panelas
inaugurada em 2014 produziu
500 panelas nesse mesmo ano.
Considerando que sua
produção triplica a cada ano,
em 2019, o dono da fábrica
pôde dizer que, em toda a
história da fábrica, foram
produzidas quantas panelas?
Solução: O
panelas
formam
produzidas
a
número de
nos anos
P.G.
(500,1500,4500,...).
O valor procurado é a soma
dos 6 primeiros termos dessa
P
.G., logo esse valor é:
𝑆6 =
𝑎1 ∙ (𝑞6 − 1)
𝑞 − 1
𝑆6 =
𝑆6 =
500 ∙ (36 − 1)
3 − 1
500 ∙ 728
2
𝑆6 = 182000.
34. Soma dos termos de uma P.G. infinita
🠶O limite da soma dos infinitos termos de uma P.G.
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ de razão q, com −1 < 𝑞 < 1, é dado pela
seguinte expressão:
𝒂𝟏
𝑺𝒏 =
𝟏 − 𝒒
Onde
𝑆𝑛 é o limite da soma infinitos termos da P.G.
𝑎1 é o primeiro termo da P.G.
Q é a razão da P.G.
35. Exemplo
🠶Qual o valor da soma 4 + 2 + 1 + 1
+ 1
+ ⋯?
2 4
Solução: Observando o enunciado, percebemos que devemos somar
2
os termos de uma P.G. infinita com 𝑎1 = 4 𝑒 𝑞 = 1
.Aplicando a
fórmula, temos:
𝑆𝑛 =
𝑎1
𝑆𝑛 = 1 − 𝑞
4
1
1 − 2
4
𝑆𝑛 = 1
2
2
𝑆𝑛 = 4 ∙ 1 = 8.