1) O documento apresenta um exemplo de como determinar em qual dia da semana cairá uma data utilizando o conceito de sequência.
2) É introduzido o conceito de sequência como uma lista ordenada de objetos e são apresentadas definições, representações e observações sobre sequências numéricas.
3) A sequência de Fibonacci é explicada como um exemplo onde cada termo é a soma dos dois anteriores, sendo apresentados os doze primeiros termos.
1) O documento introduz conceitos de sequências numéricas, definindo-as como conjuntos ordenados de números e apresentando formas de representá-las.
2) São descritas três maneiras de definir a lei de formação dos termos de uma sequência: por fórmula de recorrência, expressando cada termo em função de sua posição ou por propriedade dos termos.
3) Exemplos ilustram como escrever sequências finitas e infinitas usando essas três formas de definição.
1) O documento discute seqüências e progressões aritméticas, definindo seqüências, leis de formação e tipos de seqüências.
2) Progressão aritmética é definida como uma seqüência onde a diferença entre termos consecutivos é constante.
3) A fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é apresentada como an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
1. O documento apresenta os conceitos de sequência e progressão aritmética, definindo-os e fornecendo exemplos para ilustrar suas propriedades.
2. Progressão aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada termo subsequente é constante, chamada de razão.
3. O termo geral de uma progressão aritmética é dado por an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão.
Estudando as sequências numéricas com FibonacciLeandroJayme
O documento descreve a vida e obra do matemático italiano Leonardo Fibonacci, conhecido por introduzir o sistema numérico hindu-arábico na Europa. Apresenta o problema clássico dos coelhos de Fibonacci, que gerou a famosa sequência numérica de Fibonacci. Explica como a sequência é formada segundo a lei de recorrência.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada de razão. O documento explica a fórmula para P.A., dá exemplos e classifica P.A. em crescentes, decrescentes e constantes. Também fornece notações especiais e exercícios para aplicar os conceitos de P.A.
O documento explica o conceito de progressão aritmética, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é obtido pela soma de um valor constante ao termo anterior. A fórmula para calcular qualquer termo é apresentada como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão. A fórmula para calcular a soma dos termos é dada por Sn = (a1 + an)n/2. Exemplos ilustram o uso das fórmulas.
Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem determinada. O documento explica que sequências podem ser finitas ou infinitas e fornece exemplos de sequências numéricas. Ele também descreve como representar matematicamente uma sequência geral usando os termos an e fornece um exemplo para ilustrar esta representação.
O documento discute progressões aritméticas (PAs), incluindo: (1) A definição de PAs como sequências onde cada termo subsequente é obtido adicionando uma razão constante ao termo anterior; (2) A fórmula para calcular qualquer termo geral de uma PA dados o primeiro termo e a razão; (3) Exemplos ilustrando o cálculo de termos em PAs.
1) O documento introduz conceitos de sequências numéricas, definindo-as como conjuntos ordenados de números e apresentando formas de representá-las.
2) São descritas três maneiras de definir a lei de formação dos termos de uma sequência: por fórmula de recorrência, expressando cada termo em função de sua posição ou por propriedade dos termos.
3) Exemplos ilustram como escrever sequências finitas e infinitas usando essas três formas de definição.
1) O documento discute seqüências e progressões aritméticas, definindo seqüências, leis de formação e tipos de seqüências.
2) Progressão aritmética é definida como uma seqüência onde a diferença entre termos consecutivos é constante.
3) A fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é apresentada como an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
1. O documento apresenta os conceitos de sequência e progressão aritmética, definindo-os e fornecendo exemplos para ilustrar suas propriedades.
2. Progressão aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada termo subsequente é constante, chamada de razão.
3. O termo geral de uma progressão aritmética é dado por an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão.
Estudando as sequências numéricas com FibonacciLeandroJayme
O documento descreve a vida e obra do matemático italiano Leonardo Fibonacci, conhecido por introduzir o sistema numérico hindu-arábico na Europa. Apresenta o problema clássico dos coelhos de Fibonacci, que gerou a famosa sequência numérica de Fibonacci. Explica como a sequência é formada segundo a lei de recorrência.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada de razão. O documento explica a fórmula para P.A., dá exemplos e classifica P.A. em crescentes, decrescentes e constantes. Também fornece notações especiais e exercícios para aplicar os conceitos de P.A.
