O documento apresenta diferentes fórmulas para sequências numéricas: fórmulas posicionais, onde o valor de um termo depende de sua posição; e fórmulas recursivas, onde o valor de um termo depende do termo anterior. Exemplos de fórmulas posicionais incluem an = n2 e an = 2n2 + n. Exemplos de fórmulas recursivas incluem an = an-1 + 2n-1 e an = an-1 + 4n + 5.

1. Fórmula posicional:
É possível observar que o número de pontos é igual ao quadrado da posição. Assim, temos que
an = n2
Fórmula recursiva:
a1 = 1
a2 = a1 + 3
a3 = a2 + 5
a4 = a3 + 7 ...... Nota-se que o termo atual é sempre a soma do termo anterior com um número.
Conforme observação do exemplo, esse número pode ser definido como sendo 2n-1 em que n = posição
do termo.
Assim, temos que a fórmula recursiva para essa sequência é:
an= an-1 + 2n-1

2. Fórmula posicional:
a1 = 1
a2 = 6
a3 = 15
a4 = 28 .....
Nota-se que a posição pode ser dada por an = 2n2 + n
Fórmula recursiva:
Segue que a fórmula recursiva é an = an-1 + 4 (n+1) + 1  an = an-1 + 4n + 5
a) O primeiro termo de cada linha é uma seqüencia (1, 3, 7, 13 ...) que pode ser considerada uma
Progressão Aritmética de Segunda Ordem e pode ser representada da seguinte forma:
sendo que a segunda sequencia formada é uma p.a. de razão 2.
Essa p.a. de segunda ordem pode ser descrita pela fórmula posicional an = n + (n – 1)2
Assim, se acharmos o termo a31 estaremos achando o valor do primeiro elemento da 31ª linha.
Jogando os dados na fórmula temos:

3. a31 = 31 + (31 – 1)2  a31 = 31 + 900  a31 = 931
b) O último termo de cada linha (1 , 5 , 11 , 19 ...) também segue como uma p.a. de segunda ordem
seguindo a seguinte fórmula posicional  an = n2 + (n – 1)
Assim, se acharmos o 31º termo dessa sequencia estaremos achando o último termo da sequencia da
linha 31 que começa com a1 = 931.
Jogando na fórmula temos:
a31 = (31)2 + (31 – 1)  a31 = 961 + 30  a31 = 991.
Desta forma, temos uma p.a. (linha 31) que começa com 931 e segue até 991 (931, ..., 991).
Sabendo o primeiro e o último termo da p.a. é possível calcular o quantidade de elementos “n” que ela
possui, através do termo geral da p.a. = am = an + (m – n).r
991 = 931 + (n – 1).2  n = 31  ou seja, a linha 31 é uma p.a. que possui 31 termos.
Agora, com esse dados é possível calcular a soma dessa p.a.
Sm = (a1 + an).n - Sm = (931 + 991). 31  Sm = 59.582  Sm = 29.791
2 2 2
Resposta: Na dízima periódica apresentada, os números se repetem a cada 6 algarismos. Assim, basta
dividir 1000 por 6, ver quantos inteiros dá e o resultado à pergunta será o “resto” da divisão.
Assim, 1000 / 6 = 166 inteiros e sobra o resto 4. O número que está na posição 4 da dízima é o número 2.
Logo, a resposta é o algarismo 2.

4. A primeira sequencia é uma p.a. de razão 4. Assim, sua fórmula posicional pode se definida por:
an = (n-1).4 – 10  an = 4n – 14
Já a segunda sequencia é uma p.a. de segunda ordem que pode ser definida por:
an = n + (n – 1)2 + 2  an = n2 – n + 3
a) 0,77777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + .... Ou seja, é uma P.G. de razão 0,1 (ou 1/10).
Assim, podemos dizer que a soma dos infinitos termos dessa p.g. de razão menor que 1 pode ser
definida pela fórmula acima.
Substituindo, então, os valores temos:
S = a1  0,7  0,7  0,7 . 10  7
1-q 1 – 1/10 9/10 1 9 9
Resposta: 7/9

5. b) 0, 16161616... = 0,16 + 0,0016 + 0,000016 ... Ou seja, é uma p.g. de razão 0,01 (ou 1/100).
Assim, podemos dizer que a soma dos infinitos termos dessa p.g. de razão menor que 1 pode ser
definida pela fórmula acima.
Substituindo, então, os valores temos:
S = a1  0,16  0,16  0,16 . 100  16
1-q 1 – 1/100 99/100 1 99 99
Resposta: 16/99
c) 0,23333... = 2/10 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 ... Ou seja, do segundo termo em diante é uma p.g. de
razão 1/10.
Assim, podemos dizer que a soma dos infinitos termos dessa p.g. de razão menor que 1 pode ser
definida pela fórmula acima.
Substituindo, então, os valores temos:
S = a1  2 + 0,03  2 + 0,3  18 + 3  21
1-q 10 1 - 1/10 10 9 90 90

6. Respostas:
b) 5 e 6
c) 6
d) Significa que a soma dos termos da série convergem para o número limite da mesma, que, neste
caso, é o número 2.