1) O documento apresenta um exemplo de como determinar em qual dia da semana cairá uma data utilizando o conceito de sequência. 2) É introduzido o conceito de sequência como uma lista ordenada de objetos e são apresentadas definições, representações e observações sobre sequências numéricas. 3) A sequência de Fibonacci é explicada como um exemplo onde cada termo é a soma dos dois anteriores, sendo apresentados os doze primeiros termos.

1. Matemática – 2º Ano
Sequências
Introdução
Observe abaixo um pedaço do calendário do mês de abril.
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
O dia 25 cairá em que dia da semana?
Uma das maneiras de verificar isso é percebendo que de 7 em 7 dias ocorre à repetição do dia
da semana. Como 25 – 7 = 18 e 18 – 7 = 11, que cai numa segunda, então dia 25 também cairá numa
segunda.
Uma forma diferente de contatar isso é listando todos os dias do mês de abril, até chegarmos
no dia 25:
1º – Sexta
2º – Sábado
3º – Domingo
4º – Segunda
5º – Terça
24º – Domingo
25º – Segunda
Esse processo de ordenamento dos dias da semana passa pelo conceito de sequência – uma lis-
ta ordenada de objetos. Aqui, o vigésimo quinto elemento da sequência é “Segunda”. Escrevemos
com a simbologia a 25 = Segunda .
Na matemática, as sequências que mais estudamos são as numéricas, aquelas em que os ele-
mentos são números.
Definição
De modo simples, pode–se dizer que uma sequência, ou sucessão, é um conjunto de objetos de
qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Assim, por exemplo, pode-
mos falar na sequência dos dias da semana (domingo, segunda–feira, terça–feira, quarta–feira, quinta–
feira, sexta–feira, sábado) ou na sequência dos números ímpares naturais em ordem crescente
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, … .
)
Observe que a sequência dos dias da semana é um sequência finita e a dos números ímpares é
uma sequência infinita.
Representação
Para representar uma sequência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses. Por
exemplo, para representar a sequência dos números primos, fazemos assim:
(2, 3, 5, 7, 11, … )
Genericamente, uma sequência será representada da seguinte maneira:
(a1 , a 2 , a 3 , a 4 , …, a n , …) , com n *
.
Os índices associados à letra a indicam as posições dos termos na sequência, logo:
a1 representa o primeiro termo;
a 2 representa o segundo termo;
a n representa o n–ésimo termo (um termo qualquer).
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2. Matemática – 2º Ano
Observações
1) Para qualquer sequência, a n 1 representa o antecessor de a n e a n + 1 representa o sucessor de
an .
2) Na sequência (a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , a10 ) , os termos a 1 e a 10 são ditos extremos, e os
termos a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 e a 9 são denominados meios. Dois termos serão ditos equidistantes
dos extremos quando a soma dos seus índices coincidirem com a soma dos índices dos extremos. As-
sim, podemos verificar que os termos a 3 e a 8 são equidistantes dos extremos, pois 3 + 8 = 1 + 10 .
3) Se uma sequência tem uma quantidade ímpar de termos, então o índice do seu termo central
(médio) será igual à média aritmética dos índices dos extremos ou de seus equidistantes.
Lei de formação
Para determinarmos os termos de uma sequência numérica, devemos ter uma propriedade co-
mum entre seus elementos ou uma fórmula matemática que os determine.
Exemplo
*
A fórmula matemática a n = 2n 1 , com n , é denominada lei de formação da sequência
dos números ímpares, pois para:
n = 1, temos a1 = 2 (1) – 1 a1 = 1
n = 2, temos a 2 = 2 (2) – 1 a2 = 3
n = 3, temos a 3 = 2 (3) – 1 a3 = 5
n = 4, temos a 4 = 2 (4) – 1 a4 = 7
A sequência obtida é: (1 , 3 , 5 , 7 , …).
Exercícios resolvidos
1) Determine o sexto termo da sequência que 3) Determine os quatro primeiro termos da
possui como lei de formação (termo geral) a =3
a n = 2n + 5 sequência cuja lei de formação é 1
an = 2 + an – 1
Resolução Resolução
a n = 2n + 5 a6 = 2 (6) + 5 a2 = 2 + a2 – 1 a 2 = 2 + a1
a 6 = 12 + 5 a 6 = 17 a2 = 2 + 3 a2 = 5
Portanto, o sexto termo da sequência é 17.
a3 = 2 + a2 a3 = 2 + 5 a3 = 7
2) A soma dos seis primeiros termos de uma a 4 = 2 + a3 a4 = 2 + 7 a4 = 9
10, se n for par Portanto, os quatro primeiros termos são
sequência dada por a n = é: (3, 5, 7, 9) .
2n, se n for ímpar
Resolução 4) Qual a ordem do termo central de uma se-
quência que possui onze termos?
a1 = 2 (1) = 2; a 2 = 10; a 3 = 2 (3) = 6;
Resolução
a 4 = 10; a 5 = 2 (5) = 10; a 6 = 10.
Portanto, a sequência é Para uma sequência de onze termos, os extremos
2, 10 , 6, 10, 10, 10, , e a soma dos seus seis são a 1 e a 11 ; logo, o seu termo central será a 6 ,
primeiro termos é 48. 1 + 11
pois 6 = .