O documento explica o conceito de progressão aritmética, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é obtido pela soma de um valor constante ao termo anterior. A fórmula para calcular qualquer termo é apresentada como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão. A fórmula para calcular a soma dos termos é dada por Sn = (a1 + an)n/2. Exemplos ilustram o uso das fórmulas.
Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem determinada. O documento explica que sequências podem ser finitas ou infinitas e fornece exemplos de sequências numéricas. Ele também descreve como representar matematicamente uma sequência geral usando os termos an e fornece um exemplo para ilustrar esta representação.
O documento discute progressões aritméticas (PAs), incluindo: (1) A definição de PAs como sequências onde cada termo subsequente é obtido adicionando uma razão constante ao termo anterior; (2) A fórmula para calcular qualquer termo geral de uma PA dados o primeiro termo e a razão; (3) Exemplos ilustrando o cálculo de termos em PAs.
O documento resume as definições e propriedades de Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.). A P.A. é uma sequência onde cada termo é a soma do anterior e uma constante chamada razão. A P.G. é uma sequência onde cada termo é o produto do anterior por uma constante chamada razão. O documento explica como classificar, encontrar o termo geral e a soma dos termos dessas progressões.
1) O documento discute seqüências e séries numéricas, definindo seqüências, apresentando exemplos e propriedades como convergência e monotonicidade.
2) Uma seqüência é uma função que associa números naturais a números reais. Exemplos incluem seqüências com termos definidos por fórmulas ou recorrência.
3) Uma seqüência converge se seu limite quando n tende ao infinito existe e é um número real finito. Caso contrário, diverge. Teoremas caracterizam convergência ou divergência.
O documento descreve o conceito de sequência e progressão aritmética (P.A). Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em ordem definida. Uma P.A. é uma sequência numérica onde cada termo, após o primeiro, é igual à soma do anterior com uma razão constante. O documento fornece fórmulas para calcular termos gerais, soma de termos e determinar termos equidistantes de uma P.A.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, princípio multiplicativo, permutações e arranjos simples.
2) Inclui definições de fatorial, coeficientes binomiais, permutações simples e como calculá-los, assim como arranjos simples.
3) Explica como utilizar o método de definição indutiva para definir conjuntos numéricos.
Uma progressão geométrica é uma sequência onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o termo anterior por um número constante chamado razão. A fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica é an = a1 * qn-1, onde a1 é o primeiro termo e q é a razão. A soma dos termos de uma progressão geométrica finita pode ser calculada usando uma fórmula específica.
Este documento define progressão geométrica (PG) e fornece suas fórmulas principais, como o termo geral, a soma dos termos e exemplos de cálculos com PGs.
O documento discute diferentes tipos de funções e sequências, incluindo: 1) Funções reais, vetoriais e matriciais; 2) Sequências reais finitas e infinitas; 3) Progressões aritméticas finitas e suas propriedades como razão, termo geral e termos eqüidistantes.
O documento discute progressões aritméticas e geométricas, definindo-as como sequências numéricas onde os termos seguem uma regra de formação precisa. Uma progressão aritmética tem cada termo subsequente igual ao anterior somado a uma razão fixa, enquanto uma progressão geométrica tem cada termo como o anterior multiplicado por uma razão fixa. O texto fornece fórmulas para calcular termos gerais e soma de termos dessas progressões.
1) O documento apresenta um resumo sobre progressões aritméticas e geométricas, matrizes, determinantes e sistemas lineares.
2) É introduzido o conceito de sequências numéricas e progressão aritmética, definindo o termo geral de uma PA como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
3) Também são apresentados resumidamente conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares, com exemplos de operações e métodos de resolução.
O documento descreve o conceito de sequência e suas propriedades. Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem definida. Pode ser finita ou infinita. Progressões aritméticas (P.A.) são sequências em que a diferença entre cada termo e seu antecessor é constante. O termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
O documento apresenta conceitos sobre progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG), incluindo definições de razão, termos e fórmulas para calcular o termo geral e a soma dos termos. Exemplos ilustram os diferentes tipos de PA e PG de acordo com o valor da razão.
