1) O documento discute conceitos matemáticos como monotonia de potenciação, raízes de índices, propriedades de radicais, operações com polinômios e fatorização de polinômios. 2) Inclui definições e propriedades de raízes de índices, operações com radicais, adição, subtração e multiplicação de polinômios. 3) Apresenta métodos para dividir polinômios, fatorar polinômios, determinar raízes e multiplicidade de raízes, e resolver inequações pol

1. matA10 – álgebra
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Monotonia da potenciação
Se a b e n ímpar, então n n
a b Se 0 a b  e n par, então 0 n n
a b  Se 0a b  e n par, então 0n n
a b 
Raiz de índice n
Dado um número real a e um número natural n
 Se n ímpar, : n
b b a   e b é único
 Se n par e a 
 , então : n
b b a
   e b é único
 0 0n
b b  
Ao número real b dá-se o nome de raiz índice n de a e
representa-se por: n
a
 Se n ímpar: n n
b a b a  
 Se n par: e 0n n
b a b b a   
 0 0n

Propriedades dos radicais
Radicais equivalentes
n nkp pk
a a
, , , 1 e 0n p k n a  
Multiplicação de radicais
, 1n n n
a b a b n   
Se n é par, então 0 e 0a b 
Potência de um radical
  ; , e 1
p
n pn
a a n p n  
Se n é par, então 0a 
Divisão de radicais
: , , 0 1
n
n n n
n
a a
a b n b n
bb
    
Se n é par, então 0 e 0a b 
Radical de radical
; , e 1
p npn
a a n p n  
Se n é par ou p é par, então 0a 
Racionalização de denominadores
n n p
n n np p n p
a a b
b b b




 
  
a b ca a b a c
b cb c b c b c
 
 
  
Para racionalizar o denominador de n n
a
b c
, aplica-se a igualdade
  1 2 3 2 2 3 2 1
...n n n n n n n n
A B A B A A B A B A B AB B     
        
Potências de expoente racional
1
; 0 e 2n n
a a a n   a ; 0, , , 0 e 2
m
n m n
a a m n m n    
; 0 e ,p q p q
a a a a p q
    : ; 0 e ,p q p q
a a a a p q
  
  ; , 0 e
pp p
a b a b a b p      : : ; , 0 e
pp p
a b a b a b p  
1
; eq
q
a a q
a
 
     0; e ,
qp p q
a a a p q 
  
Operações com polinómios
Adição, subtração e multiplicação de polinómios
Dados dois polinómios  A x e  B x , tem-se:
    A x B x é o polinómio soma de  A x com  B x
    A x B x é o polinómio diferença entre  A x e  B x
    A x B x é o polinómio produto de  A x por
O grau de    A x B x é igual à soma dos graus de  A x e
de  B x
Divisão inteira de polinómios
Na divisão inteira de  A x por  B x , tem-se
 
 
 
 
 
       
A x R x
Q x A x B x Q x R x
B x B x
     
Onde:
 A x é o dividendo;  B x é o divisor;  Q x é o quociente e
 R x é o resto
O grau de  R x é inferior ao grau de  B x ou   0R x 
Regra de Ruffini
Método que simplifica o cálculo do quociente e resto da
divisão inteira de um polinómio  P x por x a , com a
Exemplo: Na divisão de 3
2 5 7x x   por 2x  , temos:
  2
2 4 3Q x x x    e   13R x 
-2 0 5 7
-2 4 -8 6
-2 4 -3 13

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Fatorização de polinómios
Teorema do resto
 Dado um polinómio  P x e um número real a, o resto da divisão inteira de  P x por x a é igual a  P a
  P x é divisível por x a se só se   0P a 
Dado um polinómio  P x de grau n e a , tem-se:
   0P a P x  é divisível por x a
Nesse caso existe  Q x de grau 1n  tal que      P x x a Q x  
Número de zeros (raízes) de um polinómio
 Se  P x é divisível por x a , então diz-se que a é um zero do polinómio  P x
 Um polinómio de grau n tem, no máximo, n zeros
Multiplicidade da raiz de um polinómio
a é raiz de  P x com multiplicidade n, quando n é o maior número natural para o qual  P x é divisível por  
n
x a
     
n
P x x a Q x  
Fatorização de um polinómio
Dado um polinómio  P x de grau n com k raízes distintas 1 2, ,..., ka a a , com multiplicidades 1 2,n ,...,nkn ,
respetivamente, tem-se que 1 2 ... kn n n n    e existe um polinómio  Q x , sem raízes, tal que
         1 2
... kn n n
P x x a x a x a Q x      
Nota: Se 1 2 ... kn n n n    , então  Q x tem grau 0 e é igual ao coeficiente do termo de maior grau
Raízes inteiras de um polinómio
Dado um polinómio  P x com coeficientes inteiros, se tiver raízes inteiras, estas são divisores do termo independente (que
tem grau zero) do polinómio  P x
Exemplo: Se o polinómio   3 2
2 2P x x x x    tem raízes inteiras, então só podem ser 2, 1,1 ou 2 
Inequações de grau superior ao primeiro
Para resolver uma inequação do tipo 1
0 1 1... 0n n
n na x a x a x a
     fatoriza-se o primeiro membro e estuda-se o sinal dos
seus fatores
Exemplo
   
23
3 2 0 1 2 0x x x x      
x  1 2 
 
2
1x  + 0 + + +
2x     0 +
   
2
1 2x x   0  0 +
   1 2,S    