O documento discute vários tópicos sobre polinômios, incluindo definição, operações como adição, subtração e multiplicação, redução, divisão, fatorização e resolução de equações e inequações polinomiais.

1. numerosnamente 1
Polinómios
-Teoria-
-Um polinómio na variável , é uma expressão ligando monómios através do sinal
adição.
com:
é o termo independente.
é o grau do polinómio.
Por exemplo:
Considere o polinómio
é o grau do polinómio
Para reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma que apareçam os termos semelhantes. A
forma reduzida de um polinómio de grau tem termos.
Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo as potências crescente ou decrescentes da
variável.
Um polinómio está completo se a respetiva forma reduzida não tiver termos nulos.
Por exemplo:
Considere o polinómio . Reduza o polinómio e indique o seu
grau, os termos nulos e o termo independente.
( )
Grau= 4 ; Termo nulo = 0 ; Termo independente = 3

2. numerosnamente 2
Operações com polinómios
-Adição
Sendo:
e
Por exemplo:
Seja e
-Subtração
Sendo:
e
Por exemplo:
Seja e
-Multiplicação
Sendo:
e
+
+
+

3. numerosnamente 3
Por exemplo:
Seja e
-Divisão
A divisão de um polinómio por um polinómio não nulo, é determinar o quociente
e o resto .
polinómio-dividendo
polinómio-divisor
polinómio-quociente
polinómio-resto
Assim
Se o resto da divisão inteira de um polinómio por um polinómio é zero, ntão é
divisível por
Por exemplo:
Determine o quociente e o resto da divisão por .
3
0
Quociente= e resto=

4. numerosnamente 4
Regra de Ruffini
Esta regra permite determinar com eficiência e rapidez o resto e o quociente da divisão de um
polinómio por um binómio do tipo .
Por exemplo:
Considere os polinómios e
Aplicando a regra de ruffini, determine o quociente e o resto, da divisão inteira de por
- Temos de ter o polinómio por ordem decrescente;
- No polinómio
2 0 -8 -1 3
-2 -4
2
2 0 -8 -1 3
-2 -4
2 -4
2 0 -8 -1 3
-2 -4 8
2 -4
2 0 -8 -1 3
-2 -4 8
2 -4 0

5. numerosnamente 5
2 0 -8 -1 3
-2 -4 8 0
2 -4 0
2 0 -8 -1 3
-2 -4 8 0
2 -4 0 -1
2 0 -8 -1 3
-2 -4 8 0 2
2 -4 0 -1
2 0 -8 -1 3
-2 -4 8 0 2
2 -4 0 -1 5
Assim o quociente é e o resto é
Polinómios Iguais
Dois polinómios são iguais se os termos semelhantes tiverem coeficiente iguais.
Por exemplo:
Determine de modo que os polinómios e
sejam iguais.
Para { {

6. numerosnamente 6
Teorema do resto
O resto da divisão inteira de um polinómio por é igual a
Assim o número real é a raiz ou o zero do polinómio se
Por exemplo:
Verifique se o polinómio
Temos de verificar se ( )
( ) ( ) ( )
o polinómio .
Fatorização de polinómios
Se um polinómio , de grau , tem raízes distintas com multiplicidades
, respetivamente, então e existe um polinómio , sem
raízes, tal que:
Um polinómio de grau tem, no máximo, zeros reais.
Por exemplo:
a) Decomponha em fatores
b) Fatorize
c) Fatorize sabendo que é uma das raízes
Resolução:
a) …vamos aplicar a fórmula resolvente:
√ √ √
( )

7. numerosnamente 7
b) ….o polinómio tem coeficiente inteiros e o seu termo
independente é . Assim os divisores de são e temos de averiguar se
estes números são raízes do polinómio para depois podermos baixar o grau pela regra
de ruffini e continuar assim a factorização do polinómio.
Verifica-se que o polinómio tem duas raizes: e ; Vamos aplicar a regra de ruffini.
9 -9 -19 1 2 (
-1 -9 18 1 -2
9 -18 -1 2 0
2 18 0 -2
9 0 -1 0
Então =
c) sabendo que é uma das raízes. Vamos aplicar a regra de ruffini para baixar
o grau do polinómio.
1 0 0 27
-3 -3 9 -27
1 -3 9 0
√
Então
Multiplicidade de uma raiz de um polinómio
Uma raiz de um polinómio tem multiplicidade , quando é o maior número natural
para o qual é divisível por
Por exemplo:
O grau do polinómio é 5 ; é uma raiz simples e 7 é uma raiz de multiplicidade 2

8. numerosnamente 8
Equação biquadrada
É toda a equação que se pode reduzir à forma , com como números
reais não nulos. Para resolver estas equação, faz-se uma mudança de varável, em que se
considera , obtendo-se a equação que pode ser resolvida pela
fórmula resolvente.
Por exemplo:
Resolva, em , as equações.
a)
b)
Resolução:
a) ; fazendo , tem-se:
√
√ √ ; impossível
Conjunto solução  √ √ 
b) ; fazendo , tem-se:
√ √
Assim √ ;
Conjunto solução  
Resolução de inequações de grau superior ao primeiro
A inequação tem de estar escrita na forma ou e em seguida fatoriza-se
, estudando o sinal de cada um dos fatores e o sinal de
Por exemplo:
Resolva, em , cada uma das equações.
a)
b)
c)
Resolução:
a)

9. numerosnamente 9
+ 0 - - -
- - - 0 +
- 0 + 0 -
b)
+ + + 0 + + +
+ 0 - - - 0 +
+ 0 - 0 - 0 +
c)
√
- 0 + + +
+ + + 0 +
- 0 + 0 +