O documento discute sequências e séries matemáticas, definindo-as e fornecendo exemplos. Sequências são sucessões de termos ordenados por uma regra, e séries são as somas dos termos de uma sequência. Exemplos incluem sequências numéricas finitas e infinitas como a de Fibonacci, e o cálculo do número de coelhos gerados a partir de um casal ao longo de 12 meses.
O documento explica o que é uma progressão geométrica, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Ele fornece exemplos de progressões geométricas crescentes, decrescentes e alternadas, e discute como utilizar a fórmula an=a1*qn-1 para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.
Este documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais pontos tratados são: provar conjecturas usando métodos como contraposição, absurdo e indução; encontrar fórmulas fechadas de sequências recursivas; e operações com conjuntos.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.
O documento discute progressões geométricas, incluindo como calcular termos futuros usando a razão de crescimento e a fórmula do termo geral. É fornecida uma demonstração da fórmula do termo geral e exemplos de como classificar progressões geométricas como crescentes, decrescentes ou oscilantes.
O documento contém uma coleção de exercícios sobre progressões aritméticas e geométricas. Os exercícios envolvem calcular termos, razões e outras propriedades de PAs e PGs dadas informações como termos iniciais, razão ou soma de termos.
01. O documento apresenta definições e propriedades de progressões aritméticas e geométricas, incluindo fórmulas para calcular termos gerais e somas.
02. São fornecidos exemplos e exercícios de fixação sobre progressões aritméticas e geométricas.
03. As questões abordam cálculos envolvendo termos, razões e somas de progressões aritméticas e geométricas.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
O documento resume as definições e propriedades de Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.). A P.A. é uma sequência onde cada termo é a soma do anterior e uma constante chamada razão. A P.G. é uma sequência onde cada termo é o produto do anterior por uma constante chamada razão. O documento explica como classificar, encontrar o termo geral e a soma dos termos dessas progressões.
1) O documento discute seqüências e séries numéricas, definindo seqüências, apresentando exemplos e propriedades como convergência e monotonicidade.
2) Uma seqüência é uma função que associa números naturais a números reais. Exemplos incluem seqüências com termos definidos por fórmulas ou recorrência.
3) Uma seqüência converge se seu limite quando n tende ao infinito existe e é um número real finito. Caso contrário, diverge. Teoremas caracterizam convergência ou divergência.
O documento descreve o conceito de sequência e progressão aritmética (P.A). Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em ordem definida. Uma P.A. é uma sequência numérica onde cada termo, após o primeiro, é igual à soma do anterior com uma razão constante. O documento fornece fórmulas para calcular termos gerais, soma de termos e determinar termos equidistantes de uma P.A.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, princípio multiplicativo, permutações e arranjos simples.
2) Inclui definições de fatorial, coeficientes binomiais, permutações simples e como calculá-los, assim como arranjos simples.
3) Explica como utilizar o método de definição indutiva para definir conjuntos numéricos.
Uma progressão geométrica é uma sequência onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o termo anterior por um número constante chamado razão. A fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica é an = a1 * qn-1, onde a1 é o primeiro termo e q é a razão. A soma dos termos de uma progressão geométrica finita pode ser calculada usando uma fórmula específica.
Este documento define progressão geométrica (PG) e fornece suas fórmulas principais, como o termo geral, a soma dos termos e exemplos de cálculos com PGs.
O documento discute diferentes tipos de funções e sequências, incluindo: 1) Funções reais, vetoriais e matriciais; 2) Sequências reais finitas e infinitas; 3) Progressões aritméticas finitas e suas propriedades como razão, termo geral e termos eqüidistantes.
O documento discute progressões aritméticas e geométricas, definindo-as como sequências numéricas onde os termos seguem uma regra de formação precisa. Uma progressão aritmética tem cada termo subsequente igual ao anterior somado a uma razão fixa, enquanto uma progressão geométrica tem cada termo como o anterior multiplicado por uma razão fixa. O texto fornece fórmulas para calcular termos gerais e soma de termos dessas progressões.
1) O documento apresenta um resumo sobre progressões aritméticas e geométricas, matrizes, determinantes e sistemas lineares.
2) É introduzido o conceito de sequências numéricas e progressão aritmética, definindo o termo geral de uma PA como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
3) Também são apresentados resumidamente conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares, com exemplos de operações e métodos de resolução.
