1) A função f(x) é cíclica e decresce quando o seno de x cresce, atingindo seu valor mínimo de 1 quando o seno é 1 e seu valor máximo de 3 quando o seno é -1. 2) O triângulo OCB é semelhante ao triângulo OAT, logo a tangente de x é igual à razão entre o seno de x e o cosseno de x. 3) A soma do quadrado do seno de x com o quadrado do cosseno de x é igual a 1,44, logo o produto entre

1. Matemática do Ensino Médio – vol. 1
Soluções do Cap. 9
1) Quando senx cresce, f(x) decresce e quando senx decresce, f(x) cresce. Assim, quando
sen x = 1, f(x) = 1, que é o seu valor mínimo e, quando sen x = –1, f(x) = 3 que é o seu
valor máximo.
2) Traçando BC perpendicular ao raio OA e sendo T o ponto de interseção de OB com o
eixo tantente à circunferência, vemos que os triângulos OCB e OAT são semelhantes.
Logo,
CB OC sen x cos x sen x
= ⇒ = ⇒ t= .
AT OA t 1 cos x
3) (sen x + cosx) 2 = (1,2)2
1 + 2sen x ⋅cos x = 1,44
sen x ⋅cos x = 0, 22 .
sen 2 x cos2 x + sen 2 x 1
4) a) 1 + tg 2 x = 1 + 2 = 2 = 2 = sec 2 x .
cos x cos x cos x
b) igual.
sen x
5) a) Basta substituir tgx por e tudo se resolve.
cos x
sen x sen x sen 2 x sen 2 x (1 + cos x)
b) = 1 cos x 1 − cos x (1 − cos x) (1 + cos x) =
= = ⋅
csc x − ctgx −
sen x sen x
sen 2 x(1 + cos x)
= 1 + cos x .
1 − cos2 x
π π
6) I) 2x + = 2kπ + ⇒ x = kπ .
3 3
π π π
II) 2x + = 2kπ − ⇒ x = kπ − .
3 3 3
sen x 1 3
7) + = ⇒ 2(1 + sen x) = 3cos x .
cos x cosx 2
Elevando ao quadrado,
4(1+ 2sen x + sen2 x) = 9(1− sen 2 x)
13sen2 x + 8sen x − 5 = 0
5
o que dá sen x = −1 ou sen x = .
13

2. Bem, sen x = −1 não serve pois, neste caso, cos x = 0 .
5 12
Se sen x = então cos x = ± . Mas como o seno é positivo, o cosseno também
13 13
deve ser como se nota observando a primeira linha da solução. Logo, temos
5 12
sen x = e cos x = .
13 13
8) I) sen2x = 2sen x ⋅cos x
II) cos2x = cos2 x − sen2 x
2tg x
III) tg 2x = .
1 − tg 2 x
1 1
9) Fazendo AOP = α e BOP = β, temos tg α = e tg β = . Logo,
2 3
1 1
+
56
tg(α + β ) = 2 1 31 = = 1 . Assim, AOB = α + β = 45o.
1− ⋅ 56
2 3
1
2⋅
10) tg 2x = 2 = 1 =4.
1 34 3
1−
4
4 1
+
tg 3x = tg(2x + x) = 3 2 = 11 .
4 1 2
1− ⋅
3 2
5π 5π 5π 1 1
11) a) 2y = 2sen ⋅ cos = sen = . Logo, y = .
12 12 6 2 4
π π
tg + tg
b) y = 4 12 = tg
π π
1− tg ⋅tg
4 12

3. Logo, os valores mínimo e máximo de y são respectivamente − 5 e 5.