Este documento apresenta o método de substituição trigonométrica para resolver integrais. Explica como substituir radicais por funções trigonométricas de forma a simplificar a integral, apresentando exemplos de como aplicar as substituições x=a.sinθ, x=a.cosθ e x=a.tgθ. Demonstra também como usar este método para provar fórmulas como a integral de arcsin(x/a) entre 0 e a.

1. Profª Débora Bastos

2. Integrais por substituições
trigonométricas.
É impossível ver numa disciplina de cálculo TODOS os métodos de
resolução de integrais. Hoje estudaremos as substituições
trigonométricas para incrementar nossa gama em resolver integrais.
A substituição trigonométrica é um artifício para resolver integrais
com radicais, por exemplo:
a2 x2 x2 a2 x2 a2
Nos quais a é uma constante POSITIVA e que não tenhamos no nosso
formulário.
Nos casos de radicais com subtração podemos substituir x por
x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cos d
Ou
x=a.cos 0< <2 dx=a.sin d
E daí a relação: sen2 +cos2 =1

3. Substituições Trigonométricas
 Fazendo a substituição:
 x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cos d
a2 x2 a2 a2 sin2 a2 1 sin2
a cos2 a cos a cos
 Aqui podemos considerar no intervalo inicial, pois
a2 – x2 também deve ser positivo para a raiz existir,
então o intervalo está compatível com o problema e só
assim podemos considerar que o módulo é o próprio
cosseno, pois está considerando só argumentos que o
resultado é positivo.

4. Substituições Trigonométricas
 Radicais com subtração fazemos a substituição:
 x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cos d
a2 x2 a cos
Exemplo:
dx 2 cos d
1
x2 4 x2 2 cos2 2 cos
1 d 1 2 1
cos sec d cot g k
4 2 4 4
cos
2
cos
4 x /2
4 x
2 1 4 x2
cot g k
sen x/2 x 4 x

5. Substituições Trigonométricas
 Radicais com adição fazemos a substituição:
 x=a.tg 0 < < /2 dx=a. sec2 d
 E daí a relação tg2 +1 = sec2
x2 a2 a2tg2 a2 a2 tg2
( 1)
a sec2 a sec a sec
Exemplo:
x3dx x=3tg
2
( x2 9)3 dx = 3sec2
x2 9 (3tg )2
9 9 tg2 1 3 sec

6. Substituições Trigonométricas
3
Exemplo: cos x2 9 3 sec
2
x 9
3
x dx
x=3tg
2
( x2 9)3 dx = 3sec2
27tg 3 3 sec 2 d tg3 d sen 3 d
3
3 3
(3 sec ) sec cos3 sec
sen 3 d sen 2 1 cos2
3 3 sen d 3 sen d
2 2
cos2 cos cos
sen d 3
3 3 sen d 3 cos 3 sec 3 cos k
2 cos
cos
9
x² 9 k
x² 9

7. Exemplos: udv u v vdu
Resolva as integrais 1 e 2 por partes:
1 arcsin xdx
R tA x arcsin x 1 x2 k
ta ex
xe x R k
2
2
dx 1 x
(1 x)
Demonstre as fórmulas 19 e 25 pelo método da substituição trigonométrica, ou seja:
dv v
19 arcsin k
a 2
v 2 a
a 0
dv 1
25 ln v v2 a2 k
v 2 2
a 2a
a 0