O documento descreve o conceito de sequência e suas propriedades. Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem definida. Pode ser finita ou infinita. Progressões aritméticas (P.A.) são sequências em que a diferença entre cada termo e seu antecessor é constante. O termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
O documento apresenta conceitos sobre progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG), incluindo definições de razão, termos e fórmulas para calcular o termo geral e a soma dos termos. Exemplos ilustram os diferentes tipos de PA e PG de acordo com o valor da razão.
O documento discute sequências e séries matemáticas, definindo-as e fornecendo exemplos. Sequências são sucessões de termos ordenados por uma regra, e séries são as somas dos termos de uma sequência. Exemplos incluem sequências numéricas finitas e infinitas como a de Fibonacci, e o cálculo do número de coelhos gerados a partir de um casal ao longo de 12 meses.
O documento explica o que é uma progressão geométrica, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Ele fornece exemplos de progressões geométricas crescentes, decrescentes e alternadas, e discute como utilizar a fórmula an=a1*qn-1 para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.
Este documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais pontos tratados são: provar conjecturas usando métodos como contraposição, absurdo e indução; encontrar fórmulas fechadas de sequências recursivas; e operações com conjuntos.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.
O documento discute progressões geométricas, incluindo como calcular termos futuros usando a razão de crescimento e a fórmula do termo geral. É fornecida uma demonstração da fórmula do termo geral e exemplos de como classificar progressões geométricas como crescentes, decrescentes ou oscilantes.
O documento contém uma coleção de exercícios sobre progressões aritméticas e geométricas. Os exercícios envolvem calcular termos, razões e outras propriedades de PAs e PGs dadas informações como termos iniciais, razão ou soma de termos.
01. O documento apresenta definições e propriedades de progressões aritméticas e geométricas, incluindo fórmulas para calcular termos gerais e somas.
02. São fornecidos exemplos e exercícios de fixação sobre progressões aritméticas e geométricas.
03. As questões abordam cálculos envolvendo termos, razões e somas de progressões aritméticas e geométricas.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
1. O documento discute o conceito de progressão aritmética, definindo-a como uma sequência numérica na qual a diferença entre cada termo e o anterior é constante.
2. Apresenta a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética a partir do primeiro termo e da razão.
3. Fornece exemplos e propriedades das progressões aritméticas, incluindo como representar graficamente a relação entre os termos.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre progressões aritméticas, incluindo sua definição, representação, fórmulas para o termo geral e soma dos termos. Exemplos ilustram como calcular termos, razões e quantidades de termos em diferentes PAs.
Progressões aritméticas e sequências por heloelainehelocarvalho
O documento apresenta os conceitos de sequência, progressão aritmética e suas fórmulas. Explica que uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo após o primeiro tem um valor constante adicionado. Fornece exemplos e as fórmulas para calcular termos individuais e a soma total de uma progressão aritmética finita.
Progressões aritmáticas e sequências por heloelainehelocarvalho
O documento apresenta os conceitos de sequência, progressão aritmética e suas fórmulas. Explica que uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo após o primeiro tem um valor constante adicionado. Fornece exemplos e as fórmulas para calcular termos individuais e a soma total de uma progressão aritmética finita.
Progressões aritmáticas e sequências por heloelainehelocarvalho
O documento apresenta os conceitos de sequência, progressão aritmética e suas fórmulas. Explica que uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo após o primeiro tem um valor constante adicionado. Fornece exemplos e as fórmulas para calcular termos individuais e a soma total de uma progressão aritmética finita.
O documento descreve a infância do matemático alemão Carl Friedrich Gauss e seu talento precoce para matemática. Aos sete anos, Gauss resolveu instantaneamente um problema de soma de números inteiros dado pelo seu professor, impressionando-o com sua habilidade. Seu professor passou seu ensino para um assistente mais jovem que se tornou amigo de Gauss. Ele foi reconhecido como um dos maiores gênios da história da matemática.
O documento apresenta noções sobre progressões aritméticas, definindo-as como sequências de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão. A fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é dada como an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. Propriedades como a média aritmética entre termos consecutivos e a soma de termos equidistantes dos extremos também são apresentadas.
1. O documento apresenta um plano de aula sobre progressão aritmética para alunos do 1o ano do ensino médio.
2. O plano detalha os objetivos, conteúdos, material e desenvolvimento da aula, incluindo exemplos e exercícios sobre progressão aritmética.
