Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial

1. 1 Mathusso Jucuiana, email: phlipwilker@gmail.com Lógica Matemática Abril de 2021
LÓGICA MATEMÁTICA (BIVALENTE)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Porque a lógica Matemática, pode se chamar de lógica Bivalente?
R: Diz-se lógica bivalente porque apresenta apenas dois valores lógicos: verdade e falsidade.
2. Das expressões seguintes, distinga as designações das proposições.
a) 16
4  e) 2
8
3
 h) m.d.c  
16
,
8 l) e

4
b) 6
16
4 
 f)  
5
,
3
,
2 i) m.d.c   8
16
,
8  m) Mathusso
c) 3
8 g)  
5
,
3
,
2
1 j) 55
4
3 3
2


d) Maputo é capital de Moçambique k) 3
11
13
3
2

 é múltiplo de 21
Possíveis respostas
 Designações: a); c); h); l) e m)
 Proposições: b); e); g); i); j) e k).
2.1.Indique o valor lógico das alíneas anteriores (as que são proposições).
Possíveis respostas: b) V; e) F; g)V; i) V; j) V e k) F
3. Das expressões que se seguem indique as que são equivalentes:
A. 5
,
3

 C. 3
2

 E. 9
2


B. 


2
7
D. 

2
7
F. 2
9 

Possíveis respostas: C, E e F.
4. Escreva a negação de cada uma das proposições:
A. O livro escolar é um instrumento de trabalho. E.  é um número irracional.
B. O automóvel é um meio de transporte. F. Todos os números primos são pares.
C. Todos os alunos gostam de Matemática. G. 12
3
2 
D. b
a
b
a 

 H.   20
5
2
2

Possíveis respostas:
A. O livro escolar não é um instrumento de trabalho. E.  não é um número irracional.
B. O automóvel não é um meio de transporte. F. Nem todos os números primos são pares.
C. Nem todos os alunos gostam de Matemática. ~G. 12
3
2 
~D. b
a
b
a 

 ~H.   20
5
2
2

5. Sejam as proposições seguintes:
: A água é um bem essencial.
: A protecção do ambiente é uma responsabilidade de todos.
Traduza em linguagem corrente o significado das expressões simbólicas.
a) b
a  b) b
a 
~ c) b
a  d) )
(~ b
a  e) b
a  f) b
a 
~
Possíveis respostas:
a) A água é um bem essencial e a protecção do ambiente é uma responsabilidade de todos.

2. 2 Mathusso Jucuiana, email: phlipwilker@gmail.com Lógica Matemática Abril de 2021
b) A água não é um bem essencial e a protecção do ambiente é uma responsabilidade de todos.
c) A água é um bem essencial e/ou a protecção do ambiente é uma responsabilidade de todos.
d) A água é um bem essencial e/ou a protecção do ambiente não é uma responsabilidade de todos.
e) Se a água é um bem essencial então a protecção do ambiente é uma responsabilidade de todos.
f) Se a água não é um bem essencial então a protecção do ambiente é uma responsabilidade de
todos.
6. Considere as seguintes proposições:
: Graça Machel foi Ministra da Educação de Moçambique.
: Matola é a capital de Maputo Cidade.
: O Sol é uma estrela.
: A Lua é um satélite da Terra.
: Vénus é um planeta.
: Vénus é uma estrela.
Traduza as proposições simbolicamente e indique o seu valor lógico:
a) Graça Machel foi Ministra da Educação de Moçambique e Matola é a capital de Maputo Cidade.
b) Graça Machel foi Ministra da Educação de Moçambique ou Matola é a capital de Maputo
Cidade.
c) Matola não é a capital da Cidade de Maputo.
d) O Sol é uma estrela e a Lua é um satélite da Terra.
e) Graça Machel não foi Ministra da Educação de Moçambique, nem Matola é a capital da cidade
de Maputo.
f) Vénus é uma estrela e a Lua um satélite da Terra.
g) Ou Vénus é um planeta ou Vénus é uma estrela, mas não ambas as coisas.
Possíveis Respostas:
a) q
p  F c) q
~ V e)  
q
p 
~ F g) u
t  V
b) q
p  V d) s
r  F f) s
u  F
7. Considere as proposições , .
: A equipe A tem dez jogadores.
: A equipa B tem onze jogadores.
: A equipa C tem oito jogadores.
Traduza em linguagem corrente cada uma das proposições:
a) q
p  c) q
~
 e) p
q 
~ g) r
q
p 

b) q
p 
~ d) r
q
p 
 f) r
q ~
 h)  
r
q 
~
Possíveis Respostas:
a) A equipa A tem dez jogadores e a equipa B tem onze jogadores.
b) A equipa A não tem dez jogadores e a equipa B tem onze jogadores.
c) Se a equipa A tem dez jogadores, então a equipa B não tem onze jogadores.
d) A equipa A tem dez jogadores, a equipa B tem onze jogadores e a equipa C tem oito
jogadores.
e) A equipa B não tem onze jogadores ou a equipa A tem dez jogadores.
f) A equipa A tem dez jogadores equivale a equipa C não tem oito jogadores.
g) Se a equipa A tem dez jogadores e a equipa B tem onze jogadores, então a equipa C tem oito
jogadores.