2
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3. Matemática – 2º Ano
Exercícios
1) Para cada sequência, determine os termos 7) (UFC-CE) Um garoto brinca de arrumar
pedidos. palitos, fazendo uma sequência de quadrados,
a2 = cada um com uma diagonal, como na figura:
a) (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …)
a6 =
a1 =
b) (-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, …) a4 = O número de palitos que ele utilizará para fazer
a6 = 100 quadrados, tendo em cada um uma diagonal,
é igual a:
a1 = a) 401.
c) (a, e, i, o, u) a3 = b) 411.
a5 = c) 421.
d) 431.
(-32, 16, -8, 4, -2, 1) e) 444.
d) termos de ordem ímpar:
termos de ordem par: 8) O termo de valor 35 ocupa que posição na
sequência dado por a n = 2n – 3 ?
2) Para cada item abaixo, de acordo com a sua
lei de formação, determine a sequência dos: 9) Complete a tabela de acordo com os dados
a) Divisores positivos de 36, em ordem ascen- fornecidos em cada linha.
dente; Termo Posição
Lei de
b) Múltiplos não negativos de 3, em ordem qualquer da Ocupada
formação
ascendente; sequência pelo termo
c) Números ímpares que soa quadrados perfei- a n = 3n + 1 a n = 31 n=
tos; a n = (2)n – 100 a7 = n=7
d) Número pares entre 5 e 20.
a n = (81)2 n a4 = n=4
3) Determine o sétimo termo da sequência
dado por a n = 10n 2n 2 , com n *
. 10) Determine a ordem do termo central numa
sequência que possui quinze termos.
4) A soma dos oito primeiros termos da se-
quência dada por 11) Os termos a 5 e a 15 são equidistantes dos
2
n , se n for primo extremos para uma sequência de vinte termos?
an = é:
2n + 1, se n não for primo 12) (Enem) Fractal (do latim fractus, fração,
quebrado) – objeto que pode ser dividido em par-
5) Determine a sequência de dez termos dada tes que possuem semelhança com o objeto inici-
a1 = 28 al. A geometria fractal, criada no século XX,
por . estuda as propriedades e o comportamento dos
a n = 2– n a n – 1
fractais – objetos geométricos formados por repe-
tições de padrões similares.
6) Determine o próximo termo de cada uma O triângulo de Sierpinski, uma das formas ele-
das seguintes sequências. mentares da geometria fractal, pode ser obtido
a) (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) a7 = por meio dos seguintes passos:
b) (1, 3, 5, 7, … ) a5 = 1) Comece com um triângulo equilátero (figu-
c) (1, 2, 4, 7, 11, 16, …) a7 = ra 1);
2) Construa um triângulo em que cada lado
d) (0,5; 0,25; 0,125; …) a4 = tenha a metade do tamanho do lado do triângulo
e) (1, 3, 7, 13, 21, 31, …) a7 = anterior e faça três cópias;
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4. Matemática – 2º Ano
3) Posicione essas cópias de maneira que cada 13) (Enem) Uma pessoa procurou encontrar
triângulo tenha um vértice comum com um dos uma maneira de arrumar bolinhas de 1 cm de
vértices de cada um dos outros dois triângulos, diâmetro numa caixa cúbica de 10 cm de aresta,
conforme a figura 2; onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em
4) Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para 4 bolinhas da camada inferior, como mostra a
cada cópia dos triângulos obtidos no posso 3 (fi- figura. Ele iniciou colocando na base da caixa
gura 3) 100 bolinhas, na segunda camada 81 bolinhas e
assim por diante, sempre diminuindo o número
de bolinhas a cada nova camada. Deste modo
quantas bolinhas ele conseguiu colocar na caixa?
a)
14) (Supra-SC) Usando cubos, podemos fazer
as seguintes construções: na primeira, usamos 1
cubo; na segunda, 6 cubos e na terceira, 11 cu-
bos. Quantos cubos usaremos na décima constru-
ção?
b)
a) 31.
b) 35.
c) 36.
d) 45.
e) 46
c) 15) Leonardo de Pisa, mais conhecido como
Fibonacci (filho de Bonacci), foi um matemático
italiano que viveu de 1180 a 1250, aproximada-
mente.
d)
Em 1202, ele propôs o problema a seguir, de
grande repercussão por ter aplicações em várias
áreas do conhecimento, como Economia, Biolo-
gia, Física, etc.
Admitindo-se que cada casal de coelhos só pro-
crie dois meses após o seu nascimento e que, a
e)
partir de então, gere um casal a cada mês, quan-
tos casais haverá ao final de doze meses, partin-
do-se de um único casal de coelhos recém-
nascidos?
Indicando por a n o número de casais, no mês n
temos:
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5. Matemática – 2º Ano
a1 = 1 , pois no primeiro mês haverá um único 16) (Unifesp) Dia 20 de julho de 2008 caiu num
casal; domingo. Três mil dias após, essa data cairá:
a 2 = 1 , pois no segundo mês haverá um único a) Numa quinta-feira.
b) Numa sexta-feira.
casal; c) Num sábado.
a 3 = 2 , pois no terceiro mês terá nascido um d) Num domingo.
novo casal e, portanto, haverá um total de dois e) Numa segunda-feira.
casais;
a 4 = 3 , pois no quarto mês terá nascido um novo
casal e, portanto, haverá um total de três casais; e
assim por diante. Dessa forma, obtemos a se-
quência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, … .
)
Observando que os dois primeiro termos são i-
guais a 1 e que cada termo, a partir do terceiro, é
a soma dos dois anteriores, represente os doze
primeiro termos da sequência de Fibonacci (o 12º
é a resposta do problema proposto por Fibonac-
ci).
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