3. O plano fornece definições, propriedades e classificações de progressões aritméticas, além de dicas para resolver problemas envolvendo esse tópico.
1) O documento descreve o que são progressões aritméticas e como elas funcionam. Uma progressão aritmética é uma sucessão de números que segue um ritmo definido de acrescer ou decrescer em relação ao número anterior.
2) Para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética, usa-se a fórmula an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo procurado, e r é a razão da progressão.
3) O valor da soma dos n primeiros termos
1. O documento discute os Cadernos do Aluno, material didático distribuído aos estudantes da rede estadual de ensino em 2009. Para a nova edição de 2010, foram feitas alterações com base em sugestões de professores, autores e leitores especializados.
2. O professor deve analisar as diferenças entre a nova edição do Caderno do Aluno e os ajustes feitos no documento, uma vez que os Cadernos do Professor não serão editados em 2010.
O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências numéricas onde cada termo subsequente é igual ao anterior mais uma constante chamada de razão. Explica como determinar os termos de uma progressão aritmética usando a fórmula geral ou a lei de recorrência e apresenta exemplos de exercícios resolvidos.
O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências numéricas onde cada termo subsequente é igual ao anterior mais uma constante chamada de razão. Explica como determinar os termos de uma progressão aritmética usando a fórmula geral ou a lei de recorrência e fornece exemplos de exercícios resolvidos.
1) O documento discute seqüências numéricas e séries infinitas, apresentando definições, exemplos e teoremas sobre convergência e monotonicidade de seqüências.
2) Uma seqüência é uma função que associa números reais a números naturais. Pode ser dada por uma fórmula ou recorrência. Se a diferença entre os termos e um limite tende a zero, a seqüência converge.
3) O documento fornece condições para a convergência de seqüências, como os teoremas sobre limites de potências e conf
* Existem m = 4 elementos distintos
* Estamos escolhendo p = 2 elementos com repetição
* A fórmula para combinações com repetição é:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
* Portanto:
Crep(4,2) = C(4+2-1,2) = C(5,2) = 10
A resposta é 10 combinações.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
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O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
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01 sequência
1. Matemática – 2º Ano
Sequências
Introdução
Observe abaixo um pedaço do calendário do mês de abril.
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
O dia 25 cairá em que dia da semana?
Uma das maneiras de verificar isso é percebendo que de 7 em 7 dias ocorre à repetição do dia
da semana. Como 25 – 7 = 18 e 18 – 7 = 11, que cai numa segunda, então dia 25 também cairá numa
segunda.
Uma forma diferente de contatar isso é listando todos os dias do mês de abril, até chegarmos
no dia 25:
1º – Sexta
2º – Sábado
3º – Domingo
4º – Segunda
5º – Terça
24º – Domingo
25º – Segunda
Esse processo de ordenamento dos dias da semana passa pelo conceito de sequência – uma lis-
ta ordenada de objetos. Aqui, o vigésimo quinto elemento da sequência é “Segunda”. Escrevemos
com a simbologia a 25 = Segunda .
Na matemática, as sequências que mais estudamos são as numéricas, aquelas em que os ele-
mentos são números.
Definição
De modo simples, pode–se dizer que uma sequência, ou sucessão, é um conjunto de objetos de
qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Assim, por exemplo, pode-
mos falar na sequência dos dias da semana (domingo, segunda–feira, terça–feira, quarta–feira, quinta–
feira, sexta–feira, sábado) ou na sequência dos números ímpares naturais em ordem crescente
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, … .
)
Observe que a sequência dos dias da semana é um sequência finita e a dos números ímpares é
uma sequência infinita.
Representação
Para representar uma sequência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses. Por
exemplo, para representar a sequência dos números primos, fazemos assim:
(2, 3, 5, 7, 11, … )
Genericamente, uma sequência será representada da seguinte maneira:
(a1 , a 2 , a 3 , a 4 , …, a n , …) , com n *
.
Os índices associados à letra a indicam as posições dos termos na sequência, logo:
a1 representa o primeiro termo;
a 2 representa o segundo termo;
a n representa o n–ésimo termo (um termo qualquer).