3. 3 Mathusso Jucuiana, email: phlipwilker@gmail.com Lógica Matemática Abril de 2021
h) A equipa B não tem onze jogadores e a equipa C não tem oito jogadores.
8. Uma tautologia é uma expressão lógica que avalia sempre como verdadeiro, independentemente dos
valores lógicos das suas variáveis. Por exemplo, a expressão x
x ~
 é verdadeira tanto quando é
verdadeiro como quando é falso, x
x ~
 é pois uma tautologia. Explica como se pode usar uma
tabela de valores da verdade para mostrar que uma expressão lógica é uma tautologia e prova a
seguinte expressão é uma tautologia:   
y
x
y
x ~

 .
y
x  y
x ~
   
y
x
y
x ~


V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F V V
9. Seja  
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

A e  
x
p a seguinte expressão proposicional:  
x
p
:« ú é ú ». Preencha a tabela que segue:
Expressão proposicional  
1
p  
2
p  
3
p  
4
p  
5
p  
6
p
Valor lógico desta expressão F V F V F V
10. Mostre pela tabela de verdade que dadas duas proposições :
a)   p
q
p
p 


q
p   
q
p
p 

V V V V
V F V V
F V V F
F F F F
b)   p
q
p
p 


q
p   
q
p
p 

V V V V
V F F V
F V F F
F F F F
c)   
q
p
q
p
q
p 



q
p  q
p    
q
p
q
P 

V V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F F
11. Determine justificando o valor lógico da proposição: 35
21
31
10
41 


 .
R: Verdadeira, pois na disjunção basta uma das proposições ser verdadeira para que a resultante
também seja verdadeira.
12. Determine, usando a tabela da verdade, as seguintes propriedades:

4. 4 Mathusso Jucuiana, email: phlipwilker@gmail.com Lógica Matemática Abril de 2021
a)     c
b
a
c
b
a 




b
a  c
b   
c
b
a 
   c
b
a 

V V V V V V V
V F V V V V V
V F F V F V V
F V V V V V V
F F V F V V V
F F F F F F F
b)      
c
a
b
a
c
b
a 





b
a  c
a  c
b   
c
b
a 
    
c
a
b
a 


V V V V V V V V
V F V V V F V V
V F F V V F V V
F V V V V V V V
F F V F V F F F
F F F F F F F F
13. Comprove a propriedade da dupla negação, aplicando-a à proposição :
«5 ã é ú 29».
R: :
~ p 5 é ú 29.
:
~~ p ã é 5 é ú 29 ↔ : 5 ã é ú 29.
14. Deduza, através das tabelas da verdade, as duas seguintes propriedades:
a)   q
p
q
p ~
~
~ 


p
~ q
~ q
p   
q
p 
~ q
p ~
~ 
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V
F F V V F V V
b)   b
a
b
a ~
~
~ 


a
~ b
~ b
a   
q
p 
~ q
p ~
~ 
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V V
15. Indique o valor lógico das proposições dadas sobre o conjunto ℝ.
a)   1
2
1
, 2
2




 x
x
x
x (V) d) x
x
x 


4
1
: (F) g) 0
: 
 x
x
(F)
b) x
x
x 
 2
: (V) e) x
x
x 

 1
: (F)
c)   
y
x
y
x
y
x
x 



 2
2
, (F) f)   3
3
2
3
3
3
3
, y
xy
y
x
x
y
x
x 




 (V)
16. Prove, utilizando directamente as propriedades das operações lógicas, que se tem sempre:
a)   F
b
a
a 

 ~
  F
b
F
b
a
a
b
a
a 






 ~
~
b)   V
b
a
a 

 ~

5. 5 Mathusso Jucuiana, email: phlipwilker@gmail.com Lógica Matemática Abril de 2021
  V
b
V
b
a
a
b
a
a 






 ~
~
c)   b
a
a
b
a 


 ~
      b
a
F
b
a
a
a
b
a
a
b
a 









 ~
~
d)   b
a
a
b
a 


 ~
      b
a
V
b
a
a
a
b
a
a
b
a 









 ~
~
FIM