1. O documento discute os números inteiros, incluindo suas operações básicas de adição e multiplicação e propriedades como a ordenação. 2. É apresentada a definição formal dos números inteiros a partir da teoria dos conjuntos e listadas propriedades como a existência de elementos neutros e inversos para a adição. 3. A ordenação dos inteiros é definida com base na relação "menor que" e mostra-se que esta relação forma uma ordem total nos inteiros.

1. Sum´ario
OS N ´UMEROS INTEIROS
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Col´egio Pedro II
09 de setembro de 2016

2. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Sum´ario
1 Introduc¸ ˜ao
2 A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao
3 Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
4 Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao

3. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao
3 Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
4 Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao

4. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
N´umeros Inteiros
Desenvolvimento das atividades mercantis na Europa no final da Idade M´edia:
necessidade de considerar os inteiros relativos e com eles efetuar operac¸ ˜oes
Bombelli (1526-1572) l’Algebra:
regras operat´orias com
n´umeros inteiros
Final do s´eculo XIX: noc¸ ˜ao de n´umero baseada em conceitos da teoria dos
conjuntos, considerados mais primitivos

5. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
N´umeros Inteiros
Nosso ponto de partida: o conjunto dos n´umeros inteiros
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
juntamente com as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao (a, b) → a + b e de multiplicac¸ ˜ao
(a, b) → a.b
Em Z h´a um conjunto que se destaca: o conjunto dos n´umeros naturais
N = {1, 2, 3, ...}
Abordagem axiom´atica, ou seja, a partir de uma lista razoavelmente pequena de
propriedades b´asicas dos n´umeros inteiros e das duas operac¸ ˜oes, vamos mostrar
como podem ser obtidas as demais propriedades

6. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao
3 Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
4 Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao

7. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao
As operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e de multiplicac¸ ˜ao em Z possuem as seguintes propriedades:
1 A adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao s˜ao bem definidas:
Para todos a, b, a , b ∈ Z, se a = a e b = b , ent˜ao a + b = a + b e
a.b = a .b
Essa propriedade ´e a que permite somar um dado n´umero a ambos os lados de uma igualdade, ou
multiplicar ambos os lados por um mesmo n´umero
2 A adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao s˜ao comutativas:
Para todos a, b ∈ Z, a + b = b + a e a.b = b.a
3 A adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao s˜ao associativas:
Para todos a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)
4 A adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao possuem elementos neutros:
Para todo a ∈ Z, a + 0 = a e a.1 = a
5 A adic¸ ˜ao possui elementos sim´etricos
Para todo a ∈ Z, existe b(= −a) tal que a + b = 0
6 A multiplicac¸ ˜ao ´e distributiva com relac¸ ˜ao `a adic¸ ˜ao:
Para todos a, b, c ∈ Z, tem-se a.(b + c) = a.b + a.c

8. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
N´umeros Inteiros
Anel: conjunto munido das operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao que
possui as propriedades de 1 a 6 acima (conjunto cujos elementos
sujeito `as leis b´asicas da aritm´etica
Dada a existˆencia de tantos outros conjuntos com operac¸ ˜oes de
adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao sujeitos `as leis b´asicas da aritm´etica
Note que Z = N ∪ {0} ∪ (−N)

9. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
N´umeros Inteiros
Proposic¸ ˜ao 1.1: a.0 = 0 para todo a ∈ Z
Proposic¸ ˜ao 1.2: A adic¸ ˜ao ´e compat´ıvel e cancelativa com respeito `a
igualdade:
∀a, b, c ∈ Z, a = b ⇔ a + c = b + c
A operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao permite-nos definir uma nova operac¸ ˜ao
chamada de subtrac¸ ˜ao
Dados dois n´umeros inteiros a e b, define-se o n´umero b menos a,
denotado por b − a, como sendo
b − a = b + (−a)
Dizemos que b − a ´e o resultado da subtrac¸ ˜ao de a e de b

10. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao
3 Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
4 Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao

11. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
Admitiremos que em Z tamb´em valem as seguintes propriedades:
7 Fechamento de N: O conjunto N ´e fechado para a adic¸ ˜ao e para a
multiplicac¸ ˜ao, ou seja, para todos a, b ∈ N, tem-se que a + b ∈ N e
ab ∈ N
8 Tricotomia: Dados a, b ∈ Z, uma, e apenas uma, das seguintes
propriedades ´e verificada:
i) a = b ii) b − a ∈ N iii) −(b − a) = a − b ∈ N ou ainda b < a
Diremos que a ´e menor do que b, simbolizado por a < b, toda vez que a
propriedade (ii) acima for verificada
Resultado: a > 0 se, e somente se −a < 0

12. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
Proposic¸ ˜ao 1.3: A relac¸ ˜ao “menor do que” ´e transitiva:
∀a, b, c ∈ Z, a < b e b < c ⇒ a < c
Proposic¸ ˜ao 1.4: A adic¸ ˜ao ´e compat´ıvel e cancelativa com respeito `a relac¸ ˜ao
“menor do que”:
∀a, b, c ∈ Z, a < b ⇔ a + c < b + c
Proposic¸ ˜ao 1.5: A multiplicac¸ ˜ao por elementos de N ´e compat´ıvel e
cancelativa com respeito `a relac¸ ˜ao “menor do que”:
∀a, b ∈ Z, ∀c ∈ N, a < b ⇔ ac < bc
Proposic¸ ˜ao 1.6: A multiplicac¸ ˜ao ´e compat´ıvel e cancelativa com respeito `a
igualdade:
∀a, b ∈ Z, ∀c ∈ Z{0}, a = b ⇔ ac = bc

13. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
Resultado: Z ´e um dom´ınio de integridade
Formulac¸ ˜ao contrapositiva: ∀a, b ∈ Z{0} tem-se que ab = 0
Note que a relac¸ ˜ao < n˜ao ´e uma relac¸ ˜ao de ordem pois n˜ao ´e
reflexiva

14. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
Relac¸ ˜ao de ordem: Diremos que a ´e menor ou igual do que b,
ou que b ´e maior ou igual do que a, escrevendo a ≤ b ou
b ≥ a, se a < b ou a = b
Propriedades que deve possuir uma relac¸ ˜ao de ordem:
Reflexividade: ∀a ∈ Z, a ≤ a
Antissimetria: ∀a, b ∈ Z, a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b
Transitividade: ∀a, b, c ∈ Z, a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c

15. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Valor Absoluto
Definic¸ ˜ao: Seja a ∈ Z, definimos
|a| =
a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
Note que ∀a ∈ Z, tem-se que |a| ≥ 0 e |a| = 0 ⇔ a = 0
O n´umero inteiro |a| ´e chamado de m´odulo ou valor absoluto
de a

16. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Valor Absoluto
Proposic¸ ˜ao 1.7 Para a, b ∈ Z e r ∈ N, temos:
i) |ab| = |a||b|
ii) |a| ≤ r se, e somente se, −r ≤ a ≤ r
iii) −|a| ≤ a ≤ |a|
iv) a desigualdade triangular
||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|

17. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao
3 Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros
4 Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao

18. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Diremos que um subconjunto S de Z ´e limitado inferiormente,
se existir c ∈ Z tal que c ≤ x para todo x ∈ S. Diremops que
a ∈ S ´e um menor elemento de S se a ≤ x para todo x ∈ S
Convencionamos que o conjunto vazio, apesar de n˜ao possuir
nenhum elemento, ´e limitado inferiormente, tendo qualquer
n´umero como cota inferior
Resultado: Um menor elemento de S, se existir, ´e ´unico

19. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
9 Se S ´e um subconjunto n˜ao vazio de Z e limitado
inferiormente, ent˜ao S possui um menor elemento
Em particular, como qualquer subconjunto de N ´e limitado
inferiormente, tempos que todo subconjunto n˜ao vazio de N
possui um menor elemento

20. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Proposic¸ ˜ao 1.8: N˜ao existe nenhum n´umero inteiro n tal que
0 < n < 1
Corol´ario 1.9: Dado um n´umero inteiro n qualquer, n˜ao existe
nenhum n´umero inteiro m tal que n < m < n + 1
Corol´ario 1.10: Sejam a, b ∈ Z. Se ab = 1, ent˜ao a = b = ±1
Corol´ario 1.11: Se a, b ∈ Z, com b = 0, ent˜ao |ab| ≥ |a|

21. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Propriedade Arquimediana
Corol´ario 1.12: Sejam a, b ∈ Z, com b = 0. Ent˜ao existe n ∈ Z
tal que nb > a
Um subconjunto T de Z ser´a dito limitado superiormente se for
vazio ou se existir um n´umero d ∈ Z tal que
∀x ∈ T, x ≤ d
Nesse caso, diremos que d ´e uma cota superior para T
Diremos que um elemento b ∈ Z ´e o maior elemento de T, se
b ´e uma cota superior de T com b ∈ T
Resultado: Um menor elemento de T, se existir, ´e ´unico.
Nesse caso ele ser´a denotado por max T

22. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
O Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao possui a seguinte formulac¸ ˜ao:
Proposic¸ ˜ao 1.13: Se T ´e um subconjunto de Z n˜ao vazio e
limitado superiormente, ent˜ao T possui um maior elemento
Uma das mais importantes consequˆencias do Princ´ıpio da Boa
Ordenac¸ ˜ao:
Princ´ıpio de Induc¸ ˜ao Matem´atica
Teorema 1.14: Sejam S um subconjunto de Z e a ∈ Z tais que:
i) a ∈ S
ii) S ´e fechado com respeito `a operac¸ ˜ao de “somar 1” a seus
elementos, ou seja, ∀n, n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S. Ent˜ao,
{x ∈ Z; x ≥ a ⊂ S}

23. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Definic¸ ˜ao: Uma sentenc¸a aberta em n ´e uma frase de
conte´udo matem´atico onde figura a letra n como palavra e que
se torna uma sentenc¸a verdadeira ou falsa quando n ´e
substitu´ıdo por um n´umero interiro bem determinado
Prova por Induc¸ ˜ao Matem´atica
Teorema 1.15: Seja a ∈ Z e seja p(n) uma sentenc¸a aberta
em n. Suponha que
i) p(a) ´e verdadeiro, e que
ii) ∀n ≥ a, p(n) ⇒ p(n + 1) ´e verdadeiro
Ent˜ao, p(n) ´e verdadeiro para todo n ≥ a

24. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Exemplo 1.16: (Francesco Maurolycus - 1575)
Determinac¸ ˜ao de uma f´ormula exata em func¸ ˜ao de n ≥ 1 para
a soma dos n primeiros n´umeros naturais ´ımpares
Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
Exemplo 1.17: Vamos determinar uma f´ormula para a soma
dos n primeiros n´umeros pares

25. Introduc¸ ˜ao A Adic¸ ˜ao e a Multiplicac¸ ˜ao Ordenac¸ ˜ao dos Inteiros Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao
Prova por Induc¸ ˜ao Completa
Teorema 1.15: Seja p(n) uma sentenc¸a aberta tal que
i) p(a) ´e verdadeiro, e que
ii) ∀n, p(a) e p(a + 1) e ... e p(n) ⇒ p(n + 1) ´e verdadeiro
Ent˜ao, p(n) ´e verdadeiro para todo n ≥ a
Definic¸ ˜ao: Seja A um conjunto qualquer. Uma sequˆencia em A
´euma func¸ ˜ao
s : N → A
n → s(n)
´E praxe denotar o elemento s(n) de A por sn. Uma sequˆencia s
tamb´em ser´a denotada por (sn)