Página 1
2. Matemática – 2º Ano
Observações
1) Para qualquer sequência, a n 1 representa o antecessor de a n e a n + 1 representa o sucessor de
an .
2) Na sequência (a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , a10 ) , os termos a 1 e a 10 são ditos extremos, e os
termos a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 e a 9 são denominados meios. Dois termos serão ditos equidistantes
dos extremos quando a soma dos seus índices coincidirem com a soma dos índices dos extremos. As-
sim, podemos verificar que os termos a 3 e a 8 são equidistantes dos extremos, pois 3 + 8 = 1 + 10 .
3) Se uma sequência tem uma quantidade ímpar de termos, então o índice do seu termo central
(médio) será igual à média aritmética dos índices dos extremos ou de seus equidistantes.
Lei de formação
Para determinarmos os termos de uma sequência numérica, devemos ter uma propriedade co-
mum entre seus elementos ou uma fórmula matemática que os determine.
Exemplo
*
A fórmula matemática a n = 2n 1 , com n , é denominada lei de formação da sequência
dos números ímpares, pois para:
n = 1, temos a1 = 2 (1) – 1 a1 = 1
n = 2, temos a 2 = 2 (2) – 1 a2 = 3
n = 3, temos a 3 = 2 (3) – 1 a3 = 5
n = 4, temos a 4 = 2 (4) – 1 a4 = 7
A sequência obtida é: (1 , 3 , 5 , 7 , …).
Exercícios resolvidos
1) Determine o sexto termo da sequência que 3) Determine os quatro primeiro termos da
possui como lei de formação (termo geral) a =3
a n = 2n + 5 sequência cuja lei de formação é 1
an = 2 + an – 1
Resolução Resolução
a n = 2n + 5 a6 = 2 (6) + 5 a2 = 2 + a2 – 1 a 2 = 2 + a1
a 6 = 12 + 5 a 6 = 17 a2 = 2 + 3 a2 = 5
Portanto, o sexto termo da sequência é 17.
a3 = 2 + a2 a3 = 2 + 5 a3 = 7
2) A soma dos seis primeiros termos de uma a 4 = 2 + a3 a4 = 2 + 7 a4 = 9
10, se n for par Portanto, os quatro primeiros termos são
sequência dada por a n = é: (3, 5, 7, 9) .
2n, se n for ímpar
Resolução 4) Qual a ordem do termo central de uma se-
quência que possui onze termos?
a1 = 2 (1) = 2; a 2 = 10; a 3 = 2 (3) = 6;
Resolução
a 4 = 10; a 5 = 2 (5) = 10; a 6 = 10.
Portanto, a sequência é Para uma sequência de onze termos, os extremos
2, 10 , 6, 10, 10, 10, , e a soma dos seus seis são a 1 e a 11 ; logo, o seu termo central será a 6 ,
primeiro termos é 48. 1 + 11
pois 6 = .
2
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3. Matemática – 2º Ano
Exercícios
1) Para cada sequência, determine os termos 7) (UFC-CE) Um garoto brinca de arrumar
pedidos. palitos, fazendo uma sequência de quadrados,
a2 = cada um com uma diagonal, como na figura:
a) (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …)
a6 =
a1 =
b) (-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, …) a4 = O número de palitos que ele utilizará para fazer
a6 = 100 quadrados, tendo em cada um uma diagonal,
é igual a:
a1 = a) 401.
c) (a, e, i, o, u) a3 = b) 411.
a5 = c) 421.
d) 431.
(-32, 16, -8, 4, -2, 1) e) 444.
d) termos de ordem ímpar:
termos de ordem par: 8) O termo de valor 35 ocupa que posição na
sequência dado por a n = 2n – 3 ?
2) Para cada item abaixo, de acordo com a sua
lei de formação, determine a sequência dos: 9) Complete a tabela de acordo com os dados
a) Divisores positivos de 36, em ordem ascen- fornecidos em cada linha.
dente; Termo Posição
Lei de
b) Múltiplos não negativos de 3, em ordem qualquer da Ocupada
formação
ascendente; sequência pelo termo
c) Números ímpares que soa quadrados perfei- a n = 3n + 1 a n = 31 n=
tos; a n = (2)n – 100 a7 = n=7
d) Número pares entre 5 e 20.
a n = (81)2 n a4 = n=4
3) Determine o sétimo termo da sequência
dado por a n = 10n 2n 2 , com n *
. 10) Determine a ordem do termo central numa
sequência que possui quinze termos.
4) A soma dos oito primeiros termos da se-
quência dada por 11) Os termos a 5 e a 15 são equidistantes dos
2
n , se n for primo extremos para uma sequência de vinte termos?
an = é:
2n + 1, se n não for primo 12) (Enem) Fractal (do latim fractus, fração,
quebrado) – objeto que pode ser dividido em par-
5) Determine a sequência de dez termos dada tes que possuem semelhança com o objeto inici-
a1 = 28 al. A geometria fractal, criada no século XX,
por . estuda as propriedades e o comportamento dos
a n = 2– n a n – 1
fractais – objetos geométricos formados por repe-
tições de padrões similares.
6) Determine o próximo termo de cada uma O triângulo de Sierpinski, uma das formas ele-
das seguintes sequências. mentares da geometria fractal, pode ser obtido
a) (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) a7 = por meio dos seguintes passos:
b) (1, 3, 5, 7, … ) a5 = 1) Comece com um triângulo equilátero (figu-
c) (1, 2, 4, 7, 11, 16, …) a7 = ra 1);
2) Construa um triângulo em que cada lado
d) (0,5; 0,25; 0,125; …) a4 = tenha a metade do tamanho do lado do triângulo
e) (1, 3, 7, 13, 21, 31, …) a7 = anterior e faça três cópias;
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4. Matemática – 2º Ano
3) Posicione essas cópias de maneira que cada 13) (Enem) Uma pessoa procurou encontrar
triângulo tenha um vértice comum com um dos uma maneira de arrumar bolinhas de 1 cm de
vértices de cada um dos outros dois triângulos, diâmetro numa caixa cúbica de 10 cm de aresta,
conforme a figura 2; onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em
4) Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para 4 bolinhas da camada inferior, como mostra a
cada cópia dos triângulos obtidos no posso 3 (fi- figura. Ele iniciou colocando na base da caixa
gura 3) 100 bolinhas, na segunda camada 81 bolinhas e
assim por diante, sempre diminuindo o número
de bolinhas a cada nova camada. Deste modo
quantas bolinhas ele conseguiu colocar na caixa?
a)
14) (Supra-SC) Usando cubos, podemos fazer
as seguintes construções: na primeira, usamos 1
cubo; na segunda, 6 cubos e na terceira, 11 cu-
bos. Quantos cubos usaremos na décima constru-
ção?
b)
a) 31.
b) 35.
c) 36.
d) 45.
e) 46
c) 15) Leonardo de Pisa, mais conhecido como
Fibonacci (filho de Bonacci), foi um matemático
italiano que viveu de 1180 a 1250, aproximada-
mente.
d)
Em 1202, ele propôs o problema a seguir, de
grande repercussão por ter aplicações em várias
áreas do conhecimento, como Economia, Biolo-
gia, Física, etc.
Admitindo-se que cada casal de coelhos só pro-
crie dois meses após o seu nascimento e que, a
e)
partir de então, gere um casal a cada mês, quan-
tos casais haverá ao final de doze meses, partin-
do-se de um único casal de coelhos recém-
nascidos?
Indicando por a n o número de casais, no mês n
temos:
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5. Matemática – 2º Ano
a1 = 1 , pois no primeiro mês haverá um único 16) (Unifesp) Dia 20 de julho de 2008 caiu num
casal; domingo. Três mil dias após, essa data cairá:
a 2 = 1 , pois no segundo mês haverá um único a) Numa quinta-feira.
b) Numa sexta-feira.
casal; c) Num sábado.
a 3 = 2 , pois no terceiro mês terá nascido um d) Num domingo.
novo casal e, portanto, haverá um total de dois e) Numa segunda-feira.
casais;
a 4 = 3 , pois no quarto mês terá nascido um novo
casal e, portanto, haverá um total de três casais; e
assim por diante. Dessa forma, obtemos a se-
quência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, … .
)
Observando que os dois primeiro termos são i-
guais a 1 e que cada termo, a partir do terceiro, é
a soma dos dois anteriores, represente os doze
primeiro termos da sequência de Fibonacci (o 12º
é a resposta do problema proposto por Fibonac-
ci).
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